实数的性质教学设计（精选8篇）
篇1：实数的性质教学设计
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集
第三讲 实数的若干性质和应用
实数是高等数学特别是微积分的重要基础．在初中代数中没有系统地介绍实数理论，是因为它涉及到极限的概念．这一概念对中学生而言，有一定难度．但是，如果中学数学里没有实数的概念及其简单的运算知识，中学数学也将无法继续学习下去了．例如，即使是一元二次方程，只有有理数的知识也是远远不够用的．因此，适当学习一些有关实数的基础知识，以及运用这些知识解决有关问题的基本方法，不仅是为高等数学的学习打基础，而且也是初等数学学习所不可缺少的．本讲主要介绍实数的一些基本知识及其应用．
用于解决许多问题，例如，不难证明：任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数，或者说，有理数对加、减、乘、除(零不能做除数)是封闭的．
性质1 任何一个有理数都能写成有限小数(整数可以看作小数点后面为零的小数)或循环小数的形式，反之亦然．
例1
分析 要说明一个数是有理数，其关键要看它能否写成两个整数比的形式．
证 设
两边同乘以100得
②-①得
99x=261.54-2.61=258.93，无限不循环小数称为无理数．有理数对四则运算是封闭的，而无理
是说，无理数对四则运算是不封闭的，但它有如下性质．
性质2 设a为有理数，b为无理数，则
(1)a+b，a-b是无理数；
有理数和无理数统称为实数，即
在实数集内，没有最小的实数，也没有最大的实数．任意两个实数，可以比较大小．全体实数和数轴上的所有点是一一对应的．在实数集内进行加、减、乘、除(除数不为零)运算，其结果仍是实数(即实数对四则运算的封闭性)．任一实数都可以开奇次方，其结果仍是实数；只有当被开方数为非负数时，才能开偶次方，其结果仍是实数．
例2
分析
证
所以
分析 要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事．由于有理数与无理数共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以，判定一个实数是无理数时，常常采用反证法．
证 用反证法．
所以p一定是偶数．设p=2m(m是自然数)，代入①得
4m2＝2q2，q2＝2m2，例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2为有理数，a为无理数)，则a1=a2，b1=b2，反之，亦成立．
分析 设法将等式变形，利用有理数不能等于无理数来证明．
证 将原式变形为(b1-b2)a=a2-a1．若b1≠b2，则
反之，显然成立．
说明 本例的结论是一个常用的重要运算性质．
无理数，并说明理由．
是
整理得
由例4知
a＝Ab，1=A，说明 本例并未给出确定结论，需要解题者自己发现正确的结
有理数作为立足点，以其作为推理的基础．
例6 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，求证：a与b之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性)．
分析 只要构造出符合条件的有理数，题目即可被证明．
证 因为a＜b，所以2a＜a+b＜2b，所以
说明 构造具有某种性质的一个数，或一个式子，以达到解题和证明的目的，是经常运用的一种数学建模的思想方法．
例7 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，问是否存在无理数α，使得a＜α＜b成立？
即
由①，②有
存在无理数α，使得a＜α＜b成立．
b4+12b3+37b2+6b-20 的值．
分析 因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这样涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的)，然后再寻求其小数部分的表示方法．
14=9+6b+b2，所以b2+6b=5．
b4+12b3+37b2+6b-20
=(b4+2·6b3+36b2)+(b2+6b)-20
=(b2+6b)2+(b2+6b)-20
=52+5-20=10．
例9 求满足条件 的自然数a，x，y．
解 将原式两边平方得
由①式变形为
两边平方得
例10 设an是12+22+32+…+n2的个位数字，n=1，2，3，…，求证：0.a1a2a3…an…是有理数．
分析 有理数的另一个定义是循环小数，即凡有理数都是循环小数，反之循环小数必为有理数．所以，要证0.a1a2a3…an…是有理数，只要证它为循环小数．因此本题我们从寻找它的循环节入手．
证 计算an的前若干个值，寻找规律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，…发现：a20=0，a21=a1，a22=a2，a23=a3，…，于是猜想：ak+20=ak，若此式成立，说明0.a1a2…an…是由20个数字组成循环节的循环小数，即
下面证明ak+20=ak．
令f(n)=12+22+…+n2，当f(n+20)-f(n)是10的倍数时，表明f(n+20)与f(n)有相同的个位数，而
f(n+20)-f(n)
=(n+1)2+(n+2)2+…+(n+20)2
=10(2n2+42·n)+(12+22+…+202)．
由前面计算的若干值可知：12+22+…+202是10的倍数，故ak+20=ak成立，所以0.a1a2…an…是一个有理数．
练习三
1．下列各数中哪些是有理数，哪些是无理数？为什么？
5．设α，β为有理数，γ为无理数，若α+βγ=0，求证：
α=β=0．
篇2：实数的性质教学设计
题：2.1不等式的性质--比较实数大小的方法
教学目的：1.了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用；
2.掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．
教学重点：比较两实数大小．
教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号 授课类型：新授课 教学过程：
一、引入：
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系
生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢? 转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?
