《函数的基本性质》知识总结

2024-04-17

《函数的基本性质》知识总结（精选8篇）

篇1：《函数的基本性质》知识总结

函数的性质知识点总结

一次函数

一、定义与定义式：

自变量x和因变量y有如下关系：

y=kx+b

则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx （k为常数，k≠0）

二、一次函数的性质：

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kx+b （k为任意不为零的实数 b取任何实数）

2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：

1．作法与图形：通过如下3个步骤

（1）列表；

（2）描点；

（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）

2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．k，b与函数图像所在象限：

当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；

当b=0时，直线通过原点

当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：

已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和y2=kx2+b …… ②

（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用：

1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

六、常用公式：（不全，希望有人补充）

1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)

2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2

3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2

4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）

二次函数

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax^2+bx+c

（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）

则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）]

交点式：y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A（x? ，0）和 B（x?，0）的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，

可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

x= -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为

P( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

即ax^2+bx+c=0

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

解析式顶点坐标对称轴

y=ax^2(0，0) x=0

y=a(x-h)^2(h，0) x=h

y=a(x-h)^2+k(h，k) x=h

y=ax^2+bx+c(-b/2a，[4ac-b^2]/4a) x=-b/2a

当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，

当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；

当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；

因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．

3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小．

4．抛物线y=ax^2+bx+c的`图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=

(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?|

当△=0．图象与x轴只有一个交点；

当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．

5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．

6．用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax^2+bx+c(a≠0)．

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)．

7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．

反比例函数

形如 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数图像性质：

反比例函数的图像为双曲线。

由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。

另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。

如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像。

当K＞0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数

当K＜0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数

反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。

知识点：

1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为| k |。

2.对于双曲线y＝k／x ，若在分母上加减任意一个实数 (即 y＝k／（x±m）m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）

对数函数

对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。

（2）对数函数的值域为全部实数集合。

（3）函数总是通过（1，0）这点。

（4）a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。

（5）显然对数函数无界。

指数函数

（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。

（3）函数图形都是下凹的。

（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。

（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。

（7）函数总是通过（0，1）这点。

（8）显然指数函数无界。

奇偶性

注图：（1）为奇函数（2）为偶函数

1．定义

一般地，对于函数f(x)

（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。

（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义

2．奇偶函数图像的特征：

定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。

f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对称

点（x,y）→（-x,-y）

奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

3.奇偶函数运算

(1). 两个偶函数相加所得的和为偶函数.

(2). 两个奇函数相加所得的和为奇函数.

(3). 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.

(4). 两个偶函数相乘所得的积为偶函数.

(5). 两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

(6). 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

定义域

（高中函数定义）设A,B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；

值域

名称定义

函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合

常用的求值域的方法

（1）化归法；（2）图象法（数形结合），

（3）函数单调性法，

（4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法，（8）复合函数法，（9）三角代换法，（10）基本不等式法等

关于函数值域误区

定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。

“范围”与“值域”相同吗？

“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合（即集合中每一个元素都是这个函数的取值），而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都满足这个条件）。也就是说:“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。

篇2：《函数的基本性质》知识总结

连续性

在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的.变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数(或者说具有不连续性)。

篇3：《函数的基本性质》知识总结

一、对勾函数y=x+a/x (a>0) 的简单性质

研究一个函数的基本性质, 我们都是对其定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、函数图像的特点等进行探讨.经过对对勾函数解析式的研究, 可以知道其简单性质如下:

1.对勾函数y=x+a/x (a>0) 的定义域为{x|x≠0}.

2.对勾函数 (a>0) 的值域为

3.对勾函数的单调性:在区间上单调递增;在上单调递减.

4.对勾函数y=x+a/x (a>0) 的奇偶性:在其定义域上是奇函数.

5.对勾函数y=x+a/x (a>0) 的周期性:对勾函数不是周期函数.

6.对勾函数y=x+a/x (a>0) 的图像如右图.

二、对勾函数y=x+a/x (a>0) 的基本应用———求函数的值域

【例1】求函数y=x+4/x在下列条件下的值域:

(1) (- ∞, 0) ∪ (0, + ∞ ) ; (2) (0, 2) ; (3) (-3, -2]; (4) [1, 2].

解:通过图像分析, 可以解得所求值域分别是:

(1) (-∞, -4]∪[4, + ∞) ; (2) (4, + ∞) ; (3) (-13/3, -4]; (4) [4, 5].小结: (1) 对于有些分式函数, 我们可以化为对勾函数的形式, 从而研究相关的性质.比如, 函数其分母就是对勾函数的形式;函数

(2) 利用基本不等式解决问题时, 要求满足“一正、二定、三相等”.但是很多学生在运用基本不等式求值域时, 经常忽略其中的“三相等”, 导致求出错误的值域.其根本原因就是学生在利用基本不等式求最值时, 没有注意到对勾函数的单调性.

【例2】 (1) 求函数的值域; (2) 求函数的值域; (3) 求函数的值域.

