圆中的基本图形和常见数学思想

2024-05-03

圆中的基本图形和常见数学思想（共3篇）

篇1：圆中的基本图形和常见数学思想

圆中的基本图形和常见数学思想

圆一直是初中阶段数学学习的一个难点，因为圆中知识点很多，综合性也很强。而且中考中圆常常和四边形，三角形，甚至代数中的二次函数结合起来考察学生的能力。所以学生遇到圆的综合题往往觉得相当吃力。针对这种情况，笔者一直在考虑如何突破圆的教学难关，让学生对圆不再望而生畏，并且提高解题能力。

教师有必要把圆中涵盖的知识点融入到几个基本图形中，并教会学生在复杂的图形中提炼出基本图形。另外一定要帮助学生进行解题方法的训练和总结。让他们熟悉圆中常用的数学方法。笔者归纳了以下几个方面的内容，概述如下。1 圆中基本图形主要有这个图形中涵盖了：

１、垂径定理及其推论；

２、同弧所对的圆心角是圆周角的两倍；

３、半径、弦心距、弓形高、弦长四者的关系；４、直径所对的圆周角是直角这个图形中涵盖了：

１、圆的内接四边形的对角互补，外角等于内对角，２、相似关系;３、割线定理

这个图形中涵盖了：

１、弦切角等于所夹弧所对的圆周角，２、相似关系;３、切割线定理这个图形中涵盖了：

１、三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，并且到三角形三个顶点的距离相等２、同弧所对的圆心角是圆周角的两倍这个图形中涵盖了：

１、从圆外引圆的两条切线，切线长相等。

２、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，并且到三角形三条边的距离相等３、三角形的面积和周长、内切圆半径三者的关系，４、三角形两条内角角平分线组成的夹角与第三个内角的关系这个图形中涵盖了：

１、同弧所对的圆周角相等，２、相似关系，３、相交弦定理

这个图形中涵盖了：

１、直径所对的圆周角是直角，９０度的圆周角所对的弦是直径２、相似关系，射影定理，３、直角三角形的外心在斜边的中点

４、直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半

这个图形中涵盖了：１、连心线垂直平分公共弦２、圆的对称性

这个图形中涵盖了:

等边三角形的内切圆半径、外接圆半径、等边三角形的边长三者的比例关系。

这个图形中涵盖了:

正方形的内切圆半径、外接圆半径、正方形的边长三者的比例关系。

这个图形中涵盖了:

正六边形的内切圆半径、外接圆半径、正六边形的边长三者的比例关系。

以上基本图形中蕴涵了圆和四边形.三角形中众多的知识点,教师在教学过程中应当提醒学生关注这些图形的特点,并针对性地训练学生去发现和识别基本图形.另外为了得到基本图形,有时需要我们添加辅助线.圆中常见辅助线有: 1.已知直径时,常构造直径所对的圆周角.2.连接半径或者作弦心距, 构造直角三角形,为用垂径定理或者勾股定理创造条件.3.与切线有关的问题也常常连接圆心和切点, 构造直角三角形.4.两圆的问题中常常连接两个圆心或者连接两圆的交点.5.需要转化角度的时候，常作弦构造同弧所对的圆周角

做辅助线是解决圆中问题常用的方法，一条恰当的辅助线可以达到柳暗花明又一村的效果，可以事半功倍，将问题迎刃而解。所以多让学生体会辅助线的做法，发动他们自己总结。初中数学教师的任务是教会学生思考,善于思考,古语有云:学而不思则罔,思而不学则贻,当然,强化思维训练对培养和提高学生的创新能力和水平,也是大有帮助的.所以除了让学生掌握基本图形之外,还需要在教学过程中渗透数学思想方法.因为只有学生掌握了数学的思想方法,才是掌握了数学的精髓..数学的知识点会随着时间慢慢地遗忘。但是数学的思想方法一旦学生掌握之后就很难遗忘并且会让学生终生受益。数学说穿了就是一种思维训练，只要数学思维能力强的人就会比较轻松地解决数学问题。我们要培养的不是只会计算的学生，而是会学习会思考会探究问题的学生。为了达到这个目的，我们应当把对学生的思维训练放在教学的首位。圆中常用的数学方法有

