凹凸函数的性质

凹凸函数的性质（精选11篇）

篇1：凹凸函数的性质

凹凸函数的性质

12文丽琼 营山中学

四川营山 637700 2营山骆市中学

四川营山

638150

摘要：若函数f(x)为凹函数，则f(xx112xnnxnn)f(x1)f(x2)f(xn)nf(x1)f(x2)f(xn)n

xx

若函数f(x)为凸函数，则f(2)

从而使一些重要不等式的证明更简明。

中图分类号：

文献标识号：

文章编号：

高二数学不等式，教材上只要求学生掌握两个数的均值不等式，教材上的阅读材料中，证明了三个数的均值不等式，从而推广到多个数的情形。学有余力的学生，会去证多个数的情形。仿照书上去证，几乎不可能。下面介绍凹凸函数的性质，并用来证明之，较简便易行。

凹函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的下方，则函数f(x)叫做凹函数。如图

（一）凸函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的上方，则函数f(x)叫做凸函数。如图

（二）性质定理 若函数f(x)是凹函数，则

f(x1x2xnnxnn)f(x1)f(x2)f(xn)nf(x1)f(x2)f(xn)n

若函数f(x)是凸函数，则

xxf(12)

证明：若函数f(x)是凹函数，如下图

xx点P（12

xnnxx,f(12xnn)）在f(x)上

设过P点的切线方程为：y=ax+b 则

f(x1x2xnn)ax1x2xnnb

（1）

∵f(x)是凹函数，切线在函数图像下方

∴f(x1)ax1b;f(x2)ax2b;…;f(xn)axnb ∴f(x1)f(x2)f(xn)nxnnax1x2xnnb

(2)由（1），（2）得

xxf(12)f(x1)f(x2)f(xn)n

若函数f(x)为凸函数，如下图

xx

点P（12

xnnxx,f(12xnn)）在f(x)上

设过P点的切线方程为：y=ax+b 则

f(x1x2xnn)ax1x2xnnb

（1）

∵f(x)是凸函数，切线在函数图像上方

∴f(x1)ax1b;f(x2)ax2b;…;f(xn)axnb ∴f(x1)f(x2)f(xn)nax1x2xnnb

(2)由（1），（2）得

xxf(12xnn)f(x1)f(x2)f(xn)n

定理证明过程要结合图像形象理解，也便于掌握。下面证明均值不等式和高斯不等式。

xx均值不等式：12xnnnxx12xn

（x1,x2,,xn＞0）

证明：∵ y=lgx 是凸函数

∴lg(x1x2xnn2)lg(x1)lg(x2)lg(xn)n

xx

∴lg(1xnn)lgnxx12xn

即

xx12xnnnxx12xn

（x1,x2,,xn＞0）

高斯不等式：证明：∵ yxx1n22xn11xx121xn

（x1,x2,,xn＞0）

1(x>0)是凹函数 x11

2∴

1(x1x2xn)／nxx1n1xn

即

x1x2xnn211xx121xn

（x1,x2,,xn＞0）

以上两个不等式的证明，非常简明，下面再举几个性质定理应用的例子。例1 A、B、C为三角形三内角，求证sinA+sinB+sinC≤

证明：∵A、B、C为三角形三内角 ∴A+B+C=π

A>0 B>0 C>0 又∵ y=sinx(0

∴

3333 2

∴sinAsinBsinCπsin

即

SinA+sinB+sinC≤

222222n1xx2xn)xxx例2 求证(1nn

证明：∵ yx 为凹函数

xx2xn)xxx

∴(1nnxxxxxx12n例3 求证（（k∈N）)nn

证明：∵ yx

（k∈N）为凹函数

2222n12k2k2k22kn12k2xx2xn)

∴(1n2kx2k1x2xnn2k2k

通过以上例子，可以看出，关键在于找到合适的凹函数或凸函数，再用性质定理，问题可得解决。

篇2：凹凸函数的性质

不等式的证明是高中数学中的一个重要内容.由于证题方法多、技巧性强,所以是一个难点.本文介绍应用凹(或凸函数的性质证明不等式的方式,希望给读者以启迪,并起到抛砖引玉的作用.定义 已知函数y =f(x 在给定区间[a ,b ]上,若x 1,x 2∈[a ,b ]恒有f(x 1+ f(x 2≤2f(x 1+x 2 2(当且仅当x 1=x 2时取等号,则称f(x 在[a ,b ]上是凸函数;若恒 有f(x 1+f(x 2≥2f(x 1+x 2 2(当且仅当x 1=x 2时取等号,则称f(x 在[a ,b ]上是凹函数.应用数学归纳法,我们可以证明下面的凹(或凸函数的性质.定理 若函数f(x 在某区间内是凹(或凸函数,则对变数在这区间内的任意值x 1,x 2,x 3,…x n 有以下不等式成立:

f(x 1+x 2+…+x n n ≤f(x 1+f(x 2+…+f(x n n , 当且仅当x 1=x 2=…,=x n 时取等号(对于凸函数不等式方向相反.由凹函数的 定义可知y =x 2(x ∈R ,y = 1 x(x >0为凹函数.事实上,任给x 1,x 2∈R ,都有 x 21+x 22≥12(x 21+2x 1x 2+x 2 2=2(x 1+x 22 2 ,∴ y =x 2(x ∈R 是凹函数.对于任意x 1,x 2∈R +, 1x 1