分析:用基本不等式求对勾函数y=x+4/x在区间[1, +∞) , [2, +∞) , [3, +∞) 上的值域时, 因为其满足运用基本不等式求值域的前两个条件, 所以有的学生认为可以直接用基本不等式求解, 最终求出的值域都是[4, +∞) .此时问题就出现了, 为什么三个不同的定义域对应的值域都一样?是不是对于任何不同的正区间, 该函数的值域都是一样的呢?当然, 答案是否定的.原因就在于对勾函数y=x+4/x在区间[1, +∞) , [2, +∞) , [3, +∞) 上的图像不一样, 对应的单调性也不一样. (1) (2) 中对应的定义域能满足“三相等”的条件, 但是 (3) 中的定义域不能满足“三相等”条件, 所以对应的值域也是有区别的.应这样解:通过研究对勾函数y=x+4/x的图像可知, 该函数在区间[1, +∞) , [2, +∞) , [3, +∞) 上的值域分别是[4, +∞) , [4, +∞) , [13/3, +∞) .

摘要：作为考试中出现频率较高的特殊函数——对勾函数, 文章从定义、性质、图像等给出比较全面的介绍.学生掌握了对勾函数的基础知识后, 能有效解决在平时练习中出现的基本题型——求值域问题.

篇4：函数性质与基本函数

●单调性的判断方法

①定义法：在定义域内先后进行取值、作差、变形、判正负.注意作差时须将差值f（x1）-f（x2）分解因式到可以判断正负为止.

②导数法：对函数进行求导，根据导数的正负来判断函数的单调性（必修不作要求）.

③图象法、复合函数法.其中复合函数法判断单调性遵循“同增异减”的原则.

●奇偶性的判断步骤

①先看定义域是否关于原点对称;

②其次化简判断函数值是否恒为零（既是奇函数又是偶函数）;

③最后依据“同偶奇反”的原则，由定义判断出函数f（x）与f（-x）的关系.

含有指数的函数的判断过程需注意将f（x）与f（-x）用相同的形式来表示，如f（x）中含有ax，那么也要将f（-x）中的a-x化为来表示. 含有对数的函数可以通过观察对数的真数部分相等还是互为倒数最终判断出f（x）与f（-x）的关系，如lnx与ln互为相反数.

●求周期的方法

①定义法：对定义域内任意的x，存在非零常数T，使得f（x+T）=f（x）恒成立，则T即为函数y=f（x）的一个周期.如f（x+a）=-的周期T=2a.

②公式法：y=asin（ωx+φ），y=acos（ωx+φ）的最小正周期T=;y=tan（ωx+φ）的最小正周期T=.三角函数周期一般用公式法求.

③归纳法或图象法：通过已知条件进行归纳或直接观察图象得出周期.

【提醒】

（1）注意函数单调性的隐性描述与应用：

①符号乘积描述：任意a，b∈D，a≠b，（a-b）[f（a）-f（b）]的正负恒定.

②几何描述：任意一点处的切线斜率的正负恒定（必修不作要求）.

③导数描述：单调函数的导数正负恒定（必修不作要求）.

常见的与单调性有关的问题：比较函数值大小、解不等式、求函数值域、求参数的范围等.注意所求单调区间不可超出定义域的范围.

（2）函数奇偶性的重要结论：

①若奇函数f（x）在原点有定义，则必有f（0）=0.

②奇函数在关于原点对称的单调区间部分有相同的单调性，偶函数则有相反的单调性.

（3）周期性常应用于三角函数、函数求值、数列求和等问题中.要能准确区分出f（x+a）=f（x+b）反映的是函数周期特征，f（a-x）=f（b+x）反映的是函数对称特征.一个周期函数周期的整数倍还是这个函数的周期，若无特别说明，一般在求周期问题中所求的是最小正周期.

（4）一般地，若一个函数有两个对称特征（对称轴和对称中心），则其一定为周期函数.其中对称中心与其相邻的对称轴的距离是周期的，相邻的两条对称轴或两对称中心的距离是周期的.

【自查题组】

（1）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（-∞，0]（x1≠x2），有（x2-x1）·[f（x2）-f（x1）]>0.则当n∈N*时，有 .

（A） f（-n）

（C） f（n+1）

（2）下列函数中，既是偶函数又在区间（-∞，0）上单调递增的是 .

（A） f（x）= （B） f（x）=x2+1 （C） f（x）=x3 （D） f（x）=2-x

（3） f（x）=为R上的奇函数，则实数a= .

（4）函数f（x）=log（x2-4）的单调递增区间是 .

（5）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，则f（1）=1，则f（8）+f（9）= .

知识要点：指数、指数幂与对数运算

●指数、指数幂运算公式

① n次方根：当n为奇数时，=a;当n为偶数时，=a.

② 运算性质：aras=ar+s，=ar-s，（ar）s=ars，（ab）r=arbr （a>0）.

③ 指数幂运算：a=（a>0），a-n=（n>0）.

●对数的运算公式

①指对互化：ab=N？圳logaN=b（a>0且a≠1）.

②和差公式：logaM+logaN=logaMN，logaM-logaN=loga.

③化简公式：loga MbN=loga b，aloga b=b（b>0）.

④换底公式：loga b=（c>0且c≠1），MlogaN=Nloga M.

【提醒】

①指数、指数幂与对数运算是解相应的方程、不等式和比较大小等典型常考问题的基础，解题时注意利用公式统一函数、方程、不等式或代数式的形式，如：化成同底的指数或对数形式.

②解对数函数问题应注意真数与底数的限制条件：真数大于零，底数大于零且不等于1.

