二元一次应用题

二元一次应用题（共14篇）

篇1：二元一次应用题

二元一次应用题

题型一：配套问题

1.某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套?

题型二：年龄问题

2.甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁”.乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁”.请你算一算，甲、乙现在各多少岁?

题型三：百分比问题

3.有甲乙两种铜和银的合金，甲种合金含银25%，乙种合金含银37.5%，现在要熔制含银30%的合金100千克，甲、乙两种合金各应取多少?

题型四：数字问题

4.有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，如果把这两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的`和是143，求这个两位数.

题型五：古算术问题

5.巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。364只碗，看看用尽不差争。三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹。请问先生明算者，算来寺内几多僧。诗句的意思是：寺内有三百六十四只碗，如果三个和尚共吃一碗饭，四个和尚共吃一碗羹，刚好够用，寺内共有和尚多少个?

题型六：行程问题

6.甲乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机从两地同时出发相向而行，1小时20分后相遇。相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机，这时汽车、拖拉机从开始到现在各自行驶了多少千米?

题型七：工程问题

7.某城市为了缓解缺水状况，实施了一项饮水工程，就是把200千米以外的的一条大河的水引到城市中来，把这个工程交给了甲乙两个施工队，工期为50天，甲、乙两队合作了30天后，乙队因另有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修了0.6千米，10天后乙队回来，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队也比原来多修0.4千米，结果如期完成。问甲乙两队原计划每天各修多少千米?

题型八：方案决策问题

8.已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元，我市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由。

9.某地生产的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨.该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨;如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行.受季节等条件限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕.为此，公司研制了三种加工方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工.方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售.方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好用15天完成.你认为选择哪种方案获利最多?为什么?

篇2：二元一次应用题

某校初一年级一班、二班共104人到博物馆参观，一班人数不足50人，二班人数超过50人，已知博物馆门票规定如下：1～50人购票，票价为每人13元；51～100人购票为每人11元，100人以上购票为每人9元

（（1）若分班购票，则共应付1240元，求两班各有多少名学生？

（2）请您计算一下，若两班合起来购票，能节省多少元钱？

某中学组织初一学生春游，原计划租用45座汽车若干辆，但有15人没有座位：若租用同样数量的60座汽车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满。已知45座客车每日租金每辆220元，60座客车每日租金为每辆300元。

（1）初一年级人数是多少？原计划租用45座汽车多少辆？

（2）若租用同一种车，要使每个学生都有座位，怎样租用更合算？

某酒店的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天25元，两人间每人每天 35元，一个50人的旅游团到了该酒店住宿，租了若干间客房，且每间客房恰好住满，一天共花去1510元，求两种客房各租了多少间？

篇3：二元一次应用题

例1《一千零一夜》中有这样一段文字:有一群鸽子,其中一部分在树上欢歌,另一部分在地上觅食,树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说:“若从你们中飞上来一只,则树下的鸽子就是整个鸽群的三分之一,若从树上飞下去一只,则树上、树下的鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗?

【分析】要求树上、树下各有多少只鸽子,就要设树上有x只鸽子,树下有y只鸽子,然后根据“若从你们中飞上来一只,则树下的鸽子就是整个鸽群的三分之一”,列出一个方程,再根据“若从树上飞下去一只,则树上、树下的鸽子就一样多了”,列出另一个方程,组成方程组,解方程组即可.

解:设树上有x只鸽子,树下有y只鸽子.

答:树上有7只鸽子,树下有5只鸽子.

【说明】解应用题读懂题意是关键,最主要的是从实际问题中找到两个相等关系,通过设适当的两个未知数,用含有未知数的代数式表示数量关系,列出两个二元一次方程.

例2《群鸦栖树》

栖树一群鸦,鸦树不知数.

三个坐一棵,五个地上落;

五个坐一棵,闲了一棵树.

请你动脑筋,鸦树各几何?

大意是:一群乌鸦落在一片树上,如果三只乌鸦落在一棵树上,那么就有五只乌鸦没有树可落;如果五只乌鸦落在一棵树上,那么就有一棵树没有落乌鸦. 请问乌鸦和树各多少?

