幂函数、指数函数和对数函数-对数及其运算法则-教案

幂函数、指数函数和对数函数-对数及其运算法则-教案（共11篇）

篇1：幂函数、指数函数和对数函数-对数及其运算法则-教案

幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案 ? 教学目标

1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质． 2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程． 3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题． 教学重点与难点

重点是对数定义、对数的性质和运算法则．难点是对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导． 教学过程设计 师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，求20年后国民生产总值是原来的多少倍？

生：设原来国民生产总值为1，则20年后国民生产总值y=（1+7.2％）20=1.07220，所以20年后国民生产总值是原来的1.07220倍．

师：这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题．也就是上面学习的指数问题． 师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍？ 师：（分析）仿照上例，设原来国民生产总值为1，需经x年后国民生产总值是原来的4倍．列方程

1.072x=4．

我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指数的问题，这是上述问题的逆问题，即本节的对数问题． 师：（板书）一般地，如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作 logaN=b，其中a叫做底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式． 师：请同学谈谈对对数这个定义的认识．

生：对数式logaN实际上就是指数式中的指数b的一种新的记法． 生：对数是一种新的运算．是知道底和幂值求指数的运算．（此刻并不奢望学生能说出什么深刻认识，只是给他们自己一个去思维认识对数这个定义的机会．）

师：他们说得都非常好．实际上ab=N这个式子涉及到了三个量a，b，N，由方程的观点可得“知二求一”．知道a，b可求N，即前面学过的指数运算；知道b（为自然数时），N可求a，即初中学过的开

记作logaN=b．因此，对数是一种新的运算，一种知道底和幂值求指数的运算．而每学一种新的运算，首先要学习它的记法，对数运算的记法为logaN，读作：以a为底N的对数．请同学注意这种运算的写法和读法． 师：实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式．为了更深入认识并记忆对数这个概念，请同学们填写下列表格．（打出幻灯）? 式子 名称?

a b N?

指数式 对数式 ab=N logaN=b ? ? ?

练习1 ?把下列指数式写成对数形式：

练习2 ?把下列对数形式写成指数形式：

练习3 ?求下列各式的值：

（两名学生板演练习1，2题（过程略），一生板演练习三．）因为22=4，所以以2为底4的对数等于2．

因为53=125，所以以5为底125的对数等于3．（注意纠正学生的错误读法和写法．）

师：由定义，我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么？ 生：a＞0且a≠1；b∈R；N∈R．

师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．）生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ab=N中N总是正数． 师：要特别强调的是：零和负数没有对数． 师：定义中为什么规定a＞0，a≠1？（根据本班情况决定是否设置此问．）

生：因为若a＜0，则N取某些值时，b可能不存在，如b=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，b不存在，如log02不存在；当N为0时，b可以为任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N不为1时，b不存在，如log13不存在，N为1时，b可以为任何数，是不唯一的，即log11有无数多个值．因此，我们规定：a＞0，a≠1．（此回答能培养学生分类讨论的数学思想．这个问题从ab=N出发回答较为简单．）师：下面我来介绍两个在对数发展过程中有着重要意义的对数． 师：（板书）对数logaN（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数，简记lgN；底数a=e时，叫做自然对数，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.718 28„„． 练习4? 计算下列对数：

lg10000，lg0.01，2log24，3log327，10lg105，5log51125． 师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想． 生：2log24=4．这是因为log24=2，而22=4．

生：3log327=27．这是因为log327=3，而33=27． 生：10lg105=105．

生：我猜想alogaN=N，所以5log51125=1125．

师：非常好．这就是我们下面要学习的对数恒等式． 师：（板书）

alogaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）．（用红笔在字母取值范围下画上曲线）（再次鼓励学生，并提出更高要求，给出严格证明．）（学生讨论，并口答．）生：（板书）

证明：设指数等式ab=N，则相应的对数等式为logaN=b，所以ab=alogaN=N． 师：你是根据什么证明对数恒等式的？ 生：根据对数定义． 师：（分析小结）证明的关键是设指数等式ab=N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知识只有定义，所以显然要利用定义加以证明．而对数定义是建立在指数基础之上的，所以必须先设出指数等式，从而转化成对数等式，再进行证明． 师：掌握了对数恒等式的推导之后，我们要特别注意此等式的适用条件． 生：a＞0，a≠1，N＞0．

师：接下来观察式子结构特点并加以记忆．（给学生一分钟时间．）师：（板书）2log28=？2log42=？ 生：2log28=8；2log42=2． 师：第2题对吗？错在哪儿？

师：（继续追问）在运用对数恒等式时应注意什么？（经历上面的错误，使学生更牢固地记住对数恒等式．）生：当幂的底数和对数的底数相同时，才可以用公式 alogaN=N．

（师用红笔在两处a上重重地描写．）师：最后说说对数恒等式的作用是什么？ 生：化简！

师：请打开书74页，做练习4．（生口答．略）

师：对对数的定义我们已经有了一定认识，现在，我们根据定义来进一步研究对数的性质． 师：负数和零有没有对数？并说明理由．

生：负数和零没有对数．因为定义中规定a＞0，所以不论b是什么数，都有ab＞0，这就是说，不论b是什么数，N=ab永远是正数．因此，由等式b=logaN可以看到，负数和零没有对数．

师：非常好．由于对数定义是建立在指数定义的基础之上，所以我们要充分利用指数的知识来研究对数． 师：（板书）性质1：负数和零没有对数． 师：1的对数是多少？

生：因为a0=1（a＞0，a≠1），所以根据对数定义可得1的对数是零． 师：（板书）1的对数是零． 师；底数的对数等于多少？

生：因为a1=a，所以根据对数的定义可得底数的对数等于1． 师：（板书）底数的对数等于1．

师：给一分钟时间，请牢记这三条性质．

师：在初中，我们学习了指数的运算法则，请大家回忆一下．

生：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am·an=am+n．同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am÷an=am-n．还有（am）n=amn；

师：下面我们利用指数的运算法则，证明对数的运算法则．（板书）（1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和．即 loga（MN）=logaM+logaN．（请两个同学读法则（1），并给时间让学生讨论证明．）师：（分析）我们要证明这个运算法则，用眼睛一瞪无从下手，这时我们该想到，关于对数我们只学了定义和性质，显然性质不能证明此式，所以只有用定义证明．而对数是由指数加以定义的，显然要利用指数的运算法则加以证明，因此，我们首先要把对数等式转化为指数等式． 师：（板书）设logaM=p，logaN=q，由对数的定义可以写成M=ap，N=aq．所以 M·N=ap·aq=ap+q，所以

loga（M·N）=p+q=logaM+logaN．

即

loga（MN）=logaM+logaN．

? 师：这个法则的适用条件是什么？

生：每个对数都有意义，即M＞0，N＞0；a＞0且a≠1． 师：观察法则（1）的结构特点并加以记忆．

生：等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算． 师：非常好．例如，（板书）log2（32×64）=？ 生：log2（32×64）=log232+log264=5+6=11．

师：通过此例，同学应体会到此法则的重要作用——降级运算．它使计算简化． 师：（板书）log62+log63=？

生：log62+log63=log6（2×3）=1．

师：正确．由此例我们又得到什么启示？ 生：这是法则从右往左的使用．是升级运算． 师：对．对于运算法则（公式），我们不仅要会从左往右使用，还要会从右往左使用．真正领会法则的作用！师：（板书）（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数．

师：仿照研究法则（1）的四个步骤，自己学习．（给学生三分钟讨论时间．）生：（板书）设logaM=p，logaN=q．根据对数的定义可以写成M=ap，N=aq．所以

