概率统计论文范文

2022-05-09

今天小编为大家推荐《概率统计论文范文(精选3篇)》，希望对大家有所帮助。编者的话：“经典题突破方法”栏目里的例、习题选自名校模拟题或三年高考真题，推出本栏目的主要目的是让同学们更好地领悟数学解题思想方法，通过多解多变培养同学们多思多想的好习惯。学会解题反思，无疑是同学们学习的一条捷径，愿同学们不断地在反思中进步，在反思中收获!本期特约河南省项城市第一高级中学的张慧敏、韩维峥两位老师为同学们解读相关知识。

第一篇：概率统计论文范文

浅析概率统计与信息科学

摘要：随着科技飞速发展，概率统计这门学科因自身所具有规律性和统计性优点而变得越来越重要了，尤其是在学理工的专业里，其拥有至关重要的地位。目前各项信息技术正在高速发展，信息科学正在逐步改变人们的学习、工作及生活。我们把概率统计和信息科学有效地融合起来，可以对人们的学习和生活带来很大的便利。本文首先简单阐述了概率统计与信息科学的概述，然后对概率统计和信息科学的整合进行了深入分析及探讨，希望能够为相关人员提高有价值的参考。

关键词：概率统计;信息科学;浅析

一、概率统计与信息科学的概述

1.概率统计

概率统计其实也是一种数学方法，它对自然界中各种随机现象的规律进行深入分析及研究，也被人们称之为数理统计。为了使学生们更直观且深入的了解这一概念，可以通过信息技术进行掷硬币的模拟小实验。我们要先把握好投币的次数，再运用计算计进行掷硬币的模拟演示，最后科学统计出硬币正和反面出现的次数，并在此基础上进行分析和总结，得出其中的规律。我们只有这样才能够深入掌握掷硬币这一类事件所发生的频率和其存有的波动性和稳定性。

2。信息科学

我们所讲的信息科学它不光研究信息的运动规律，还会对信息的应用方法进行研究及探讨。信息科学本身是一门综合性能极强的学科，它会涉及到信息论、控制论、计算机理论、人工智能理论和系统论等多方面的内容，而在这些理论中是由信息论、控制论和系统论占据主体地位的。

随着信息科学的深入发展，对人们的生活产生了很大的改变，它不但提高了人们获取各种信息的速度，而且还使得人们获取的信息量发生了巨量的增长。近年来，人们接收信息和处理信息的能力得到大幅度提升，人们对这个世界更是加深了了解和把握。这正是我们信息科学的出发点和终极目标。信息科学的发展不仅促使信息产业获得较好的发展，而且也更好地推动了我国国民经济的快速增长。

3.信息科学与概率统计学二者之间所拥有的内在联系

目前信息科学已日趋成熟，随着人们对其应用的加剧，此种技术早已给我们的生活增添了许多智能化、便捷化的新體验。然而信息科学并不是单独存在的，它离不开数学，信息科学技术需要数学理论、数学方法的支持和论证。概率统计的发展对现代数学有非常重要的影响，深入研究其中的随机规律会给人们的生产生活带来很多便利，目前随机规律已经在信息科学中得到了广泛的运用。由于信息科学所涉及的大部分结果都离不开大量的计算和实践，因此，我们应该对结果的普遍性进行概率和统计的深入研究及探讨，而随着概率统计学科的深入发展，信息科学也可以促使研究过程更加简便、快捷，进一步推动概率统计学的深入发展。总之，我们不难发现，信息科学与概率统计学二者存在密切的内在联系，只有把两者整合起来对其进行深入的研究和探讨，才能既促使它们获得较好地发展，又能够推动整个应用型科学的深入发展。