分析：起初的糖水浓度为，加入m克糖 后的糖水浓度为，只要证>即可怎么证呢?引人课题
二、讲解新课：
1．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 2．判断两个实数大小的充要条件
对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：
由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了．
三、讲解范例： 例1比较与
的大小
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小 把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题.本题知识点：整式乘法，去括号法则，合并同类项 解：∵∴ <
例2已知0,比较与的大小.分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略 本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项 解：∵∵
∴
从而
引伸：在例2中，如果没有x≠0这个条件，那么两式的大小关系如何?
若没有 这一条件,则,从而
大于或等于
此题意在培养学生分类讨论的数学思想，提醒学生在解决含字母代数式问题时，不要忘记代数式中字母的取值范围，一般情况下，取值范围是实数集的可以省略不写
得出结论：例1，例2是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差——变形——判断符号这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要
例3已知a>b>0，m>0，试比较与的大小
解：
∵a>b>0，m>0，∴a-b>0，a+m>0 ∴
∴
从而揭示“糖水加糖甜更甜”的数学内涵 例4 比较与的大小.解:
说明：“变形”的目的是为了判定符号，“变形”是解题的关键，因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法
四、课堂练习： 1.比较2.如果 与,比较与的大小.的大小.3.已知,比较与的大小.五、小结 ：本节学习了实数的运算性质与大小顺序之间的关系，并以此关系为依据，研究了如何比较两个实数的大小，其具体解题步骤可归纳为：作差——变形——判断符号
在某些特殊情况下(如两数均为正，且作商后易于化简)还可考虑运用作商法比较大小它与作差法的区别在于第二步，作商法是判断商值与1的大小关系
六、课后作业：
1.比较与的大小.提示:∵
∵2.比较与的大小.∴<
3.已知，比较与的大小
解： =„„= ∴≥
篇3：数的性质齐聚实数“大庄园”
一、平方根
绝技任意一个正数都有两个平方根,这两个平方根互为相反数.
解析:∵正数有两个平方根,且它们互为相反数,∴(2a-2)+(a-4)=0.解得a=2.
温馨提示:“m和n是p的平方根”与“p的平方根是m和n”两个语句的意义不同,前者挖掘的隐含条件是m,n相等或m,n互为相反数;后者挖掘的隐含条件是m,n互为相反数.因此在解答类似例2的问题时,一定要注意语句的先后顺序.现在你知道反思中的问题应该怎样解答了吗?(参考答案:-2或2)
二、算术平方根
绝技1算术平方根的被开方数是非负数
【点评】:由本例可以得出这样一个结论:如果两个平方根的被开方数互为相反数,那么这两个平方根的被开方数均为零.
绝技2算术平方根本身是非负数
三、非负数
绝技如果两个非负数的和为零,则这两个非负数均为零
由如果两个非负数的和为零,则这两个非负数均为零,得
2x+y-3=0,x-3y-5=0.∴x=2,y=-1.
【点评】:实数的绝对值、平方和算术平方根是初中阶段三个常见的非负数.
四、实数
绝技如果两个实数相等,那么它们的有理部分和无理部分必然分别相等
例5(2011年广东珠海)阅读材料:
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
∴a=m2+3n2,b=2mn.
(2)不妨取m=1,n=1,则a=4,b=2(答案不惟一);
(3)根据题意,得m2+3n2=a,2mn=4,且m、n为正整数.
∴mn=2.∴m=2,n=1或m=1,n=2.
当m=2,n=1时,a=7;当m=1,n=2时,a=13.
五、相反数
绝技如果两个数互为相反数,那么这两个数的和为零
由如果两个非负数的和为零,则这两个非负数均为零,得
2b+6=0,a-2=0.∴b=-3,a=2.