解:设乌鸦有x只,树有y棵. 由题意,得解得

答:乌鸦有20只,树有5棵.

【说明】古今中外流传着许多歌谣趣题,题目简洁别致,魅力无限,不仅读来朗朗上口,而且蕴含的数学问题需要具有一定的解题能力.

例3八张扑克牌恰好可拼成一个大的长方形(图1),用同样的这八张牌可拼成一个大正方形,但中间留下一个边长为2 cm的小正方形(图2). 你能算出每张扑克牌的长和宽吗?

解:设扑克牌的宽为x厘米,长为y厘米.

篇4：二元一次方程应用新走向

例1（湖北省恩施自治州）团体购买公园门票票价如下：

今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于50人，乙团人数不超过100人.若分别购票，两团共计应付门票费1392元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1080元．求甲、乙两旅行团各有多少人？

解析：设甲、乙两旅行团分别有x人、y人，甲乙两团人数之和超过100人.若y＜50，则x+y＜100，（x+y）×13＜100×13＜1300＜1392，所以乙团的人数不少于50人，不超过100人，所以13x+11y=1392，9（x+y）=1080.解得：x=36，y=84.所以甲、乙两旅行团分别有36人、84人.

说明：本题必须要对乙团的人数进行讨论，即乙团的人数是否超过50人.这种人数不同价格也不同的情形，在日常生活中是一种普遍的现象，解决问题一定要分类进行讨论.

二、判断说理题

例2（江西省南昌市)2008年北京奥运会比赛的门票开始接受公众预订．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，球迷小李用8000元作为预订下表中比赛项目门票的资金．

（1）若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票共10张，问男篮门票和乒乓球门票各订多少张？

（2）小李想用全部资金预订男篮、足球和乒乓球三种门票共10张，他的想法能实现吗？请说明理由．

解析：（1）设订男篮门票x张，乒乓球门票y张．由题意，得1000x+500y=8000，x＋y=10.

解得x=6，y＝４.

答：小李可以订男篮门票6张，乒乓球门票4张．

（2）能，理由如下：设小李订男篮门票x张，足球门票y张，则乒乓球门票为（１０－x－y）张．由题意，得1000x＋８００y＋５００（１０－x－y）＝８０００．整理得5x+3y=30，y

=．因为x，y均为正整数，所以当x=3时，y=5，所以10-x-y=2．因为小李可以预订男篮门票3张，足球门票5张和乒乓球门票2张，所以小李的想法能实现.

说明：本题以2008年北京奥运会为背景进行命题，旨在提醒我们要多关注社会热点问题.第2问是通过列二元一次方程，求出它的正整数解.因为一般情形下二元一次方程的解有无数个，所以要注意未知数隐含的条件，即未知数的取值范围，如本题中因为票数为正整数，所以要求未知数必须为正整数.

三、数形结合题

例3（2007年重庆市）小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题：

（1）用含x，y的代数式表示地面总面积；

（2）已知客厅面积比卫生间面积多21m2，且地面总面积是卫生间面积的15倍．若铺1m2地砖的平均费用为80元，那么铺地砖的总费用为多少元？

解析：（1）观察图形知道：地面由四部分组成，卧室、厨房、客厅、卫生间，其面积分别为：3×（2＋2）＝12，2×（6－3）＝6，6x，2y，所以地面总面积为：6x+2y+18（m2）．

（2）由题意，得６x-2y=21，6x+2y+18=5×2y.解得x=4，y＝.

地面总面积为：6x+2y+18=6×4+2×+18=45（m2）． 所以，铺地砖的总费用为45×80=3600（元）．

说明：本题把数量关系借助于图形展示,兼容了数的严谨与形的直观，充分体现了数形结合的数学思想.解决这类问题的关键是要能从图形中获取有用的信息.