师：非常好．他是利用指数的运算法则和对数的定义加以证明的．大家再想一想，在证明法则（2）时，我们不仅有对数的定义和性质，还有法则（1）这个结论．那么，我们是否还有其它证明方法？ 生：（板书）

师：非常漂亮．他是运用转化归结的思想，借助于刚刚证明的法则（1）去证明法则（2）．他的证法要比书上的更简单．这说明，转化归结的思想，在化难为易、化复杂为简单上的重要作用．事实上，这种思想不但在学习新概念、新公式时常常用到，而且在解题中的应用更加广泛．

师：法则（2）的适用条件是什么？ 生：M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．

师：观察法则（2）的结构特点并加以记忆．

生：等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．

师：（板书）lg20-lg2=？

师：可见法则（2）的作用仍然是加快计算速度，也简化了计算的方法． 师：（板书）例1 ?计算：

生：（板书）解

（1）log93+log927=log93×27=log981=2；

（3）log2（4+4）=log24+log24=4；

（由学生判对错，并说明理由．）

生：第（2）题错！在同底的情况下才能运用对数运算法则．（板书）

生：第（3）题错！法则（1）的内容是：

生：第（4）题错！法则（2）的内容是：

师：通过前面同学出现的错误，我们在运用对数运算法则时要特别注意什么？ 生：首先，在同底的情况下才能从右往左运用法则（1）、（2）；其次，只有在正因数的积或两个正数的商的对数的情况下，才能从左往右运用运算法则（1）、（2）． 师：（板书）（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．即 loga（N）n=n·logaN． 师：（分析）欲证loga（N）n=n·logaN，只需证 Nn=an·logaN=（a·logaN）n，只需证 N=alogaN．

? 由对数恒等式，这是显然成立的． 师：（板书）设N＞0，根据对数恒等式有 N=alogaN． 所以

Nn=（alogaN）n=an·logaN．

? 根据对数的定义有

loga（N）n=n·logaN．

师：法则（3）的适用条件是什么？ 生：a＞0，a≠1；N＞0．

师：观察式子结构特点并加以记忆． 生：从左往右仍然是降级运算． 师：例如，（板书）log332=log525=5log52．练习计算（log232）3．（找一好一差两名学生板书．）错解：（log232）3=log2（25）3=log2215=15． 正确解：（log232）3=（log225）3=（5log22）3=53=125．（师再次提醒学生注意要准确记忆公式．）师：（板书）（4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数．即

师：法则（4）的适用条件是什么？ 生：a＞0，a≠1；N＞0．

师：法则（3）和法则（4）可以合在一起加以记忆．即logaNα=αlogaN（α∈R）．（师板书）例2 ?用logax，logay，logaz表示下列各式：

（生板书）解

（注意（3）的第二步不要丢掉小括号．）（师板书）例3 ?计算：

（生板书）解

（1）log2（47×25）=log247+log225=7log24+5log22=7×2+5×1=19．

师：请大家在笔记本上小结这节课的主要内容． 作业? 课本P78．习题第1，2，3，4题． 课堂教学设计说明 本节的教学过程是：

1．从实际问题引入，给出对数定义； 2．深刻认识对数定义；

3．对数式与指数式的互化； 4．对数恒等式alogaN=N； 5．对数的性质； 6．对数运算法则； 7．例题·小结·作业．

通过本节课，应使学生明确如何学习一种运算（从定义、记法、性质、法则等方面来研究）；如何学习公式或法则（从公式推导，适用条件，结构特点和记忆以及公式作用四方面来研究）．针对高中数学内容多、密度大、进度快的特点，应使学生尽早地掌握适应高中数学的学习方法．

篇2：幂函数、指数函数和对数函数-对数及其运算法则-教案

1．形如yax(a0,a0)的函数叫做指数函数，其中自变量是x，函数定义域是R，值域是(0,)．

2.指数函数yax(a0,a0)恒经过点(0,1)． 3.当a1时，函数yax单调性为在R上时增函数； 当0a1时，函数yax单调性是在R上是减函数．

二、对数函数 1． 对数定义：

一般地，如果a（a0且a1）的b次幂等于N, 即abN，那么就称b是以a为底N的对数，记作 logaNb，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。

b 着重理解对数式与指数式之间的相互转化关系，理解，aN与blogaN所表示的是a,b,N三个量之间的同一个关系。2.对数的性质：

（1）零和负数没有对数；（2）loga10；（3）logaa1

这三条性质是后面学习对数函数的基础和准备，必须熟练掌握和真正理解。3.两种特殊的对数是：①常用对数：以10作底 log10N简记为lgN ②自然对数：以e作底（为无理数），e= 2.718 28……，loge4.对数恒等式（1）logaabb；（2）alogaNN简记为lnN．

N

b 要明确a,b,N在对数式与指数式中各自的含义，在指数式aN中，a是底数，b是指数，N是幂；在对数式blogaN中，a是对数的底数，N是真数，b是以a为底N的对数，虽然a,b,N在对数式与指数式中的名称不同，但对数式与指数式有密切的联系：求b对数logaN就是求aN中的指数，也就是确定a的多少次幂等于N。

三、幂函数

1．幂函数的概念：一般地，我们把形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数；

注意：幂函数与指数函数的区别． 2.幂函数的性质：

（1）幂函数的图象都过点(1,1)；

（2）当0时，幂函数在[0,)上单调递增；当0时，幂函数在(0,)上 单调递减；

（3）当2,2时，幂函数是 偶函数 ；当1,1,3,时，幂函数是 奇函数 ．

四、精典范例 例

1、已知f(x)=x·（31311)； x221(1)判断函数的奇偶性；(2)证明：f(x)>0.【解】：(1)因为2－1≠0，即2≠1，所以x≠0，即函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}.x

x11x32x1)=·x又f(x)=x(x，2212123(x)32x1x32x1··f(－x)==f(x)，22x122x1所以函数f(x)是偶函数。

x32x10.(2)当x>0时，则x>0，2>1，2－1>0，所以f(x)=·x2213

x

x又f(x)=f(－x),当x<0时，f(x)=f(－x)>0.综上述f(x)>0.a·2xa2(xR),若f(x)满足f(－x)=－f(x).例

2、已知f(x)=x21(1)求实数a的值；(2)判断函数的单调性。

【解】：(1)函数f(x)的定义域为R，又f(x)满足f(－x)= －f(x)，所以f(－0)= －f(0)，即f(0)=0.所以

2a20，解得a=1，22(2x12x2)2x112x21(2)设x1

3、已知f(x)=log2(x+1)，当点(x,y)在函数y=f(x)的图象上运动时，点(，)在函数y=g(x)的图象上运动。(1)写出y=g(x)的解析式；

(2)求出使g(x)>f(x)的x的取值范围；

(3)在(2)的范围内，求y=g(x)－f(x)的最大值。【解】：(1)令

xy32xys,t，则x=2s,y=2t.32因为点(x,y)在函数y=f(x)的图象上运动，所以2t=log2(3s+1)，11log2(3s+1)，所以g(x)= log2(3s+1)221(2)因为g(x)>f(x)所以log2(3x+1)>log2(x+1)

2即t=3x1(x1)23即0x1(3)最大值是log23－

2x10x2.例

4、已知函数f(x)满足f(x－3)=lg2x62(1)求f(x)的表达式及其定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；

(3)当函数g(x)满足关系f[g(x)]=lg(x+1)时，求g(3)的值.解：(1)设x－3=t，则x=t+3, 所以f(t)=lg2

t3t3lg

篇3：幂函数、指数函数和对数函数-对数及其运算法则-教案

一、教材分析

1. 教学内容

“对数函数及其性质”是高中数学人教版必修一第二章第二节的内容,本节计划授课为两课时,笔者的说课为第一课时.