二、概率统计和信息科学的整合

1.概率统计和信息科学整合的内容

我们要想实现概率统计和信息科学的高效整合，就应该做到以下内容：一是，面对信息化的背景，我们要充分运用网络和多媒体对概率统计进行详细的解析;二是，我们需要把概率统计的有关内容做好信息化的处理，确保其能够成为学生非常便利的、实用的学习资源;三是，我们要运用信息技术对学生的学习方式进行转变，确保学生可以由被动式的学习状态转化为主动式的学习状态，进而从书桌上的学习变为实践性、体验性的学习。

我们应该知道，概率统计和信息科学的整合其实是一种双向整合，它们在实际的整合过程中，能够各取所需，既促进各自的长远发展，也推动了科学技术的深入发展。

2.概率统计与信息科学的注意事项

我们为确保概率统计和信息科学能够有效地整合起来，就应该不仅要掌握概率统计的有关知识，还要掌握一定的计算机知识，能够对有关的计算机软件进行熟练应用。我们只有这样做，才可以做到学以致用，真正把概率统计运用到实践中。

3.概率统计与信息科学整合的策略

3.1我们应该从思想和方法上，把概率统计和信息科学进行整合

我们只有从思想和方法上出发，把概率统计和信息科学进行深入整合，才能够使老师拥有一个良好地教学能力，并获得一个理想的教学效果。然而，概率统计和信息科学的有效整合不能仅仅作为老师的教学问题解决，而是要让学生们能够真正把握这种学习方法，确保可以把学生培养成一种自主、探究的学习精神，促使学生们能够在信息科学的大力支持下，用自己所学到的相关知识和理念，去自发地解决问题，确保能够实现学以致用、举一反三的效果。我们要是想把概率统计和信息科学真正高效地结合在一起，就需要老师有一个科学合理的构想。老师不仅要对信息科学有一个深入系统的了解，而且要能够从思想上认同概率统计和信息科学相整合的新的教学模式。只有这样，才能够确保教师能够真正了解概率统计和信息科学整合的实质内涵，就能够致使他们对信息科学技术有一个更深入的理解和掌握，又会把概率统计理解的更透彻和深入，从而能够准确把握概率统计和信息科学的结合点，逐步完善和健全他们的教学方法和教学思想。

3.2我们应该结合不同的内容，选取各自不同的信息科学媒体

老师把概率统计和信息科学进行有效结合，目的就是不断优化自己的教学过程和内容，吸引学生，从而激发学生的学习兴趣，确保能够取得一个良好的教学效果。因此，我们需要结合具体问题，进行具体分析，综合考虑多方面的影响因素，选用科学合理的信息科学媒体，确保此媒体能够大大激发学生的学习兴趣，从而提高教学的效率。我们所进行的所有工作，都应该把概率统计的相关内容当做选择教学媒体的出发点，并在此基础上结合学生的实际需要选择最合适的信息科学媒体。老师应该努力避免选用那些不合理的教学媒体，因为他们不仅和教学内容不相符，而且不利于教学质量的提高，往往会导致教学过程变得更加繁琐冗杂。如果当教学内容为静态形式，我们可以运用视频对教学内容加以丰富;如果教学内容本身具有较强的连续性时，就可以在教学中穿插几段比较实用的录像;如果教学内容本身复杂、抽象、并且变化性很强，就需要选用多媒体课件来体现教学内容;如果是学生进行研究性的学习，就可以把网络当做自己学习的好助手。

3.3重视对二者探究观念的结合

随着信息科学的深入发展，出现了大量先进的生产技术，我们如果能够把它们运用到概率学的研究探讨之中，肯定会有一个良好的效果。因此，我们首先要对两者的观念进行有效结合，确保能够从思想理念上把概率统计学与信息科学密切联系起来，最终可以实现社会价值的最大化。我们应该懂得科学并不是独立存在的，它具有普遍的同性，只有在各个学科之间持有穿插研究、互相渗透的观念，才可以确保在科学技术的发展过程中实现多样化，从而能够对自然科学的潜力进行更深入的挖掘及研究。