【点评】:本例除了用到相反数的绝技外,还用到了算术平方根的绝技.
六、联合表演
由算术平方根的绝技1,得1-y≥0.
得1+x=0,1-y=0.
篇4：构筑复习框架 优化实数教学
[关键词] 实数；知识框架；初中数学；复习策略
如果说授课过程是数学教学的“画龙之作”，那么复习课可以说是数学教学的“点睛之笔”. 复习课不仅是通过归纳与总结将知识再现，帮助学生加深知识印象，更是通过知识的梳理与构筑，形成知识框架，理清数学的逻辑. 随着学生对数学认识的深入，学生在初中阶段开始接触实数的学习，实数知识点零散，运算方式复杂，涵盖的概念交叉，所以必须借助科学的复习方法提升学生对知识点的掌握. 教学调研中发现，传统的复习课内容为例题讲解与知识归纳，可以说是普通课堂场景的“回放”，学生收效和教学效率都不尽如人意. 所以我们提倡在复习中注重对学生能力的培养，重视教学体系的升华，加强知识结构的建构. 本文通过复习框架的构建教学，实现实数知识的高效复习.
精练复习主线，体现框架雏形
对于复习框架的建构，要体现出框架的层次. 首要考虑搭建复习的主线，体现出复习框架的雏形. 复习的主线是复习的主干，它是由复习内容的主次、难易、考查侧重点等多种因素决定的. 复习主线具有基础性、引申性、层次性的特点，并且要求对本章内容进行高度概括，并对可能的知识扩展进行梳理，为学生全面地呈现一章的知识内容，帮助学生理清一章的学习思路.
所以，在复习初始，首先，教师可根据教材的剖析对复习进行层次清晰地串讲，将概念性、规律性、应用性内容进行基础性呈现；其次，结合基础的题型材料，对基础内容进行巩固；最后，帮助学生串联一章知识的逻辑. 可见，通过由浅入深、循序渐进的内容串讲，能帮助学生在意识中形成知识内容主线. 这个过程对于培养学生的数学逻辑，梳理知识的内容层次有重要的意义. 通过主线的归纳，能帮助学生掌握数学内容的主次，同时有利于学生结合个人实际，对个人能力有明确的认识，为复习内容扩展中学习的侧重做好铺垫.
填充框架内容，丰盈知识体系
复习过程作为一个知识点教学内容的提升，在要求主线明确的基础上，同样注重内容的全面，所以应根据主线的内容进行知识体系的扩充. 在这个阶段，要对基础概念进行深入的理解，对公式的变式进行总结，对题型进行归纳与创新，对解题方法进行介绍等，从而帮助学生对总体的知识内容进行掌握，并结合个人需求进行侧重学习.
在复习的深入阶段，首先，应引导学生自主对基础性的知识进行讨论与剖析，通过讨论，规避枯燥的理论内容；其次，对于数学规律、解题方法等内容，应结合实例进行计算和分析，以扎实应用；最后，可结合复习内容，将复习框架进行扩充，总结出复习体系，帮助学生掌握具体的复习内容. 可见，复习的深入阶段更强调知识的全面与具体，只有这样，才能帮助学生对教学内容进行自我全面的评价. 在这个阶段，对于基础性的知识点，要求教授过程灵活，对于解题方法的讲解，要求内容精练、方法创新. 结合内容的全面与方法的提升，实现复习框架中数学逻辑的严谨与内容的充实，从而提升复习效率.
突出内容重点，克服教学难点
当然，通过以上复习框架的构建过程我们不难发现，其更注重数学逻辑的养成和内容的全面呈现. 然而，数学的一个主要特点在于知识的层次性与难度的差异性，而且结合学生学习的诉求，在复习教学中应注重突出教学难点. 对教学难点的侧重进行复习，可以帮助学生化解学习困惑、克服学习难题. 特别是在复习框架的构建中，教学难点的突出可以帮助学生准确地定位解题的相关知识点，提升解题能力.
所以，在难点的攻克阶段，首先，应借助教学评价中学生反馈的共性难题，将其作为例题，进行针对性评析；其次，在知识框架中，应针对难点定位背景知识，探寻基础的解题方法和基础内容；最后，拓展解题方法，结合例题进行知识量的扩充，帮助学生丰富解题技巧，扎实基础知识. 可见，复习框架的建立，对于攻克教学难点而言，创造了扎实的基础铺垫和严谨的数学逻辑，使得难题的思考和解题有根可依，更为学生数学逻辑和解题能力的培养创造了良好的环境.