+ 1x 2 =x 1+x 2x 1 x 2≥ 2x 1 x 2 x 1 x 1 = 2x 1 x 2 ≥ 2 x 1+x 2 2 , 故 y = 1x , x ∈R +是凹函数.利用定义我们还可以证明 y =sin x , x ∈(0,Π是凸函数.下面我们应用凹(或凸 函数的性质,给出某些不等式的证明.例1 已知Α为锐角,求证:

(1+1sin Α(1+1 co s Α ≥3+2 2.证明 ∵ Α为锐角, ∴ sin Α>0, co s Α>0.又 y = 1 x(x ∈R +为凹函数,∴(1+ 1sin Α(1+1 co s Α

=1+1sin Αco s Α+1sin Α+ 1 co s Α ≥1+2sin2Α+ 2 sin Α+co s Α 2 =1+2sin2Α+ 4

2sin(Α+ Π

4≥1+2+4 2 =3+2 2.例2 已知A 1,A 2,A 3,…,A n 是凸n 边形的n 个内角.求证: sin A 1+sin A 2+…+sin A n ≤n sin(n-2Π n.证明 由平面几何知识可知 A i ∈(0,Π,i =1,2,3,…,n ,且A 1+A 2+…+A n =(n-2Π.又y =sin x ,x ∈(0,Π 是凸函数.∴ sin A 1+sin A 2+…+sin A n ≤n sin A 1+A 2+…+A n n =n sin(n-2Πn.而已知A、B、C 为△A B C 的内角, 则 sin A +sin B +sin C ≤

2 是上

述命题中n =3时的特例.例3 已知a +b +c =1,且a、b、c ∈R +,求证:(a +1a 2+(b +1b 2+(c +1c 2≥102 3.证明(a + 1a 2+(b +1b 2+(c +1c 2 ≥3[(a + 1a +(b + 1b +(c +1c ]2 =3[(a +b +c +(1a +1b + 1c 3 ]2 ≥3(1 3 +13 3 1 a + b +c 3 2=3×(13+32=102.应用上题方法可以得到下面的结 7 42004年第11期

中学数学 概率小议

——兼谈广东省2004年高考第13题510631 华南师范大学数学系 孙道椿 1概率的统计定义:记某个随机事件为A,若在u次彼此无关的试验(或观察中出现了v次,则称F u(A=v u 为随

机事件A在u次独立试验中出现的频率.事件 A发生的频率v u 会在某一常数P附近摆动, 且当u越大时,这种摆动幅度越小,则称常数P为事件A的概率,记为P(A.概率的统计定义是一种最基础的定义.它说明了事件的概率是客观存在的.也给出了概率的最原始的求法.从定义可以看出,我们指的随机现象应具有二个条件: ①不确定性:每次实验的结果(事件具有多个可能性,且不能确定每次试验会出现哪种结果.②可重复性:在相同的条件下,试验可重复进行;或者可以同时进行多次的相同试验.平常,人们对第一个条件——不确定性映象很深.对第二个条件——可重复性,往往容易忽视.从定义可以看出,概率论是一门实践性很强的科学.忽视了可重复性,就忽视了它的重要基础.有些事情:比如美国的总统选举.虽然选举前不能确定它的结果,但它不满足可重复性.所以它不是数学中所指的随机现象.因此也不存在“概率”的问题,实际生活中也很少有人问它的概率大小.如果有四人预测美国的选举结果: 甲说“布什有95◊的可能当选.” 乙说“布什有50◊的可能当选.” 丙说“布什有5◊的可能当选.” 丁说“布什肯定不会当选.”

若结果是布什当选了,上面仅有丁一人说错,若布什没有当选,上面四人全没有错,由于美国的选举不可重复.实际上,前面三人说的话是不可验证的,它只是反映了说话人的主观态度及认识,在概率论中是无意义的.一般的随机事件,用统计定义求出它的概率,需要做多次实验(而且还不能找出精确值.为此,对实验合理的设计,数据的处

论: 当x1,x2,…,x n∈R+,且x1+x2+…+ x n=1时,则有(x1+1 x12+(x2+1

x2 2+…+(x n+1 x n 2 ≥(n2+12 n.例4 设a、b、c为△A B C的三边,S是 △A B C的面积.求证: a2+b2+c2≥43S.(第三届国际中学生竞赛题证明 a2+b2+c2≥ab+bc+ca =ab sin C sin C + bc sin A sin A + ca sin B sin B

=2S(1 sin A + 1 sin B + 1 sin C.① 又 y=1 x(x>0为凹函数, ∴ 2S(1 sin A + 1 sin B + 1

sin C ≥2S3

sin A+sin B+sin C 3 =2S 9 sin A+sin B+sin C.②

即 y=sin x, x∈(0,Π为凸函数, 又

sin A+sin B+sin C ≤3sin A+B+C 3 = 33 2 ,③

由①②③可得 a2+b2+c2≥2S 9

2 =43S.通过以上几个不等式的证明,对比常见 的证明方法,显然利用凹(或凸函数的性质 证明不等式要简捷得多.同时我们还可以看 到应用函数的凹凸性证明不等式,不仅可以 巩固有关基础知识,使得某些复杂问题简单 化,而且可以培养学生的解题技巧,发展学生 的思维能力.(收稿日期:20040910 84中学数学

篇3：函数的凹凸性在解题中的应用

一、函数的凹凸性

定义:设f为定义在区间I上的函数, 若对I上的任意两点x1, x2和任意实数λ∈ (0, 1) 总有:

则称f为I上的凸函数.