2. 地位及作用

函数是高中数学的核心. 通过对数函数的学习可加强知识之间的联系. 这种联系包括了反复体会指数函数及其性质,螺旋上升地学习对数函数的纵向联系,也包括与对数方程、对数不等式内容的横向联系. 因此它起着承上启下的作用.

3. 教学重点与难点

本节课的核心内容是对对数函数的图象及性质的探究. 此探究完整的再现了类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法,是学生进一步理解函数的关键. 因此,将对数函数的图象及性质确定为本节课的教学重点.

由于高中学生抽象理性思维能力较弱,所以理解函数图象的变化规律对其来说总是有些难度. 因此,笔者确定本节课的教学难点为底数对函数图象变化的影响.

二、学情分析

1. 知识基础: 指数函数图象及其性质,对数的概念及运算.

2. 认知水平与能力: 具备自主探究能力,但抽象理性思维能力较弱.

学生对指数函数图像及性质的学习培养了其自主探究的能力,对对数函数概念及运算的掌握使其能够顺利的过渡到本节课. 但由于高一学生的抽象理性思维有限,因此分析问题时仍会有些困难.

依据教学大纲的要求,渗透新课标理念,并结合以上的学情分析,笔者制定了如下的教学目标.

三、教学目标

1. 知识与技能

能够概述对数函数的概念; 体会对数函数模型所刻画的数量关系; 会用对数函数的性质解决具体问题.

2. 过程与方法

通过具体实例,直观认识到函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用. 引导学生类比指数函数的图象及性质,探究对数函数.

3. 情感态度与价值观

学生充分感受到对数函数是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生活的. 引领学生在探究过程中获得知识,形成能力,升华情感,培养其数学思想,进而形成积极探索、勇于进取的求知精神.

四、教法学法

1. 教法分析

在教法上,本节课以启发、诱导、发现教学法为主,采用合作学习的教学策略,并配以多媒体动态展示的教学手段. 引导学生从特殊到一般,从具体到抽象对对数函数的图象及性质进行剖析.

2. 学法分析

在学法上,为了调动学生积极思考,增加双边活动的时间和空间. 笔者采用了类比与探究性学习. 类比指数函数的图象与性质,创设情境,让学生犹如经历了科学探究的过程. 潜移默化中归纳对数函数图象和性质. 开放学生思维,从而培养学生的知识迁移,提高学生的学科素养. 下面,笔者再来详细的谈一谈本节课的教学过程.

五、教学过程

根据新课标的要求,笔者将本节课分为以下四个环节,即:熟悉背景、形成概念; 探究图象、归纳性质; 研读性质、应用举例; 归纳小结、布置作业.

1. 熟悉背景、形成概念

笔者将通过播放《马王堆西汉古尸》的视频开始本节课的教学. 让学生深切的体会对数函数是反映现实生活的函数模型. 学生根据已有的化学素养,可以得知如何判断古尸距今的年限. 此时,笔者再给出生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系式,由学生将其转化为对数式进一步引导学生发现,每给一个P都有唯一的一个t与之对应,从而迁移到函数的概念.

如此设计,不但激发了学生的学习兴趣,而且让学生对对数函数的概念有了初步的认知,从而导入新课,给出一般形式和定义域. 引导学生主动思考为什么函数的定义域是( 0,+∞ ) . 目的是通过问题调动学生的积极性,发散思维,巩固对对数概念的理解.

2. 探究图象、归纳性质

由于高中数学新课程理念之一就是倡导探究性学习,为了把这一理念转化为教学行动,本节课笔者以对数函数的性质归纳过程为主线,展开科学探究.

回忆研究指数函数图像时所做的两组具体图象,由学生画出y = log2x和log 1/2x的函数图象. 做出图像后,引导学生根据y= log2x图象的特征概述函数的性质. 再由小组讨论,合作完成y= log 1/2x的表格.

这样设计不仅提高了学生动手操作的能力,培养其分析图象、总结结论的意识. 同时笔者引导学生用数学语言概述图象的特征,目的是发展学生掌握数学语言和运用其学习数学、进行交流的素质.

接下来,向学生渗透数形结合、分类讨论的思想方法. 为了脱离以往教师为主体的课堂教学,在讲授底数a对函数图象变化的影响时,笔者采用以学生为主体,合作学习的教学策略. 让学生猜测以下三组函数图象与之前所做的图象有何关联. 并分成三个小组,分别画出它们的图象,讨论得出自己的观点. 这样,问题的提出将带领学生进入本节课研究与探索的高潮. 学生可能从不同的角度观察图象,从而得出自己发现的规律. 这时教师不要急于给出结论,而是让学生充分经历知识的形成过程,从而形成自己对本节课难点的理解,培养学生的直觉和感悟能力.

然后,笔者再利用几何画板动态展示出底数对函数图像变化的影响,并给出例1加以巩固.

例1如图1,试比较a、b、c、d的大小.

这样设计的目的是通过几何画板,由具体到抽象,让学生感受到分类讨论的思维方法. 从而突破难点,完成教学目标.

3. 研读性质、应用举例

接下来由学生自主填写函数性质的表格. 再一次让学生充分感受以图像为基础研究函数的性质这一重要的数学思想方法.而表格的完成也将使学生收获很大的成功感,使得其思考的热情带入高峰. 在此基础上,给出例2和例3加以巩固.

例2求下列函数的定义域( 1) y = logax2; ( 2) y = loga( 4- x)

例3比较下列 各组数中 两个值的 大小: ( 1) log23. 4,log28. 5;( 2) log60. 8,log20. 8;( 3) log67,log76;( 4) loga5,loga5. 9( a > 0且a≠1) .

例2是一道简单的关于定义域的练习题. 例3的4个小题从同底不同真、同真不同底、不同底不同真以及分类讨论的情况入手,让学生体会函数的单调性以及0,- 1,1在对数式比较大小中的妙用. 设计这4个小题的目的是引导学生层层深入的,从而体会对数值比较大小的常用方法. 举一反三,在量变与质变中强化学生的学科素养.

4. 归纳小结、布置作业

( 1) 归纳小结

一个模型: 对数函数模型.

一个方法: 以图象为基础来研究函数的性质.

三种思想: 类比、数形结合、分类讨论.

爱因斯坦曾经说过: “提出一个问题,比解决一个问题更重要. ”因此,笔者认为要让学生带着问题走进课堂,更要让学生带着问题走出课堂. 所以在本节课的最后,笔者让学生利用互联网等渠道了解对数函数模型在银行复利中的应用,让学生切身体会到数学与生活息息相关. 进而带领学生从一个模型、一个方法、三种思想的角度展开小结.

( 2) 布置作业

为了避免优等生“吃不饱”,中等生“提不高”,后进生“吃不了”的情况,笔者将作业分为必做题和选作题两个部分,必做题面向全体,注重知识反馈; 选作题面向有能力的同学,注重知识的延伸性和连贯性. 最大程度地使全体学生人人有所得,人人能发展.

篇4：幂函数、指数函数和对数函数-对数及其运算法则-教案

1. 函数y=12|x+1|的值域是.

2. 方程lg(x2-4)=lgx+lg3的解是.

3. 已知幂函数f(x)=x-14，若f(2a+3)＜f(1-a)，则a∈.

4. 已知f(x)=1, x＞0，0, x=0，-1,x＜0，则方程x+1=(2x-1)f(x)的解为.

5. 已知函数f(x)满足f2x+|x|=log2x|x|，则f(x)的解析式是 .

6. 设f∶x→x2是集合A到集合B的映射，如果B={1,4},则A∩B等于

7. 49-12-lg5+lg22-lg4+1-31-log32=.

