数学建模概率论数理统计论文

摘要：概率统计是一门具有广泛且重要应用的数学学科，是高校各专业的一门重要数学课程。然而，常规的教学模式却具有十分明显的缺点和不足，在某种程度上使得理论和实际之间出现了鸿沟，严重的抑制了学生们的学习兴趣和学习效果。而数学建模思想的产生，为概率统计等数学课程的教学提供了一种全新的模式和方法。下面是小编精心推荐的《数学建模概率论数理统计论文(精选3篇)》，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

数学建模概率论数理统计论文 篇1：

数学建模思想融入《概率论与数理统计》的教学改革

摘要：数学建模包括数学的表达式以及各种数学的图表等，属于一种抽象的数学工具，用来描述系统具有的特征和联系。在生产实践中，模型随处可见，大部分都属于概率模型。概率论以及数据统计属于数学领域的分支，主要研究的是统计规律性，属于理工科学生必学的课程，也是数学学科的基础课程。随着教学的不断改革，将数学建模的基本思想融入到概率统计中逐渐走进了教学的课堂，本文主要阐述了数学建模基本思想融入到《概率论与数理统计》的教学改革。

关键词：数学建模思想；概率论与数学统计；教学改革

对于概率论以及数学统计这一课程，课时安排的比较少，教学内容枯燥抽象，导致大部分学生都缺少学习这门课程的兴趣，学习成绩并不理想，因此，将模型的思想引入到概率论以及数学统计教学中，能够有效激发学生的学习兴趣，将理论知识还原于实践，丰富教学内容，提高教学效率。

一、将数学建模的基本思想融入到概率论以及数学统计教学改革的必要性

想要用基本的数学方法解决现实中的实际问题就需要建立有效的数学模型。虽然传统的数学教学拥有完善的教学体系，但是却忽略了数学的来源，只是一种封闭的系统，这种教学存在一定的缺陷。在数学教学中融入数学建模的思想，开设相应的数学实验或是数学建模的教学课程，促进学生在学习的同时体会到知识被发现以及创作的过程。如今，随着教育的不断改革，已经有多个院校将数学建模的基本思想融入到了数学的分支学科中。在教育不断改革的背景下，许多院校都开始扩招大学生，但是却要面临学生毕业后就业难的现状，在大学教学中的概率论以及统计课程的相关教学，不能仅停留在数学定义和各种公式的传授，而是在学生学到基本的数学概念以及结论的同时，学会数学的思维方法，体会到数学的内在含义，了解数学知识具体的来龙去脉，受到数学文化的熏陶。因此，应该在数学的教学中，让学生体会到数学知识的真正魅力，并不只是停留在数学枯燥乏味的公式上。目前，虽然很多的院校都开设了数学建模的相关课程，但是，如果不能将数学建模的基本思想融入到概率论以及数学统计的课程中，将无法发挥数学建模思想在数学学科中的重要作用。因此，将数学建模的基本思想融入到概率论以及数学统计的相关教学中具有重要的意义，也是教学改革的必然趋势。

二、将数学建模的基本思想融入到概率论以及数学统计的教学课堂上

1.教学课堂中注重实例的讲解。概率论以及数学统计这门课程具有较强的实践性，因此，在教学课程上，教师需要在教学的基本内容中加入更多的实例教学，帮助学生理解这门学科的基本知识点，加深学生对基本理论的记忆。例如：在讲概率学中最基本的加法公式时，加入数学建模的基本思想，利用俗语“三个臭皮匠”的相关内容作为教学实例。俗语中有三个臭皮匠的想法能够比的上一个诸葛亮，意思就是说多个人共同合作的效果比较大，可以将这种实际中的问题引入到数学概率论的教学中，从科学的概率论中证明这种想法是否正确。首先需要根据具体的问题建立相应的数学模型，想要证明三个臭皮匠能否胜过诸葛亮，这个问题主要是讨论多个人与一个人在解决问题的能力上是否存在较大的差别，在概率论中计算解决问题的概率。用c表示问题中诸葛亮解决问题的能力，a■表示其中i（i=1，2，3）个臭皮匠解决问题的能力，每一个臭皮匠单独解决问题存在的概率是P（a■）=0.45，P（a■）=0.6，P（a■）=0.45，诸葛亮解决问题存在的概率是P（c）=0.9，事件b表示顺利解决问题，那么诸葛亮顺利解决问题的概率P（b）=P（c）=0.9，三个臭皮匠能够顺利解决问题的概率是P（b）=P（a■）+P（a■）+P（a■）。按照概率论中的基本加法公式得■=■（a■+a■+a■）=P（a■）+P（a■）+P（a■）-P（a■a■）-P（a■a■）-P（a■a■）+P（a■a■a■） 解得P（b）=0.901。因此，得出结论三个臭皮匠顺利解决问题存在的准确概率大于90%，这种概率大于诸葛亮独自顺利解决问题的概率，提出的问题被证实。在解决这一问题过程中，大部分学生都能够在数学建模找到学习的乐趣，在轻松的课堂氛围中学到了基本的概率学知识。这种教学方式更贴近学生的生活，有效的提高了学生学习概率论以及数学统计这一课程的兴趣，培养学生积极主动的学习。

