数学思想方法在高中数学教学中的渗透

2022-09-11

数学思想方法是数学学科的精髓和灵魄, 数学思想和方法数学知识在更高层次上的抽象和概括, 它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中, 具有普遍适应性的本质思想, 是数学文化的重要内容。常常以内隐的形式存在于概念、公式、法则、定理的形成过程和问题解决的过程中。在高中数学教学渗透数学思想教学不仅高考的要求, 也是素质教育的要求, 更是提高学生数学素养的要求。反映一个学生数学水平的高与低, 指标并不是做了多少个题, 背了多少公式、概念, 而是在做题中运用了多少个方法和工具去解决数学问题。在中学阶段具体要求学生掌握函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化、特殊与一般、有限与无限、必然与或然等数学思想方法。笔者谈谈高中数学教学中如何渗透数学思想和方法。

一、在概念教学中渗透数学思想和方法

数学概念是现实世界空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反应, 是对一类数学对象的本质属性的真实反映。数学概念往往蕴含丰富的数学思想和方法, 因此, 概念教学在数学思想和方法教学中起着举足轻重的作用。我们应该重视概念教学的这种不可替代的功能。例如, 数列概念的学习中, 其中蕴含了函数思想, 用函数的观点来理解数列与下标的对应关系, 数列的通项可看作是定义域为自然数集N (或它的子集{1.2.3……n}) 的函数f (n) , 当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值f (1) , f (2) , (3) ……;数列的单调性可以用函数的增减性去表达;数列的通项公式可以和函数的解析式联系在一起, 可以在直角坐标系中用图像表示数列, 数列表现出的是一些孤立的点;在等差数列和等比数列的学习中, 其中蕴藏了比较与类比的思维方法, 可以得到较多形式相似的许多性质。如在讲授等差数列的通项公式及求和公式时, 可启发引导学生用函数的观点看待问题, 等差数列的通项公式an=a1+ (n-1) d可看作是项数n的一次函数;等差数列的求和公式, 当公差不为0时可看作是关于n的常数项为0二次函数, 那就可以用二次函数知识去研究Sn的最值问题。

二、在定理、法则、公式和性质的探求及应用中挖掘数学思想和方法

在定理、法则、公式和性质的探求和应用中引导学生思考, 搭建一个能让学生实现“再创造”平台, 实现探究知识, 发现定理、法则、公式和性质的来龙去脉, 教学要注意引导学生挖掘其中孕育的数学思想方法, 从而实现高观点下对知识进行统领。

案例1:正弦定理是关于任意三角形边角关系的重要定理, 人教版A必修5采用的方式是先回顾直角三角形中三角函数的定义, 得到结论, 提出锐角三角形是否存在相应的结论呢?并给予证明。证明的方法是通过作高转化为直角三角形, 然后, 提出思考题:在钝角三角形中是否有这样的性质呢?答案是肯定的, 如何证明?答案已经水到渠成。

在这样的探究过程中学生理解了正弦定理的是初中直角三角形三角函数定义的变形和推广, 培养学生观察、分析、概括的能力, 以及特殊到一般、分类讨论以及化归转化的数学思想方法迁移能力, 让学生体验数学的理性精神。

三、在习题教学中熟练数学思想方法的应用

在习题教学中往往呈现给学生的是巧妙的解题方法和规范的答案, 给人一种冰冷的美, 但这种“美”是深思熟虑的结果, 是火热思考后的结晶。教学中教师要充分挖掘习题功能, 还原思维的过程, 回归思维的本质。

(Ⅰ) 若以点M (2, 0) 为圆心的圆与直线相切于点P, 且点P在y轴上, 求该圆的方程;

(Ⅱ) 若直线关于x轴对称的直线为, 问直线与抛物线C:x2=4y是否相切?说明理由。

分析: (Ⅰ) 要求圆的方程, 必须解决圆心和半径, 圆心已有, 只要解决半径。直线与圆相切, 切点是点P (既是直线与y轴的交点又是切点) , 但的方程中含有m, 故从方程角度看需要两个方程解决m和半径, 就可以从圆心M点P的连线垂直于直线或圆心M到直线的距离等于半径的知识构建方程解决m和半径。 (Ⅱ) 直线和抛物线的位置关系转化为直线方程与抛物线方程联立的方程组的解的问题, 但方程中含有参数, 故需要分类讨论。在这高考题中考查了学生函数与方程、化归转化、数形结合, 分类讨论等数学思想方法。

案例3:

下面就数学方法而言对一道高考题进行剖析:

解析二:为简化运算, 将图形特殊处理成“筝形”, 如图2对称建系作正方形AB1PB2, 设B1 (x0, y0) , B2 (x0, -y0) , A (x, 0) , P (M, 0)