8. 已知函数f(x)=(2a-1)x+7a-2,x＜1,ax,x≥1在(-∞,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是.

9. 已知函数f(x)=log2(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则实数a的取值范围是.

10. 在y=2x,y=log2x,y=x2这三个函数式中，当0＜x1＜x2＜1时，使fx1+x22＜f(x1)+f(x2)2恒成立的函数个数是.

11. 已知函数f(x)=x2-2x+a，x∈［0,3］,它的任意三个函数值总可以作为一个三角形的三边长，则a的取值范围是.

12. 有下列命题：

（1） 定义在R上的函数f(x)，若f(-1)=f(1),且f(-2)=f(2)，则f(x)是偶函数;

（2） 定义在R上的函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则f(x)在R上不是减函数;

（3） 定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0］上是单调减函数，在区间(0,+∞)上也是单调减函数，则f(x)在R上是单调减函数;

（4） 既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一个.

其中真命题有 .

二、 解答题

13. 已知f(x)=x13-x-132,g(x)=x13+x-132.

（1） 计算f(4)-2f(2)g(2)和g2(2)-f2(2)的值；

（2） 概括出函数f(x)和g(x)对所有不为零的实数都成立的两个恒等式.

14. 已知函数f(x)=x+log2m+x1-x（m为常数）的

图象关于原点对称.

（1） 求m的值；

（2） 若x∈-1,13，f(x)是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.

15. 已知正数a,b,c满足条件：(lgab)·(lgbc)=-1，求ca的取值范围.

16. 定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23，且对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).

（1） 求证：f(x)为奇函数；

（2） 若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围.

17. 已知函数f(x)=1x-1.

(1) 作出函数f(x)的图象；

(2) 若集合A=y|y=f(x)，12≤x≤2，B=［0,1］，试判断A与B的关系；

(3) 若存在实数a,b(a＜b)，使得集合{y|y=f(x)，a≤x≤b}=［ma,mb］，求实数m的取值范围.

（参考答案见第43页）



巩固练习参考答案

《形影不离的单调性与定义域》

1. (-∞,0)及（0，+∞） 2. a∈(1,2)

3. (-∞,-3) 4. 存在，a∈(1,+∞)

5. x∈12,43

《函数奇偶性判断的常见误区》

1. D

2.f(x)=1, x＞0，0, x=0，-1,x＜0.

3. f(x)是在（-1，1）上的奇函数.

4. 令x=y=0，得f(0)=0；再令y=-x，得f(-x)+f(x)=f(0)=0，得证.

《在错误中提升方法》

1. 0＜a＜1,b≤0；

2. (1) a=1;(2) 略.

3. ［2，+∞）.

4. 设x1＜x2＜0，

则y1-y2=2x1+12x1-2x2+12x2=(2x1-2x2)+12x1-12x2=(2x1-2x2)(2x1+x2-1)2x12x2.

因为x1＜x2＜0，所以0＜2x1＜2x2,x1+x2＜0，2x1+x2-1＜0,所以y1-y2＞0,

所以函数y=2x+12x在（-∞，0）上是单调减函数.

《对数函数学习过程中的关注点》

1. A

2. 由已知得lga,lgb是方程x2+(lg7+lg5)x+lg7·lg5=0的两根，

所以lga+lgb=-(lg7+lg5)=lg135，所以ab=135.

3. 设u=2-ax，则y=logau，由已知a＞0,a≠1，所以u=2-ax在区间［0,1］单调递减，因此要使函数y=loga(2-ax)在［0,1］上是x的减函数，则a＞1,且u=2-ax＞0在区间［0,1］上恒成立.可得1＜a＜2.

4. （1） 由x+x2+1＞x+x2=x+|x|≥0，可得函数f(x)=lg(x+x2+1)的定义域是R；

（2） 由f(x)=lg(x+x2+1)，可得f(-x)=lg(-x+x2+1)，

所以f(-x)+f(x)=lg(-x+x2+1)+lg(x+x2+1)=lg(-x2+x2+1)=lg1=0，所以f(-x)=-f(x)，即函数f(x)=lg(x+x2+1)是奇函数.

（3） 略.

《幂函数的概念、图象和性质》

1. D 2. C 3. 12008

4. （1） k=0或k=1，f(x)=x2;（2） 存在q=2满足题意.

《比较指数式大小的常用方法》

1. a1.2＞1a-0.3.

2. 1.40.1＞0.93.1.

3. 因为-233为负数，4313大于1，3412大于0小于1,所以4313＞3412＞-233.

4. B

5. ① x＞6:当a＞1时，有a4x-5＞33x+1;当0＜a＜1时，则有a4x-5＜33x+1.

② x=6时，a4x-5=a3x+1.

③ x＜6:当a＞1时，有a4x-5＜a3x+1;当0＜a＜1时，则有a4x-5＞a3x+1.

单元测试参考答案

1. (0,1］ 2. x=4 3. -23,1

4. 0,2,-1-174

5. f(x)=-log2x 6.{1}或7. 0 8. 38,12 9. (1,2) 10. 2

11. (5,+∞) 12. 2

13. (1)0和1;(2) f(x2)-2f(x)g(x)=0，g2(x)-f2(x)=1.

14. (1)m=1;(2)先证明f(x)单调递增，f(x)max=f13=43.

15. 已知式可化为关于lgb的方程lg2b+(lga+lgc)lgb+lgalgc+1=0.

由Δ≥0得：(lga-lgc)2≥4，所以lgca≤-2或lgca≥2,

所以ca∈0,1100∪［100,+∞).

16. (1) 略.

(2) 因为f(x)在R上是单调函数，且f(3)=log23>f(0),

所以f(x)在R上单调递增.

又f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0,即f(k·3x)＜-f(3x-9x-2)=f(9x-3x+2),所以9x-3x+2＞k·3x，即9x-(k+1)3x+2＞0对x∈R恒成立.

所以k+1≤0或k+1＞0，-k+122+2＞0，解得k＜22-1.

17. (1)

(2) A=［0，1］=B.

(3) 因为a＜b，ma＜mb，所以m＞0.

又f(x)≥0,所以ma≥0，又a≠0，所以a＞0.

① 0＜a＜b≤1，由图象知，f(x)在x∈［a，b］上递减，所以1a-1=mb，1b-1=maa=b，与a＜b矛盾.

② 0＜a＜1＜b，这时f(1)=0，而ma＞0,也与题设不符；

③ 1≤a＜b，f(x)在x∈［a,b］上递增,

所以1-1a=ma，1-1b=mb，可知mx2-x+1=0在［1,+∞)内有两不等实根.