2.课设数学教学的实验课。一般情况下，数学的实验课程都需要结合数学建模的基本思想，将各种数学软件作为教学的平台，模拟相应的实验环境。随着科学技术的不断发展，计算机软件应用到教学中已经越来越普遍，一般概率论以及数学统计中的计算都可以利用先进的计算机软件进行计算。教学中经常使用的教学软件有SPSS以及MABTE等，对于一些数据量非常大的教学案例，比如数据模拟技术等问题，都能够利用各种软件进行准确的处理。在数学实验的教学课程中，学生能够真实的体会到数学建模的整个过程，提高学生的实际应用能力，促进学生自发的主动探索概率论以及数学统计的相关知识内容。通过专业软件的学习和应用，增强学生实际动手以及解决问题的能力。

3.利用新的教学方法。传统数学说教式的教学方法并不能取得较高的教学效果，这种传统的教学也已经无法满足现代教学的基本要求。在概率论以及数学统计的教学中融入数学建模的基本思想并采用新的教学方法，能够有效的提高课堂教学效果。将讲述教学与课堂讨论相互结合，在讲述基本概念时穿插各种讨论的环节，能够激发学生主动思考。启发式教学法，通过已经掌握的知识对新的知识内容进行启发，引导学生发现问题解决问题，自觉探索新的知识。案例教学法，实践教学证明，这也是在概率论中融入数学建模基本思想最有效的教学方法。在学习新的知识概念时，首先引入适当的教学案例，并且，案例的选择要新颖具有针对性，从浅到深，教学的内容从具体到抽象，对学生起到良好的启发作用。学生在学习的过程中改变了以往被动学习的状态，开始主动探索，案例的教学贴近学生的生活学生更容易接受。这种教学方法加深了学生对概率论相关知识的理解，发散思维，并利用概率论以及数学统计的基本内容解决现实中的实际问题，激发了学生的学习兴趣，同时提高了学生解决实际问题的综合能力。在运用各种新的教学方法时，应该更加注重学生的参与性，只有参与到教学活动中，才能够真正理解知识的内涵。

4.有效的学习方式。对于概率论以及数学统计的相关内容在教学的过程中不能只是照本宣科，而数学建模的基本思想并没有固定不变的模式，需要多种技能的相互结合，综合利用。在实际的教学中，教师不应该一味的参照课本的内容进行教学，而是引导学生学会走出课本自主解决现实中的各种问题，鼓励学生查阅相关的资料背景，提高学生自主学习的能力。在教学前，教师首先补充一些启发式的数学知识，传授教学中新的观念以及新的学习方法，拓展学生的知识面。在进行课后的习题练习时，教师需要适当的引入一部分条件并不充分的问题，改变以往课后训练的模式，注重培养学生自己动手，自己思考，在得到基本数据后，建立数学模型的能力。还可以在教学中加入专题讨论的内容，鼓励学生能够勇敢的表达自己的想法和见解，促进学生之间的讨论和交流。改变以往教师传授知识，学生被动接受的学习方式，学会自主学习，自主探究，勇于提出自己的看法并通过理论知识的学习验证自己的想法。有效的学习方式能够调动学生学习的积极性，加深对知识的理解。