3.4我们要能够把整合后的理论用于实践

实践是检验真理的唯一标准。所有的理论都需要实践去证明，这样才能真正体现理论的意义。要想发展概率统计和信息科学，只停留在理论和想象是远远不够的，在得到充分的理论论证后，就需要将之付诸于实际操作中，这样才能实现二者的结合发展。但仅仅只有专业知识是做不到将理论用于实践的，它还需要环境、实践操作、结果预判等因素进行多方面的统计，并且在实践操作的过程中，一定要做到认真细致、一丝不苟、坚持不懈的精神，做好每一步，尽最大的努力将理论用于实践中去。

3.5重视对实践结果的推广

我们不仅要拥有成熟的技术，而且要努力把它们进行深入的推广及应用，这样才能够使其作用得到最大发挥，从而创造出更多的经济和社会效益。我们首先要把二者进行充分的结合渗透;然后，再把它们的技术模式进行不断的研究和创新;最后，再对技术进行深层次的推广及应用，才能促使概率统计与信息科学的作用得到最大发挥。

结束语：近年来，随着科学技术的飞速发展，概率统计和信息科学也获得了较好的发展，它们不仅给我们的日常工作和生活带来了诸多便利，而且为人们也带来了很多经济效益。我们只有把二者有效地融入起来，才能促使它们更好地突破自我，得到进一步的深入发展。这就要求我们在实践中要把这两种观念有效地结合起来，既要做到观念上的结合，又要做到实际应用和技术推广中的结合，促使它们的作用得到最大发挥，确保能够为我国科学的进步作出应用的贡献。

作者：左政邦

第二篇：概率统计经典题突破

编者的话：“经典题突破方法”栏目里的例、习题选自名校模拟题或三年高考真题，推出本栏目的主要目的是让同学们更好地领悟数学解题思想方法，通过多解多变培养同学们多思多想的好习惯。学会解题反思，无疑是同学们学习的一条捷径，愿同学们不断地在反思中进步，在反思中收获!本期特约河南省项城市第一高级中学的张慧敏、韩维峥两位老师为同学们解读相关知识。愿同学们通过阅读，能从中感悟知识的结构与拓展，把握第19题、第20题的命题特点与趋势。

高中数学内容中的概率统计是大学统计学的基础，起着承上启下的作用。高考对概率统计内容的考查主要是古典概型、几何概型、统计的基础知识与方法。大题偏向于对统计知识、数据分析处理能力的考查。

一、经典题突破

例1 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)。根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)。

(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ，μ+3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望。

(2)-天内抽检的零件中.如果出现了尺寸在(μ- 3σ，μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查。

①试说明上述监控生产过程的方法的合理性。

②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95 10.1 9.96 9.96 10.0 9.92 9.98 10.010.2 9.91 10.13 10.0 9.22 10.0 10.0 9.95

2.考点定位与考查意图。

本题考查了统计学在生产实践中的应用，根据抽样统计，进行样本数据分析，反映了利用科学的方法搜集、整理、分析和提供关于社会经济现象、某些特定事物发展规律的数学思想，着重考查数据处理能力和运算求解能力，以及应用所学知识分析问题、解决问题的能力。考查正态分布、独立重复试验、对立事件、随机变量的概率与数学期望。概率统计重视实际应用是考查的重点，学生可以从解题过程中认识到统计与概率知识在生产与生活中所起的作用。通过对问题的解决，给学生展示了问题的提出、模型的建立、数据的整理与分析、统计与概率知识的应用，从而形成应用数学知识指导社会实践的意识，提高学生的综合实践能力。

3.错误原因。

概率统计中基本概念较多，理解不到位，文字阅读量偏大，数据的信息点多，计算量偏大，对于学生的运算能力要求较高，概率统计解答题的实际背景新颖，对阅读理解、推理分析、数据运算的要求较高，因此难度较大。

