实数性质及实数问题计算技巧

为了更好地用实例介绍实数计算的各种技巧, 我们先总结实数的基本知识如下。

1 实数的划分

2 绝对值的意义

在数轴上, 表示一个数的点到原点的距离。所以, 任何数或式的绝对值都是非负数, 即|a|≥0。

去绝对值的法则:

|a-b|的几何意义:在数轴上, 表示与两点间的距离。

3 基本性质

(1) 有理数具有稠密性:两个有理数之间必存在无穷多个有理数。

(2) 有理数对四则运算的封闭性:即任意两个有理数的和, 差, 积, 商 (0不为除数) 还是有理数。

(3) 有理数具有有序性:即任意两个有理数a, b在a>b, a=b, a

(4) 任何有理数a均可表示为既约分数的形式。

(5) 设a, b为有理数, λ为无有理数, 则a+bλ=0, 当且仅当a=b=0。

(6) (实数的大小比较) (1) a≥b⇔a-b≥0 (2) 若a, b为正数, 则

例1 (2002年全国竞赛题) 若:则S的整数部分是_________。

例2 (2000年全国竞赛题) 计算:

例4 (2 0 0 2年全国竞赛题) 若a, b, c为整数, 且|a-b|2001+|c-a|2001=1, 试计算|c-a|+|a-b|+|b-c|的值。

解:a, b, c均为整数, 则 (a-b) , (c-a) 均为整数, 且|a-b|2001, |c-a|2001为两个非负整数, 又∵|a-b|2001+|c-a|2001=1,

a=b且c=a±1, 于是|b-c|=|a-b|=1;由 (2) 得c=a且a=b±1, 于是|b-c|=|a-b|=1, 无论 (1) 或 (2) 都有|c-a|+|a-b|+|b-c|=2。

例5 (2002年全国竞赛题) 如果对于不小于8的自然数n, 当3n+1是一个完全平方数时, n+1都能表示成K个完全平方数的和, 那么K的最小值为 () 。

A.1 B.2 C.3 D.4

解:由3n+1 2=a⇒3+a, 于是a=3t±1, 从而3n+1 2=9t±6t+1

∴2n=3t±2t, 即n+1 222=t+t+ (t±1) , 故选C。

例6 (1993年全国竞赛题) 已知:|x|=mx+1有一负根而无正根, 求m的取值范围。

解:当x>0时, 原方程变为 (1-m) x=1, ∴m<1;当x<0时, 原方程变为 (1+m) x=-1

∴m>-1, 由已知只有负根而无正根, ∴m>1。

例7若a, b, c三个有理数满足

解:因为所以a, b, c中必然两正一负, 所以abc必为负数, 故

例8设是一个5位自然数, 其中a, b, c, d, e为阿拉伯数码且a

解:当d≤e时, 原式=- (a-b) - (b-c) - (c-d) - (d-e) =e-a,

∴当e=9, a=1时原式取最大值为8;当d>e时, 原式, =- (a-b) - (b-c) - (c-d) + (d-e) =2d-a-e

∴当d=9, a=1, e=0时, 原式取得最大值为17, ∴原式的最大值为17。

例9若x, y为实数, 且求

摘要：本文针对初中数学中考及各类竞赛, 提出了多年教学经验中积累下来的有关实数计算的各种教学经验, 并以例子讲解的方式供读者参考。

关键词：有理数,稠密性,既约分数,最大值

参考文献

[1] 黄东坡.数学培优竞赛新帮手[M].武汉:湖北辞书出版社, 2007.

[2] 盛磊, 范丽, 何晓.奥林匹克竞赛辅导·数学[M].延吉:延边人民出版社, 2008.

[3] 项昭义, 陈斌, 周春荔.全国奥林匹克初三竞赛教材 (数学) [M].北京:京华出版社, 2008.