反之, 如果总有:

则称f为I上的凹函数.

定理1 f为I上的凸函数的充要条件是:对于I上的任意三点x1< x2< x3, 总有:

f为I上的凹函数的充要条件是:对于I上的任意三点x1< x2< x3, 总有:

定理2 f为I上的凸函数的充要条件是:对于I上的任意两点x1≠x2, 总有:

f为I上的凹函数的充要条件是:对于I上的任意两点x1≠x2, 总有:

定理3设f为区间I上的二阶可导函数, 则在I上f为凸 (凹) 函数的充要条件是:

二、函数的凹凸性在解题中的应用

【例1】 (2013年蚌埠二质检第15题) 已知点是函数y = x2的图像上任意不同两点, 依据图像可知, 线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方, 因此有结论成立. 运用类比思想方法可知, 若点A (x1, lgx1) , B (x2, lgx2) 是函数y = lgx (x∈ (0, + ∞ ) ) 的图像上的不同两点, 则类似地有____成立.

分析:本题考查类比推理及函数的凹凸性, 主要要求学生能理解题目给出的已知条件或教师在平时的教学中渗透函数的凹凸性的相关内容. 根据题意和函数的凹凸性易知答案为

【例2】 (2012年蚌埠一质检第21题) 已知函数f (x) = 2x + alnx (a∈R) .

(1) 讨论函数f (x) 的单调性;

(2) 若函数f (x) 的最小值为φ (a) , 求φ (a) 的最大值;

(3) 若函数f (x) 的最小值为φ (a) , m、n为φ (a) 定义域A内的任意两个值, 试比较与的大小.

解析: (1) (2) 略.

(3) 由 (1) (2) 知

则, 即函数u (t) 在区间 (1, + ∞ ) 上单调递增.

从而u (t) >u (1) =0.

但n/2< 0, 故

篇4：函数的凹凸性在解题中的应用

一、函数的凹凸性

定义：设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1，x2和任意实数λ∈（0，1）总有：

f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），

则称f为I上的凸函数.

反之，如果总有：

f（λx1+（1-λ）x2）≥λf（x1）+（1-λ）f（x2），

则称f为I上的凹函数.

定理1 f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意三点x1

f（x2）-f（x1）x2-x1≤f（x3）-f（x2）x3-x2.

f为I上的凹函数的充要条件是：对于I上的任意三点x1

f（x2）-f（x1）x2-x1≥f（x3）-f（x2）x3-x2.

定理2 f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意两点x1≠x2，总有：

f（x1）+f（x2）2≥ff（x1+x2）2.

f为I上的凹函数的充要条件是：对于I上的任意两点x1≠x2，总有：

f（x1）+f（x2）2≤ff（x1+x2）2.

定理3 设f为区间I上的二阶可导函数，则在I上f为凸（凹）函数的充要条件是：

f″（x）≥0（f″（x）≤0） x∈I.

二、函数的凹凸性在解题中的应用

【例1】 （2013年蚌埠二质检第15题）已知点A（x1，x21），B（x2，x22）是函数y=x2的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方，因此有结论x21+x222>（x1+x22）2成立.运用类比思想方法可知，若点A（x1，lgx1），B（x2，lgx2）是函数y=lgx（x∈（0，+∞））的图像上的不同两点，则类似地有 成立.

分析：本题考查类比推理及函数的凹凸性，主要要求学生能理解题目给出的已知条件或教师在平时的教学中渗透函数的凹凸性的相关内容.根据题意和函数的凹凸性易知答案为lgx1+lgx22

【例2】 （2012年蚌埠一质检第21题）已知函数f（x）=2x+alnx（a∈R）.

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若函数f（x）的最小值为φ（a），求φ（a）的最大值；

（3）若函数f（x）的最小值为φ（a），m、n为φ（a）定义域A内的任意两个值，试比较φ（m）+φ（n）2与φ（m+n2）的大小.

（责任编辑 钟伟芳）

函数的凹凸性是函数的一个重要性质，在各地质检和高考中经常考到函数的凹凸性的应用，若能灵活应用函数的凹凸性，则在解决高中数学有关导数的问题时就能起到事半功倍的效果.本文简单介绍一下函数的凹凸性及其简单应用.

一、函数的凹凸性

定义：设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1，x2和任意实数λ∈（0，1）总有：

f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），

则称f为I上的凸函数.

反之，如果总有：

f（λx1+（1-λ）x2）≥λf（x1）+（1-λ）f（x2），

则称f为I上的凹函数.

定理1 f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意三点x1

f（x2）-f（x1）x2-x1≤f（x3）-f（x2）x3-x2.

f为I上的凹函数的充要条件是：对于I上的任意三点x1

f（x2）-f（x1）x2-x1≥f（x3）-f（x2）x3-x2.

定理2 f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意两点x1≠x2，总有：

f（x1）+f（x2）2≥ff（x1+x2）2.

f为I上的凹函数的充要条件是：对于I上的任意两点x1≠x2，总有：

f（x1）+f（x2）2≤ff（x1+x2）2.