③含参代数式开偶次方要注意讨论其正负才能去掉绝对值，如=a.

【自查题组】

（6）设a=log32，b=ln2，c=5-，则a，b，c的大小关系为 .

（7）方程+=3x-1的实数解为 .

（8）不等式log2（2x-1）·log2（2x+1-2）<2的解集是 .

（9）化简：①20.5+0.1-2+2--3π0+; ②a.

（10）已知2lg（x-2y）=lgx+lgy，则的值为 .

知识要点：分段函数和含有绝对值的函数

●分段函数的特征

分段函数是一个函数，但在不同范围内对应不同的表达式.其定义域是各段函数的定义域的并集，值域是各段值域的并集，最大值是各段函数最值中的最大值，最小值是各段函数最值中的最小值.

●分段函数图象画法

研究分段函数的重要方法是从它的图象入手，画分段函数的图象应先根据各段函数的表达式画出该段的函数图象，然后将各段函数图象通过定义域结合在一起，构成所求的完整图象.

●分段函数的常见问题

①求值问题：解此类问题的关键是判断自变量的值属于分段函数定义的哪一段，再代入相应的表达式计算.关于周期函数的题目，代值所得结果会出现循环（如【自查题组】第12题），这时需要反复确认自变量的值所属分段函数定义域的范围，结合相应解析式来计算结果.

②解析式问题：比如知道f（x）在某一分段区间的函数解析式求对称区间的函数解析式，这种情况通常需要结合函数的奇偶性，先将-x代入f（x）的解析式，求出f（-x），再由函数的奇偶性探究f（x）与f（-x）的关系，最后写出所求函数表达式.

●含绝对值的函数的处理策略

①换元法：如函数y=x2+2x-1可化为y=x2+2x-1后令t=x换元为二次函数y=t2+2t-1（t≥0）.

②图象变换法：y=f（x）的图象可由先保留y=f（x）原来在x轴上方的图象、把x轴下方部分沿x轴向上翻折后得到;y=f（x）的图象可由先保留y=f（x）在y轴右方的图象、去除y轴左方的图象、然后将y轴右方的图象关于y轴向左翻折后得到.

③化为分段函数：通过分类讨论绝对值内代数式的正负去绝对值，转化为分段函数.

【提醒】

（1）分段函数是一个函数，不能把它误认为是几个函数.解析式形式：f（x）=f1（x），x∈D1，f2（x），x∈D2，…

（2）含有参数的分段函数问题，利用图象法研究时要注意参数对函数图象范围的影响，关注各段图象的交点坐标与参数的联系，注意关键点的计算.

（3）求有关分段函数性质的问题时，应关注端点取值、每段函数图象是相连的还是断开的、能否取到特殊点（如奇函数能否取原点）等.

【自查题组】

（11）设函数g（x）=x2-2（x∈R），f（x）=g（x）+x+4，x

（12）已知函数f（x）=2x，x≤1，-f（x-3），x>1，则f（2014）的值为 .

（13）已知函数f（x）=lgx，010.若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是 .

（14）若f（x）=ax（x>1），4-x+2（x≤1）是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为

（15）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x<0时，f（x）=9x++7. 若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为 .

【参考答案】

（1） C

（2） A

（3） 1 【f（0）=0】

（4）（-∞，-2）【复合函数单调性遵循同增异减的原则判断】

（5） 1 【根据f（x）=-f（-x）与f（x+2）=f（2-x）求解】

（6） c

（7） x=log34

（8） {xlog2<x<log23} 【log2（2x-1）·log2[2×（2x-1）]<2，令t=（2x-1），则log2t·log2（2t）=log2t·（log22+log2t）<2.再令m=log2t，则有m2+m-2<0，解得-2

（9） ①100;②-

（10） 4 【注意对数式中真数大于0】

（11） -，0∪（2，+∞）【如图1所示】

（12） -2

（13）（10，12）【f（x）图象如图2所示，若满足题意，则平行于x轴的直线与图象有三个不同的交点，且交点横坐标分别为a，b，c】

（14） [4，8）

（15） {aa≤-} 【x=0时，f（0）=0，所以由f（x）≥a+1得a≤-1;x>0时，f（x）=-f（-x）=9x+-7，根据均值不等式可知[f（x）]min=6a-7，由题意可知6a-7≥a+1恒成立，当a≥0时不等式不恒成立，所以a<0，故a≤-. 综上所述，a≤-】

（9）化简：①20.5+0.1-2+2--3π0+; ②a.

（10）已知2lg（x-2y）=lgx+lgy，则的值为 .

知识要点：分段函数和含有绝对值的函数

●分段函数的特征

●分段函数图象画法

●分段函数的常见问题

●含绝对值的函数的处理策略

①换元法：如函数y=x2+2x-1可化为y=x2+2x-1后令t=x换元为二次函数y=t2+2t-1（t≥0）.

③化为分段函数：通过分类讨论绝对值内代数式的正负去绝对值，转化为分段函数.

【提醒】

（1）分段函数是一个函数，不能把它误认为是几个函数.解析式形式：f（x）=f1（x），x∈D1，f2（x），x∈D2，…

（2）含有参数的分段函数问题，利用图象法研究时要注意参数对函数图象范围的影响，关注各段图象的交点坐标与参数的联系，注意关键点的计算.