解后反思:解析一将题目所给条件集中, 运用划归与转化思想, 数形结合的思想解决了问题;解析二充分遵循了学生认知规律, 正确处理特殊与一般的关系, 为节省时间和解题能量, “小”题不能“大”做。

问题是数学的心脏, 以问题作为知识教学的纽带, 引导学生用自己的智慧去发现和解决问题, 通过一题多解, 锻炼学生的思维, 体验数学本质, 达到跳出题海, 回归本源。

四、在问题解决的过程中强化数学思想和方法

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括, 它蕴含于知识的发生、发展和应用的过程中。我们知道若干年后, 数学知识可能都忘了, 隐藏在脑海的数学思想和方法一定在你的生活中闪烁着光芒。

案例4:人教版必修5P62页习题2.5B组第5道习题:购房问题:某家庭打算2010年的年底花40万元购一套商品房, 为此, 计划从2004年初开始, 每年年初存入一笔购房专用存款, 使这笔款到2010年底连本带息共有40万元, 如果每年的存款数额相同, 依年利息2%并按复利计算, 问每年应该存入多少钱?

解:假设每年应存入x万元, 那么2004~2010年底本利和依次为:

2004年初存入的钱到2010年底本息为a1=x (1+2%) 7

2005年初存入的钱到2010年底本息为a2=x (1+2%) 6

...

2010年初存入的钱到2010年底本息为a7=x (1+2%)

将以上各项相加, 得a1+a2+…+a7=400000

因而求x的值就转化为求一元一次方程的解。这道习题使乏味的纯数学题赋予了生活的气息, 其数学应用也得到充分体现, 培养了学生化归转化的意识。

五、在反思过程中提高应用数学思想和方法的能力

反思不同层次的数学思想和方法, 可以使经验升华产生认识上的飞跃, 促成了解题能力。 (2013重庆理科 (22) ) 题考查了分类讨论、反证法, 构造法等多种数学思想方法,

案例5: (重庆2013高考理22题)

(Ⅰ) 求集合P7中元素的个数;

(Ⅱ) 若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方, 则称A为“稀疏集”, 求n的最大值, 使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并。

下面仅谈谈第 (II) 问思维渐近的认识过程和解题过程。

第一步, 从特殊到一般, 先从P1, P2, P3…中寻求规律

当k=1时, 把1~14填A1, B1两集合中, 对于整数情况:A1={1, 2, 4, 6, 9, 11, 13}, B1={3, 5, 7, 8, 10, 12, 14}… (1) , 进一步发现当继续填第15个数时, 若15∉ A1, 则1+15=16=42, 若15∉B1, 则10+15=25=52均产生与题意不合的结果。于是, 猜想:当n≥15时不成立。

第二步:考虑当n=14时, P14的划分.

当k=1时, 由 (1) 已知

22题新颖别致有创意, 以往压轴题几乎全是考查数列、不等式的综合应用, 在知识交汇处命题是重庆卷试题的一贯风格, 今年以所用知识点较少, 又有高难度的题作为压轴题, 体现了从知识立意到能力立意的转变, 体现了新课改的精神, 着重考查学生深层次理解、判断、分析的能力, 突出思维密度, 思维容量, 思维层次的考查, 理 (22) 题以集合的计数原理、组合数学中的拆分等相关知识为载体, 用到了分类讨论, 反证法, 构造法等多种数学思想, 有较大的开放度和灵活性。

六、结束语

《数学考试大纲》 (新课程标准实验版) 则明确指出能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。这些能力是数学学习过程中必然会形成的一些基本能力, 是其它学科所不能代替的。还要更加注重培养学生数学地发现、提出、分析和解决问题 (包括简单的实际问题) 的能力, 数学表达和交流的能力, 发展独立获取数学知识的能力。这些通用能力的形成不是某一个学科所能奏效的, 要不断改进学与教的方式, 通过各个学科整体推进来实现。数学思想是学生积累数学知识和数学活动经验的原生态资源, 是学生历练整体认知结构的经典而鲜活的源泉, 也是学生求真、求善、创美的价值取向在心灵中内化的有效载体。它是数学的灵魂, 是数学教学的出发点和落脚点, 是区分传统教学和现代教学的重要指标。数学思想和方法与数学知识的结合, 需要教师在教学的过程中去挖掘和发现, 引导学生理解和掌握并加以应用, 不仅可以提升数学课堂内涵, 可以提高学生分析问题和解决问题的能力, 发展学生的数学素养。

摘要：数学思想和方法数学知识在更高层次上的抽象和概括, 它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中, 具有普遍适应性的本质思想, 是数学文化的重要内容。在高中数学教学渗透数学思想教学不仅高考的要求, 也是素质教育的要求, 更是提高学生数学素养的要求。

关键词：数学思想方法,数学教学,反思