定理3 设f为区间I上的二阶可导函数，则在I上f为凸（凹）函数的充要条件是：

f″（x）≥0（f″（x）≤0） x∈I.

二、函数的凹凸性在解题中的应用

【例1】 （2013年蚌埠二质检第15题）已知点A（x1，x21），B（x2，x22）是函数y=x2的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方，因此有结论x21+x222>（x1+x22）2成立.运用类比思想方法可知，若点A（x1，lgx1），B（x2，lgx2）是函数y=lgx（x∈（0，+∞））的图像上的不同两点，则类似地有 成立.

分析：本题考查类比推理及函数的凹凸性，主要要求学生能理解题目给出的已知条件或教师在平时的教学中渗透函数的凹凸性的相关内容.根据题意和函数的凹凸性易知答案为lgx1+lgx22

【例2】 （2012年蚌埠一质检第21题）已知函数f（x）=2x+alnx（a∈R）.

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若函数f（x）的最小值为φ（a），求φ（a）的最大值；

（3）若函数f（x）的最小值为φ（a），m、n为φ（a）定义域A内的任意两个值，试比较φ（m）+φ（n）2与φ（m+n2）的大小.

（责任编辑 钟伟芳）

函数的凹凸性是函数的一个重要性质，在各地质检和高考中经常考到函数的凹凸性的应用，若能灵活应用函数的凹凸性，则在解决高中数学有关导数的问题时就能起到事半功倍的效果.本文简单介绍一下函数的凹凸性及其简单应用.

一、函数的凹凸性

定义：设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1，x2和任意实数λ∈（0，1）总有：

f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），

则称f为I上的凸函数.

反之，如果总有：

f（λx1+（1-λ）x2）≥λf（x1）+（1-λ）f（x2），

则称f为I上的凹函数.

定理1 f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意三点x1

f（x2）-f（x1）x2-x1≤f（x3）-f（x2）x3-x2.

f为I上的凹函数的充要条件是：对于I上的任意三点x1

f（x2）-f（x1）x2-x1≥f（x3）-f（x2）x3-x2.

定理2 f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意两点x1≠x2，总有：

f（x1）+f（x2）2≥ff（x1+x2）2.

f为I上的凹函数的充要条件是：对于I上的任意两点x1≠x2，总有：

f（x1）+f（x2）2≤ff（x1+x2）2.

定理3 设f为区间I上的二阶可导函数，则在I上f为凸（凹）函数的充要条件是：

f″（x）≥0（f″（x）≤0） x∈I.

二、函数的凹凸性在解题中的应用

【例1】 （2013年蚌埠二质检第15题）已知点A（x1，x21），B（x2，x22）是函数y=x2的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方，因此有结论x21+x222>（x1+x22）2成立.运用类比思想方法可知，若点A（x1，lgx1），B（x2，lgx2）是函数y=lgx（x∈（0，+∞））的图像上的不同两点，则类似地有 成立.

分析：本题考查类比推理及函数的凹凸性，主要要求学生能理解题目给出的已知条件或教师在平时的教学中渗透函数的凹凸性的相关内容.根据题意和函数的凹凸性易知答案为lgx1+lgx22

【例2】 （2012年蚌埠一质检第21题）已知函数f（x）=2x+alnx（a∈R）.

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若函数f（x）的最小值为φ（a），求φ（a）的最大值；

（3）若函数f（x）的最小值为φ（a），m、n为φ（a）定义域A内的任意两个值，试比较φ（m）+φ（n）2与φ（m+n2）的大小.

篇5：函数的性质？

性质一：对称性

数轴对称：所谓数轴对称也就是说函数图像关于坐标轴X和Y轴对称。

原点对称：同样，这样的对称是指图像关于原点对称，原点两侧，距离原点相同的函数上点的坐标的坐标值互为相反数。

关于一点对称：这种类型和原点对称颇为相近，不同的是此时对称点不再仅限于原点，而是坐标轴上的任意一点。

性质二：周期性

篇6：凹凸函数的性质

一、学情分析:

1、学习过指数函数和对数函数；

2、学习过周期函数的定义；

3、学习过正弦函数、余弦函数0,2上的图象。

二、教学目标： 知识目标：

1、正弦函数的性质；

2、余弦函数的性质； 能力目标：

1、能够利用函数图象研究正弦函数、余弦函数的性质；

2、会求简单函数的单调区间； 德育目标：

渗透数形结合思想和类比学习的方法。

三、教学重点

正弦函数、余弦函数的性质

四、教学难点

正弦函数、余弦函数的性质的理解与简单应用

五、教学方法

通过引导学生观察正弦函数、余弦函数的图象，从而发现正弦函数、余弦函数的性质，加深对性质的理解。（启发诱导式）

六、教具准备

多媒体课件

七、教学过程

1、复习导入

(1)我们是从哪个角度入手来研究指数函数和对数函数的？(2)正弦、余弦函数的图象在0,2上是什么样的？

2、讲授新课

（1）正弦函数的图象和性质（由教师讲解）

通过多媒体课件展示出正弦函数在2,2内的图象，利用函数图象探究函数的性质：

ⅰ 定义域

正弦函数的定义域是实数集R ⅱ 值域

从图象上可以看到正弦曲线在1,1这个范围内，所以正弦函数的值域是1,1 ⅲ 单调性

结合正弦函数的周期性和函数图象，研究函数单调性，即：

在2k,2 k  (k上是增函数；











Z)