4.复习建议。

重视考纲考点的变化，高考全国卷中的概率统计解答题一直都比较重视数学应用，侧重于统计思想、数据分析与处理、结合生活实际的决策性问题，突出应用意识。

重视基本概念的梳理，概率与统计中的基本概念众多，在复习备考过程中引导学生回归教材，对教材中的基本概念进行梳理。

重视基本原理的研究，高考全国卷中的概率统计解答题重点考查统计与概率的基础知识、基本原理和基本方法，所以我们要加强对概率论与数理统计内容的学习与研究。

例2某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图如图1所示。

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型。根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，17)建立模型①：y=-30.4+13. 5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，7)建立模型②：y=99+17. 5t。

(I)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值。

(Ⅱ)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由。

1.解答提示。

(工)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=一 30.4+13.5×19=226.1(亿元)。

利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=一99+17.5×9=256.5(亿元)。

(Ⅱ)利用模型②得到的预测值更可靠。

理由如下：

(1)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线v-- 30.4十13.5t的上方和下方。这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势。2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直線的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此，利用模型②得到的预测值更可靠。

(2)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理。说明利用模型②得到的预测值更可靠。

2.考点定位与考查意图。

通过建立数学模型，解决实际问题是高考考试要求的重要内容。特别是伴随着大数据时代的到来，人们常常需要对网络、文本、声音、图像等大量信息进行数字化处理，使数学模型的研究领域与应用领域得到极大拓展，特别是随着统计与概率知识在中学数学内容的增加，为学生的数学建模提供了知识储备和解题工具。在对其考查时，可以从模型建立、检验模型等方面设置问题。在对数学建模考查时，更为注重根据题干中的精确数据构建数学模型，强调用数学知识、思想方法解决数学问题的能力，淡化对数据的分析和处理，试题以环境投资为背景，首先给出了环境基础设施投资额的折线图，旨在考查学生通过折线图进行数据分析的能力。该题重点考查数学模型建立的选择，试题的设计有利于培养学生的数学应用意识，学生领会到统计与概率的思想方法在现实生活中有着广泛的应用，形成自觉应用数学知识指导社会实践的意识，提高学生的综合实践能力。数学模型是应用数学知识解决实际问题的一种有效的工具。

3.错误原因。

不重视数学原理和数学应用，数学应用意识比较淡漠，不注重与实际的结合，难以对现实问题中的有用数据进行处理与模型构建。没有计算的耐心和准确度。

4.复习建议。

教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”，是高考试题的重要知识载体。纵观新课程卷中的概率统计试题，大多数试题源于教材，特別是客观题都是从课本上的练习题或习题改编的，即使是综合题.也是由教材例、习题的组合、加工和拓展而成，充分表现出教材的基础作用。复习阶段必须按《教学大纲》和《考试说明》对本部分内容的要求，以课本的例、习题为素材，深入浅出、举一反三地加以类比、延伸和拓展，在“变式”上下功夫，力求对教材内容融会贯通。

重视数学思想方法的渗透，数学思想方法作为数学的精髓，历来是高考数学考查的重中之重。它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中。在概率统计的内容中蕴含着丰富的数学思想方法，概率统计为人们处理现实数据信息，分析、把握随机事件，提供了强有力的工具(计算随机事件发生的概率、求随机变量的数学期望与方差)，也更加丰富、完善了中学数学思想方法，进一步拓宽了知识的应用空间。

重视概率统计的应用功能，由于新课程强调数学教育的基础性、现实性、大众性，重视素质教育与高考的兼容性，概率统计在社会现实中具有很高的应用价值。在复习中要关注生活背景、社会现实、经济建设、科技发展等各个方面，并从中提炼出具有社会价值的数学应用背景。应注意培养学生善于从普通语言中捕捉信息，将普通语言转化为数学语言的能力，使学生能以数学语言为工具进行数学思维与数学交流。

二、跟踪练习

例3 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了图2所示的折线图。根据该折线图，下列结论错误的是( )。

A.月接待游客逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7、8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

解析：由折线图可知，8月份以后的月接待游客量减少，A错误;年接待游客量逐年增加，B正确;各年的月接待游客量高峰期大致在7、8月份，C正确;各年1月至6月的月接待游客量波动性小，变化比较平稳，D正确。故选A。

例5某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品进行检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取20件进行检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品进行检验。设每件产品为不合格品的概率都为p(O

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点P0。

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p。作为p的值。已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。

①若不对该箱余下的产品进行检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X);

②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品进行检验?