1.设未知数建构方程，或者引入参数，构造直角三角形，相似三角形，利用勾股定理，三角函数，比例线段解决问题，这不仅仅是解决圆中计算题常用的方法，其实也是解决几何问题常用的方法。2.转化的思想：

例如：证明线段相等证明角相等

利用全等三角形利用相似三角形或者全等三角形找中间量找中间量

利用同弧或者等弧利用互余或者互补的角转化

利用中点或者中位线利用同弧或者等弧

利用线段的垂直平分线利用平行线的性质

利用对称性利用角平分线或者对顶角的性质

转化的思想是数学中极其重要的思想方法，把未知量转化为已知量，把新问题转化为已经解决的问题，把不规则图形转化为规则图形，把一般情况转化为特殊情况，把线段相等转化为角相等。。。可以这么说，处处都可以用到转化的思想。3.分类讨论的思想，这是解决圆中问题经常运用到的方法。遇到需要自己画图解决的问题中常要考虑分类的方法，遇到动点，动弦的问题时也常常要考虑分类解决。还有在两个三角形相似但对应关系不确定的时候往往也要考虑多种情况。两圆相切时要考虑外切和内切；求弓形面积的时候要考虑优弧还是劣弧所对应的弓形。分类讨论是学生容易忽视的，但是只要经过专题训练和意识强化，学生会逐渐掌握这种重要的思想方法。

4.从特殊到一般的思想。在证明有些结论的时候，如果感觉无从下手，可以把特殊情况下的图形画出来后证明此结论，然后再通过作辅助线把原图形转化为特殊情况下的图形进行证明。

5.数形结合的思想，就是能把图形和对应的数量关系紧密地联系起来。这样可以非常形象地记忆知识点，也可以全面把握图形的特征和性质。

比如说,看见以下图形就分别与三种数量关系联系在一起: 直线与圆相离d〉r;直线与圆相切d=r;直线与圆相交d〈r.又例如,说起外离就联想到d〉R+r和图1．说起外切就联想到d=R+r和图2．说起相交就想起R-r〈d〈R+r和图３．

圆中的题需要反复练反复总结，教师要精选例题和训练题，并培养学生自觉总结一道题中的知识要点和数学思想的良好习惯。同时应该加强对学生学生发散思维能力的训练。培养学生学生发散思维能力的方法有：

1.变式训练。变换问题的条件和结论，引导学生进行多角度、多层次的思考。

2.多向思考训练。鼓励学生一题多解，多题一解。

另外，要想提高学生学习数学的兴趣，不被数学中的困难所吓倒，教师可以开展多种教学活动。比如手工操作，作图演示，合作交流，质疑探究，争当小老师。。。尽可能多给学生思考和表诉的机会，让同学们互相评议，积极探究最好的解题方法。一旦学生在合作交流中获得快乐和信心，就会逐渐对学习充满兴趣。

作为老师，应该不断给学生鼓励，让他们对圆的学习充满信心。告诉学生；只要用心体会，学习一定可以走上新的台阶。

以上是笔者结合工作实际总结出来的一些心得体会，不当之处敬请大家批评指正。

1.变式训练。变换问题的条件和结论，引导学生进行多角度、多层次的思考。

2.多向思考训练。鼓励学生一题多解，多题一解。另外，要想提高学生学习数学的兴趣，不被数学中的困难所吓倒，教师可以开展多种教学活动。比如手工操作，作图演示，合作交流，质疑探究，争当小老师。。。尽可能多给学生思考和表诉的机会，让同学们互相评议，积极探究最好的解题方法。一旦学生在合作交流中获得快乐和信心，就会逐渐对学习充满兴趣。作为老师，应该不断给学生鼓励，让他们对圆的学习充满信心。告诉学生；只要用心体会，学习一定可以走上新的台阶。以上是笔者结合工作实际总结出来的一些心得体会，不当之处敬请大家批评指正。

篇2：例谈直线和圆中的数学思想

数学思想方法与数学知识一样, 是人们对数学内容的本质认识, 是对数学知识和数学方法的进一步抽象和概括, 它对数学学习具有决定性的指导意义.在用直线和圆的知识时, 恰当地运用这些思想方法, 可以起到事半功倍的效果.下面举例说明.