（3）求有关分段函数性质的问题时，应关注端点取值、每段函数图象是相连的还是断开的、能否取到特殊点（如奇函数能否取原点）等.

【自查题组】

（11）设函数g（x）=x2-2（x∈R），f（x）=g（x）+x+4，x

（12）已知函数f（x）=2x，x≤1，-f（x-3），x>1，则f（2014）的值为 .

（13）已知函数f（x）=lgx，010.若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是 .

（14）若f（x）=ax（x>1），4-x+2（x≤1）是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为

（15）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x<0时，f（x）=9x++7. 若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为 .

【参考答案】

（1） C

（2） A

（3） 1 【f（0）=0】

（4）（-∞，-2）【复合函数单调性遵循同增异减的原则判断】

（5） 1 【根据f（x）=-f（-x）与f（x+2）=f（2-x）求解】

（6） c

（7） x=log34

（8） {xlog2<x<log23} 【log2（2x-1）·log2[2×（2x-1）]<2，令t=（2x-1），则log2t·log2（2t）=log2t·（log22+log2t）<2.再令m=log2t，则有m2+m-2<0，解得-2

（9） ①100;②-

（10） 4 【注意对数式中真数大于0】

（11） -，0∪（2，+∞）【如图1所示】

（12） -2

（13）（10，12）【f（x）图象如图2所示，若满足题意，则平行于x轴的直线与图象有三个不同的交点，且交点横坐标分别为a，b，c】

（14） [4，8）

（9）化简：①20.5+0.1-2+2--3π0+; ②a.

（10）已知2lg（x-2y）=lgx+lgy，则的值为 .

知识要点：分段函数和含有绝对值的函数

●分段函数的特征

●分段函数图象画法

●分段函数的常见问题

●含绝对值的函数的处理策略

①换元法：如函数y=x2+2x-1可化为y=x2+2x-1后令t=x换元为二次函数y=t2+2t-1（t≥0）.

③化为分段函数：通过分类讨论绝对值内代数式的正负去绝对值，转化为分段函数.

【提醒】

（1）分段函数是一个函数，不能把它误认为是几个函数.解析式形式：f（x）=f1（x），x∈D1，f2（x），x∈D2，…

（2）含有参数的分段函数问题，利用图象法研究时要注意参数对函数图象范围的影响，关注各段图象的交点坐标与参数的联系，注意关键点的计算.

（3）求有关分段函数性质的问题时，应关注端点取值、每段函数图象是相连的还是断开的、能否取到特殊点（如奇函数能否取原点）等.

【自查题组】

（11）设函数g（x）=x2-2（x∈R），f（x）=g（x）+x+4，x

（12）已知函数f（x）=2x，x≤1，-f（x-3），x>1，则f（2014）的值为 .

（13）已知函数f（x）=lgx，010.若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是 .

（14）若f（x）=ax（x>1），4-x+2（x≤1）是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为

（15）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x<0时，f（x）=9x++7. 若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为 .

【参考答案】

（1） C

（2） A

（3） 1 【f（0）=0】

（4）（-∞，-2）【复合函数单调性遵循同增异减的原则判断】

（5） 1 【根据f（x）=-f（-x）与f（x+2）=f（2-x）求解】

（6） c

（7） x=log34

（8） {xlog2<x<log23} 【log2（2x-1）·log2[2×（2x-1）]<2，令t=（2x-1），则log2t·log2（2t）=log2t·（log22+log2t）<2.再令m=log2t，则有m2+m-2<0，解得-2

（9） ①100;②-

（10） 4 【注意对数式中真数大于0】

（11） -，0∪（2，+∞）【如图1所示】

（12） -2

（13）（10，12）【f（x）图象如图2所示，若满足题意，则平行于x轴的直线与图象有三个不同的交点，且交点横坐标分别为a，b，c】

（14） [4，8）

篇5：1.3函数的基本性质教学设计

一、教材分析

函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据。

二、学情分析

学生在初中已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数的图像与性质，通过这些基本初等函数引入函数的单调性和最值，学生还是比较容易接受的。但很多学生关于二次函数的性质仍然不是很清晰，学生的阅读理解能力较弱，教师需要引导学生对函数的单调性以及最值的定义理解透彻。

三、教学目标

1、知识技能：运用已学过的函数特别是二次函数的图像，理解函数的单调性、最值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性，会求函数的单调区间及求函数的最值。

2、数学思考：树立数形结合思想解决问题的意识。

3、问题解决：通过学习数学推理的能力，体会数学推理的严谨性。

4、情感态度：体会数学语言的简洁性与明确性，发展运用数学语言交流问题的能力。

四、教学重难点

1、教学重点：理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；求函数的单调区间和最值；运用函数图象理解和研究函数的性质。

2、教学难点：运用函数图象理解函数单调性的定义，研究基本函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值。

五、教法、学法

1、教法：我将会采用讲授法，讨论法等教学方法来进行这一节的学习。在课堂开始，我将会创设一个问题情境，带学生体会问题，在学生的讨论之下，得出增函数、减函数的概念，进一步推出单调性以及单调区间的定义。在学生对这些知识点有了一定的了解后，结合物理实例展开定义证明。

2、学法：学生采取思考问题，小组讨论解决问题，简单应用，练习巩固等学习方法，让学生在获取新知识及解决问题的方法后，合作交流、共同探索，使之由被动学习转化为主动的自主学习。