分析：本题以企业在销售过程中的成本控制问题为背景，着眼于“最小化成本”的决策问题，综合考查了概率统计知识。

作者：张慧敏

第三篇：2021年高考概率与统计试题的统计与分析

【摘要】概率与统计是高中数学课程的主线，也是高考数学的主要考查内容.以2021年高考数学新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷、全国甲卷理科等八套试卷中“概率与统计”相关试题为研究对象，从情境类型、知识点、数学核心素养、关键能力、综合难度五个维度对其进行特点分析.发现，2021年高考数学“概率与统计”试题具有情境类型丰富、讲究知识的应用性与综合性、融合多种核心素养与关键能力的特点，在难度上不同试题在难度因素的侧重上各有不同，大部分试题强调运算难度.对教师的概率与统计教学和高考试题的命制提出以下几点建议：丰富问题情境，培养关键能力;注重知识整合，建构完整体系;回归知识本质，落实核心素养;合理设置难度，优化试卷质量.

【关键词】高考数学;概率与统计;试题分析

1问题提出

随着大数据时代的到来，概率与统计的基础知识已经成为一个未来公民所必须具备的常識.在高中数学课程中，概率统计是一个重要主题，贯穿必修、选择性必修和选修课程.解决概率与统计相关问题需要经历问题情境的数学化、模型的建构、数据分析、数学运算、还原为现实问题的解等步骤[1]，是培养学生数学核心素养、发展应用意识的重要媒介.

近年来，高考对统计与概率的考查出现了新的趋势：注重基本概念的理解与应用，试题情境更加真实和复杂，模型更加精细和完善[2].这不仅为教师的教学指明了方向，也对学生的学习提出了更多新的要求.故本文对2021年高考数学中的概率与统计试题进行分析，以期更清楚地把握高考的考核方向，为教师的教学提供思路，也为高考试题的命制提供参考.

2分析框架

本文以新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷、全国甲卷理科、全国乙卷理科、北京卷、上海卷、浙江卷、天津卷共八套试卷为研究对象，从情境类型、知识点、数学核心素养、关键能力、综合难度五个维度出发对概率统计相关试题进行统计与剖析，并归纳得出2021年高考数学概率与统计试题的命制特点.在统计编码过程中，统计结果经过与相关专家与团队成员多次讨论后确定，以尽可能保证统计的准确性与全面性.

2.1情境类型

概率是研究随机现象的强有力工具，统计通过收集、分析数据解决实际生活中的问题，概率与统计已经渗透到现实生活的方方面面[3].基于概率与统计内容领域的特色，高考对此部分的考查一直坚持与情境相联系，本文参考《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称“课标”)中对情境与问题的解释，将情境划分为现实情境、数学情境、科学情境三个维度.

2.2知识点

明晰考查内容领域的知识点，有利于教师和学生把握核心知识点，更好地应对高考的挑战.本文参考课标中对知识点的划分，选取其中“概率与统计”内容，结合试题实际情况，得到概率与统计的知识点编码框架，具体内容见表1.

如表1所示，一级考点用字母表示，二级考点用数字表示.如，A2表示散点图，B2表示回归分析.试题中涉及的其他领域的知识点，由于不是主要内容，不做一一编码，遇到时直接列出即可.

2.3数学核心素养

作为课标的一大亮点，数学核心素养渗透在几乎所有的数学知识、技能中，是学生在接受教育过程中逐步形成的具备数学本质特征而且适应个人终身发展和社会发展需要的关键能力与思维品质[4].在概率统计的学习中，学生需要经历数据统计的全过程，多种素养均能得到发展，本文参照课标中提出的六大数学核心素养——数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析[8]进行试题的统计与分析.