5.将数学建模的基本思想融入课后习题中。课后作业的练习是巩固课堂所学知识的重要环节，也是教学内容中不可忽视的过程。概率论统计课程内容具有较强的实用性，针对这一特点，在教学中组织学生更多的参与各种社会实践活动，重在实际应用所学的知识。对于课后习题的布置，可以将数学建模的思想融入其中，并让这种思想真正的解决现实中的各种问题，在实践中学会应用，不仅能够巩固课堂学到的理论知识，还能够提高学生的实践能力。例如：课后的习题可以布置为测量男女同学的身高，并用概率统计学的相关知识分析身高存在的各种差异，或者是分析中午不同时间段食堂的拥挤程度，根据实际情况提出解决方案，或者是分析某种水果具体的销售情况与季节变化存在的内在关系等。在解决课后习题时，学生可以进行分组，利用团队的合作共同完成作业的任务，通过实践活动完成训练。在学生完成作业的过程中，不仅领会到了数学建模的基本思想，还能够将概率统计的相关知识应用到实际的问题中，并通过科学的统计和分析解决实际问题，培养了学生自主探究以及实际操作的综合能力。

综上所述，将数学建模的基本思想融入到概率统计教学中，有效的提高了学生学习数学的兴趣，有利于培养学生利用所学的课本知识解决现实问题的能力。随着信息时代的不断发展，随机想象的相关理论知识逐渐被广泛应用，概率论以及数学统计课程的学习也变得越来越实用，在概率统计中加入数学建模的基本思想，让学生充分体会到概率统计具有的实用性，并加深对基本概念的理解和记忆。随着教学内容的不断改革，这种教学方式也在实践中不断的完善，将概率统计的教学内容与实际生活相互联系，培养学生解决问题的能力。

参考文献：

[1]马冉，姬玉荣.数学建模思想在概率统计教学中的融入[J].数学学习与研究（教研版），2010，（1）.

[2]魏岳嵩.在概率统计教学中融入数学建模思想[J].淮北煤炭师范学院学报（自然科学版），2010，31（1）.

[3]葛玉丽，徐少贤，邵曙光.在概率统计教学中融入数学建模思想的教学探讨[J].南阳师范学院学报，2010，9（12）.

[4]沙元霞，贾连广.“复变函数”课程教学中融入数学建模思想的探讨[J].陕西大学学报，2012，（10）.

作者：都琳

数学建模概率论数理统计论文 篇2：

论数学建模思想在概率论与数理统计课程教学中的应用

摘要：概率统计是一门具有广泛且重要应用的数学学科，是高校各专业的一门重要数学课程。然而，常规的教学模式却具有十分明显的缺点和不足，在某种程度上使得理论和实际之间出现了鸿沟，严重的抑制了学生们的学习兴趣和学习效果。而数学建模思想的产生，为概率统计等数学课程的教学提供了一种全新的模式和方法。基于此，在讲授《概率论与数理统计》的过程中渗透数学建模的思想具有十分重要的现实意义。在这样的情况下，本文结合笔者多年的教学实践经验，就数学建模思想在概率论与数理统计课堂教学之中的应用进行了有效的思考和分析，并提出了自身的看法和观点。

关键词：数学建模；素质教育；概率统计

引言：

所谓数学建模，就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题的一种数学方法。具体包括问题的简化和假设，模型的建立与求解 、解的分析与评价 、模型的检验与应用。在数学课程的教学中渗透这种思想，一方面能够使学生加深对知识的理解，另一方面也可以减少学生的学习障碍，使学生们做到动手和动脑的有机统一，对学生未来的发展能够产生十分深远的积极影响。

一、概率论与数理统计课程的特点

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的数学课程，既有丰富的数学理论，又有重要且广泛的实际应用，与人们社会生活和生产实际紧密结合。从这个角度来说，这与数学建模的特征不谋而合。因此，通过学生们在学习概率论与数理统计的过程之中渗透进入数学建模思想，能够显著推动学生们的学习效果，让学生们对知识的掌握更加得心应手[1]。