六、教学过程

（一）问题情境

1.说说下列实例中曲线的变化趋势？

a.某市在某一天温度的变化曲线图 b.某工厂2003-2012年的生产总值数据

1800生产总值（亿元）*********2010时间（年）20122014系列1

2.分别作出函数yx，yx2，yx2的图像，并且观察函数变化规律？

总结这两道题的曲线变化规律，得出增函数、减函数的定义，进而推出单调性的概念。

（二）定义生成

一般地，设函数fx的定义域为I。

1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有fx1fx2，那么就说fx在这个区间上是增函数。

2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有fx1fx2，那么就说fx在这个区间上是减函数。

如果函数yfx在某区间上是增函数或减函数，那么就说函数fx在这一区间具有（严格的）单调性，这区间叫做yfx的单调区间。

在单调区间上增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。

（三）运用提升

例1：如图是定义在区间［－5，5］上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

1的图像。x这个函数的定义域是什么？

在这个函数的定义域上的单调性是什么？例2：画出反比例函数y探究：如何用定义证明函数fxx21在0，上为增函数？

变式训练1：求函数fxx21的单调区间；

变式训练2：讨论函数fxkx21在0，的单调性。

（四）归纳总结

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明。求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取值 → 作差 → 变形 → 定号 → 下结论

（五）作业布置

篇6：《函数的基本性质》知识总结

教学设计

一、内容和内容解析

函数思想是贯穿高中数学的一根主线，函数的基本性质又是函数一章的重点内容。一方面，它是对以前所学具体函数的一次总结，又是函数知识的一次拓展，对后续学习指、对数函数、三角函数有重要的指导作用。另一方面，函数的单调性与最大(小)值是初等数学与高等数学衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数的单调性与最大(小)值在解决实际问题中有着相当重要的作用。因此，函数单调性与最大(小)值的教学，在教材体系中有着不可替代的位置，又有着重要的现实意义。

函数的单调性最大(小)值是函数的重要性质之一，它是研究函数值与自变量变化的一种关系，既要求学生结合函数的图象（直观性）来研究函数单调性和最大(小)值，也要求学生利用函数单调性和最大(小)值的定义（严谨性）来研究函数单调性和最大(小)值。因此本节课的教学重点是函数的单调性与最大(小)值的概念及其几何意义；判断、证明函数单调性；求函数的最大(小)值，利用单调性和最大(小)值来解决实际问题，培养学生的函数思想，数形结合思想以及应用数学意识。

二、目标和目标解析

1、通过观察一些函数图象的特征，形成函数单调性的直观认识。再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出函数单调性的定义。理解函数单调性的定义，能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性。

2、通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最大（小）值，由此得出函数最大（小）值的定义。理解函数最值的定义，掌握求最值的基本方法和基本步骤，能解决相关实际问题。

3、利用函数的单调性和图象求函数在闭区间上的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，增进对数学应用价值的认识，激发学习数学兴趣与热情。

4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质，利用函数的性质来画函数的图象（草图），培养学生数形结合的思想和应用数学意识。

5、函数单调性和最大（小）值的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程。培养学生的探究能力和创新精神，体验到思考与探索的乐趣，培养学生勇于探索，善于研究的精神，挖掘其非智力因素的资源，培养学生良好的思维品质。

三、教学问题诊断分析

函数的单调性这一性质学生在初中曾经接触过,但只是从图象上直观分析图象的上升与下降，而现在要求把它上升到理论的高度，用准确的数学语言去刻画它。这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的，因此要在概念的形成上重点下功夫。在函数的单调性的概念教学中，学生往往在理解“任意两个”、“都”这两个词的含义出现障碍，误认为“有两个”、“某两个”，而教学中利用函数的图象，举一些反例加以理解巩固。函数的单调性一定与某个区间相对应，而学生容易犯“某个函数单调递增（减）函数”这一错误。“函数在（-∞，0）上y随x增大而减少，在（0，+∞）上y随x的增大而减少。”

在定义域内是减函数，即把两个单调区间进行合并；分别在而学生容易错误理解函数区间上取两个数-1和5，-1<5，而f(-1)

四、学习行为分析

学生在学习本节内容之前已经学习了函数的定义，表示法，图象，也学习了一次函数，二次函数，反比例函数的函数值y与变量x之间的关系，特别是学习了二次函数的最大（小）值，这为理解函数的单调性和最大（小）值奠定了一定的基础。但另一方面，以前对函数的单调性和最大（小）值的研究是一种定性的研究，侧重于直观的思维，而本节内容是要对函的最值，讨论函数

（x>0）单调区间等具数单调性和最大（小）值的定量的研究，侧重于逻辑思维能力，这给学生的学习带来了较大的困难。因此，在教学过程中，多创设熟悉的问题情景：如在引课中利用建造一个长方形的花坛，构造熟悉的二次函数，上课中所举例子都是一些常见的函数来加以落实。在定义教学中，多给学生思考问题的时间和空间，引导学生观察，归纳，总结。特别利用数形结合，定性与定量相结合，尽量让学生用数学语言来描述，以便于学生的理解和掌握。利用类比教学法：当介绍了增函数的定义之后，让学生自己得出相应减函数的定义；当介绍了函数最大值的定义之后，让学生自己得出函数最小值的定义；便于学生进一步加深对定义的理解。对于一些容易出错的问题采取纠错教学法：“函数上y随x的增大而减少，则函数