一、数形结合思想

数形结合思想方法是高中数学的重要思想方法, 在直线和圆的方程中, 数形结合贯穿始末.将数化为形, 可使问题化难为易, 化抽象为具体.

例1 解关于 x 的不等式 $\sqrt{a^{2} - x^{2}} ＞ x + a (a ＞ 0) .$

简析:若直接求解需分类讨论, 较为繁琐.由于不等式两边函数的几何意义十分明显, 故可利用数形结合求解.

设 $y_{1} = \sqrt{a^{2} - x^{2}} ‚ y_{2} = 2 x + a$ , 作出的图象如图1所示, 由图象可得不等式的解集为[-a, 0) .

点评:对于方程、不等式解的讨论, 仅限于数方面的考虑, 在解决问题时, 过程繁琐.如能分析数式特征, 揭示几何意义, 使数量关系与空间形式巧妙而和谐地结合在一起, 则更有助于问题的良好解决.

例2 已知 $Μ = {(x ‚ y) | y = x + b} ‚ Ν = {(x ‚ y) | y = \sqrt{9 - x^{2}}}$ , 若M∩N≠Ø, 求 b 的取值范围.

解:集合M是斜率为1, 在 y 轴上的截距为 b 的一束平行线, 集合N是以原点为圆心, 半径为3的圆在 x 轴上方的部分 (包括与 x 轴的交点) .由题意作出图形, 如图2, 当直线 y=x+b 过A (3, 0) 时, b=-3.

当直线与半圆相切时, 由点到直线的距离公式有

$\frac{| b |}{\sqrt{2}} = 3$ , 得 $b = \pm 3 \sqrt{2} .$

由图形易知 b>0, 故取 $b = 3 \sqrt{2} .$

所以 $- 3 \leq b \leq 3 \sqrt{2} .$

评注:在涉及到半圆或圆的一部分的题目时, 应用数形结合较适宜.本题还可以再求M∩N=Ø时 b 的范围.

二、化归的思想方法

转化与化归就是把复杂问题化归为简单问题, 把非常规问题转化为常规问题而得到解决的思想.一般在直线与圆的方程中, 化形为数或化数为形来解决问题.

例3 求函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}$ 的最小值.

$\begin{array}{l} 解 ∶ f (x) = \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} - 4 x + 8} \\ = \sqrt{(x - 0)^{2} + (0 - 1)^{2}} + \sqrt{(x - 2)^{2} + (0 - 2)^{2}} . \end{array}$

令A (0, 1) , B (2, 2) , P (x, 0) , 则问题转化为求点P到A, B两点距离和的最小值, 即求|PA|+|PB|的最小值.

因为A关于 x 轴对称点为A1 (0, -1) ,

所以 $(| Ρ A | + | Ρ B |)_{\min} = \sqrt{(0 - 2)^{2} + (- 1 - 2)^{2}} = \sqrt{13}$ ,

即 f (x) 的最小值是 $\sqrt{13} .$

点评:此问题如从代数角度考虑比较复杂, 如果借助于两点间的距离公式, 转化为几何问题, 则非常容易.

三、方程思想

在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中, 具备标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维, 将问题化归为方程的问题, 利用方程的性质、定理, 实现问题与方程的互相转化接轨, 达到解决问题的目的.

例4 设有三个集合A={ (x, y) |x+ay=1}, B={ (x, y) |ax+y=1}, C={ (x, y) |x2+y2=1}.当 a 为何值时, 集合 (A∩C) ∪ (B∩C) 的元素有两个?有三个呢?