注重框架整合，实现体系升华
每个知识点虽然作为复习框架的一个分支或是节点，但不应成为一个个相对独立的部分. 作为复习框架的组成，在复习提升阶段要突出对知识点的衔接和整合，从而使知识成“网络”性的印刻在学生的记忆中，方便学生联想记忆，灵活检索调用. 同时，借助复习框架的整合可以优化知识之间的逻辑关系，提升学生对知识理解的整体性，从而优化复习效率.
所以，对复习框架进行整合，首先，要在理顺主线、充实内容和突出重点的基础上，引导学生对框架内容进行系统梳理，掌握本章内容复习体系的总体框架；然后，发掘内容衔接的节点，突出节点特点；最后，引导学生发掘框架中更多的衔接关系，自主总结，实现内容的优化和整合. 可见，复习内容的整体与优化是复习的重要环节，只有复习框架实现内容的无缝衔接，才能体现出框架式复习策略的整体性与科学性，同时，对于学生数学能力的提升也才有积极的影响.
综上所述，数学是注重逻辑关系、知识综合运用的一门学科，这就对数学的复习策略提出了更高的要求. 框架式的复习模式恰恰适应知识的整体复习要求，在框架的构建中，教师通过对主线的把握体现逻辑关系，通过对内容的扩充丰富学生的视野，通过对难点的提醒突出复习的重点，再通过内容的整合实现复习过程的升华，从而帮助学生对复习实现整体、全面、有针对性的展开. 我们相信，复习策略的创新会对学生的数学逻辑、个人的综合学习能力产生积极的影响，会对数学教学质量和教学效率的提升产生积极的促进作用.
篇5：实数的教学反思
从合作学习中得到，研究什么是实数，整数？小数？首先可以利用底数越大平方越大的方法确定它不是整数，用同样的方法进一步研究它的小数部分。在研究的过程中，我们可以猜测是一个无限不循环小数，可以从书本上得到证实，也可以用计算器验证。给了无理数的概念后，让学生举出几个无理数，以巩固无理数的概念。最后从有理数的分类引导他们对实数进行分类。
⒈无理数在数轴上的表示是难点，对教学的重难点没有把握住，以后应认真、仔细读教材，教参，思考为什么是在这里安排，它的作用是什么？
⒉想到问题却没有很好的解决，能跨过去就跨过去。如表示集合过程中，学生对实数分类未掌握，遇到问题应积极思考，在得不到解决时应请教其他老师，向他们学习。
⒊对于一种新的概念（或问题），要考虑到学生的思维水平，他们不一定会按照我们的方式去思考，这就往往容易会出现与我们预计结果相差很远，甚至相背离的情况。让学生回答的问题一定要自己十分清楚概念，思维过程，不要出现学生答不出来，你也不知道如何解释，或被学生反过来把你问住的情况。
⒋注意教学的规范性。像1.010010001…（两个1之间多个0）是无理数，括号里的内容不能省略。
篇6：《实数的运算》教学反思
教学任务二：如能化简算式，则先化简，再用计算器计算，这样能使计算方便。对于学生当然也想利用计算器一次性得出，这样都好，不用计算，结果也成功。这样学生觉得挺方便的，你说先化简简单方便，谁信？这里我觉得教案设计不恰当，不了解学情，没能做到备学生。所以做了更改，补充一题：我想现在你总没办法一次性按出结果吧！这时就可以顺水推舟、水到渠成完成任务二。
到课堂里，果真学生就一次性得出结果，我就继续拿出第三题，这下你该没招了吧，有学生在叫：中括号没有怎么办？我就借机引导：那能否把它处理一下，化简变得简单点，再利用计算器。可是还有些同学不可罢休，继续在思考尝试，终于得出结果来，用小括号代替中括号，不影响运算顺序。这下我咋办？还是硬拉着学生先化简，可是还些同学在嘀咕，这样太麻烦了，还不如直接用计算器简单；有些同学干脆不听你的。我气得只拍桌子，那效果就不用说了。
下课后，我心里很不是滋味，边走边埋怨学生，在回办公室的路上碰到上同一级段的数学老师，正好她也上这节课，也很气很糟糕，这样我就来到她的办公室进行讨论交流起来，