在(-∞,0）上y随x的增大而减少,在（0,+∞）

在定义域内是减函数”。“所有函数是否都有最大（小）值？”、“函数在相应的区间内是否一定有单调性？”。还有一些比较复杂的问题：“确定函数的单调区间”等问题让学生去讨论，去探究，教师积极引导，培养学生的自主探究能力。

五、教学支持条件分析

函数的单调性和函数的最大（小）值这一性质学生在初中接触到过，但只侧重于图象上直观分析，而现在要求把它上升到理论的高度，用准确的数学语言去刻画它。这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的，为了突破这一难点，充分发挥信息技术的辅助教学的功能。在概念教学中，首先利用多媒体技术画出函数y=x，y=x2，y=x3相应的函数的图象，然后在函数上取不同的点，由学生观察函数的值y随x的变化而变化的规律，化静为动，化抽象为直观，便于学生理解。对于概念中的一些关键字词，比如 “任意”、“都”、“存在”在多媒体课件中用不同的颜色加以标明，便于学生加深印象。对于一些容易出错的问题采取小组讨论法，纠错法。例如教师提出“讨论函数的单调性”，让学生分组讨论，然后推荐代表发言。有学生会回答是“递减函数”，理由是“图形的形状是下降”。也有同学会回答“不是单调函数”，理由是“因为x1=-1，x2=1时，x1

六、评价设计

《高中数学课程新标准》中提出：“对学生数学学习的评价，既要关注学生知识与技能的理解和掌握，更要关注他们情感与态度的形成与发展；既要关注学生数学学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展。”根据新课程标准的要求，发展性评价的核心是关注学生的发展、促进学生的发展，实现评价发展性功能的一个重要举措就是突出评价的过程性，评价将贯穿于教学的整个过程，将学生在数学学习活动过程中的全部情况都纳入评价的范围，而不只是评价学生的学习的结果。在本教学设计过程中，始终注重过程评价，注重评价的针对性，实效性。主要体现在三个方面：一是基础知识掌握情况的评价。对函数的单调性和函数的最大（小）值的定义能否深刻的，全面的理解，特别是一些关键字词，如“任意两个”、“都”、“存在”的理解。举出正面和反面的例子让学生辨别，个别评价与集体评价相结合。二是基本技能掌握情况的评价。主要包括函数单调性判断的基本方法（图象法，定义法，复合函数法），如何选择不同的方法。证明函数单调性的基本步骤和基本策略（主要是作差变形的策略），单调区间的确定。求最值的基本方法的掌握情况等。三是数学思想的落实和数学探究能力培养的评价。运用函数图象理解和研究函数的性质，利用函数的性质来画函数的图象（草图），提升学生数形结合的思想。函数单调性和最大（小）值的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程。让学生真正参与到数学活动中来，让学生真正成为学习的主人。（具体的教学评价见教学过程）

七、教学过程设计设计环节设计意图师生活动

教师提出问题：

“问题是数学的心脏”，把问题作为出发点，为一．创设情境，导下一步提出探索性的出问题

问题创设有效的学习

学校准备建造一个长环境。

方形的花坛，周长设计为16米。由于受周围地理位置限制，其中一边的长度既不能超过6米，又不能少于1米。

二、借助信息技y=x，y=x，y=，y=x3 术，利用熟悉的函学生动手画图，个别板演，集体探讨函数值与自变从形象、直观的图形入数，给出单调性直量之间的关系，教师适当引导。

手，为探索与思考问题观认识。y=x在R上y随x的增大而增大。

提供方向和“路标”，并

借机发展学生的动手y=x在(-∞,0)上y随x的增大而减少，在(0,+∞)上y

实践能力、创新能力、随x的增大而增大。

和探索能力。y=在（-∞，0）上y随x的增大而减少,在（0，+∞）上y随x的增大而减少。

y=x3 在R上y随x的增大而增大。

教师利用信息技术，动画演示函数的图象。

怎样用数学语言表示y=x在R上y随x的增大而增大呢？（学生讨论，教师引导，得出增函数的定义）(学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住从定性描述到定量描时机予以启发，纠正，补充)。述，从通俗的日常用语一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I到严谨的数学语言，让内某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2,当x1

三、从定性到定会逻辑地、合理地思考量，引出单调性的问题。定义，并能深刻理解定义的含义。

增函数(increasing function)

注意数形结合，定义是用类比的方法得出减函数的定义：严谨的语言，图象是直如果对于属于I内某个区间D上的任意两个自变量观的语言，注意两者有值x1、x2,当x1 f(x2).那么就说f(x)在机的结合。这个区间D上是减函数(decreasing 问

1、建立面积y与一边长x的函数关系式。

生：y=x(8-x)(1≤x≤6)

问

2、画出上面函数的图象。

问

3、指出y的值与x值的变化关系。以实际问题为背景、以生：当1≤x≤4时，y随x值的增大而增大，学生熟悉的一元二次当4≤x≤6时，y随x值的增大而减小。函数为入口点，激活学问

