实数中的数学思想

实数中的数学思想（精选三篇）

实数中的数学思想 篇1

一、数形结合的思想

我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观, 形少数时难入微;数形结合百般好, 隔离分家万事休.”采用数形结合可使复杂问题简单化, 抽象问题具体化, 从而化难为易, 获得简便易行的成功方案.

例1下列各数中, 最大的是 () .

A.-3 B.-1

解析:数轴上的点与实数是一一对应的, 借助于数轴可以分析绝对值、相反数的几何意义, 比较实数的大小以及在实数运算中确定结果的符号.

二、类比思想

解析:实数是有理数的扩充, 有理数的绝对值、相反数、倒数的意义, 有理数大小比较的方法, 有理数的运算性质、运算律在实数范围内仍然适用, 类比有理数的相关知识可以进行实数的相关知识的学习.本题可类比有理数的运算进行实数的运算.

三、分类讨论思想

本章在研究平方根、算术平方根、立方根的性质时, 都是将有理数按其性质符号进行分类讨论的, 如“一个正数有两个平方根, 它们互为相反数;0有一个平方根, 它是0本身;负数没有平方根”.“正数有一个正的立方根;负数有一个负的立方根;0的立方根仍是0”.实数的分类更是分类思想的具体表现, 要学会运用分类思想对问题可能存在的各种情况展开讨论, 做到不重不漏, 条理清晰.

四、整体思想

整体思想, 即从问题的“整体”出发, 根据问题的整体结构特征, 把一组数或一个代数式或几个图形看作一个整体, 从而使按常规解法不易求解的问题得到解决.经常运用整体思想解题可提高我们的观察、分析和解决问题的能力.巧用这种思想解题, 可使解题过程简捷迅速, 且不易出错.

例4已知: (x+1) 2=64, 求x的值.

解析:利用目前的知识我们还不能解决此方程, 但把 (x+1) 看作一个整体, 利用平方根的定义, 先求出 (x+1) 的值, 再求出x的值, 就能使问题得以解决, 但要注意一个正数的平方根有两个.

解:根据平方根的定义, 因为 (x+1) 2=64, 所以x+1=±8.

当x+1=8时, x=7;当x+1=-8时, x=-9.

所以x=7或x=-9.

五、转化的思想

转化的思想是数学学习与研究的一种重要思想.通常是把复杂问题简单化、分散的问题整体化、未知的问题熟悉化、一般的问题特殊化等.本章中转化思想主要应用在:求一个负数的立方根时, 可以转化为求一个正数的立方根的相反数;在实数的近似计算中, 遇到无理数时, 可根据问题的精确程度取近似值, 转化为有理数的计算等.

解析:本题中涉及负数的立方根、负指数、零指数、算术平方根、乘方共五种运算, 因此需要实施五个转化才可顺利完成计算.

“实数”中的数学思想 篇2

1. 数形结合思想

数形结合的思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考虑，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化.

例1 在数轴上作出■这个点的位置.

【分析】如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，由勾股定理可知正方形的对角线长度为■，以数轴的原点为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示数■.

2. 转化思想

转化思想就是将所要解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题，是一种把复杂转化为简单的思想方法.

例2 已知x、y是实数，且（2x+y-6）2

+■=0，求4x+3y的平方根.

【分析】根据非负数的性质，若几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0，得到关于x、y的二元一次方程组，解这个方程组可求出x、y的值，使问题得以解决. 这里巧妙地运用转化思想，把问题化难为易.

解：2x+y-6=0，3x+2y-11=0.

解得x=1，y=4.

∴4x+3y=4+3×4=16.

16的平方根是±4.

3. 整体思想

整体思想就是从整体角度思考，即将局部放在整体中去观察分析、探究问题的解决方法，从而使问题得以简捷巧妙地解决.

例3 求2（2x-1）2-14=0中的x.

解决实数问题中的数学思想方法 篇3

一、 整体思想

整体思想就是在处理问题时，从整体角度思考，即将局部放在整体中去观察分析，探究问题的解决方法，从而使问题得以简捷巧妙地解决.

例1 （2015·四川资阳）已知（a+6）2 =0，则2b2-4b-a的值为_______.

【分析】由（a+6）2和 都是非负数，根据非负数性质可求出a的值和b2-2b的值，视b2-2b为整体代入，即可求出2b2-4b-a的值.

