中学数学概念教学再探

2023-02-24

1 数学概念的含义

数学概念是人们在对客观世界存在的各种事物间的数量关系和空间形式的认识过程中, 把所感觉到的事物的共同特点抽出来, 加以概括并反映该事物本质属性的思维形式。

概念教学是数学教学的一个重要组成部分, 它具有极强的基础性概念教学的效果如何将直接影响学生对数学知识的理解和掌握, 关系到学生解题能力的培养与提高。

2 数学概念的教学过程

数学概念的教学过程大致分为概念的引入、概念的理解和概念的运用三个阶段。

2.1 概念的引入

概念的引入是学生获得概念的前奏, 极大地影响着学生对概念的理解和运用。由于概念的形成、概念的同化和概念的顺应是获得概念的3种方式, 因此, 数学概念的引入可以按这3种方式进行。至于使用哪一种引入方式, 教师可以根据概念的定义形式来选取。另外, 在引入概念时还要考虑学生的心理特点。

2.1.1 根据概念的定义形式引入

若概念是以属性加种差的形式给出, 一般按概念同化的方式引入;在以属概念加种差的形式定义的概念中, 有些概念的属概念的内涵很少, 外延很大, 而种差较抽象, 学生同化有困难。应选择概念形成的方式来引入;对于以发生式定义的概念, 应该按概念同化的方式来引入;对于形式定义的概念, 一般按概念同化的方式来引入。对于那些处于概念体系中起着基础作用和核心作用的形式定义的概念如正、负数和复数, 由于学生缺乏适当的用于同化的概念, 也缺乏属于直接经验的用于概括的例证, 因此, 这一类概念应概念顺应的方式引入。

2.1.2 根据学生认知的心理特点引入

概念学习是有意义的学习, 因此教师既要激发外在动机, 还应根据学生的认知的心理特点, 充分激发学生的内在动机。学生认知的心理特点, 一方面表现为天生就具备的积极向上、探索奥秘的求知欲, 另一方面表现为心理平衡倾向。因此, 在引入新概念时, 一要注意引入方式的趣味性;二要注意提问激疑, 设置悬念。

2.2 概念的理解

要使学生理解并掌握所学的概念, 教师要注意以下四个方面。

2.2.1 加强对概念的解剖分析

数学概念有的叙述十分简练, 寓意深刻;有的用符号、式子表示, 比较抽象。对于这些概念, 教师必须抓住概念中的关键词句进行解剖分析, 揭示每一个词、句、符号、式子的含义, 使学生深刻理解概念的本质属性。

2.2.2 利用变式, 突出概念的本质属性

变式是指概念例证在非本质属性方面的变化。利用变式的目的是通过非本质属性的变化来突出本质属性, 使获得的概念更精确、更稳定。

2.2.3 注意概念的对比和直观

数学中有许多概念是平行相关的概念, 将它们有机地联系在一起进行类比, 就可以收到由此及彼、温故知新的效果。有些概念之间, 联系紧密, 种差较小, 形式相似, 容易被学生混淆。要让学生比较它们的内涵和外延, 在比较中加以鉴别。

数学概念通常是经过多层次的抽象而得来的, 对这些比较抽象的概念, 应引导学生将概念具体化、形象化, 借助于直观图形, 使抽象的数学概念成为看得见摸得着的事物。

2.2.4 注意概念体系的建构

在概念教学中, 不但要使学生掌握单个的概念, 而且还要使学生掌握概念体系, 建构良好的数学认知结构。这样不仅有利于概念的贮存和检索, 而且有助于理解和吸收新概念。

2.3 在实践中运用概念

数学概念教学的目的主要使学生深刻地理解概念, 牢固地掌握概念, 灵活地运用概念。因此, 在学生获得概念之后, 就要在实践中运用概念的过程, 实质上是概念具体化的过程, 而概念的具体化有助于学生对概念的深刻理解和牢固地掌握概念。

3 数学概念的教学原则

3.1 理解原则

数学概念一般是以准确而精练的数学语言运用定义的形式给出。有的是用文字语言表述, 有的用符号语言给出, 有的则二者兼而有之。概念教学的一切活动都是围绕使学生理解概念这个基本目的而运作。理解性原则包含两个方面的意义, 一方面是对数学语言的理解;另一方面是对被定义的概念的理解。而对前者的理解又是关键性的。例如, 在定义“不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线”中, 对文字语言“不同在任何一个平面内的两条直线”的理解决定了对“异面直线”实质的把握, 前者应理解为“不可能同在任何一个平面内的两条直线”即“不能确定一个平面的两条直线”。理解了这一层, 也就能掌握异面直线的实质内容。在概念教学中, 因对数学语言的理解不到位而导致解题错误的现象较为常见。

3.2 直观原则

直观性原则就是在概念教学中, 尽可能的利用直观图形或函数图象帮助学生理解抽象的数学语言, 消除困惑, 完善认知结构。它包含三个方面的意义, 即直观引入、直观释疑和直观完善。郑毓信先生指出, 在更进一步的数学研究中, 数学概念只能依靠定义去演绎推理, 而不能借助于直观, 但就初等数学而言, 数学概念。

