不等式求解中的数学思想

不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛, 又是学习高等数学的重要工具, 所以不等式是高考数学命题的重点。从历年高考题目看, 关于解不等式的内容年年都有, 有的是直接考查解不等式, 有的则是间接考查解不等式——数学解题的关键是领会其中的思想方法。下面举几个例子加以说明。

一、用函数思想求解证明不等式

例1:已知f (x) 是定义在[-1, 1]上的奇函数, 且f (1) =1, 若m、n∈[-1, 1], m+n≠0时

(1) 用定义证明f (x) 在[-1, 1]上是增函数;

(2) 解不等式;

(3) 若f (x) ≤t2-2at+1对所有x∈[-1, 1], a∈[-1, 1]恒成立, 求实数t的取值范围

命题意图:本题是一道函数与不等式相结合的题目, 考查学生的分析能力与化归能力。

知识依托:本题主要涉及函数的单调性与奇偶性, 而单调性贯穿始终, 把所求问题分解转化, 是函数中的热点问题;问题要求的都是变量的取值范围, 不等式的思想起到了关键作用。

错解分析: (2) 问中利用单调性转化为不等式时, 必不可少, 这恰好是容易忽略的地方。

技巧与方法: (1) 问单调性的证明, 利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键, (3) 问利用单调性把f (x) 转化成“1”是点睛之笔。

(3) 解:由 (1) 可知f (x) 在[-1, 1]上为增函数, 且f (1) =1, 故对x∈[-1, 1], 恒有f (x) ≤1, 所以要f (x) ≤t2-2at+1对所有x∈[-1, 1], a∈[-1, 1]恒成立, 即要t2-2at+1≥1成立, 故t2-2at≥0, 记g (a) =t2-2at, 对a∈[-1, 1], g (a) ≥0, 只需g (a) 在[-1, 1]上的最小值大于等于0, g (-1) ≥0, g (1) ≥0,

解得, t≤-2或t=0或t≥2

∴t的取值范围是:{t|t≤-2或t=0或t≥2}

二、用数形结合思想解不等式

例2:设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为M, 如果M[1, 4], 求实数a的取值范围

命题意图:考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系。

知识依托:本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系, 以及分类讨论的数学思想。

错解分析:M=Ø是符合题设条件的情况之一, 出发点是集合之间的关系考虑是否全面, 易遗漏;构造关于a的不等式要全面、合理, 易出错。

技巧与方法:该题实质上是二次函数的区间根问题, 充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在;数形结合的思想使题目更加明朗。

解:M⊆1, 4]有两种情况≠Ø, 此时Δ=0或Δ>0, 分三种情况计算a的取值范围。

设f (x) =x2-2ax+a+2, 有Δ= (-2a) 2- (4a+2) =4 (a2-a-2)

(1) 当Δ<0时, -1

(2) 当Δ=0时, a=-1或2

当a=-1时M={-1}Ø1, 4];当a=2时, m={2}Ø[1, 4]

(3) 当Δ>0时, a<-1或a>2

设方程f (x) =0的两根x1, x2, 且x1

那么M=[x1, x2], M⊆[1, 4]

三、用分类讨论思想解不等式

例3:解关于x的不等式

命题意图:考查含参数不等式的解法及分类讨论思想的运用。

知识依托:本题主要涉及分式不等式的求解和对参变量的准确分类。

错解分析:本题常会出现直接化为整式的不等式, 须化为标准的分式不等式后再求解。

技巧与方法:解此题我们首先化为标准的分式不等式 (分式右边为0, 左边通常要通分) ;再按零点分区 (找零根) 法对变量a作出正确分类。

解:原不等式可化为,

(1) 当a>1时, 原不等式与同解

∴原不等式的解为

(2) 当a<1时, 原不等式与同解

综上所述:当a>1时解集为;当0