222k

在





,2 k  

(k 

Z)上是减函数；

223ⅳ 最值

观察正弦函数图象，可以容易发现正弦函数的图象与虚线的交点，都是函数的最值点，可以得出结论：

当

x k 



,k

 Z 时，y max



1当

x k  ,k

时，y min

  1

 Z22

ⅴ 奇偶性

正弦函数的图象关于原点对称，所以正弦函数的奇函数。ⅵ 周期性

正弦函数的图象呈周期性变化，函数最小正周期为2。（2）余弦函数的图象和性质（由学生分组讨论，得出结论）

通过多媒体课件展示出余弦函数的图象，由学生类比正弦函数的图象及性质进行讨论，探究余弦函数的性质： ⅰ 定义域

余弦函数的定义域是实数集R ⅱ 值域

从图象上可以看到余弦曲线在1,1这个范围内，所以余弦函数的值域是1,1 ⅲ 单调性

结合余弦函数的周期性和函数图象，研究函数单调性，即：

在,2 k  (k

2 k 

 



Z)上是增函数；

 2 k,2 k  

 (k 

Z)上是减函数；

在ⅳ 最值

观察余弦函数图象，可以容易发现余弦函数的图象与虚线的交点，都是函数的最值点，可以得出结论：

min 当

x

k  , k 

Z 时，y max

 1

当

x

 2 k 



 , k 

Z 时，y



 1

ⅴ 奇偶性

余弦函数的图象关于y轴对称，所以余弦函数的偶函数。ⅵ 周期性

余弦函数的图象呈周期性变化，函数最小正周期为2。

3、例题讲解：

例：求函数 y



sin（)的单调递增区间。

x23分析：采用代换法，利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间。

1u 的单调递增区间是 解：令 u



x 

.函数 y

 sin

3[



k , 



2k 

Z

k  ],222

x  2由k 





k ,2321

得：

54kx4k,kZ.33

5x4k,4k(kZ)

)的单调增区间是 所以函数

y 

sin（

3323

4、练习：

 3求函数 y

sin(x )的单调减区间。

4k8,k8(kZ)

答案：









5、小结：

（1）探究正弦函数、余弦函数的性质的基本思路是什么？（2）求正弦函数、余弦函数的单调区间的基本步骤是怎样的？

6、作业：

习题1.4

篇7：§2函数极限的性质

§2 函数极限的性质

教学章节：第三章函数极限——§2 函数极限的性质

教学目标：使学生掌握函数极限的基本性质.教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等.教学重点：函数极限的性质及其计算.教学难点：函数极限性质证明及其应用.教学方法：讲练结合.教学过程：

引言

在§1中我们引进了下述六种类型的函数极限：

1、limf(x)；

2、limf(x)；

3、limf(x)；

4、limf(x);

5、limf(x)；

6、limf(x).xxxxx0xx0xx0

它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以limf(x)为代表来叙述并证明这些性质.至

xx0

于其它类型极限的性质及其证明，只要作相应的修改即可.一、函数极限的性质

性质1（唯一性）如果xa

limf(x)xalimf(x)存在，则必定唯一.证法一设A，xalimf(x)B,则

0,10,当0|xa|1时，|f(x)A|,(1)

20,当0|xa|2时，|f(x)B|.(2)

min1,2取

因而有，则当0xa时（1）和（2）同时成立.AB(f(x)A)(f(x)B)f(x)Af(x)B2,(3)

由的任意性，（3）式只有当

AB0

时，即AB时才成立.AB

2证法二反证,如xa

0xa

limf(x)

A，xa

limf(x)B

且AB，取

0，则0，使当

时，f(x)A0,f(x)B0,即

AB2

A0f(x)B0

AB2

矛盾.性质2（局部有界性）若limf(x)存在，则f在x0的某空心邻域内有界.xx0

limf(x)A

1xx0证明取, 由 , 0, 当0xx0时, 有f(x)A1,即

f(x)Af(x)AA

1，A1

说明f(x)在U0(x0;)上有界，就是一个界.limf(x)b

xa

性质3（保序性）设，xa

limg(x)c

.0xa00

1）若bc，则0，当时有f(x)g(x)；

0xa0

2）若

00，当

时有f(x)g(x)，则bc.（保不等式性）

证明1）取

0

bc2

即得.2）反证，由1）即得.注若在2）的条件中, 改“f(x)g(x)”为“f(x)g(x)”,未必就有

AB.以 f(x)1x,g(x)1,x00

举例说明.推论（局部保号性）如果xa

号.limf(x)b

0xa00

且b0，则0使当时f(x)与b同

性质4（迫敛性）设limf(x)limh(x)A，且在某U0(x0;)内有f(x)g(x)h(x)，xx0

xx0

则limh(x)A.xx0

证明0, 由xx

limh(x)A

limf(x)A，10，使得当0xx01时，有f(x)A，即 Af(x)A.又由

xx0，20，使得当0xx02时，有h(x)A，即Ah(x)A.令min(1,2)，则当0xx0时，有Af(x)g(x)h(x)A

limg(x)A

即g(x)A，故 xx.性质6（四则运算法则）若limf(x)和limg(x)都存在，则函数fg,fg当xx0时极限

xx0

xx0

也存在，且 1）limf(x)g(x)limf(x)limg(x)；2）limf(x)g(x)limf(x)limg(x).xx0

xx0

xx0

xx0

xx0

xx0

又若limg(x)0，则

xx0

fg

当xx0时极限也存在，且有 3）lim

f(x)g(x)

xx0



xx0

limf(x)

xx0

limg(x)

