浅谈构造法在高等数学解题中的应用

2022-11-04

当前, 基础教育正面临着转型, 从应试教育转向素质教育。为了培养高素质的人才, 除了使学生能“学会”之外, 更重要的还应当使学生“会学”, 掌握科学的思维方法, 因此, 在高等数学教学中强调数学思想方法, 不仅在于它们是一种解题策略, 更在于它是素质教育中不可缺少的一环。数学思想方法是数学的灵魂, 它是从具体的数学内容和对数学的认识中提炼上升的数学观点, 是用数学解决问题的指导思想。

1 数学中的构造思想

数学思想方法是数学思想和数学方法的总称, 二者既有联系又有区别。所谓数学思想就是数学的基本观点。是对数学知识, 数学方法的本质认识。数学方法要以数学思想为指导, 而数学思想需融合在数学知识中, 并在解决问题时通过数学方法体现出来。

所谓构造法实际上是一种转化方法。有些数学命题直接解决比较困难, 通过引入一个与原命题有关的新命题, 将需要解决的问题纳入模型的范畴, 借助于模型的已有知识, 达到解决原命题的目的。

构造法有十分优越的特点:它在于使已知与未知, 条件与结论, 建立联系。使本来模糊不清的关系豁然开朗, 层次分明。它起到化简、转化和“桥梁”的作用。而常规思想方法是由条件到结论的定向思维, 但有些问题按照这种思维方式很难解决, 在这种情况下, 经常要求改变思维方向, 而运用构造性思维方法使问题变得简单易解, 从而培养创造思维能力。

2 构造法在高等数学解题中的应用

高等数学是理工类专业及经济类专业的一门重要的基础理论课, 学生对它掌握的好坏, 不仅关系到后续课程的学习, 而且关系到学生分析和解决问题能力的提高。因此学好高等数学是十分重要的。但由于高等数学的内容丰富、应用广泛, 许多学生对高等数学中的一些方法的理解和应用掌握不够, 这导致了对高等数学中的某些概念、定理的理解不透彻, 对解题方法的运用不灵活, 从而影响了对高等数学的学习。在高等数学的教学中有意识地培养学生掌握数学思想方法, 对于开拓学生思路、提高分析问题和解决问题的能力有重要的意义。构造法之一——构造辅助函数在高等数学中应用非常广泛。而在所用的一般教材中对辅助函数的构造和应用没有细致地分析和讨论, 学生对这种方法往往感到难以掌握, 下面结合高等数学中的一些问题介绍常用的构造辅助函数的方法及其应用, 具有一定的创造性和启发性。

2.1 借助几何直观构造辅助函数

几何直观构造辅助函数就是借助于几何图形构想出需要的辅助函数的方法, 在高等数学中, 一些命题的证明采用这种方法, 使解题变得简单, 快捷。可以培养学生严谨的逻辑思维、抽象思维、创造思维能力。

例1 (拉格朗日中值定理) 如果函数f (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间[a, b]内可导, 那么在[a, b]内至少有一点ξ, 使

2.2 构造辅助函数证明方程有根

证明方程有根用高等数学知识来证明, 可以根据题设中的条件, 若仅有抽象的函数连续的条件, 或所给的方程是具体方程, 此时应考虑用零点定理。若有连续、可导及端点值相等的条件, 此时应考虑罗尔定理。无论应用零点定理, 还是罗尔定理, 都要借助于构造辅助函数方法, 才能快捷得证。

例2设f (x) 在[0, 1]上连续, 0, 证明方程在上至少有一个实根.

分析:本题条件连续, 且有抽象函数, 可以往证方程=0又根, 于是可以构造辅助函数, 满足零点定理, 所以在上方程至少有一个实根.

2.3 构造辅助函数证明中值点的存在性

若方程或含的等式中含有函数值之差, 则考虑用拉格朗日中值定理证明, 若含有两个两点的函数值之差的比, 则考虑用柯西中值定理证明, 此时所要构造的函数, 可通过恒等变形用观察法证明。

分析:等式左边是两点的函数值之差与自变量之差的比, 符合拉格朗日中值定理的形式, 故构造辅助函数F (x) =xf (x) .

2.4 构造辅助函数证明不等式

对于形如的不等式证明, 常把函数移到等号左端, 右端为零, 即左端为所要构造的辅助函数, 然后用单调性证明。

在证明积分不等式时, 往往将积分式子看成是关于积分变限函数, 然后构造辅助函数法证明不等式成立。

例4设在上连续且单调增加, 试证明对任何, 皆有

然后单调性得证;另外可作辅助函数也可得证。构造辅助函数法试证明积分不等式的一种常用的方法。

在高等数学的解题中强调应用构造法可使问题变得简单明了, 是值得提倡和借鉴的一种数学方法, 构造法具有较大的灵活性和技巧性。有意识地培养学生利用构造法解决数学问题, 对于开拓学生思路、提高分析问题和解决问题的能力有重要的意义, 是培养学生创新思维能力的有效途径之一, 因此在高等数学解题中强调此方法的应用尤为重要。

摘要：构造法在高等数学中有广泛的应用, 本文阐述了在高等数学的教学中有意识地培养学生掌握构造法, 对于开拓学生思路、提高分析问题和解决问题的能力有重要的意义。是培养学生创新思维的一种有效的方法, 在教学中运用尤为重要。

关键词：高等数学,构造法,辅助函数