$\begin{array}{l} 解 ∶ A \cap C = {(1 ‚ 0) ‚ (\frac{1 - a^{2}}{1 + a^{2}} ‚ \frac{2 a}{1 + a^{2}})} ‚ \\ B \cap C = {(0 ‚ 1) ‚ (\frac{2 a}{1 + a^{2}} ‚ \frac{1 - a^{2}}{1 + a^{2}})} . \end{array}$

所以 $(A \cap C) \cup (B \cap C) = {(0 ‚ 1) ‚ (1 ‚ 0) ‚ (\frac{1 - a^{2}}{1 + a^{2}} ‚ \frac{2 a}{1 + a^{2}}) ‚ (\frac{2 a}{1 + a^{2}} ‚ \frac{1 - a^{2}}{1 + a^{2}})} .$

要使之有两个元素, 则 $\frac{1 - a^{2}}{1 + a^{2}} = 1 ‚ \frac{2 a}{1 + a^{2}} = 0$ 或 $\frac{1 - a^{2}}{1 + a^{2}} = 0 ‚ \frac{2 a}{1 + a^{2}} = 1$ , 得 a=0 或 a=1.

要使之有三个元素, 则 $\frac{1 - a^{2}}{1 + a^{2}} = \frac{2 a}{1 + a^{2}}$ , 得 $a = - 1 \pm \sqrt{2} .$

综上, 当 a=0或1时, (A∩C) ∪ (B∩C) 有两个元素:{ (1, 0) , (0, 1) };当 $a = - 1 \pm \sqrt{2}$ 时, (A∩C) ∪ (B∩C) 有三个元素: ${(1 ‚ 0) ‚ (0 ‚ 1) ‚ (\frac{- 1 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} ‚ \frac{- 1 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}$ 或 ${(1 ‚ 0) ‚ (0 ‚ 1) ‚ (\frac{- 1 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} ‚ \frac{- 1 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})} .$

四、分类讨论思想方法

当面临问题不宜用一种方法解决或同一种形式叙述时, 就要把问题按照一定的原则或标准分为若干类, 然后逐类进行讨论, 再把这几类的结论汇总, 得出问题的答案.

例5 已知集合A={ (x, y) |l1: $\frac{y - 3}{x - 2} = a + 1}$ 与B={ (x, y) |l2: (a2-1) x+ (a-1) y=15}满足A∩B=Ø, 求实数 a 的值.

解: (1) a=1时, B=Ø, 则A∩B=Ø.

(2) a≠1时, A={ (x, y) | (a+1) x-y+ (1-2a) =0},

B={ (x, y) | (a2-1) x+ (a-1) y-15=0}.

由A∩B=Ø, 有两种情况:

①集合A、B中的两条直线平行, 则

$\frac{a + 1}{a^{2} - 1} = - \frac{1}{a - 1} \neq - \frac{1 - 2 a}{15}$ ,

解得 a=-1;

②B中直线过点 (2, 3) , 而A中直线上缺少 (2, 3) 这一点, 此时 l1 与 l2 相交为空, 即A∩B=Ø.

所以2 (a2-1) +3 (a-1) =15,

解得 a=-4或 $a = \frac{5}{2} .$

经检验, 此时两直线不重合.

综上, 当 a=-4或 a=-1或 a=1或 $a = \frac{5}{2}$ 时满足A∩B=Ø.

点评:对于直线, 我们首先考虑斜率是否存在的问题, 然后再看题目的特征, 得出斜率存在时也有两种情况, 从而达到不漏的目的.

篇3：浅析圆中的数学思想方法

【摘要】圆是中考的重点，也是热点，解题方法多种多样，令不少同学感到变幻莫测，其实解决圆问题还是有法可依的，本文从2015年各省中考题中来分析，圆的解答中所用到的特殊与一般，化归与转化，数形结合等思想方法，以供参考。

【关键词】圆；特殊与一般；化归与转化；数形结合

圆知识概念较多，问题形式多样。同时圆是中考的重点，也是热点。圆的问题具有较高的综合性，解题方法也多种多样，令不少同学感到变幻莫测，其实解决圆问题还是有法可依的，只要我们认真分析中考题，把握圆中的数学思想方法，看清问题的本质，求解时就可以得心应手，游刃有余。

一、特殊与一般

特殊与一般的思想是中学数学的重要思想之一，有些特殊问题的解决，需要我们通过一般性规律的研究来处理；而对于具有一般性的问题，我们也常常通过考察其特殊情况（如特殊取值等）揭示其一般规律，这种特殊与一般的思想往往贯穿于整个解题过程之中，通过特殊化能使我们认识问题更加全面，而将问题一般化能使我们认识问题更加深刻。

例1：（2015广东佛山）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E、F.（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；

（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；

（3）若∠E=α，∠F=β时，且α≠β，请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小.