她也同感，上了后很气，学生只管自己的，根本不吃老师的一套，教材安排的用意何在呢？若是让学生理解有理数的运算法则和运算在实数范围内同样适用，以及掌握运算顺序等，那通过哪些教学环节或教学活动来达到目的呢？显然教材没有（因为使用计算器，学生根本体验不到计算的顺序，只能通过教师的讲授，效果大打折扣）。教材应该安排一些乘方、开方（开得尽方）和加减、乘除之类的混合运算，让学生在计算中体验和掌握实数运算的顺序以及有关法则与运算律。这是其一。其二，如能化简算式，则先化简，再用计算器计算，这样能使计算方便。请问：什么叫方便？对学生来说，把式子一次性输入计算器马上得出答案，应该是方便，干嘛还要化简呢？再说，这化简对学生来说难度可大了，特别是分配律，符号可令学生头痛啊！自然学生极力排斥，没法落实教学目的，这又是教材编制失败之处。而化简计算能力正是需要培养训练的，为下面整式的化简作好准备。如设计恰当可一箭双雕，既可巩固运算的顺序，也可让学生产生冲突，能化简的非化简不可，进而培养学生养成先化简后计算的习惯。那咋设计更好呢？随着科技的发展，计算器功能越来越多，而教材上例2式子的计算计算器就方便的完成，已失去原有的功能。必需另行设计。
从以上的反思可看出，不管是笔者还是编教材者，只是单方面思考，没有从学生的角度思考分析，更欠缺的是只想不做，让学生做的，教师先要做，是否可行，作为例题编者事先
篇7：实数教学设计四
数
教学目的：
1、了解“实数与 数轴上的点一一对应”的涵义。
2、理解有理数的运算律和运算性质在实数范围内仍然成立。会进行实数的四则运算。涉及无理数计算，可根据问题的要求取其近似值。转化为有理数进行计算。
3、通过“实数与数轴上的点一一对应”关系的教学，渗透“数形结合”的数学思想方法。
教学重点：实数与数轴上的点一一对应关系。
教学难点：对“实数与数轴上的点一一对应”的理解。
一、教学过程(一)复习提问
1．有理数、无理数、实数的概念． 2．实数的分类．(两种方式)例1 把下列各数写入相应的集合中：
以上内容应由学生自己先做，再由学生自己来纠正错误．教师再做
生明白是分数就一定是有理数，必可化为有限小数或无限循环小数，要使学生清楚各概念之间的界限，抓住本质，区别相近的概念，我们在讲解有理数概念的时候，接触过数轴的问题，请同学们回忆一下什么叫数轴？
我们知道规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．每个有理数都在数轴上有自己相应的位置．反过来，同学们想一想数轴上所有的点是不是都表示有理数呢？下面我们来验证一下，首先画一个数轴：
以0到1为一边、单位长度为边长作一个正方形，以数轴的原点为圆心、正方形的对角线为半径画弧，根据勾股定理，我们知道这个正方形的对
由此我们看出数轴上的点表示的并不都是有理数，也有无理数．如果我们把所有的有理数连起来，组成的是一条断断续续的数轴，这其中的空缺就是我们刚刚学习的无理数，可见由有理数和无理数把整个数轴填充完整了，所以我们把这个数轴又称为实数轴．实数与数轴上的点是一一对应的．这其中包含着两层含义：第一，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；第二，数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示．
我们用数轴来表示实数，将数和图形联系在了一起，这给我们研究数学问题带来了方便，这也是我们数学中一个相当重要的数学思想——数形结合．
我们把实数表示在数轴上，最直观地表明了实数的大小，以原点为分界线，在原点的右侧，表示正数，在原点的左侧为负数，我们知道数轴上的实数从左到右是由小变大，并且数轴上的右侧的数总是比它左侧的数大，这就引出了实数比较大小的问题．显然同有理数之间的比较大小是类似的．
例2 比较大小：
解：(1)“＞”
知答案了．可见在实数比较大小时，要经常用到无理数的近似值，所以
等，记住了，用时就方便些．
(2)“＞”
作此题时，我们看到是两个负数比较大小，根据规则两个负数比较
数比较大小时，并不用将他们都化为小数，因为两个算术平方根比大小时，只需看他们的被开方数的大小就行了，被开方数大的，其算术平方 的反而小的规律，我们就得到答案了．
(3)“＜”