四、自编应用题

例4（内蒙古赤峰）“方程”是现实生活中十分重要的数学模型，请结合你的生活实际编写一道二元一次方程组的应用题，并使所列出的二元一次方程组为x＝2y，x+y=６０，并写出求解过程．

解析：应用题：我家里有60棵树，其中杨树是柳树的2倍，求杨树和柳树各有多少棵？

解答过程：设杨树x棵，柳树y棵，依题意：x+y＝６０，x＝2y.解得x＝４０，y＝２０.

答：我家有杨树40棵，柳树20棵．

说明：依据已知条件，按照某一些形式自主编拟试题，逐渐成为中考的热点.这类自编问题不但可以加深同学们对解题思路的理解，而且可以培养同学们的创新思维能力，希望同学们在平时的学习中多加练习.

五、图文信息题

例5（山东济宁）同学们喜欢足球吗？足球一般是用黑白两种颜色的皮块缝制而成的，如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．若一个球上共有黑白皮块32块，请你计算一下，黑色皮块和白色皮块的块数分别为（ ）.

A．16块，16块B．8块，24块

C．20块，12块D．12块，20块

解析：设黑色皮块块数为x块，白色皮块的块数为y块，从图形上可以发现，与每一块正六边形白色皮块相连的是3块正五边形黑色皮，所以足球上所有正六边形的边数和是所有正五边形的边数和的2倍，再结合一个球上共有黑白皮块32块，可列出方程组，x+y＝32，６y＝２×５x，解得x＝１2，y＝２０，所以选D.

篇5：二元一次方程组应用教学案例

——消元（2）二元一次方程组的应用

教学案例

李华

本节课来自于人教版七年级数学（下册）书，是学生在学会用代入消元法解二元一次方程组的基础上，探究如何用二元一次方程组解决实际问题。情景

师：解二元一次方程组的基本思路是什么 生：消元 ： 二元

一元

师：请回顾一下代入消元法解二元一次方程组的步骤。

2xy0 4x3y4生：变形、代入、消元、解方程、回代、结论 师：听民间故事，解数学问题 《康熙微服私访记》 请一名同学起来朗读，给予适当的评价。引例：康熙巧算牛马价格

康熙皇帝有一年微服私访，在集市上看见两个公差在欺负一个伙计，伙计求两公差：“这位大爷，按我们讲好的价钱，您买1匹马、1头牛，是10两银子；那位大爷，您买2匹马，4头牛，是28两银子。可是一共只给了我们30两，我们可亏不起这么多啊！”

这时，身穿便服的康熙走到公差的面前说：“买卖公平，这是天经地义的事，该多少就多少，怎么能仗势欺人？”

甲公差见此人教训他们，大怒：“你知道一匹马，一头牛是什么价？”康熙冷笑道：“马每匹6两，牛每头4两！” 这时，随从亮出康熙的身份，两公差连忙跪下求饶。

同学们，康熙算对了吗？你们能算出一匹马和一头牛的价格吗？

师：在这个故事里，我们可以提炼出什么数学信息呢？ 生：1匹马、1头牛，是10两银子；买2匹马，4头牛，是28两银子。

师：那么我们能用什么样的办法验证出康熙是否算对了呢？四人一小组讨论完成。讨论结果展示：

生1：可以把康熙皇帝计算的回代到问题里验证一下。师：肯定学生的做法，表扬学生积极思考。生2：可以用一元一次方程来解，设元，列出方程。师：黑板板书，请其他同学给予评价。师：还有其他方法吗？

生3：可以用二元一次方程组来解，设两个未知数，列出方程组。师：黑板板书，要求学生来求解方程组，复习解方程组。师：对，同学们想到了可以用方程来解决实际问题。这两种方法你更喜欢哪一种？为什么？ 生：我更喜欢用二元一次方程组，因为这种方法比较容易列方程，等量关系明确。