二、概率论与数理统计中数学建模思想應用的重要性

随着社会教育观念的不断发展和进步，人们的思想与实现了重大的转变，传统的教学方式已经不能满足学生们的实际需求。传统的概率论与数理统计教学，可以简单的概括为数学知识、举例说明、解题和考试。此教学模式与学生的学习实际出现了较大偏差，导致学生不能很好的把学到的知识应用于日常生活之中，用数学思想解决常见的问题。这种教学模式一方面不符合当前素质教育的目标，另一方面也严重的打击了学生们对知识的渴望程度，使学生们不能完全投入更多的精力去进行学习[2]。但是，如果在概率论与数理统计授课的时候，渗透数学建模的思想观念，就能够让以上问题迎刃而解，让学生们的学习效率实现重大的提升。

三、概率论与数理统计中数学建模思想的应用实践

（一）融入数学建模思想的内容

概率论是用随机变量及其伴随的概率分布描述随机现象的统计规律，比如，分别给概率论学者和统计论学者一个骰子，概率论学者和统计论学者所表达的观点会呈现出截然不同的情况，概率论学者会考虑，这个骰子每个面出现的几率都是一样的，即全部都是六分之一，在这样的情况下，投掷五次骰子的话，则能够投掷出六这个面的几率。概率学者思考的出发点是创设一个科学的数学模型，以这个数学模型作为进行思考的出发点，进而得出最终的结论。而统计学者则会这样思考，先投掷三十次骰子，分别观察投掷的情况，并对得到的结果进行数据分析和统计，并构建出一个与骰子相关的数学模型，除此之外，统计学者还要对模型的合理性进行认真的思考和分析，并对存在着的问题进行解决，尽管统计学者和概率论者都对以上问题进行了分析，但是却采取了迥异的方式。

（二）引入数学建模思想的方法

（1）讲授结合谈论的方法

老师在给学生们进行授课的过程之中，讲授的重要地位不言而喻，但是如果老师可以在讲解的过程之中适当的渗透进入讨论的形式，就能够使教学效果更进一步。一方面能够有效的活跃课堂教学的氛围，改变传统课堂死气沉沉的情况，另一方面还能够让学生们的发散性思维和创新能力得到最大限度的锻炼，让学生们独立思考的能力实现前所未有的提升[3]。

（2）启发式教学方法

所谓启发式教学方法，顾名思义就是指导学生们通过已经掌握的知识去分析问题，解决问题，在学习的过程之中更加具有自主性。

（3）案例分析的方法

在诸多数学建模思想之中，案例分析的方式是一种最为有效的手段，因此得到了越来越多的应用。老师在使用这样的方式给学生们进行讲解的时候，务必要从案例自身出发，运用具体问题具体分析的思想，引出相应的研究对象[4]。老师运用该种方式的时候应该明确，所挑选的案例必须与教学内容能够实现完美的契合，做到有的放矢。

（四）结语

总而言之，在现如今的阶段，在讲授概率论与数理统计的时候与数学建模的思想实现完美的结合，能够对学生们的学习带来诸多的益处，一方面能够让学生们在学习的过程之中做到融会贯通，另一方面还能够提升学生们的实践能力，可谓一举两得。在这样的情况下，老师务必要对这种教学模式进行积极的大力推广，以此来让我们国家的数学教学水平实现突破性的飞跃。

参考文献：

[1]魏志渊，毛一平，杨启帆，等.加强数学建模课程建设 促进高等教学改革[J].数学的实践与认识，2013，（5）：120 —122.

[2]郝晓斌，董西广.数学建模思想在概率论与数理统计课程教学中的应用[J].经济研究导刊，2010，（16）：244 —245.

[3]张二艳，董文乙.在概率论与数理统计教学中融人数学建模的探讨[J].国家林业局管理干部学院学报，2012，（2）：40 -43

[4]彭晓华.改进教学方法，培养学生良好的学习习惯和创新能力[J].大学数学，2014 ，（3）：23—25

作者：黄新仁

数学建模概率论数理统计论文 篇3：

数学建模思想在《概率论与数理统计》教学中的应用研究

【摘要】 在《概率论与数理统计》课程中融入数学建模思想，按专业分类调整课程教学内容，突出其在各专业领域中的应用；在理论课教学中融入数学建模案例，使学生对概率论与数理统计的应用有初步的认识；设计培养学生应用数学理论解决相关专业问题的实践教学环节；掌握利用计算机进行高效计算的实践环节，加强学生将所学的理论知识用于实践的能力，提高学生的数学应用与数学计算能力.

