浅谈方程思想在初中数学中的应用

小学生接触的数学题是直接的、正面的利用题中数据直接建立等式,而方程思想则是需要设置未知数带入来建立的等式。在整个初中学习中方程思想开始有着大量的运用,这种方程思想对于其他的数学问题,也能进行巧妙地运用使题更加的简单。这就要求学生必须能熟练运用方程思想知识。

1方程思想在销售问题中的应用

和其他的很多的数学方法一样,方程思想在教学中有很大的价值,是因为他能将教学中的理论联系实际原则进行实际的应用。

例1:某百货商店服装柜在销售中发现:“快乐”牌服装平均每天可售出20件,每件盈利40元。为了庆祝店铺营业5周年,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存。经市场调查发现,每件服装每降价4元,平均每天就可多售出8件,要想平均每天在销售这种服装上盈利1200元,那么每件服装应降价多少元。

解:每件服装应降价x元,依题意列方程思想(40-x)(20+2x)=1200x2-30x+200=0,解得x1=20,x2=10。为了尽量减少库存,所以取x1=20。因此综上每件服装应降价20元。

提示:降价问题中最应该注意的就是要弄清楚打折价,还有就是找到恒不变量———进货价格。其次降价问题是在人们生活中经常出现的问题,因此如果学生能熟练的用数学中的方程思想解题,不仅能增加对数学学习的兴趣,而且学会更多的将数学思想运用与生活中。

2方程思想在路程问题中的应用

还有一种常见与实际贴近的题型是路程问题。特别的在物理中这也是一种常见的题型,下面主要就数学中常见的路程问题做分析。

例2:在一次严重的地震后,某商家献爱心为支援灾区人民,计划捐赠帐篷16800顶,该商家备有2辆A型货车、8辆B型货车运送,计划A货车比B货车每辆每次多运帐篷200顶,A、B货车每天均运送一次,两天恰好运完,求A、B货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶?

解:(1)设B货车原计划每辆每次运送帐篷x顶,则A货车原计划每辆每次运送帐篷(x+200)顶,根据题意,得2[8x+2(x+200)]=16800解得x=800,x+200=1000。答A、B货车原计划每辆每次分别运送帐篷1000顶、800顶。

提示:本题考查了一元一次方程的应用,需要从题中提取有效信息,合理设立未知数,找到恰当的数量关系建立方程。

3方程思想在代数问题中的应用

在代数中运用方程思想,常常有种柳暗花明的感受。先弄清楚代数中数或者说字母之间的关系,再根据题设未知数使代数式最终计算起来简单明了。

提示:在解这类题的思路是首先理清了数之间的关系,然后建立等式,再解出具体的数值,最后带入,使得题由繁化简。

4方程思想在解析几何问题中的应用

在解几何题时,常常题中是没有能给出具体的图形的,这首先就要考察学生对数形结合的熟练,其次也是很考察学生的利用图形来找等量关系。特别是在结合中隐藏的比例,和熟练的应用几何中的概念、定理、性质来设未知数建立方程思想。

例4:已知点M(a,b),现过点M作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于E点,l2交y轴于F点,求线段EF的中点O的轨迹方程思想。

解法二:设点O(x,y),则点E(2x,0),点F(0,2y)。因为l1⊥l2,所以由勾股定理可以得出等式|ME|2+|MF|2=|EF|2,即

化简可得所求点O的轨迹方程思想为2ax+2by-a2-b2=0。

提示:遇到垂直问题,常利用垂直的两条直线的斜率之积等于-1解题,但首先须讨论斜率是否存在。本题解法一、二分别利用直角三角形的性质、勾股定理求解,解法简捷。

5方程思想在函数问题中的应用

函数和方程思想在初中常常是千丝万缕的关系,他们之间是能很好的相互转换的。

例5:在学校上体育课的时,高一一男同学准备扔铅球,已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分,如果这名男同学出手处K点的坐标(0,2),铅球路线的最高点处O点的坐标为(6,5),求二次函数的解析式。

提示:本题是由函数来建立的方程组,然后由方程组来确定函数的表达式。

作为现代数学教师就要在教学时更加注重方程思想的教学。可以从六个方向来培养学生的用方程思想解应用题的能力:一是使学生充分了解方程思想的概念,形成用方程思想解题的意识;二是加强与巩固学生对基本的数量关系的掌握;三是培训学生掌握方程思想问题的分析方法;四是从多个角度练习如何巧设方程思想的未知数;五是从多种题型中来加强学生寻找等量关系的能力;六是分步骤来加强学生解方程与方程组的能力。方程思想教学作为一个难点,教师要按照前述六个方面逐渐培训,让学生形成方程思想,具备用方程思想解题的意识,帮助学生牢固地掌握基本的数量关系,让学生懂得寻找等量关系的技巧,学会解决方程思想问题的一些常用方法,有了这个基础才能使学生有效的分析方程问题,并找出里面的等量关系列出方程去解决方程问题。方程思想显然是那些最基本的解题工具之一,也是数学科学的基础,应当让学生重点理解并掌握。作为一种重要的解题方法,方程思想有着明显的数学方法论意义,让学生了解方程思想在数学方法论上的意义,以及它在整个数学学习中的地位,对真正理解、掌握方程思想有着积极的意义。充分调动学生学习的主动性、积极性,提高学生学习的应用题兴趣,整体提升学生列方程解应用题的能力。