生：我更喜欢用一元一次方程来解，计算比较简便。

师：同学们分析的都很有道理。两种方法各有特点，但用二元一次方程组容易找等量关系，解决实际问题有优势。思考：

任何新知识或者因为某种需要而产生，或者因为某种需要，要将原有知识进行延伸和发展。所以，任何新知识都有它的发生、形成和发展过程。

在引入二元一次方程组解实际问题之前，我先复习了一下代入消元法解方程组的步骤。列方程组首先要先会解方程组，“温故而知新”给学生做好铺垫，为本课的计算扫清障碍。

《康熙巧算牛马价格》这个情境增强了学生的进一步学习的兴趣，让学生各抒己见，积极参与，发挥主动意识，扩展了学生的思维。列二元一次方程组是建立在学生掌握了一元一次方程的基础之上的，由学生熟悉的引出未知的，新知识就这样很自然的生成了。在这个过程里，让学生比较了用一元一次方程和二元一次方程组各自的特点，目的在于让学生感知到列二元一次方程组解决实际问题是有优越性的。我们为什么要学习列二元一次方程组？那是因为用二元一次方程组容易找等量关系，解决实际问题是有优势的。新的知识就在这个铺垫的过程中很自然形成了，同学们感受到了二元的优越性，从接下来的教学中可以感受到学生认可了这个列二元一次方程组的新方法，并积极采用了这个新方法。

教学中，如果压缩掉这种过程，就知识教知识，硬生生的告诉学生列二元一次方程来解应用题，学生会只停留在自己熟悉的列一元一次方程的方法里不接受新的方法，这一点在以往的教学里是经常出现的问题。要让学生只其然，也知其所以然，得到新知识的过程不能是知识的简单积累，而是要使学生原有的知识得到扩充和改造。

在教学中，应该对教材进行教学法加工，给充分的时间让学生经历了再发现、再创造的过程后，教师要追问“你是怎么想的？”“你为什么这样想？”“你遇到的困难在哪儿？”“你从中悟出了什么？”等等及时帮助学生梳理、优化自己的思维。这样，有利于学生逐渐养成从直观到抽象、从特殊到一般、从简单到复杂的思维习惯。

篇6：二元一次方程组的应用导学案

【内容分析】 本课通过《鸡兔同笼》这一我国古代趣题创设问题情境，进行列二元一次方程组解决实际问题的训练。列二元一次方程组解应用题的题目在中考中出现的频率很高，同学们应注意学习和运用。

【学习目标】

1、经历和体验运用方程（组）解决实际问题的过程，进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型；

2、初步体会列方程组解决实际问题的一般步骤。

3.在数学学习的过程中，体验与领悟数学发现的成功感，感受数学发现学习的乐趣。【学习重点】根据等量关系列二元一次方程组解应用题。【学习难点】根据题意找出等量关系，列出方程。【学习过程】

一．学习准备：

1、学习本节内容需要熟悉(1)方程的思想;(2)能整体地系统地审清题意，找出等量关系;(3)能从具体问题中的数量关系列出二元一次方程组;(4)熟练解二元一次方程组.学习前可先检查自己是否熟悉这些内容；

2、同学们在前面学习二元一次方程组的解法时，是否感到有些繁琐？是否产生了学习这个数学工具有什么用的疑惑？学完本节内容后你就可以找到答案了！

二．自学探究

（一）初步感受

阅读教材128页的“做一做”，并思考“雉兔同笼”问题。

今有雉（兔）同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

“上有三十五头”的意思是什么？“下有九十四足”呢？

1）、如果笼内鸡兔都训练有素，让 “鸡们”来个金鸡独立，让“兔们”前足离地，你能否利用小学的算术思想解决这个问题？

2）、如果设鸡有x只，你能否表示出兔的只数？尝试列一元一次方程解决这个问题。

3）、如果设鸡有x只，则兔有y只。尝试列二元一次方程组解决这个问题。

2、列方程解古算题：“今有牛

五、羊二，值金十两；有牛

二、羊五，值金八两.牛、羊各值金几何？（题目的大意：5头牛、2只羊共价值10两”金“，2头牛、5只羊共价值8两”金“，每头牛、每只羊各价值多少”金"？）

3、〈〈一千零一夜〉〉中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的13，若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了。”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？