解：（1）∵∠E=∠F，∠ECD=∠FCB，

∴∠E+∠ECD=∠F+∠FCB，∠ADC=∠ABC；

（2）∵∠A+∠BCD=180°，∠ECD+

∠BCD=180°，∴∠A=∠ECD，由（1）知∠ADC=∠ABC，∴∠ADC=90°，∴∠A=90°-42°=48°；

（3）由（2）知∠A=∠ECD，∵∠EDC=∠A+∠F，∠EDC+∠E+∠ECD=180°，∴2∠A+∠E+∠F=180°，∵∠E=α，∠F=β∴ .

点评：（1）根据外角的性质可得结论；（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；（3）是把（2）特殊情形推广到一般结论，根据圆内接四边形的性质得∠A=∠ECD，再根据三角形外角性质、内角和定理有2∠A+∠E+∠F=180°，再解方程即可。

二、化归与转化

化归与转化的思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决问题的一种方法。一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单问题，将难解的问题通过变化转化为已解决的问题。化归与转化思想在中考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开化归与转化。例如解决圆中线段与角问题时，经常转化为圆中直角三角形或相似三角形来解决。

例2：在平面直角坐标系中，O是坐标原点，C（0，-3），动点Q的坐标为（m，1），连结OQ、CQ，当∠CQO最大时，求出点Q的坐标.

解：如图，记?OQC的外心为M，则M在OC的垂直平分线MN上（MN与y轴交于点N）.连接OM、CM，则，MC=MO=MQ，

∴ ，

∴ 的值随着OM的增大而减小.

又∵OM=MQ，

∴当MQ取最小值时最大，

即MQ⊥直线y=1时，∠CQO最大，此时，⊙M与直线y=1相切.

∴MQ=NF=2.5，MN= =2，

∴Q1（2，1）.根据对称性，另一点Q2（-2，1）也符合题意。

综上所述，Q1（2，1），Q2（-2，1）.

点评：利用圆周角与圆心角的关系，将问题转化为直角三角形的内角最值问题，再利用三角函数，将问题转化为线段最值问题，进而转化为直线与圆相切这一特殊位置关系。

三、数形结合

数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。其中“以形助数”是指借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的。“以数辅形”是指借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数为手段，形作为目的。

例3（2015湖北天门）如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于点M，∠COB=∠APB.

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）当OB=3，PA=6

时，求MB，MC的长.

解析：（1）证明：∵PA切⊙O于A，∴∠PAO=90°

∵∠BOC+∠AOB=180°，且∠BOC=∠APB∴∠APB+∠AOB=180°.

∴在四边形AOBP中，∠OBP=360°-90°-180°=90°

∴OB⊥PB∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线.

（2）解：∵PA切⊙O于点A，B切⊙O于点B，∴PA=PB.

∵∠OBM=∠PAM=90°，∠M=∠M

∴△MBO∽△MAP.

∴

设MB=x，MC=y，则

∴ 解得x=4，y=2.即MB=4，MC=2.

四、分类与整合

在解某些数学问题时，当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究。这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究的基本方向是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起，这种“合—分—合”的解决问题的思想，就是分类与整合思想。

例4（2015湖北襄阳）点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（）

A.40° B.100°

C.40°或140° D.40°或100°

解析：当点O在△ABC内部时，；当点O在△ABC外部时，。故选C。

五、函数与方程思想

函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决。方程思想是将所求的量设成未知数，用它表示问题中的其它各量，根据题中隐含的等量关系，列方程（组），通过解方程（组）或对方程（组）进行研究，以求得问题的解决。函数与方程是整体与局部、一般与特殊、动态与静止等相互联系的，在一定条件下，它们可以相互转化。

例5（2015江苏南京）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，则DM的长为（）

A. B.

C. D.

解析：设GM=x，由勾股定理得（3+x）2

=42+（3-x）2

解得，所以 .故选A.

数学思想方法是解题的核心，只有不断地归纳，总结，掌握规律，才能提高解题能力。

作者简介：

蔡华远，泉州第三中学数学教师，中学二级，硕士研究生学历。

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