此题比较大小时，根据正数大于一切负数的结论就可以得答案了．(4)“＞”
此题将π化为3.14159就可以比出大小了．(5)“＜”
小，就得出结论了．
(6)“=”
此题应将循环小数多展开一些再做比较，就会发现，这两个数，各
(7)“＜”
1.414，在千分位4后面还有数值，而-1.414分位后就是0了，所以我们
要提醒学生无理数是无限不循环小数．(8)“＜”(9)“＞”
通过例2，我们看到两个数比较大小时，必须化成同类数才做比较，但在化的过程中应避免化错．
例3 计算：
在实数运算中，当遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算．
≈2.236+3.142 =5.378 ≈5.38．
应提醒学生，结果要求精确到0.01，但在计算过程中应比结果要求的多保留一位小数．
≈1.732×1.414 ≈2.45．
作教材P．155中7、8． 7．(1)≈2.25(2)≈-5.68 8．(1)“＜”
(2)“＜” 同学们，无理数的引进，把我们所研究问题的数的范围从有理数扩充到了实数，这样一来，我们今后研究问题的数的范围更广泛了，我们所研究的问题也就会更广、更深了．从现在起，在考虑某些数学问题时，一定要有数的范围的概念．对于不同数的范围，可能结果是不相同的．
二、作业
教材P．156习题10．7；A组1、4、5、6；B组1、2．
篇8：实数的性质教学设计
1. 基本性质
(1) 完备性:R的每个Cauchy列都有极限.
(2) 可分性:R以可数的有理数集为稠密子集.
(3) 致密性或列紧性:任何有界序列必有收敛子列.
(4) 紧性:有界闭集的任何开覆盖都有有限的子覆盖.
(5) 闭区间套性质:单调减少闭区间簇[an, bn]的交集非空.
2. 连续映射性质
(1) 线性函数表示:函数f (x) 为线性的充要条件是存在常数a使f (x) = ax.
(2) 最值定理:连续函数在有界闭区间 (闭集) 上必取得最大值最小值.
(3) 一致连续性质:连续函数在有界闭区间 (闭集) 上是一致连续函数.
(4) 连续函数性质:开区间、闭区间 (开集、闭集) 上连续函数的原象分别是开区间、闭区间 (开集、闭集) .
(5) 凸函数定理:区间上的凸函数一定是连续函数.
(6) 凸函数性质定理:可微函数是凸函数的充要条件是它的导函数是单调函数.
3. 线性系统可解性质
(1) 线性系统x' ( t) = ax ( t) + bu ( t) , t≥0的解为
(2) 线性系统x' (t) = ax (t) , t≥0零解稳定的必要条件是a≤0.
(3) 线性系统x' (t) = ax (t) , t≥0零解渐近稳定 (指数稳定) 的充分必要条件是a < 0.
(4) 函数T (t) , t≥0是指数函数的充分必要条件是:
a) T (0) = 1, T ( T + S) = T ( t) T ( s) ;
b) T ( t) 在[0, + ∞ ) 上连续.
二、n 维欧氏空间 Rn
1. 基本性质
(1) 完备性:分量的每个Cauchy列都有极限.
(2) 可分性:分量以可数的有理数点集为稠密子集.
(3) 致密性或列紧性:分量的每个任何有界序列必有收敛子列.
(4) 紧性:分量的每个有界闭集的任何开覆盖都有有限的子覆盖.
(5) 闭集套性质:分量的每个单调减少闭集簇[an, bn]的交集非空.
2. 连续映射性质
(1) 线性函数表示:映射F:Rn到R为线性的充要条件是存在常数a使f (x) = (a, x) , 其中 (a, x) 为内积;映射F:Rn到Rm为线性的充要条件是存在m×n阶矩阵A使F (x) = Ax.
(2) 最值定理:连续函数在有界闭集上必取得最大值最小值.
(3) 一致连续性质:连续函数在有界闭集上是一致连续函数.
(4) 连续函数性质:开集 (闭集) 上连续函数的原象是开集 (闭集) .
(5) 凸函数定理:开集上的凸函数一定是连续函数.
(6) 凸函数性质定理:可微函数是凸函数的充要条件是它的导函数是单调函数.