4、求出面积的最大值与最小值。生原有的认知，让学生

生：当x=4时，Smax=16m；当x=1时，Smin=7m 对所要学的新知获得感性的认识。引导学生解决，体会函数单调性与最大（小）值在实际中的应用。

请学生分别画出下列函数的图象，并探讨函数值y与自变量x之间的关系：

利用类比方法，实现知识与能力的迁移教师提出问题，让学生

在自主探索，讨论，在function)合作交流中，充分体现如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或减函数。学生学习的主体性，对那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调概念进一步深入的领性，区间D叫做y= f(x)的单调区间.会。

1、“函数y=x2是单调递增函数”这一说法对吗？

2、y=在（0,+∞）上是减函数，在(-∞,0)是减函数，能否说函数在整个定义域上是减函数？

3、函数在某个区间是否一定具有单调性？

4、如何理解定义中“任意”两个字？

1、教材例（1）p34讲解：让学生自己通看教材，例（1）是利用函数的学生提问，学生自行解决，师生共同总结：图象来判断函数的单（1）单调性与端点无关。

调性，具有直观性，也（2）判断函数的基本方法-----图象法。是常用方法。

2、教材例（2）p34讲解：教师板演，师生共同总结：

四、讲解例题、巩（1）判断函数的基本方法-----定义法。

固知识，提高能（2）总结定义法证明单调性的基本步骤：

力。例（2）是利用单调性 1 任取x1，x2∈D，且x1

深对定义的理解。⑤下结论（指出函数f(x)在区间D上的单调性）

3、在解题中，根据题目的实际情况和具体要求，选择适当的方法。

从熟悉，具体的二次函数入手，探讨最大，最小值，让学生有感性认

五、回归引例，探识。

重新演示讨最大（小）值的

含义引例函数的图象及面积的最大值与最小值

分析上面图象可以发现，函数y=x(8-x)(1≤x≤6)的图象上有一个最高点（4，16），任意的x∈［1,6］,用数学语言描述最大都有f(x)≤f(4),当一个函数f(x)有最高点，我们就说值，最小值。函数有最大值。有一个最低点（1，7），任意的x

∈［1,6］,都有f(x)≧f(1),当一个函数f(x)有最低点，我们就说函数有最小值。而函数f(x)=x的图象没有

最高点也没有最低点，所以函数f(x)=x没有最大值，也没有最小值。

得出函数最大值的定义：从特殊到一般，揭示数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实学通常的发现过程，便数M满足：于学生接受。⑴ 对于任意的x∈I,都有f(x)≤M；

⑵存在x0∈I，使得f(x0)=M

那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值（maximum value）利用类比方法，实现知让学生仿照最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小

六、归纳最大(小）识与能力的迁移值的定义（minimum value）。值的定义，并加以一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实

说明，解释数M满足：

⑴ 对于任意的x∈I,都有f(x)≥M；教师提出问题，让学生⑵存在x0∈I，使得f(x0)=M 在自主探索，讨论，在那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值（maximum 合作交流中，对概念进value）一步深入的领会。

1、函数y=x、y=有没有最值？

2、如何理解定义中的“存在”“任意”的含义？

3、以前求最值有哪些方法？

例(3）、例(4)的教学采用自学导学法，按以下步骤实施：

例(3)是学生熟悉的烟

1、学生通读题目，理解题意花问题，可转化为二次

2、利用多媒体演示动画，激发学生学习兴趣。函数来解决，难度不

3、学生自学，相互讨论，共同解决。大。

4、学生提问，教师答疑。

七、函数单调性、5、师生共同小结求最值的基本方法：

最大（小）值应用

（1）转化为二次函数的最值问题。例(4)是单调性与最值①配方法问题的综合，具有一定②注意实际问题的条件限制。的难度。注意转化为反（2）利用函数的单调性求最值------在闭区间上。比例函数，利用数形结①先证明在在闭区间上具有单调性。合。②端点值即为函数的最值。利用课堂练习巩固所课堂练习：学的知识内容，数学思课本第38页练习

1、练习

2、练习

3、练习4。想，数学方法，以达到学生独立思考与讨论相结合，教师巡查，个别辅导

八、练习、交流、教学目标，本环节以个与

反馈、评价

别辅导为主，体现面对集体辅导相结合。全体学生的课改新理念。

九、课堂小结通过学生自我小结，既知识小结：

充分发挥学生的主观

1、函数单调性，最大（小）值的概念。

能动性，提高学生分

2、判断函数单调性的基本方法。

十、布置作业析，概括，综合，抽象

3、用定义法判断函数的基本步骤能力，又有利于学生把

4、求最大（小）值的基本方法。新知融入自己已有的师生、生生互动：知识体系。

1、你觉得本节课中印象最深的是什么？

2、你觉得本节课中最大的困惑是什么？让学生提问题，自行解决，教师适当补充。

沟通课内与课外，使学作业布置

生基础性学力与发展

1、书面作业：课本P45习题1．3（A组）第1-5性学力协调发展，让不题．

同学生得到不同的发

2、研究性作业：设f(x)是定义在R上的增函数，展。f(xy)=f(x)+f(y)，1）求f(0)、f(1)的值；

2）若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1解集

八、设计反思

在普通高中数学课程标准强调高中数学活动中的师生互动，明确指出“必须关注学生的主体参与，师生互动”进行在教师指导或引导下“数学化”过程，“再创造”过程。建构主义认为，知识是在原有知识的基础上，在人与环境的相互作用过程中，通过同化和顺应，使自身的认知结构得以转换和发展。备课不只是对知识和教学内容的准备，也包括对学生、学情的分析和掌握.二者的和谐统一是提高教学效果的基本要求。发现、探究、讲解、演练相结合教学法的确立，就是基于对学生认知基础和认知规律的关注。