.3）的证明 只要证有

xx0

lim

1g(x)

B2



1B，令

0

B2

0，由

xx0

limg(x)B

B2

0xx01，10使得当时，B2

g(x)B，即

g(x)Bg(x)BB

.g(x)B

B2

0,仍然由

xx0

limg(x)B

20, 使得当0xx02时，有



.0xx0

取min(1,2)，则当时，有

1g(x)

1B

g(x)Bg(x)B



2B

g(x)B

2B



B2



即

xx0

lim

1g(x)



1B.二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限

利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限.已证明过以下几个极限：

limCC,limxx0,limsinxsinx0,limcosxcosx0;

xx0

xx0

xx0

xx0

lim

1x

x

0,limarctgx

x



.（注意前四个极限中极限就是函数值）

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1 求limx.x0

x

1

例2 求lim

(xtgx1).x

例3 求lim（1x1

x1



3x3

1).例4lim

5x3x73x3

2x2

5

.x

注关于x的有理分式当x时的极限.参阅[4]P37.7

例5lim

x1n

x

10利用公式x1

1

.[a1(a1)(a

n1

a

n2

a1)

].例6lim

x2x21x1

x2

x2

.例7lim

2x

3x1

x

3x5

.例8lim

xsin(2xx10)

32x

.x

例9lim

x1.x0

x1

例10已知 lim

x16A参阅[4]P69.x3

x3

B.求 A和B.作业教材P51—521-7，8(1)(2)(4)(5)； 2

补充题已知lim

xAxB7.求A和B.(A

16x2

x24

B3,B

203

.)

例11lim2x2axb

0.x1x

求a和b.

2解法一

2x

axax

1x

ax

2x1x



(a1)x2

ax2

1x

b,(x).a10,a1;又 ab,b1.解法二2x2

1xaxbx  2x2ab

，xx

2x 由x且原式极限存在，

2x2xx

ab

x0，即 alim2x2b

篇8：函数凹凸性的几个应用

关键词：凹凸性,不等式,最值,数形结合

近年来, 国内外许多数学爱好者对函数的凹凸性进行了深入的研究, 并运用函数的凹凸性质解决了许多实际性的问题。在大学数学领域对函数凹凸性的研究主要表现在应用凹凸函数的性质进行研究函数的一些性质、证明不等式、误差估计、图像处理等方面, 本文就凹凸函数的几个经典应用展开讨论。

一、凹凸性在证明函数不等式中的应用

除此, 在证明不等式时, 我们经常会遇到线性函数与非线性函数大小的比较, 对此类不等式的证明, 选用函数凹凸性的定义证明更为便捷。例如:

利用凹凸性还能很容易证明詹森不等式和平均值不等式, 即有以下命题及其证明:

证明:运用数学归纳法。

通过以上讨论可以看出用函数凹凸性证明不等式尽管有一定的局限性, 但这样的证明方法也是很重要的。这样又增加了证明不等式的一个方法, 也为解决一些问题提供了更广阔的思路。

二、函数凹凸性在求最值中的应用

众所周知, 求最值有很多种方法。如利用函数单调性, 函数的连续性等等。除此, 函数的凹凸性也是求最值的一个方法。以下举例说明:

三、函数凹凸性在数形结合问题中的应用

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 2001

[2]陈洪明.高等数学全程辅导[M].北京:中国建材工业出版社, 2002

[3]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2007

[4]燕建梁, 张喜善.凸函数的性质及其在不等式证明中的应用[J].太原大学教育学院学报, 2002, 20 (4) :63~65

[5]王新奇.利用函数的凹凸性证明一类三角不等式[J].西安文理学院学报, 2005, 4:37~40

[6]朱来义.微积分[M].北京:高等教育出版社, 2000

[7]刘光中.凸分析和极值问题[M].北京:高等教育出版社, 1991

[8]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社, 1993

[9]沈辨昌, 邵品琮.数学分析纵横论[M].北京:北京大学出版社, 1991

[10]裘兆泰, 王承国, 章仰文.数学分析学习指导[M].北京:科学出版社, 2005

篇9：凹凸函数的性质

1. 函数y=12|x+1|的值域是.

2. 方程lg(x2-4)=lgx+lg3的解是.

3. 已知幂函数f(x)=x-14，若f(2a+3)＜f(1-a)，则a∈.

4. 已知f(x)=1, x＞0，0, x=0，-1,x＜0，则方程x+1=(2x-1)f(x)的解为.

5. 已知函数f(x)满足f2x+|x|=log2x|x|，则f(x)的解析式是 .

6. 设f∶x→x2是集合A到集合B的映射，如果B={1,4},则A∩B等于

7. 49-12-lg5+lg22-lg4+1-31-log32=.

8. 已知函数f(x)=(2a-1)x+7a-2,x＜1,ax,x≥1在(-∞,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是.

9. 已知函数f(x)=log2(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则实数a的取值范围是.

10. 在y=2x,y=log2x,y=x2这三个函数式中，当0＜x1＜x2＜1时，使fx1+x22＜f(x1)+f(x2)2恒成立的函数个数是.