2.4关键能力

关键能力作为“一核四层四翼”中“四层”的一环，指学生在生活实践中或探索问题情境时，应用知识有效地认识问题、分析问题、解决问题的能力[3]，是高中数学课程的培养目标.高考数学通过情境承载考查内容，以实现考查要求，这与概率与统计特有的情境性不谋而合，因此，在概率与统计这一内容领域更容易培养学生的数学关键能力.本文依据高考评价体系将关键能力划分为逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力、创新能力五个维度.

2.5综合难度

试题难度是反映试题质量和测验公平性的一项重要指标.目前已有不少学者展开了对高考试题难度的研究，并形成了一些比较成熟的框架.本文综合武小鹏所搭建的综合难度模型框架[3]，以及薛欢等在此基础上提出的针对于概率与统计试题的综合难度模型[4]，对试题进行综合难度的分析，模型的具体因素及其等级如表2所示.

在表2中，利用di=∑jnijdijn计算各因素的难度系数di，其中i表示不同的因素，dij表示第i个因素中的第j个等级的权重(依据不同等级分别取1，2，3，…)，nij表示这组题目中属于第i个因素中的第j个等级的题目个数，n代表题目的总个数.因此整套试题的综合难度系数就是各因素综合难度系数的加权平均，设ki为各因素在整个试题中所占的权重系数，那么整套试题的综合难度系数D=∑7i=1diki.关于权重系数的确定，参考武小鹏[6]研究中韩高考试题时提出的权重系数，即以“背景因素”权重为1.00作为参考标准，各因素所占权重依次为1.00，1.21，1.19，1.53，0.91，1.17，1.35.

3数据的统计与分析

根据分析框架，将所得结果分为两个部分分析：一部分呈现试题的命制特点，包括情境类型、知识点、核心素养和关键能力的分析;另一部分呈现综合难度系数的分析.

3.1试题命制特点分析

在进行统计分析时，根据题目的设问方式，将试题分为封闭型试题和开放型试题两类，封闭型试题包括选择题和填空题，开放型试题包括解答题.

(1)封闭型试题特点分析

根据第二部分搭建的分析框架对2021年高考数学封闭型的概率与统计试题进行统计，具体内容如表3.

在情境类型方面，如图1所示，考查情境类型多样，以数学情境最多，现实情境次之，仅有新高考Ⅱ卷涉及科学情境的封闭型试题.从具体情境来看，高考充分体现了数学思政的要求，于问题情境中关注社会时事与经济发展.如全国甲卷理科第2题[6]，“以我国在扶贫脱贫工作取得全面胜利和农村振兴为背景，通过图表给出某地农户家庭收入情况的抽样调查结果”，培养学生社会责任感，增强民族自豪感与国家意识.

在知识点的考查上，封闭型试题考查的知识点一般为1～3个，仅全国甲卷理科涉及4个知识点的封闭型试题.具体考查以概率为主干知识点，向外延伸，考查范围广，但与其他领域结合较少，符合概率与统计“广而不深”的特点，讲究知识的应用性与综合性.

对于核心素养，在“重视理性思维，坚持素养导向、能力为重的命题原则”[7]下，核心素养以数学运算为主，在强调简单运算的基础上，落实数学建模、数据分析等素养的考查，表明高考数学命题顺应时代特征，對概率与统计的实用性提出了要求，以便让学生更好地应对现实生活中的问题.

对于关键能力的考核，以运算求解能力居多，但在兼顾概率与统计领域特点的同时，尽可能多地考查了其他能力，合理科学地践行了高考评价体系，充分发挥了高考的选拔功能.

(2)开放型试题特点分析

根据第二部分搭建的分析框架对2021年高考数学开放型的概率与统计试题进行统计，具体内容如表4.