3.3 反例原则

反例原则, 就是引导学生讨论定义的“反命题”, 通过对定义进行否定形式的陈述, 来增强学生的识别能力, 使其掌握负概念的判别方法, 促进准确理解概念。

3.4 划分原则

定义明确了概念的内涵。利用概念的某个本质属性将其 (邻近) 种概念划分成若干个类, 以区别与其它类概念的差异, 使学生从概念的外延方面更好地掌握概念的本质。

3.5 程序原则

很多数学概念都具有一定的程序性, 领悟与把握概念的程序性既是对概念理解到位的一种表现, 又是加深理解和熟练运用概念的重要一环。在概念教学中, 提炼出程序性和把握操作方法, 不仅对于提高学生的认识水平, 而且对于学生正确利用概念分析问题与解决问题都是十分重要的。

3.6 应用原则

应用原则, 就是要在实践中使学生深化理解与掌握概念, 培养学生运用概念分析问题与解决问题的能力, 启迪学生通过运用概念实质的把握提炼数学观点和数学思想方法, 在理解的层次上达到一个新的高度, 在认识上得到升华。当然, 教学中要密切实际, 不能指望一蹴而就, 要循序渐进, 反复实践, 螺旋上升。特别是要注意发挥学生“内省”功能, 依靠学生的“悟”性领悟概念内在的韵味, 逐步实现上述目标。

4 数学概念的教学方法

4.1 由特殊到一般的方法

在形成数学概念时, 首先举出典型实例或数学模型, 使学生有一个感性认识;然后分析, 抽象, 引伸, 归纳出该事物的本质属性;最后, 把这个本质属性推广到一般情况, 概括出数学概念。

4.2 分析的方法

数学概念形成以后, 对其进行剖析, 会达到透彻理解其本质的目的, 同时也能提高学生的分析能力。学生应掌握以下分析方法:对概念内涵与外延的分析, 内涵指概念的含义, 反应事物的质属性;外延指概念的适用范围, 反映事物的每一个对象。两者分别从质和量的方面对事物进行描述, 明确某种概念的内涵和外延, 也就从质和量两方面掌握了概念。内涵与外延之间有一种反比例关系:当内涵增大时, 外延就缩小;当内涵缩小时, 外延就扩大。当然这种关系不是绝对的数量关系。

4.3 分解类比整合法

数学概念的分解, 有助于学生深刻理解概念各部分之间的联系, 从而整体认识概念, 从大脑思维过程看, 人们对事物的理解总是从简单向复杂过渡, 从一维向多维过渡, 对概念实施逻辑划分, 降低思维难度, 通过对分解后的概念部分进行分析、类比、归纳、综合, 逐一突破, 从而整合成一个完整的概念。

4.4 数学实验法

这是教育本身的典型方法, 也就是理论与实际结合, 是指“探究性”学习中学生自主活动, 亲身体验, 通过实验获得数学概念, 在亲自动手, 主动参与的过程中培养自己的认知能力, 从而获得对概念理解和掌握。例如学习“椭圆及其标准方程”时, 就椭圆的概念实行实验教学, 很多同学都见过木匠师傅画椭圆时采用的方法:固定绳的两端, 用黑笔绕绳勾勒。让学生自己动手实验后, 总结规律并用数学语言进行叙述:到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹, 并且两定点的距离小于定长。这样, 对椭圆的概念通过自己的亲身体验得以构建, 从而更深刻地理解了椭圆的概念。

4.5 利用计算机辅助教学方法

学数学概念的抽象性, 决定了学生对其记忆、理解和应用的难度。计算机辅助教学把文本、图形、图像和声音等载体融合在一起, 并完成一系列随机性交互式操作, 凭借声像效应刺激学生的多种感官, 使学生的注意力、情感、兴趣等心理因素保持良好状态, 认知心理得到充分发展。这样, 枯燥的数学概念学习就会变得轻松愉快;抽象的数学符号和呆板的图形, 就会在学生的感官中“活”起来, 学生已有的感性认识可迅速向理性认识飞跃。

开设数学活动课, 拓宽知识范围, 有利于学生全面、准确地掌握数学概念数学活动课的内容源于教材, 但又不局限于教材;它与课堂教学的内容既有联系, 又有区别。活动课是在教师的组织下, 学生根据本人的兴趣、爱好和特长, 自愿参加。此外不受教学大纲限制, 可采用猜谜、猜数、竞赛、抢答、讲故事和做游戏等多种方式训练学生思维的敏捷性, 开阔学生的知识视野, 使学生接受现代数学思想和数学学法指导, 全面准确地掌握数学概念。

概念教学受到许多因素的影响, 比如, 教材的编写。函数概念的引入一般有两种方法:一是先学习映射, 再学习函数:另一种方法是通过具体实例, 体会数集之间的一种特殊的对应关系, 即函数。对函数概念的处理方式是先讲函数, 再讲映射。由于选用的教材的不同、教师“用教材”的方式的不同以及教师的素质的不同、学生原有认知结构的不同以及教学设备与资源的不同等, 要学习同样的东西, 但最终学生获得的是不一样的。但是, 在概念教学时, 无论受到的影响因有多少、又有多少不同, 若能从上述四个方面把握, 一定会有所收获的。

摘要：在新课程理念下, 很多学者提出了淡化概念的教学观, 淡化概念已成为教育界较为流行的口号, 很多教师的教学行为被这种时髦的口号所左右而无所适从。在中学数学中能否淡化概念?高度抽象的数学概念, 来源于客观现实的具体事例。它是反映事物本质属性的思维形式, 是人们思维和数学语言的最基本的元素, 一切数学公式, 法则, 定理, 规定都是由数学概念组合而成。弄懂数学概念, 学好数学概念是数学学习的前提。培养数学素质, 首先必须重视数学概念的学习。

关键词：数学概念,过程,原则,方法