4、用一根绳子环绕一颗大树，如果环绕大树3周，那么绳子还多4尺；如果环绕大树4周，那么绳子又少了3尺。这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？

【学习体会】

独立写出本节课的收获：

仍然存在的疑难问题或不足：

【基础与达标】

1．以绳测树长，若将绳二折测之，则绳余10尺；若将绳四折测之，则绳少2尺，则绳长为_______尺，树长为_______尺．

2．今有牛

一、马

一、直金八两，牛

五、马三直金参拾肆两（题目大意是：1•头牛、1匹马共价值8两“金”，5头牛、3•匹马共价值34•两“金”）•，•问每头牛直金______两，每头马直金_______两．

篇7：二元一次方程组及应用的说课稿

1、树立“以人为本，人人都学有价值的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”的理念。

2、通过动手实验、合作交流培养学生自主探索，寻找结论的学习意识。

3、通过本节课教学，加强对学生思维方法的训练，增强小组合作意识

二、说教学内容的重组加工

1、学生分析

认知起点，学生已初步掌握了本章知识，他们已经能比较熟练得求出二元一次方程组的解，知道用二元一次方程组表示等量关系。七年级学生活泼好动，乐于展示、表现自我，求知欲较强，他们的逻辑思维以开始处于优势地位，

2、教材分析

本章知识是在学习了一元一次方程即应用后的又一种重要的用来表示数量关系的数学模型，用它解决某些实际问题比用一元一次方程更简捷，但在解法上他们又存在着相互转化的关系，在这节的教学中不仅要让学生充分认识到消元这种思想方法的重要性，更重要的是让他们进一步体会知识的形成过程，提高他们能准确选择模型解决问题的能力。

3、教学重点、难点分析

难点：已知一组解，如何构造二元一次方程组使解相同

重点：解二元一次方程组

4、教学目标

(1)知识与技能：

进一步体会列二元一次方程组解决实际问题的优越性，熟练用消元法解二元一次方程组

(2)过程与方法：

通过自主探索过程，培养对数学的感情，培养分析问题能力及从实际问题中抽象出数学模型的能力，学会与人合作，交流自己的方法意见。向终身学习型人才发展。

(3)情感与态度：

引导学生探索发现，培养学生主动探索，乐于合作交流的品质和素养，让学生先猜测再动手实践加以验证，懂得实践是检验真理的唯一标准的道理。鼓励学生有自己独特见解，培养学生的创新品质。

5、教学方法分析

本节课采用“探究、讨论、发现”的方法。因为它符合本节课教学内容的特点，从学生年龄来说讨论法虽然更适合于高年级的学生，但这是一节复习课，我认为复习应该是知识的整合和提高的过程，因此也可以。

三、说教学过程及反思

我的教学过程可分为三个环节一、探索只用二元一次方程也能解决实际问题，但答案不唯一。二、探索要使一的问题答案是唯一的，那么在刚才的基础上应该再添加一个，关于这两个未知数的关系的条件，然后才能列出二元一次方程组解出唯一答案。这个环节是难点。这样设计的目的是通过过程探索加深学生对二元一次方程组的解的理解，即它是两个方程的公共解，同时与列一元一次方程形成对比，即需要两个条件才能得出唯一答案。再者通过对一个问题实施两种列法，一种解法，也体现了二元与一元之间的.转化思想。第三个过程是解方程组训练消元法的应用。目的让学生进一步熟炼消元这种数学方法，同时使知识形成一个完整的体系。

我对自己的设计思路比较满意，因为我一直以为学数学就是领悟数学思想方法，训练思维，提高推理分析的能力。在平时的教学中我一直比较注重发散思维的训练，和逆向思维的训练，注重引导学生从多个角度两个方向分析问题。引导学生在课堂活动中感悟知识的生成、发展与变化过程。

我的课领导们已经听了过程就不再赘述。下面我按照教学环节把我这节课分析一下;