在情境类型方面，开放型试题的问题情境以现实情境为主，含有少量的科学情境.具体情境的选择非常丰富，概括为如下三大特点：紧扣时事热点，培养学生的家国情怀，如新冠肺炎检测;贴近学生的日常生活，激发学生对数学学习的兴趣，如“一带一路”知识竞赛;与科技、生产相融合，培养学生的数学应用意识，如微生物繁殖、机床生产以及研制新设备.

在知识点的考查上，开放型试题所考查的知识点通常有3～5个，普遍多于封闭型试题，体现出开放型试题的综合性.大部分知识点归属于一级考点B和C之下，涉及其它领域数学知识的试题较少，仅有一题，几套试卷相比较而言，新高考Ⅱ卷所考查的知识点是最多的，而且存在跨章节学科知识的交叉.

就核心素养而言，每道试题都考查了3～5种核心素养.根据每种核心素养所涉及的开放题数量，绘制雷达图，如图2所示.不难发现，概率与统计开放题侧重逻辑推理和数学运算的考查.以新高考Ⅱ卷第21题为例，学生需要从微生物的繁殖情境中抽象出概率之间的数学关系，并在此基础上建立模型进行期望的求解，最后通过逻辑推理加深对问题实际含义的理解.

对于关键能力，逻辑思维能力、运算求解能力、数学建模能力是大部分试题所涉及的，这与核心素养的考查相呼应.除此之外，少部分试题渗透了对于学生创新能力的培养，如全国乙卷第21题，重在考查学生思维的灵活性.

3.2试题综合难度分析

根据综合难度模型下的公式，计算各套试卷概率与统计相关试题的综合难度系数，如表5所示.

根据表5中的难度系数绘制折线图，如图3所示.

从宏观整体来看，新高考Ⅱ卷的概率与统计试题综合难度系数最高，天津卷的概率与统计试题综合难度系数最低，其他几套试卷概率与统计试题的综合难度不相上下.从微观细节来看，新高考Ⅰ卷认知水平因素贡献难度最多，其他分配较均匀，全国甲卷理科知识含量与认知水平并重，新高考Ⅱ卷和全国乙卷理科则是运算水平与认知水平并重，北京卷、上海卷、浙江卷、天津卷对运算水平要求较高，或在参数因素或在思维方向因素占比较低，各有特色.

仔细剖析综合难度系数的各难度因素，可以发现：在情境的选择上，新高考Ⅱ卷最为综合，具备一定的创新性;在运算水平上，浙江卷的要求最高，不少试题已经涉及到了符号运算，同时，浙江卷对推理能力的考查也是最复杂的;在知识点含量上，两套全国卷的知识点含量是最丰富的;在思维方向上，新高考Ⅰ卷和浙江卷两套试卷给予逆向思维更多的关注;对于试题所考查的认知水平，全国乙卷理科和新高考Ⅰ卷这两套使用地区较多的试卷要求学生不仅掌握知识并应用，还要能够进行一定的分析推理.

4启示与建议

4.1丰富问题情境，培养关键能力

创设合适的问题情境，既能有效提高试题质量，也更有利于落实“一核四层四翼”的高考评价体系.概率与统计的广泛应用性为高考试题中问题情境的创设提供了天然的优势，2021年高考数学概率与统计相关试题的情境设置以现实情境居多，尤其是开放题，都非常贴近日常生活，聚焦时事热点，突显出理论联系实际的导向.

在教学中，教师应注意情境创设的艺术，在教学中适当增加一些学生比较陌生的问题情境，为学生创新思维的培养提供探索的“黑箱”[8].在情境的设问方式上，要注意开放性，给予学生充分的思考空间，摆脱定势思维的束缚，使学生得到关键能力的综合发展.