11. 已知函数f(x)=x2-2x+a，x∈［0,3］,它的任意三个函数值总可以作为一个三角形的三边长，则a的取值范围是.

12. 有下列命题：

（1） 定义在R上的函数f(x)，若f(-1)=f(1),且f(-2)=f(2)，则f(x)是偶函数;

（2） 定义在R上的函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则f(x)在R上不是减函数;

（3） 定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0］上是单调减函数，在区间(0,+∞)上也是单调减函数，则f(x)在R上是单调减函数;

（4） 既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一个.

其中真命题有 .

二、 解答题

13. 已知f(x)=x13-x-132,g(x)=x13+x-132.

（1） 计算f(4)-2f(2)g(2)和g2(2)-f2(2)的值；

（2） 概括出函数f(x)和g(x)对所有不为零的实数都成立的两个恒等式.

14. 已知函数f(x)=x+log2m+x1-x（m为常数）的

图象关于原点对称.

（1） 求m的值；

（2） 若x∈-1,13，f(x)是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.

15. 已知正数a,b,c满足条件：(lgab)·(lgbc)=-1，求ca的取值范围.

16. 定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23，且对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).

（1） 求证：f(x)为奇函数；

（2） 若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围.

17. 已知函数f(x)=1x-1.

(1) 作出函数f(x)的图象；

(2) 若集合A=y|y=f(x)，12≤x≤2，B=［0,1］，试判断A与B的关系；

(3) 若存在实数a,b(a＜b)，使得集合{y|y=f(x)，a≤x≤b}=［ma,mb］，求实数m的取值范围.

（参考答案见第43页）



巩固练习参考答案

《形影不离的单调性与定义域》

1. (-∞,0)及（0，+∞） 2. a∈(1,2)

3. (-∞,-3) 4. 存在，a∈(1,+∞)

5. x∈12,43

《函数奇偶性判断的常见误区》

1. D

2.f(x)=1, x＞0，0, x=0，-1,x＜0.

3. f(x)是在（-1，1）上的奇函数.

4. 令x=y=0，得f(0)=0；再令y=-x，得f(-x)+f(x)=f(0)=0，得证.

《在错误中提升方法》

1. 0＜a＜1,b≤0；

2. (1) a=1;(2) 略.

3. ［2，+∞）.

4. 设x1＜x2＜0，

则y1-y2=2x1+12x1-2x2+12x2=(2x1-2x2)+12x1-12x2=(2x1-2x2)(2x1+x2-1)2x12x2.

因为x1＜x2＜0，所以0＜2x1＜2x2,x1+x2＜0，2x1+x2-1＜0,所以y1-y2＞0,

所以函数y=2x+12x在（-∞，0）上是单调减函数.

《对数函数学习过程中的关注点》

1. A

2. 由已知得lga,lgb是方程x2+(lg7+lg5)x+lg7·lg5=0的两根，

所以lga+lgb=-(lg7+lg5)=lg135，所以ab=135.

3. 设u=2-ax，则y=logau，由已知a＞0,a≠1，所以u=2-ax在区间［0,1］单调递减，因此要使函数y=loga(2-ax)在［0,1］上是x的减函数，则a＞1,且u=2-ax＞0在区间［0,1］上恒成立.可得1＜a＜2.

4. （1） 由x+x2+1＞x+x2=x+|x|≥0，可得函数f(x)=lg(x+x2+1)的定义域是R；

（2） 由f(x)=lg(x+x2+1)，可得f(-x)=lg(-x+x2+1)，

所以f(-x)+f(x)=lg(-x+x2+1)+lg(x+x2+1)=lg(-x2+x2+1)=lg1=0，所以f(-x)=-f(x)，即函数f(x)=lg(x+x2+1)是奇函数.

（3） 略.

《幂函数的概念、图象和性质》

1. D 2. C 3. 12008

4. （1） k=0或k=1，f(x)=x2;（2） 存在q=2满足题意.

《比较指数式大小的常用方法》

1. a1.2＞1a-0.3.

2. 1.40.1＞0.93.1.

3. 因为-233为负数，4313大于1，3412大于0小于1,所以4313＞3412＞-233.

4. B

5. ① x＞6:当a＞1时，有a4x-5＞33x+1;当0＜a＜1时，则有a4x-5＜33x+1.

② x=6时，a4x-5=a3x+1.

③ x＜6:当a＞1时，有a4x-5＜a3x+1;当0＜a＜1时，则有a4x-5＞a3x+1.

单元测试参考答案

1. (0,1］ 2. x=4 3. -23,1

4. 0,2,-1-174

5. f(x)=-log2x 6.{1}或7. 0 8. 38,12 9. (1,2) 10. 2

11. (5,+∞) 12. 2

13. (1)0和1;(2) f(x2)-2f(x)g(x)=0，g2(x)-f2(x)=1.

14. (1)m=1;(2)先证明f(x)单调递增，f(x)max=f13=43.

15. 已知式可化为关于lgb的方程lg2b+(lga+lgc)lgb+lgalgc+1=0.

由Δ≥0得：(lga-lgc)2≥4，所以lgca≤-2或lgca≥2,

所以ca∈0,1100∪［100,+∞).

16. (1) 略.

(2) 因为f(x)在R上是单调函数，且f(3)=log23>f(0),

所以f(x)在R上单调递增.