篇7：《函数的基本性质》知识总结

（一）、基本概念及知识体系：

教学要求：掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。

教学重点：掌握函数的基本性质。教学难点：应用性质解决问题。(二)、教学过程：

一、复习准备：

1.讨论：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值？ 2.提问：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义？

二、教学典型习例： 1.函数性质综合题型： ①出示

★例1：作出函数y＝x－2|x|－3的图像，指出单调区间和单调性。

分析作法：利用偶函数性质，先作y轴右边的，再对称作。→学生作 →口答

→ 思考：y＝|x－2x－3|的图像的图像如何作？→

②讨论推广：如何由f(x)的图象，得到f(|x|)、|f(x)|的图象？ ③出示 ★例2：已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数分析证法 → 教师板演 → 变式训练

④讨论推广：奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系？

（偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致）2.教学函数性质的应用：

①出示例3 ：求函数f(x)＝x＋221(x>0)的值域。x分析：单调性怎样？值域呢？→小结：应用单调性求值域。→ 探究：计算机作图与结论推广 ②出示

2.基本练习题：

2xx(x0)①判别下列函数的奇偶性：(1)、y＝1x＋1x、（2）、y＝

2xx(x0)（变式训练：f(x)偶函数，当x>0时，f(x)=….，则x<0时，f(x)=?）

三、巩固练习：

ax2b1.求函数y=为奇函数的时，a、b、c所满足的条件。（c=0）

xc2.已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b为偶函数，其定义域为[a-1,2a]，求函数值域。3.f(x)是定义在(-1,1)上的减函数，如何f(2－a)－f(a－3)<0。求a的范围。4.求二次函数f(x)=x2－2ax＋2在[2,4]上的最大值与最小值。5.课堂作业： P43 A组6题，B组2、3题。

四、应用题训练：

x(1x)(当x0时)★例题

1、画出下列分段函数f(x)= 的图象：（见教案P35面例题2）

x(1x)(当x0时)2x2x(当x0时)★例题

2、已知函数f(x)=2，确定函数的定义域和值域；判断函数的奇偶

x2x(当x0时)性、单调性。（见教案P35面例题3）

★【例题3】某地区上电价为0.8元/kWh，年用电量为akWh。本计划将电价降到0.55元/kWh至0.75元/kWh之间，而用户期望电价为0.4元/kWh经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）。该地区电力的成本为0.3元/kWh。

（I）写出本电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；

（II）设k0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？（注：收益=实际用电量×（实际电价-成本价））解：（I）：设下调后的电价为x元/kwh，依题意知用电量增至为

yka，电力部门的收益

x0.4kax0.30.55x0.75（II）依题意有

x0.40.2aax21.1x0.30x0.3a0.80.3120%, x0.4 整理得  0.55x0.750.55x0.75.解此不等式得 0.60x0.75

答：当电价最低定为0.6x元/kwh仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%。

★【例题5】某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养值提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克.根据市场调查,当8≤x≤14时,淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系: 当P=Q时市场价格称为市场平衡价格.(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域;(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元,政府补贴至少为每千克多少元? ●解:(1)依题设有

化简得

5x2+(8t-80)x+(4t2-64t+280)=0.当判别式△=800-16t2≥0时，由△≥0,t≥0,8≤x≤14,得不等式组:解不等式组①,得,不等式组②无解.故所求的函数关系式为

(2)为使x≤10,应有

≤-5,由t≥0知t≥1.从而政府补贴至少为每千克1元.（五）、2007年高考试题摘录：

化简得t+4t-5≥0.解得t≥1或t

2★题

1、（07天津）在R上定义的函数fx是偶函数，且fxf2x，若fx在区间1,2是减函数，则函数fx（B）A.在区间2,1上是增函数，区间3,4上是增函数；B.在区间2,1上是增函数，区间3,4上是减函数；C.在区间2,1上是减函数，区间3,4上是增函 2 数；D.在区间2,1上是减函数，区间3,4上是减函数

x2,★题

2、(07浙江)设fxx,x1，gx是二次函数，若fgx的值域是0,，x1则gx的值域是（C）A.,11, B.,10, C.0, D.1,

★题

3、(07福建)已知函数fx为R上的减函数，则满足f1xf1的实数x的取值范围是（C）A.1,1 B.0,1 C.1,00,1 D.,11,

★题

4、(07福建)已知函数fx为R上的减函数，则满足f1xf1的实数x的取值范围是（C）A.1,1 B.0,1 C.1,00,1 D.,11,

★题

5、(07重庆)已知定义域为R的函数fx在区间8,上为减函数，且函数yfx8为偶函数，则（D）A.f6f7 B.f6f9 C.f7f9 D.f7f10

★题

6、（07安徽）若对任意xR,不等式x≥ax恒成立，则实数a的取值范围是（B）A.a＜-1 B.a≤1 C.a＜1 D.a≥1 ★题

7、（07安徽）定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程f(x)0在闭区间T,T上的根的个数记为n，则n可能为（D）

A.0 B.1