由Δ＞0，12m＞1，解得0＜m＜14

篇5：对数与对数函数复习教案

① 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.② 理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点.③ 知道对数函数是一类重要的函数模型； ④ 了解指数函数 与对数函数 互为反函数（）

一 对数 定义：若ab=N

（），则b叫做以a为底N的对数。

记做b=logaN

y= logax（x>0且x不等于1）性质：几个恒等式（M,N,a,b都是正数，且a，b不等于1）

a logaN =N logaaN=N logaa=N

logaN= logbN/ logba(换底公式)

logab=1/ logba

logambn=（n/m）logab 3 运算法则：（,M>0,N>0）；

loga（mn）= logaM +logaN;2

logaM/N= logaM-logaN 3 logaMN=n logaM log()=（n/m）logab 4 常用对数，自然对数：将以10为底的对数叫常用对数，记作lgN

以e=2.71828……为底的对数叫自然对数，记作ln N 5 零和负数没有对数，且loga1=0，logaa=1 6 图像（略）7 过定点（1,0）。

a>1时

单调递增

0

二 反函数 概念：函数y=f（x）的定义域为A，值域为c，由y=f（x）得x=φ（y）

函数y=φ（x）是y=f（x）的反函数。记作y=f-1（x）求反函数的步骤：1 由

y=f（x）解出x=f-1（y）将x=f-1（y）中的x与y互换位置，得y=f-1（x）

由y=f（x）得值域，确定y=f-1（x）的定义域

互为反函数的图像关于直线y=x对称

同底的指数函数与对数函数互为反函数

三 对数函数的性质在比较对数值大小中的应用

比较同底数的两个对数值的大小。

例如：比较logaf（x）与logag（x）的大小

其中

若a>1，f（x）>0，g（x）>0，则logaf（x）> logag（x）等价于f（x）> g（x）>0 2 若00，g（x）>0，则logaf（x）> logag（x）等价于0

例如：比较logaf（x）与logbf（x）的大小。

其中a> b>0且a，b均不等于1 1 若a>b>1，当f（x）>1时，logbf（x）>logaf（x）

当f（x）属于（0，1）时，logaf（x）>logbf（x）2 若1>a>b>0；当f（x）>1时logbf（x）>logaf（x）

当0 logbf（x）3 若a>1>b>0，当f（x）>1时logaf（x）>0>logbf（x）

当0

图像（）

（）

四

求与对数函数相关的复合函数的单调区间

求复合函数y=f[g（x）] 的单调区间的步骤 1

确定定义域

将复合函数分解成基本初等函数：y=f（u），u=g（x）3

分别确定这两个函数的单调区间

若这两个函数同增或同减，则y=f[g（x）]为增函数

若一增一减，则y=f[g（x）]为减函数。

即同增异减

五 对数方程的类型及解法 对数方程：在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程

解对数方程的基本思路是化为代数方程，常见的可解类型有形如logaf（x）=logaf（x）（）的方程，化成f（x）=g（x）求解形如F(logax)=0的方程，用换元法

形如 logf（x）g（x）=c的方程 化成指数式[f（x）]c= g（x）求解 在将对数方程化成代数方程的过程中，未知数范围扩大或缩小就容易产生增，减根，因此，要注意验根

篇6：《对数函数》教案

1.教学方法

建构主义学习观，强调以学生为中心，学生在教师指导下对知识的主动建构。它既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。

高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期，思维活跃，具有一定的独立性，喜欢新鲜事物，敢于大胆发表自己的见解，不过思维还不是很成熟.

在目标分析的基础上，根据建构主义学习观，及学生的认知特点，我拟采用“探究式”教学方法。将一节课的核心内容通过四个活动的形式引导学生对知识进行主动建构。其理论依据为建构主义学习理论。它很好地体现了“学生为主体，教师为主导，问题为主线，思维为主攻”的“四为主”的教学思想。

2.学法指导

新课程强调“以学生发展为核心”，强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。因此本节课学生将在教师的启发诱导下对教师提供的素材经历创设情境→获得新知→作图察质→问题探究→归纳性质→学以致用→趁热打铁→画龙点睛→自我提升的过程，这一过程将激发学生积极参与到教学活动中来。

3.教学手段

本节课我选择计算机辅助教学。增大课堂容量，提高课堂效率;激发学生的学习兴趣，展示运动变化过程，使信息技术真正为教学服务.

4.教学流程

四、教学过程

教学过程

设计意图

一、创设情境，导入新课

活动1：(1)同学们有没有看过《冰河世纪》这个电影?先播放视频，引入课题。

(2)考古学家经过长期实践，发现冻土层内某微量元素的含量P与年份t的关系：，这是一个指数式，由指数与对数的关系，此指数式可改写为对数式。

(3)考古学家提取了冻土层内微量元素，确定它的残余量约占原始含量的1%，即P=0.01，代入对数式，可知

(4)由表格中的数据：

碳14的含量P

0.5

0.3

0.1

0.01

0.001

生物死亡年数t

5730

9953

19035

39069

57104

可读出精确年份为39069，当P值为0.001时，t大约为571，所以每一个P值都与一个t值相对应，是一一对应关系，所以p与t之间是函数关系。

(5)数学知识不但可以解决猛犸象的封存时间，也可以与其他学科的知识相结合来解决视频中的遗留问题，就是不知道咱们中国的猛犸象克隆问题会由班里的哪位同学解决，我们拭目以待。

(6)把函数模型一般化，可给出对数函数的概念。

通过这个实例激发学生学习的兴趣，使学生认识到数学来源于实践，并为实践服务。

和学生一起分析处理问题，体会函数关系，并体现学生的主体地位。

二、形成概念、获得新知

定义：一般地，我们把函数

叫做对数函数。其中x是自变量，定义域为

例1求下列函数的`定义域：

(1);(2).

解：(1)函数的定义域是。

(2)函数的定义域是。

归纳：形如的的函数的定义域要考虑—

三、探究归纳、总结性质

活动1：小组合作，每个组内分别利用描点法画和的图象，组长合理分工，看哪个小组完成的最好。

选取完成最好、最快的小组，由组长在班内展示。

活动2：小组讨论，对任意的a值，对数函数图象怎么画?

教师带领学生一起举手，共同画图。

活动3：对a>1时，观察图象，你能发现图象有哪些图形特征吗?

然后由学生讨论完成下表左边：

函数的图象特征

函数的性质

图象都位于y轴的右方

定义域是

图象向上向下无限延展

值域是R

图象都经过点(1，0)

当x=1时，总有y=0

当a>1时，图象逐渐上升;

当0当a>1时，是增函数

当0通过对定义的进一步理解，培养学生思维的严密性和批判性。

通过作出具体函数图象，让学生体会由特殊到一般的研究方法。

学生可类比指数函数的研究过程，独立研究对数函数性质，从而培养学生探究归纳、分析问题、解决问题的能力。

师生一起完成表格右边，对0

四、探究延伸

(1)探讨对数函数中的符号规律.

(2)探究底数分别为与的对数函数图像的关系.

(3)在第一象限中，探究底数分别为的对数函数图象与底数a的关系.

五、分析例题、巩固新知

例2比较下列各组数中两个值的大小：

(1)，;

(2)，;

(3)，。

解：

(1)在上是增函数，

且3.4<8.5,

(2)在上是减函数，

且3.4<8.5,.

(3)注：底数非常数，要分类讨论的范围.

当a>1时，在上是增函数，

且3.4<8.5，;

当0且3.4<8.5，

练习1：比较下列两个数的大小：

练习2：比较下列两个数的大小：

(找学生上黑板讲解练习2的第一题，强调多种做法，一起完成第二小题.)

考察学生对对数函数图像的理解与掌握，进一步强调数形结合。

通过运用对数函数的单调性“比较两数的大小”培养学生运用函数的观点解决问题，逐步向学生渗透函数的思想，分类讨论的思想，提高学生的发散思维能力。

六、对比总结、深化认识

先总结本节课所学内容，由学生总结，教师补充，强调哪些是重要内容

(1)对数函数的定义;

(2)对数函数的图象与性质;

(3)对数函数的三个结论;

(4)对数函数的图象与性质的应用.

七、课后作业、巩固提高

(1)理解对数函数的图象与性质;

(2)课本74页，习题2.2中7，8;

(3)上网搜集一些运用对数函数解决的实际问题，根据今天学习的知识予以解答.

八、评价分析

坚持过程性评价和阶段性评价相结合的原则。坚持激励与批评相结合的原则.

教学过程中，评价学生的情绪、状态、积极性、自信心、合作交流的意识与独立思考的能力;

在学习互动中，评价学生思维发展的水平;

在解决问题练习和作业中，评价学生基础知识基本技能的掌握.