又f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0,即f(k·3x)＜-f(3x-9x-2)=f(9x-3x+2),所以9x-3x+2＞k·3x，即9x-(k+1)3x+2＞0对x∈R恒成立.

所以k+1≤0或k+1＞0，-k+122+2＞0，解得k＜22-1.

17. (1)

(2) A=［0，1］=B.

(3) 因为a＜b，ma＜mb，所以m＞0.

又f(x)≥0,所以ma≥0，又a≠0，所以a＞0.

① 0＜a＜b≤1，由图象知，f(x)在x∈［a，b］上递减，所以1a-1=mb，1b-1=maa=b，与a＜b矛盾.

② 0＜a＜1＜b，这时f(1)=0，而ma＞0,也与题设不符；

③ 1≤a＜b，f(x)在x∈［a,b］上递增,

所以1-1a=ma，1-1b=mb，可知mx2-x+1=0在［1,+∞)内有两不等实根.

由Δ＞0，12m＞1，解得0＜m＜14

篇10：指数函数性质的应用

活动一：复习性质同桌交流

同桌相互提问指数函数的性质，达到熟练的程度.活动二：应用自测自我检查

1.出示自测题组（8个选择、填空题），学生当堂完成，时间10分钟.题目包括求函数值、判断函数图象、比较大小、图像过定点等问题.2.教师公布答案，学生检查对错，及时更正；

通过同桌交流解决做错的问题，解决不了的学习中心组的学生或老师讲解.活动三：突出重点突破难点

1.对指数函数底数取值范围的进一步理解

问题：举例说明为什么规定指数函数底数a>0, 且a≠1.提问中等以下水平学生，并根据情况追问，直至学生明白为止.2.学生用几何画板软件画出底数a>1的指数函数图象，让a变化，观察图像位置的变化特征..用计算机画出底数0

1.例1：根据函数性质比较大小（教材P57例7）

问题1：根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小？关键是找到对应指数函数，明确其单调性.问题2：三个式子比较大小，如何解决，有哪些方法？（两两比较、与0、1、-1等的数值比较）

篇11：凸函数的性质及其应用

举例说明用“平面夹”化三重积分为累次积分的积分方法

探讨函数弱可微、可微、强可微之间的关系

凸函数的性质及其应用

构造函数法在数学中的应用

Gamma函数和Beta函数的性质及应用

积分上限函数的性质及应用

梯度、散度和旋度

对称性与积分计算研究

用微积分理论证明不等式的若干方法

级数收敛性判别法的方法研究

数列与函数的上、下极限及其应用

与连续性相关的多个概念联系与应用

仿照一元函数的凹凸性定义并研究多元函数的凹凸性

讨论上(下)半连续函数,左(右)连续函数的性质

微分中值定理的证明及应用

多元函数连续，偏导数存在与可微性之间的关系

几个函数一致连续的充要条件

利用级数求极限

泰勒公式及其应用

级数的一些巧妙利用

多元函数连续，偏导数存在与可微性之间的关系1.极限理论在数学分析中的地位与作用及求极限的方法；

2.一致收敛性判别法总结（函数项级数及无穷广义积分）；

3.数学分析中的一致收敛性及其应用；

4.对称性在积分计算（定积分、重积分、线、面积分）中的应用；

5.证明积分不等式方法总结．

1、极限思想的产生和发展；

2、利用泰勒展式求函数极限；

3、数列极限和函数极限的统一；

4、求函数极限的方法；

5、等价无穷小求函数极限；

6、求二重极限的方法；

7、三角函数的极值求法；

8、有界非连续函数可积的条件；

9、正项级数收敛的判别方法；

10、Riemann可积条件探究；

11、凸函数的几个等价定义；

三、数学分析

1.多元函数连续、偏导数存在及可微之间的关系 1.费尔马最后定理初探 3.求极值的若干方法

4.关于极值与最大值问题

5.求函数极值应注意的几个问题

6.n元一次不定方程整数解的矩阵解法 7.导数的运用

8.泰勒公式的几种证明法及其应用

9.利用一元函数微分性质证明超越不等式 10.利用柯西——施瓦兹不等式求极值 11.函数列的各种收敛性及其相互关系 12.复合函数的连续性初探

13.关于集合的映射、等价关系与分类 14.谈某些递推数列通项公式的求法

15.用特征方程求线性分式递推数列的通项 16．谈用生成函数法求递归序列通项 17.高级等差数列

18.组合恒等式证明的几种方法 19.斯特林数列的通项公式 20.一个递归数列的极限 21.关于隶属函数的一些思考

22.多元复合函数微分之难点及其注意的问题 23.由数列递推公式求通项的若干方法 24.定积分在物理学中的应用

25.一个极限不等式的证明有及其应用 26.可展曲面的几何特征 27.再谈微分中值公式的应用 28.求极限的若干方法点滴

29.试用达布和理论探讨函数可积与连续的关系 30.不定积分中的辅助积分法点滴

五、实变函数

1.可测函数的等价定义 2.康托分集的几个性质 3.可测函数的收敛性

4.用聚点原理推证其它实数基本定理 2.可测函数的性质及其结构 3.6.凸函数性质点滴

7.凸(凹)函数在证明不等式中的应用 8.谈反函数的可测性

9.Lebesgue积分与黎曼广义积分关系点滴