浅谈二次函数在高中阶段的应用

在初中教材中, 对二次函数作了较详细的研究, 由于初中学生基础薄弱, 又受其接受能力的限制, 这部份内容的学习多是机械的, 很难从本质上加以理解。进入高中以后, 尤其是高三复习阶段, 要对他们的基本概念和基本性质 (图象以及单调性、奇偶性、有界性) 灵活应用, 对二次函数还需再深入学习。

一、进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义, 进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射, 接着重新学习函数概念, 主要是用映射观点来阐明函数, 这时就可以用学生已经有一定了解的函数, 特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A (定义域) 到集合B (值域) 上的映射?:A→B, 使得集合B中的元素y=ax2+bx+c (a≠0) 与集合A的元素X对应, 记为? (x) =ax2+bx+c (a≠0) 这里ax2+bx+c表示对应法则, 又表示定义域中的元素X在值域中的象, 从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识, 在学生掌握函数值的记号后, 可以让学生进一步处理如下问题:

类型I:已知? (x) =2x2+x+2, 求? (x+1)

这里不能把? (x+1) 理解为x=x+1时的函数值, 只能理解为自变量为x+1的函数值。

类型Ⅱ:设? (x+1) =x 2-4 x+1, 求? (x)

这个问题理解为, 已知对应法则?下, 定义域中的元素x+1的象是x 2-4x+1, 求定义域中元素X的象, 其本质是求对应法则。

一般有两种方法:

(1) 把所给表达式表示成x+1的多项式。

? (x+1) =x2-4x+1= (x+1) 2-6 (x+1) +6, 再用x代x+1得? (x) =x2-6x+6

(2) 变量代换:它的适应性强, 对一般函数都可适用。

令t=x+1, 则x=t-1∴ (t) = (t-1) 2-4 (t-1) +1=t2-6t+6从而? (x) =x2-6x+6

二、二次函数的单调性, 最值与图象

在高中阶阶段学习单调性时, 必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间 (-∞, -b2a]及[-b2a, +∞) 上的单调性的结论用定义进行严格的论证, 使它建立在严密理论的基础上, 与此同时, 进一步充分利用函数图象的直观性, 给学生配以适当的练习, 使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。

类型Ⅲ:画出下列函数的图象, 并通过图象研究其单调性。

(1) y=x2+2|x-1|-1

(2) y=|x2-1|

(3) =x2+2|x|-1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示, 然后画出其图象。

类型Ⅳ设? (x) =x2-2x-1在区间[t, t+1]上的最小值是g (t) 。

求:g (t) 并画出y=g (t) 的图象

解:? (x) =x2-2x-1= (x-1) 2-2, 在x=1时取最小值-2

当1∈[t, t+1]即0≤t≤1, g (t) =-2

当t>1时, g (t) =? (t) =t2-2t-1

当t<0时, g (t) =? (t+1) =t2-2

t2-2, (t<0)

g (t) =-2, (0≤t≤1)

t2-2t-1, (t>1)

首先要使学生弄清楚题意, 一般地, 一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值, 但当定义域发生变化时, 取最大或最小值的情况也随之变化, 为了巩固和熟悉这方面知识, 可以再给学生补充一些练习。

如:y=3x2-5x+6 (-3≤x≤-1) , 求该函数的值域。

三、二次函数的知识, 可以准确反映学生的数学思维

类型Ⅴ:设二次函数? (x) =ax2+bx+c (a>0) 方程? (x) -x=0的两个根x1, x2满足0

(Ⅰ) 当X∈ (0, x1) 时, 证明X

(Ⅱ) 设函数? (x) 的图象关于直线x=x0对称, 证明x0

解题思路:

本题要证明的是x

(Ⅰ) 先证明x

因为00, 又a>0, 因此? (x) >0, 即? (x) -x>0.至此, 证得x

根据韦达定理, 有x 1 x 2=c a∵0? (0) , 所以当x∈ (0, x1) 时? (x)

(Ⅱ) ∵? (x) =ax2+bx+c=a (x+-b2a) 2+ (c-) , (a>0)

函数? (x) 的图象的对称轴为直线x=-b2a, 且是唯一的一条对称轴, 因此, 依题意, 得x0=-b2a, 因为x1, x2是二次方程ax2+ (b-1) x+c=0的根, 根据违达定理得, x1+x2=-b-1a, ∵x2-1a<0, ∴x0=-b2a=12 (x1+x2-1a)

二次函数, 它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数, 可以以它为代表来研究函数的性质, 可以建立起函数、方程、不等式之间的联系, 可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题, 考查学生的数学基础知识和综合数学素质, 特别是能从解答的深入程度中, 区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

二次函数的内容涉及很广, 本文只讨论至此, 希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识, 使我们对它的研究更深入。