适时地组织和指导学生归纳知识和技能的一般规律，有助于学生更好地学习、记忆和应用，发挥知识系统的整体优势，并为后续学习打好基础。

课后作业的设计意图：

一、巩固学生本节课所学的知识并落实教学目标;二、让不同基础的学生学到不同的技能，体现因材施教的原则;

篇7：对数函数教案

对数函数教案

1、掌握对数函数的定义和图象，理解并记忆对数函数的性质。 2、培养分析推理能力 3、培4、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图像和性质。 5、难点：底数a对数函数的影响。首先复习对数的定义 师：上次讲细胞分裂问题时得到细胞个数y是分裂次数x的.函数。今天我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多次分裂，大约可以得到1万个，10万个等等，那么，分裂次数可以用怎样的关系式来表示呢? 生：表达式是x=log ，表示分裂次数x是细胞个数y的函数 师：如果用x表示自变量，y表示函数，此式又可化为y=logax ，那么它与指数函数有何关系?函数y=log ax的定义域是什么? 生：它们互为反函数，由于y= 的值域是{y|y>0}所以y=logax的定义域是{x|x>0} 师：对，由此我们就可以得到新的函数的定义。(引入课题《对数函数的概念及性质》)一般地，函数y=log ax叫做对数函数，(a>0且a≠1)其中是自变量，定义域是{x|x>0}

篇8：幂函数、指数函数和对数函数-对数及其运算法则-教案

在Matlab上编程, 绘制指数函数y=ax (a>0, a≠1) 的图象, 程序如下:

2.对数函数

在Matlab上编程, 绘制对数函数y=logax (a>0, a≠1) 的图象, 程序如下:

篇9：幂函数、指数函数和对数函数-对数及其运算法则-教案

对数函数、指数函数、幂函数、二次函数是基本初等函数家族中的重要成员,新高考模式下的这四年江苏卷,函数部分的考题比例很大,知识点集中在函数的概念、图象与性质,函数模型及其应用,导数的工具性应用等,指数函数与对数函数为必考内容。考题涉及数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想；以上也是函数部分的重点。难点主要包括：①含参变量的分段函数问题；②与数列、不等式等知识交汇的问题；③恰当构建函数模型问题；④分类讨论思想的应用。

本文就近几年各类函数的常考题型,进行讲解与评析,带领同学们一起感受这部分考题是怎么设计的,帮助同学们在复习时明确复习目标。

二、 典例评析

(一) 考查函数定义域、值域

【例1】 若集合已知A=｛x｜2≤22-x≤8,x∈Z},B=｛y|y=|log2x|+1,x∈R｝,则集合A∩(

瘙 綂 RB)=．

解析 由题意得：1≤2-x≤3,得-1≤x≤1,又x∈Z,故集合A=｛-1,0,1｝,集合B是函数的值域,故B=［1,+∞),

瘙 綂 RB=(-∞,1),于是A∩(

瘙 綂 RB)=｛-1,0｝.

点评 集合的交、并、补,这是高考每年必考的题型,本题集合A的代表元素是x,并且有x∈Z的条件；集合B的代表元素是y,故集合B是函数的值域,这是需要审清楚的,有的同学会这样想：A的元素是x,B的元素是y,交集中哪有公共元素,填,这种理解是错误的,事实上,这两个集合实质是数集,这是要注意的,最后的结果是集合,不要写成-1,0。

(二) 考查函数单调性、奇偶性

【例2】 已知a=5-12,函数f(x)=ax,若实数m、n满足f(m)>f(n),则m、n的大小关系为．

解析 a=5-12∈(0,1),函数f(x)=ax在R上递减.由f(m)>f(n)得：m

点评 指数函数f(x)=ax的底数分为01两类,估算出底数a=5-12属于哪一类,利用指数函数的单调性,是解决本题的关键。

【例3】 函数f(x)=lg|x|+lg1|x|(x≠0)是函数.(填奇偶性)

解析 由对数运算性质得,f(x)=lg1=0(x≠0),图象是x轴(去掉原点),它既关于y轴对称,又关于原点对称,故函数f(x)既是奇函数又是偶函数．

点评 遇到这类题,既要考虑函数的定义域(定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提),还要看能否化简,分析函数的本质,这是解决这类题的关键。

(三) 考查函数运算性质及应用

【例4】 设函数f(x)=1+lgx1-x,定义an=f1n+f2n+…+fn-1n,n∈N*,则a2 011=．

解析 ∵f1n+fn-1n=2+lg1n1-1n×1-1n1n=2+lg1=2,将an倒序写成an=fn-1n+fn-2n+…+f1n,两式相加得2an=2(n-1),an=n-1,∴a2 011=2 010．

点评 观察题目的特点,抓住对数运算的性质,是本题的关键,倒序再求和比首尾搭配更简洁,因为首尾搭配要考虑是奇数项还是偶数项。

想一想：若求a2 012=.这样做,是不是比首尾搭配好？答案：2 011．

(四) 考查分段函数图象的应用

【例5】 函数f(x)=2-x,x∈(-∞,1］,

log9x,x∈(1,+∞).

使f(x)=12的x的集合为．

解析 在直角坐标系中,画出分段函数f(x)的图象(如图),由2-x=12,得x=1；由log9x=12,得x=3；故满足条件的x构成的集合为1,3．

点评 分段函数是一个函数,这类问题,只需先画出函数的图象,再利用数形结合思想,可迅速解题；结果是集合,填1,3是不妥的,应该注意。

(五) 过定点、平移等基本不等式的综合应用

【例6】 函数y=loga(x+2)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+2=0上,其中mn>0,则1m+1n的最小值为  ．

解析 ∵函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),它向左平移2个单位,再向下平移1个单位,就得到函数y=loga(x+2)-1的图象,∴定点A(-1,-1)；∵点A在直线mx+ny+2=0上,∴m+n=2,又mn>0,∴m>0,n>0,1m+1n=12(m+n)1m+1n=122+nm+mn≥2,(当且仅当m=n=1时取等号),于是1m+1n的最小值为2．

点评 学过平移问题后,要熟记“左加右减”的平移法则,与y分别在“=”两侧加减的常数,法则是“上加下减”；得到m+n=2并判断出m>0,n>0后,1m+1n乘上1不改变结果,12(m+n)1m+1n中的12不能漏,别因为疏忽导致错误。

迟序之数，非出神怪，有形可检，有数可推。——祖冲之

(六) 建立函数模型问题(二次函数型)

【例7】 如图,线段AB=8,点C在线段AB上,且AC=2,P为线段BC上一动点,点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D,

设CP=x,△CPD的面积为f(x),则f(x)的最大值为．

解 设∠DCP=θ,∵CP=x,AC=2,,∴PB=PD=6-x,在△CDP中,由余弦定理,得(6-x)2=22+x2-4xcosθ,cosθ=3-8x,

sin2θ=1-cos2θ=-8+48x-64x2,

S2△CPD=12×2xsinθ2=-8(x2-6x+8),当x=3时,S2△CPD取得最大值8,∴f(x)=S△CPD的最大值为22．

点评 表示三角形的面积,有两种选择：①S=12•底•高,②S=12ab•sinθ(θ为a,b两边的夹角),本题自变量x已经给出,由“同圆的半径相等”,可用数字或含x的代数式表示△CPD的三边,由正弦定理又可以建立三角形的边角关系,故②较理想。

(七) 考查二次函数、恒成立及函数与方程、分类讨论思想

【例8】 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象C经过点A(1,0),曲线C在点A处的切线与直线x-6y=0垂直,又当x=4时,函数f(x)有最小值．