【关键词】 概率论与数理统计； 数学建模； 实践教学

【基金项目】 2015年度广东省高等教育教学改革项目；五邑大学2015年教学改革项目（JG2014011）.

概率论与数理统计作为高等院校的一门重要基础课，主要教学目标是培养学生运用概率统计分析问题和解决问题的能力，使学生掌握概率论的基本概念与处理随机现象的方法，在许多的学科中都有着重要的应用价值. 它不仅为学生学习专业课程和解决实际问题提供了必不可少的数学知识和数学技能，而且也培养了学生的思维能力、分析解决实际问题的能力和自学能力，因此，概率论与数理统计教学质量的好坏将影响到后续一些课程的教学质量.

然而在实际教学过程中，教学和学习的效果都不理想，很多学生反映这门课程难懂、难学. 这在一定程度上影响了后续专业课程的学习，更无助于学生数学素养的培养. 传统的概率统计课程的教学，比较重视理论方面的教学，而对学生在实践方面的训练较少，学生虽然从课堂上了解了大量的概念、公式和定理，但对于它们的实际用途了解较少，很容易造成理论与实际的脱节. 而数学建模是应用数学知识解决实际问题的重要手段和途径，在概率论与数理统计中融入数学建模思想的研究与实践， 将有助于学生学习其理论知识，具有重要的理论和现实意义.

一、结合专业背景，改革教学内容

在今天教育改革的大背景下，面对着大学生生源不断扩大的现状，面对着大学毕业生种种就业去向，概率论与数理统计课程的教学决不应该仅仅定位于传授给学生概率知识，教给他们定义、公理、定理、推论，把他们当作灌注知识的“容器”. 相反，我们的教学，不仅要使学生学到许多重要的数学概念、方法和结论，更应该在传授数学知识的同时，使他们学会数学的思想方法，领会数学的精神实质，知道数学的来龙去脉，在数学文化的熏陶中茁壮成长. 为此，应在教学过程中，使学生了解到他们现在所学的那些看来枯燥无味但又似乎是天经地义的概念、定理和公式，并不是无本之木、无源之水，而是有其现实的来源与背景的. 而目前概率论与数理统计课程教学内容仍以“纯数学”理论为主，普遍没有结合各个专业的特点，没有涉及数学在相关专业中的应用内容，这不利于学生将数学理论应用于专业领域之中来解决相关专业中存在的问题.

通过对全国大学生数学建模竞赛题目的分析，可以发现，有不少题目涉及概率论和数理统计知识，如北京奥运会场馆的人流分布，DNA序列的分类、乳腺癌诊断问题、彩票问题、电力市场的输电阻塞管理等问题. 由此可见，概率统计知识与人们的日常生活乃至科学技术都紧密相关. 因此，在课程的某些章节中融入数学建模的内容是完全可行的.

教师在授课过程中可从每个概念的直观背景入手，精心选择一些跟我们的生活密切相关而又有趣的实例，通过这些案例把所学的理论知识和实际生活结合起来，把抽象的数学与生动有趣的案例结合起来，调动学生的主动性和积极性，培养学生分析和解决问题的能力. 案例应适当延伸课本内容，吸取社会、经济、生活的背景与热点问题，特别是要结合学生的专业背景. 例如，工科专业应多选与计算机、通信、机械等相关的案例，而经济管理类则尽量选择与工商、保险相关的案例. 学生在分析和解决这些问题的同时，既能感受到将数学知识应用于实际的美妙，同时又能获得利用所学知识解决实际问题的成就感. 从而激发学生的兴趣.调动他们学习的积极性和主动性.

二、运用相关案例，改变教学方式

传统教学的讲授方式往往直白地将定义、定理等精确表达方式呈现在学生的面前，而这些经过加工的精练语言往往抹杀了最初的思想. 将数学建模思想引入课程教学中，可以弥补这种缺点，再现原始思想. 这就要解决一个关键问题，如何运用案例. 原始思想一般都来自于某些灵感的火花，或者说某种顿悟. 案例实际上起到了这种效果，让学生参与到案例的分析上来，提出自己的思想，在老师和其他学生的诱导和启发下，往往使得问题的本质浮出水面，老师需要做的就是总结和提炼这些闪光的思想.