4.2注重知识整合，建构完整体系

高考数学在考查过程中要体现综合性，这样有利于促进学生从整体上建构知识框架，形成合理的认知结构[9].概率与统计是高中数学知识点中的关键部分，与其他知识点有着明显的渗透交汇，也是高考的重难点.2021年高考数学概率统计试题不仅涵盖知识点丰富，而且已经有部分试题表现出函数、方程等跨章节甚至生物、科学等跨学科知识的交互，旨在培养学生融会贯通的意识.

在教学中，教师可以适当利用概念图、思维导图等知识表征工具帮学生梳理核心知识点，建构概率统计的知识体系.还应当及时地进行回顾复习，厘清概率统计与方程、函数、不等式等其它知识单元的联系，深化对数学概念的理解.除此之外，教师还可以利用探究性学习的模式介绍一些学科交叉的内容，积极探索多学科交叉融合的有效途径，以培养学生的创新意识.

4.3回归知识本质，落实核心素养

对数学知识本质的理解是学生发展数学核心素养的必要条件，高考试题不仅要考查学生对知识点的熟练程度，更应当突出知识的本质，引导学生从学科的视角理解世界和分析问题，概率统计的本质是随机性数学思维.今年高考数学中所涉及的古典概型、正态分布、几何概型等随机模型，皆是对现实随机问题的抽象凝炼，既体现了数学之美，又彰显了数学的实用性.

在教学中，教师应帮助学生转变固有的思维方式，激发自觉培养随机性数学思维的意识.在对典型题目进行剖析时，尽可能完整地展现推理过程，使学生积累一些常用模型，并且能灵活运用.通过对数学知识进行整体性的分析，梳理概率统计自身的逻辑关系，使得每一堂课都立足于概率统计的本质，聚焦其内核.

4.4合理设置难度，优化试卷质量

编制一套高质量的高考数学试题，最大的价值追求就是既要保证难度设计的科学合理又能检测出学生的真实水平，同时还要充分发挥高考数学试题的选拔功能和积极导向作用.今年不同试卷概率与统计的试题在各难度因素的分配上各不相同. 但总体来说，试卷在难度的设计上均应当依据课标对概率统计部分的要求，秉持发展学生的数学核心素养理念，从每个难度因素自身的特点出发，合理设置各难度因素，提高试卷的区分度.

在教学中，教师应当把握概率与统计的教学重点，除了要求学生掌握知识点之外，更要培养学生的核心素养与关键能力，通过给予学生更多的具有现实背景意义的案例，让学生体会数据分析的全过程，不断提高运算水平，从概念理解逐步走向灵活运用、独立分析.

参考文献

[1]廖艺捷，朱展霖，胡典顺.近五年高考概率与统计试题的统计与分析——以全国Ⅰ卷(理科)为例[J].数学通报，2021，60(02)：5662.

[2]赵轩，任子朝.高考概率统计试题考查目标的沿革与实现[J].数学通报，2019，58(10)：3943.

[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)[M].北京：人民教育出版社，2018.

[4]路江江，王亚妮.高中数学教育中如何培养学生的数学核心素养——王尚志教授访谈录[J].数学教育学报，2021，30(02)：6770.

[3]李勇，赵静宇，史辰羲.高考评价体系的基本内涵与主要特征[J].中国考试，2019(12)：712.

[4]武小鹏，孔企平.基于AHP理论的数学高考试题综合难度模型构建与应用[J].数学教育学报，2020，29(02)：2934.

[5][14]薛欢，杜剑南，路江江.2016—2020 年高考数学(理科)全国卷“统计与概率”试题探析——基于综合难度模型[J].教育测量与评价，2020(12)：3040.

[6]武小鹏，张怡.中国和韩国高考数学试题综合难度比较研究[J].数学教育学报，2018，27(03)：1924+29.

[7][10]教育部考试中心.聚焦核心素养考查关键能力——2021年高考数学全国卷试题评析[J].中国考试，2021(07)：7076.

[8]李健，童莉.高考评价体系中“应用性”与“创新性”要求——基于2020年高考数学试卷中问题情境的分析[J].基础教育课程，2020(Z2)：1822.