(1) 求f(x)的解析式；

(2) 若不等式f(x)≤75+mf(2-x)恒成立,求正整数m的值．

解 (1) ∵图象C经过点A(1,0),∴a+b+c=0…①；又f′(x)=2ax+b,则f′(1)=2a+b=-6…②,-b2a=4…③,联立①②③,解得a=1,

b=-8,

c=7.∴f(x)=x2-8x+7；

(2) 不等式f(x)≤75+mf(2-x)恒成立可化为(m-1)x2+4(m+2)x+(68-5m)≥0恒成立,令g(x)=(m-1)x2+4(m+2)x+(68-5m),

①当m-1<0时,抛物线g(x)开口向下,不满足条件；

②当m-1=0时,直线g(x)=12x+63也不满足条件；

③当m-1>0时,抛物线g(x)开口向上,由m-1>0,

Δ≤0即m-1>0,

3m2-19m+28≤0,

解得73≤m≤4,∵m为正整数,∴m=3或4．

点评 函数与方程经常需要相互转化,用到数形结合思想。当二次项系数含有字母常数时,往往要用到分类讨论思想,经常见到同学讨论时,前面给出分类条件,后面解不等式后,却把前面的条件忘了,采用上面m-1>0

Δ≤0的格式可有效避免这类错误。

实战演练

1. 已知幂函数f(x)=k•xα的图象过点12,22,则k+α=.

2. 若一系列函数的解析式、值域都相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”.已知函数解析式为f(x)=2x2,值域为0,8,18,这样的“孪生函数”共有个．

3. 设α∈-1,1,-12,12,3,则使函数f(x)=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值有．

4. 已知集合A=x13<3x≤3,B=(-∞,a),若AB,则实数a的取值范围是(c,+∞),其中c=.

5. 函数f(x)=2x+x-2的零点是x0,若x0∈k-12,k+12,则整数k=．

6. 用mina,b,c表示a,b,c三个数中的最小值.设f(x)=min2x,x+2,10-x(x≥0),则f(x)的最大值为.

7. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)=2x,x≤0

f(x-1)-f(x-2),x>0,则f(2011)=  ．

8. 函数f(x)=|lg|x||(x≠0),

0(x=0),则方程f2(x)-f(x)=0的不等实数解共有个．

无限！再也没有其他问题如此深刻地打动过人类的心灵。——希尔伯特

【参考答案】

1. 由幂函数的定义,得k=1,又函数f(x)=xα的图象过点12,22,∴12α=22,

得α=12,于是k+α=32．

2. 显然,x=0时,y=0；x=±2时,y=8,x=±3时,y=18；由映射、函数定义,定义域分别为｛0,2,3｝,｛0,-2,3｝,｛0,2,-3｝,｛0,-2,-3｝,｛0,2,-2,3｝,｛0,2,-2,-3｝,｛0,2,3,-3｝,｛0,-2,3,-3｝,｛0,2,-2,3,-3｝均满足,故这样的“孪生函数”共有9个．

3. 1或3

4. 由13<3x≤3得：-11,所以c=1．

5. 由f(x)=2x+x-2=0,得2x=-x+2,设g(x)=2x,h(x)=-x+2,∵h(0)>g(0),h(1)

6. 在同一直角坐标系中,画出y=2x,y=x+2,y=10-x的图象(如图),观察图象可知,当0≤x≤2时,f(x)=2x；当2<x≤4时,f(x)=x+2；当x>4时,f(x)=10-x；故f(x)在x=4时取得最大值6.

7. 由已知得f(-1)=12,f(0)=1,f(1)=f(0)-f(-1)=12,f(2)=f(1)-f(0)=-12,f(3)=f(2)-f(1)=-12-12=-1,f(4)=f(3)-f(2)=-12,f(5)=f(4)-f(3)=12,f(6)=f(5)-f(4)=1,f(7)=f(6)-f(5)=12,…,可以发现：当x>0时,6为一个循环周期,得f(2 011)=12．

篇10：《对数函数及其性质》教学反思

高亚

（渠县第二中学渠县635200）

本节课在学习了指数函数及其性质以后，学生通过类比学习的方法很容易进入学习探究的状态，因此我采用了知识迁移及类比的学习方法进行本节课的设计。

首先，复习有关指数函数知识及简单运算，通过创设文物考古的情境，估算出出土文物或古遗址的年代，引入对数函数的概念。一方面体现了“数学源于现实，寓于现实，用于现实”，另一方面使学生产生强烈的探索欲望。然后，让学生亲自动手画两个图象，我借助电脑手段，通过描点作图，引导学生说出图像特征及变化规律，并从而得出对数函数的性质，提高学生的形数结合的能力。在性质的分析环节中，给予简单的提示（如，从图形观察特征，并用数学符号语言描述等），学生基本上能够运用类比指数函数的性质，说出对数函数的定义域、值域、单调性、过定点、函数值的变化情况等。性质的应用的设计我采用了求定义域及比较大小两个例题及练习，学生完成得还不错。最后用了几分钟总结本堂课所学知识点。

本堂课有两个亮点。第一，借助电脑，演示作图过程及图像变化的动画过程，从而使学生直接地接受并提高了学生的学习兴趣和积极性，很好地突破难点和提高教学效率，从而增大教学的容量和直观性、准确性，增强教学内容的表现形式，在贯彻教学的直观性原则上发挥其独特的优势。第二，由图形变化特征引导学生自己总结出对数函数的性质。使学生积极思维、主动获取知识，从而养成良好的学习方法。

并逐步学会独立提出问题、解决问题。总之，调动学生的非智力因素来促进智力因素的发展，引导学生积极开动脑筋，思考问题和解决问题，从而发扬钻研精神、勇于探索创新。从课堂效果和学生的作业看来，我认为本堂课还存在着以下两个精品论文 参考文献 不足之处。第一，内容多，讲得太快，由于大部分学生数学基础较差，理解能力，运算能力，思维能力不高，课堂上应多给学生缓冲的时间。

比如，在例题讲解的环节，时间上还应多给予学生独立思考的时间。本堂课不应该一节课讲完，应分为两节课来讲，这样才能使课堂简洁。教学语言要更简练着实，教学中应充分挖掘教材内在的魅力，通过生动的比喻，夸张等方法打动学生。有句广告词说：“简约而不简单。”简简单单教数学，实实在在学数学是新课程，新时代对数学课堂教学本质回归的热切期盼。努力让课堂化繁为简，以小见大，以少胜多，充分发挥学生的主体性，促进师生和谐流畅的交流。第二，教学中手势动作不够丰富。如果一堂课教师只仅仅靠单一的语言交流而没有其他辅助的交流，学生听课就一定会象听讲座，听理论培训一样感觉，课堂的气氛就显得死板而毫无生气，更不能很好地调动学生的主观能动性。据有关资料显示：在信息传递中，一句话只表明了说话者要表达的内容的百分之七，声音则占所要表达内容的百分之三十五，而剩下的百分之五十多的内容却来自于说话者的姿态，动作，表情等。由此可见，教师课堂上手势动作的运用对于学生获取信息就非常重要。因而，合理的运用有效的手势动作，用于教师的辅助教学，一定会收到事半功倍的效果。既让教师的语言表达更加完美准确，又能易于学生理解并接受，达到意想不到的效果。

通过认真的反思，同时参考学生提出的意见，针对学生存在的共性问题，决定举出一些例题讲解，加强学生练习力度，从练习中发现问题，利用晚自习补充讲解，直到大部分学生理解掌握为止。

篇11：专题五对数函数 教案

高一数学一对一

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专题五

对数函数

一、目标认知

重点：对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用；理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.难点：正确使用对数的运算性质；底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.二、知识要点梳理 知识点