解：∵（a+6）2 =0，由非负数性质有a+6=0，b2-2b-3=0，解得a=-6，b2-2b=3，可得2b2-4b=6，则2b2-4b-a=6-（-6）=12.

【点评】求得b2-2b=3后，也可利用因式分解或配方法求出b的值为3或-1，再分类代入求值，但较复杂，且易出错.这里发现b2-2b与2b2-4b有特殊关系，采用整体代入法，十分简捷，由此足见数学思想方法的巨大威力！

二、 分类思想

在解决实数的有关问题时，常常需要对问题中包含的多种情况进行分类，再按类思考，寻找出完整的答案.

例2 （2014·甘肃白银）已知x、y为实数，且y= 4，则x-y=_______.

【分析】根据算术平方根的被开方数非负，夹逼出x的值，x的值有两个，所以要分类求解.

解：根据被开方数非负有x2-9≥0和9-x2≥0，即x2-9≥0和x2-9≤0，从而x2-9=0，即x2=9，解得x=±3，此时y=4.当x=3，y=4时，x-y=3-4=-1;当x=-3，y=4时，x-y=-3-4=

-7;∴x-y=-1或-7.

【点评】对于算术平方根，被开方数必须非负才有意义，所以如果一对相反数同时为算术平方根的被开方数，那么被开方数为0.

三、 模型思想

在解决实数的有关问题时，常常先要构造非负数（如绝对值、偶次方、算术平方根等）的和为0的模型，再利用非负数的性质来解决问题.

例3 （1） （2011·四川内江）已知6-3m+（n-5）2=3m-6-，则m-n=_______;

（2） （2011·山东日照）已知x，y为实数，且满，那么x2011-y2011=_______.

【分析】一个方程两个未知数，且已知条件中有非负数，因此构造非负数和为0的模型来求解.

解：（1） 由题意，得m≥3，6-3m≤0，于是原式可化为3m-6+（n-5）2=3m-6-，即（n-5）2+=0，∴n=5，m=3，m-n=-2;

（2） 已知式子可变形为：（1-y）=0，由于被开方数非负，且算术平方根也非负，则只有当都为0时此式才成立，即1+x=0，1-y=0，解得x=-1，y=1，代入到x2011-y2011=-1-1=-2.

【点评】先对已知等式进行变形，构造出几个非负数的和为0的等式，再利用非负数的性质即可解决问题.

四、 数形结合思想

利用数轴上点与实数之间的一一对应关系，由点的位置来判定有关代数式值的符号，再利用得到的结论来解决问题.

例4 （2015·山东枣庄）实数a，b，c在数轴上对应的点如图1所示，则下列式子中正确的是（ ）.

A. ac>bc B. a-b=a-b

C. -a<-b-b-c

【分析】先根据各点在数轴上的位置比较出其大小，再对各选项进行分析即可.

解：∵由图可知，a-b，故C选项错误;∵-a>-b，c>0，∴-a-c>-b-c，故D选项正确.综上所述，选D.

【点评】本题考查的是实数与数轴上点所表示的数之间的关系，熟知数轴上各点与实数是一一对应的关系是解答此题的关键.要谨防忽视符号而造成错误.在计算数轴上线段长度时，要注意点的坐标与线段长的互换，谨防“符号病”.

五、 转化思想

转化是初中数学中常见的一种数学思想，它的应用十分广泛，在研究和解决实数问题时，经常将复杂问题转化成简单问题，将疑难问题转化成容易问题，将未解决的问题转化成已解决的问题.

例5 （2010·山东泰安）1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数的个数有_______个.

【分析】本题要求无理数的个数，比较复杂.转化一下思考问题的角度，找无理数的个数困难，可先找有理数的个数，分别找出1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中有理数的个数后，则无理数的个数就容易求出了.

解：∵12=1，22=4，32=9，…，102=100，

∴1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根中，有理数有10个，

∴无理数有90个;

∵13=1，23=8，33=27，43=64<100，53=125>100，∴1，2，3，…，100这100个自然数的立方根中，有理数有4个，

∴无理数有96个.

∴1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数共有90+96=186个.

【点评】直接求解比较复杂，但如果将确定无理数的个数转化为确定有理数的个数，变复杂为简单，求解就十分简捷了.巧妙地转化帮助我们提高了解题的速度，足见转化的妙用.

（作者单位：江苏省兴化市板桥初级中学）