3. 线性系统可解性质
(2) 线性系统x' (t) = Ax (t) , t≥0零解稳定的必要条件是:n×n矩阵A不能有特征根位于右半复平面.
(3) 线性系统x' (t) = Ax (t) , t≥0零解渐近稳定 (指数稳定) 的充分必要条件是:n×n矩阵A的特征值全部位于左半复平面.
(4) 单参数n×n矩阵簇{T (t) , t≥0}是矩阵指数函数的充分必要条件是:
a) T (0) = I, T ( T + S) = T ( t) T ( s) ;
b) 对任意的X∈Rn, 映射t→T ( t) X在[0, + ∞ ) 上连续.
通过比较得到R和Rn的基本性质、连续映射性质和线性系统可解性质完全相同. 这表明1维实数空间R中所有的拓扑性质在n维欧氏空间Rn中仍然保持着. 同时反过来, n维欧氏空间Rn中的很多问题都可以转化为1维实数空间R的n个相关问题. 例如Rn中序列极限的存在性等同于n个实数列的极限“同步”存在性. 在有限n维空间内, 维数的增加不会影响这种“同步”的定性性质. 但是当维数“达到”无穷时, 要使得其拓扑性质仍然“同步”保持着, 是一件很难办到的事情. 无限维空间将会出现很多不“同步”的拓扑性质.
三、无限维实赋范线性空间 R∞
1. 基本性质
(1) 完备性:不一定成立. 例如C[a, b]在范数 :是不完备的, LP[a, b]在此范数下又是完备的.
(2) 可分性:不一定成立. 例如LP, lp, C[a, b] (1≤P <∞ ) 是可分的, L∞ (0, 1) , l∞是不可分的.
(3) 致密性或列紧性:不成立. 例如在lp中的序列xn= (0, …, 0, 1, 0, …) .
(4) 紧性:不成立. 事实上无限维赋范空间的单位球都是非紧的.
(5) 闭集套性质:不成立.
Ⅰ. 几个定义
定义1 (完备性) :若赋范线性空间X的每个Cauchy列都在X中有极限, 则称X是完备的, 并称X是Banach空间.例如:n维线性空间在任何范数下都是Banach空间.
定义2 (可分性) :若赋范线性空间X存在可数的稠密子集, 则称X是可分的.
定义3 (致密性或列紧性) :若A中任何有界序列必有收敛子列, 则称A是致密集或列紧集.
定义4 (紧性) :若A中任何开覆盖都有有限的子覆盖, 则称A是紧集.
定义5 (有限交性质) :若A中任意有限个子集相交都非空, 则称A满足有限交性质.
Ⅱ. 几个性质
(1) 紧集一定是闭集, 紧集一定是致密集或列紧集.
(2) 闭的致密集或列紧集一定是紧集.
(3) 紧性与有限交性质是等价的.
(4) 若A是紧集, 则对任意ε > 0, 存在有限的ε网, 即存在x1, x2, …, xk使得A包含于开球U (xk, ε) 的并集. 对于闭集而言, 反之也成立.
(5) 在有限n维线性空间中, A是紧集的充要条件为A是有界闭集.
(6) 在C[a, b]中, 闭集A是紧集的充要条件为:A一致有界, A等度连续.
紧性是区分线性空间有限维与无限维的本质特征.
2. 连续映射性质
(1) 线性映射 ( 算子) 表示: 不成立, 没有统一 的表达式.
(2) 最值定理:不成立.
(3) 一致连续性质:不成立.
(4) 连续函数性质:开集 (闭集) 上连续函数的原象是开集 (闭集) .
(5) 凸函数定理:不成立.
(6) 凸函数性质定理:不成立.
3. 线性系统可解性质
(2) 若A是无界线性算子, 但是存在着有界线性算子簇{T (t) , t≥0}满足:a) T (0) = I, T (T + S) = T (t) T (s) , b) 对任意的x∈X, 映射t→T (t) x在[0, + ∞ ) 上连续, 则线性系统x' (t) = Ax (t) + Bu (t) , t≥0的解为
(3) 线性系统x' (t) = Ax (t) , t≥0零解稳定的必要条件是:算子A不能有谱点位于右半复平面.
(4) 若对应的算子簇{T (t) , t≥0}是紧算子, 则线性系统x' (t) = Ax (t) , t≥0零解渐近稳定 (指数稳定) 的充分条件是:算子A的谱点特征值全部位于左半复平面.