可以在课前导入时引入数学建模思想. 概率论与数理统计比高等数学、线性代数的难度更深一些，对于学生来说更难以接受. 可以在每一节课前采用启发式，由浅入深，由直观到抽象，使学生真正掌握概率论与数理统计的概念，以便提高学生学习的乐趣.

在讲授过程中引入数学建模思想. 在理论上，更新传统教学观念，改变传统教学方式，提倡师生互动、启发式的教学方式. 从案例出发， 适当对一些问题进行讨论，在解决具体问题中引出一个相应的方法和理论. 这样容易引起学生的兴趣，可以活跃课堂气氛，激活学生思维，延伸和扩展知识面， 培养学生爱思考的习惯，使授课效果更好.

同时合理运用多媒体教学和统计软件，以调动学生学习兴趣为导向，打破以教师为主的教学模式，注重对学生创新思维能力和实践能力的培养.

另外，数学建模思维培养还须采用循序渐进的手段，要不断地和已有的教学内容有机结合，使数学建模思维的引领作用充分体现. 例如，由教师从历年的数学建模竞赛中选择一些优秀论文作为布置的题目，让学生分组课后研读讨论、讲解，既能使学生深入地理解知识点，又能锻炼学生团结合作解决问题的能力，然后在课堂上组织学生汇报交流，教师给予总结.

三、利用数学建模软件，提高学生计算能力

目前课程中的计算都局限于手工计算，而没有教给学生利用计算机技术，许多学生完成概率论与数理统计的学习后，在专业课程中，面对大量数据，需要运用统计思想方法分析时往往出现无从下手的现象，造成这种现象的原因有两方面：一是缺乏灵活运用所学知识解决实际问题的能力；另外就是数据量大，计算过于复杂，手工难以实现. 对于第一种情况我们通过将数学模型融入教学内容与学生所学的专业相结合来提高学生的运用能力. 针对第二种情况增加课程设计或计算机实践环节，结合概率统计案例及统计实践的形式，上课过程中为学生提供一些实验课题，每次实验时，教师给出所要实验课题的背景、实验的目的和要求及实验的主要内容等. 给学生演示一些统计软件中的基本功能， 展示统计方法的选择、统计模型的建立、数据处理以及统计结果分析的全过程，有助于学生掌握统计方法和实际操作能力. 同时引导学生自己动手去利用计算机及网络完成概率统计的有关试验，完成数据的收集、调用、整理、计算、分析等过程，培养学生运用软件技术去完成数据建模，让学生逐步提高运用数学统计软件解决实际问题能力，以及增强学生面向信息时代应具有的计算机应用能力.

四、改变课堂学习评价体系，课后作业引入建模思想

概率论与数理统计课程在总学时固定的情况下，要拿出一定的时间搞专门的数学建模训练，是很不现实的. 但在这有限的教学时段里，逐步渗透和融入数学建模的思想和意识是切实可行的，它完全可以在例题和习题之中加以体现. 布置课外作业为了考查学生.

对课堂内容完全掌握，对问题有更深刻的理解，只有把数学方法应用到实践中去，解决几个实际问题，才能达到理解、巩固和提高的效果.

针对概率统计实用性强的特点，我们可以布置一些开放性作业. 只有把某种思想方法应用到实践中去，解决几个实际问题，才能达到理解、深化、巩固和提高的效果. 如测量某年级男、女生的身高，分析存在什么差异；分析下课后饭堂人数拥挤程度，提出解决方案；分析某种蔬菜的销售量与季节的关系等. 学生可以自由组队，通过合作、感知、体验和实践的方式完成此类作业，在参与完成作业的过程中，不但激发了学习兴趣还培养了不断学习、勇于创新、团结互助的精神. 通过数学建模思想的融入，让学生自己去体会其重要性，激发学生学习概率论与数理统计的兴趣.

【参考文献】

[1]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京： 高等教育出版社，2010.

[2]姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型（ 第四版）[M].北京： 高等教育出版社，2010.

[3]张二艳，董文乙.在概率论与数理统计教学中融入数学建模的探讨[J].国家林业局管理干部学院学报，2012（2）.

[4]王义康，王航平.谈数学建模在理工科学生创新实践能力培养中的应用[J].教育探索，2012（4）.

作者：张爱华　杨冬香