浅谈二次函数的性质与应用

二次函数作为初等数学的重要内容, 在初中教材中已经作了较详细的介绍, 但是由于初中学生解题能力有限, 很难从本质上加以进行理解。进入高中以后, 二次函数的知识基本上贯穿了高中数学的各个知识点, 学好二次函数就成为了非常重要的内容。特别是对二次函数的基本概念和基本性质灵活应用, 需深入学习。

一、深入理解函数概念

函数概念主要是用映射观点来阐明函数, 这时就可以用学生已经有一定了解的函数, 特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A (定义域) 到集合B (值域) 上的映射f:A→B, 使得集合B中的元素y=ax2+bx+c (a≠0) 与集合A的元素x对应, 记为f (x) =ax2+bx+c (a≠0) , 这里ax2+bx+c表示对应法则, 又表示定义域中的元素x在值域中的象, 从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识。

二、二次函数f (x) =ax2+bx+c (a≠0) 的图象和性质

1、二次函数f (x) =ax2+bx+c (a≠0) 的图象是一条抛物线抛物线是一条对称图形, 它的对称轴是直线;

2、它的顶点坐标是, 当4ac-b2=0时, 顶点在x轴上, 当时, 顶点在y轴上, 由顶点坐标可以得到二次函数的最大值或最小值。

3、开口方向:当a>0时, 抛物线开口朝上, 函数有最小值, 当a<0时, 抛物线开口朝下, 函数有最大值, |a|越大, 则抛物线的开口越小;

4、增减性:当a>0时, 在区间 (对称轴左侧) 上是减函数, 在 (对称轴右侧) 上是增函数, 当a<0时, 在区间 (对称轴左侧) 上是增函数, 在 (对称轴右侧) 上是减函数;

5、与x轴的交点个数:利用△=b2-4ac的大小来判断。当△>0时, 抛物线与x轴有2个交点, 当△=0时, 有1个交点, 当△<0时, 没有交点。

三、二次函数性质的应用

1、利用二次函数的增减性比较大小

例1点A (-3, y1) 、B (-1.5, y2) 、C (4, y3) 是抛物线y=-0.5x2-x+n上的三点, 试比较y1、y2、y3的大小关系。

解:该抛物线的对称轴为直线x=-1, 点C (4, y3) , 关于直线x=-1的对称点为C1 (-6, y3) , ∵此函数在x<-1范围内, y随x的增大而增大, ∴y2>y1>y3;

2、利用二次函数的增减性求最值

例2已知y=x2+4x+6, 求-1≤x≤1时函数的最值。

分析:此二次函数的对称轴为直线方程x=-2, 当-1≤x≤1位于对称轴的右侧, 函数在此区间上是增函数, 因此当x=-1时, 函数有最小值, 当x=1时, 函数有最大值。

例3已知设f (x) =x2-2x-1在区间[t, t+1]上的最小值是g (t) , 求t (t)

分析:f (x) =x2-2x-1= (x-1) 2-2, 在x=1时取最小值-2, 图象开口向上, 关于直线x=1对称, 因此当1ε[t, t+1]0≤t≤1, t (t) =-2, 当t>1时, g (t) =f (f) =t2-2t-1当t<0时, g (t) =f (t+1) =t2-2

像这类题首先要使学生弄清楚题意, 一般地, 一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值, 但当定义域发生变化时, 取最大或最小值的情况也随之变化。

3、利用二次函数性质求函数解析式

例4已知二次函数的图象与x轴有两个交点, 且他们之间的距离为6, 又知次二次函数的图象对称轴方程为x=2, 且f (x) 有最小值为-9, 求此二次函数的解析式。

分析:要求此二次函数必须设出它的解析式, 但此题由已知条件看出又不能用一般式, 只能根据一般式配方所得到的顶点式。由题意可知, 二次函数的顶点坐标为 (2, -9) , 则设二次函数的解析式为y=a (x-2) 2-9, 又由于二次函数的图象与x轴有两个交点, 距离为6, 对称轴方程为x=2, 则与x轴有两个交点的两个交点坐标分别为 (-1, 0) (5, 0) , 最后将两点中其中一点代入二次函数解析式, 就很容易得到a=1。

摘要：二次函数是初等数学的一个重要内容, 也是学习好高等数学的基础。要学习好二次函数的知识, 必须掌握好二次函数的图象以及性质。本文简单地论述了二次函数的性质及其对它的应用。

关键词：二次函数,图象,性质,应用