一、对数及其运算

我们在学习过程遇到2x=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算.(一)对数概念：

1．如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2．对数恒等式：

3．对数

具有下列性质：

(1)0和负数没有对数，即；

(2)1的对数为0，即；

(3)底的对数等于1，即

.(二)常用对数与自然对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e为底的对数叫做自然对数，.(三)对数式与指数式的关系

由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.(四)积、商、幂的对数

已知

(1)；

推广：

好的开始，是成功的一半！

(2)；

(3)

.(五)换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有:

(1)

令 logaM=b，则有ab=M，(ab)n=Mn，即，即，即：

.(2)，令logaM=b，则有ab=M，则有

即，即，即

当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论：

.知识点

二、对数函数

1．函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数.2．在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0

(1)对数函数y=logax(a>0，a≠1)的定义域为(0，+∞)，值域为R

(2)对数函数y=logax(a>0，a≠1)的图像过点(1，0)

(3)当a>1时，三、规律方法指导

容易产生的错误

(1)对数式logaN=b中各字母的取值范围(a>0 且a¹1，N>0，bÎR)容易记错.(2)关于对数的运算法则，要注意以下两点：

一是利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：

坚持就是胜利！

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log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.二是不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：

loga(M±N)=logaM±logaN，loga(M·N)=logaM·logaN，loga.(3)解决对数函数y=logax(a>0且a¹1)的单调性问题时，忽视对底数a的讨论.(4)关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.以1为分界点，当a，N同侧时，logaN>0；当a，N异侧时，logaN<0.三、精讲精练

类型

一、指数式与对数式互化及其应用

1．将下列指数式与对数式互化：

(1)；(2)

；(3)

；(4)

；(5)

；(6)

.思路点拨：运用对数的定义进行互化.解：(1)；(2)

；(3)

；(4)

；(5)

；

(6).总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.【变式1】求下列各式中x的值：

(1)(2)

(3)lg100=x(4)

思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：(1)

；

(2)

；

(3)10x=100=102，于是x=2；

(4)由

.类型

二、利用对数恒等式化简求值

2．求值：

好的开始，是成功的一半！

解：

.总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)

思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解：

.类型

三、积、商、幂的对数

3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9(2)lg64(3)lg6(4)lg12(5)lg5(6)lg15

解：(1)原式=lg32=2lg3=2b

(2)原式=lg26=6lg2=6a

(3)原式=lg2+lg3=a+b

(4)原式=lg22+lg3=2a+b

(5)原式=1-lg2=1-a

(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a

【变式1】求值

(1)

(2)lg2·lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2

解：

(1)

(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1

(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2

=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.类型

四、换底公式的运用

4．(1)已知logxy=a，用a表示；

(2)已知logax=m，logbx=n，logcx=p，求logabcx.解：(1)原式=

；

(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.方法一：am=x，bn=x，cp=x

∴，坚持就是胜利！

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∴

；

方法二：

.【变式1】求值：(1)；(2)；(3).解：

(1)

(2)；

(3)法一：

法二：

.总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型

五、对数运算法则的应用

5．求值

(1)log89·log27

32(2)

(3)

(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)

解：(1)原式=.(2)原式=

(3)原式=

(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)好的开始，是成功的一半！

【变式2】已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?

解：∵

∴，类型

六、函数的定义域、值域

求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性

质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.6.求下列函数的定义域：

(1)

；(2)

.思路点拨：由对数函数的定义知：x2>0，4-x>0，解出不等式就可求出定义域.解：(1)因为x2>0，即x≠0，所以函数

；

(2)因为4-x>0，即x<4，所以函数

.【变式2】函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域.思路点拨：由-1≤x≤1，可得y=f(x)的定义域为[，2]，再由

≤log2x≤2得y=f(log2x)的定义域为[，4].类型

七、函数图象问题

7．作出下列函数的图象：

(1)y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx；(2)y=lg|x|；(3)y=-1+lgx.解：(1)如图(1)；(2)如图(2)；(3)如图(3).类型

八、对数函数的单调性及其应用

利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢

固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.8.比较下列各组数中的两个值大小：

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(1)log23.4，log28.5(2)log0.31.8，log0.32.7

(3)loga5.1，loga5.9(a>0且a≠1)

思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4

解法2：由函数y=log2x在R+

上是单调增函数，且3.4<8.5，所以log23.4

解法3：直接用计算器计算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4

(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7；

(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当a>1时，y=logax在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，loga5.1

当0loga5.9

解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=loga5.1，则，令b2=loga5.9，则

当a>1时，y=ax在R上是增函数，且5.1<5.9

所以，b1

当0

在R上是减函数，且5.1<5.9

所以，b1>b2，即

.9.证明函数

上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设，且x1

则

又∵y=log2x在上是增函数

即f(x1)

∴函数f(x)=log2(x2+1)在上是增函数.【变式1】已知f(logax)=

(a>0且a≠1)，试判断函数f(x)的单调性.解：设t=logax(x∈R+，t∈R).当a>1时，t=logax为增函数，若t1

∵ 01，∴ f(t1)(-x2+2x+3)的值域和单调区间.解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵ y=

t为减函数，且0

(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即-1

t为减函数.∴ 函数y=

(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.类型

九、函数的奇偶性

11.判断下列函数的奇偶性.(1)

(2)

.(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.解：由

所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称

又

所以函数

是奇函数；

总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：

由

坚持就是胜利！

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所以函数的定义域为R关于原点对称

又

即f(-x)=-f(x)；所以函数

.总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.类型

十、对数函数性质的综合应用基础达标

一、选择题

1.下列说法中错误的是()

A.零和负数没有对数

B.任何一个指数式都可化为对数式

C.以10为底的对数叫做常用对数

D.以e为底的对数叫做自然对数

2.有以下四个结论：①lg(lg10)=0；②ln(lne)=0；③若10=lgx，则x=10；④若e=lnx，则x=e2，其中

正确的是()

A.①③

B.②④

C.①②

D.③④

3.下列等式成立的有()

①；②

；③

；④

；⑤

；

A.①②

B.①②③

C.②③④

D.①②③④⑤

4.已知，那么用

表示是()

A.B.C.D.5.（2011 天津文6）设，，则（）．

A.B.C.D.6.已知，且等于()

A.B.C.D.7.函数的图象关于()

A.轴对称

B.轴对称

C.原点对称

D.直线

对称

8.函数的定义域是()好的开始，是成功的一半！

A.B.C.D.9.函数的值域是()

A.B.C.D.10.下列函数中，在上为增函数的是()

A.B.C.D.二、填空题

11.3的_________次幂等于8.12.若，则x=_________；若

log2003(x2-1)=0，则x=_________.13.(1)=_______；

(2)若_______；

(3)=_______；

(4)

_______；

(5)

=_______；

14.函数的定义域是__________.15.函数

是___________(奇、偶)函数.三、解答题

16.已知函数，判断的奇偶性和单调性.坚持就是胜利！

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17.已知函数，(1)求的定义域；

(2)判断的奇偶性.18.已知函数的定义域为，值域为，求的值.答案与解析 基础达标

一、选择题

1.B 2.C 3.B 4.A 5.D 6.D 7.C 8.A 9.C 10.D

二、填空题

11.； 12.-13，； 13.(1)1；(2)12；(3)-3；(4)2；(5)4；

14.由 解得；

15.奇，为奇函数.三、解答题

16.(1)，∴是奇函数

(2)，且，则，∴为增函数.17.(1)∵，∴，好的开始，是成功的一半！

又由得，∴ 的定义域为.(2)∵的定义域不关于原点对称，∴

为非奇非偶函数.18.由，得，即

∵，即

由，得，由根与系数的关系得，解得