一采用刘三姐对歌引入，切近生活，激发兴趣，引起学生注意。提出问题后，学生受定向思维影响，认为答案是唯一的，这种情况下我用提问的方式激发学生思考，如我问一个男孩的困惑在那里，然后给与合理提示，使他们继续讨论得出答案。缺点：备学生不充分，以致引题较难，脱离育才学生实际，今后应注意开讲很重要但要注意所选问题的难易程度。

二突破难点仍然采用讨论法，期间部分学生思维受阻，我请一名同学解释了他的解题过程，又加以适当引导和鼓励，使讨论达到高潮。优点是能鼓励学生用实验的办法寻求解题思路，引导他们通过对比的方法发现二元一次方程组和一元一次方程之间的联系，在考虑到时间不够用的情况下，仍然坚持让学生继续展开讨论，上黑板展示自己的劳动成果，并且我认为，通过这节课的训练这些孩子肯定会喜欢上讨论交流这种形式的，通过这节课教学使他们已经完成了一个从羞于讨论到开始讨论的过程。我在巡视的过程中发现了这种微妙的变化我很高兴。缺点是：引导方向不够明确，浪费了学生的时间。

数学是一门精确的学问，不允许教师含糊其辞，不允许让学生猜你要表达什么意思，如：我在第一个问题解决了以后，问孩子们：你们能不能添上一个条件使分法是唯一的呢/实际上这个问法对这些孩子来说还是跳跃性太大，致使他们再次陷入迷惘，我想如果我这样处理是不是更好一些：老师在黑板上把同学们刚才回答的几组解列出来，然后让他们观察每一组解之间的关系，再添条件构造方程。给我的教训是向学生提问不是一件轻而易举的事情，要问得新奇，问得有趣，问得巧妙，问得具有启发性，问得难而有度，问得高而可攀，就非得是前做好充分准备，精心构思不可。学生的时间是宝贵的，因此我要学会提出一个真正称得上是问题的问题。今后备课我应该认真考虑到各个环节，做好各种准备工作。

三解方程组 因为时间不够用处理非常仓促我原本的意图是想通过对比让他们体会代入消元源自于实际问题。因为这章知识点是解在前用在后

而我复习的时候把它倒过来也是这个原因。我组织他们讨论解方程组时经常出现的哪些错误，这样能使学生在轻松的过程里接受这些错误从进而改正他们。另外这节课还存在两个问题：小组活动单一化小组，活动结束后应该让他们充分展示自己的劳动成果，增加成就感。小组合作意识不强列，回答问题不积极，原因之一是他们的表达能力根本跟不上，我在巡视时有许多孩子跟我说老师我不知道该怎么说。所以我认为这种自主探究，合作交流的教学形式应该继续搞下去，孩子的表达能力继续锻炼。

大家都知道凯慕柏莉奥立佛近日当选为—年美国年度教师这在美国是一项殊高的荣誉。他曾经说：“好老师不必是那些上出成功课或教出得分最高班的老师。好老师是那些有能力去反思一堂课理解什么是对了什么是错了寻找策略让下次更好的教师。

篇8：二元一次应用题

在初中数学应用题的教学中, 经常会遇到求二元一次不定方程整数解的问题.对这类应用题, 学生容易根据已知条件及数量关系列出不定方程 (方程中未知数的个数多于方程的个数) , 但要依据题目隐含条件, 在无限多个解中求出符合题意的解, 就有一定的困难, 这也是教学过程中的一个难点.下面结合几个例子, 讨论二元一次不定方程的正整数解的问题.

例1 公元2008年某同学的年龄之数, 恰与其出生之年的4个数字之和相同, 问该同学出生在公元哪一年?

解 设此同学出生于公元19xy (即1900+10x+y) 年, 依据题意有

2008— (1900+10x+y) =1+9+x+y,

整理得

11x+2y=98.

根据题意知x, y是0-9的自然数, 所以问题转化为求二元一次不定方程整数解的问题.

例2 小明去商店买铅笔和圆珠笔.铅笔每支0.3元, 圆珠笔每支0.9元, 共用去5.1元.小明买了几支铅笔和圆珠笔?

解 设铅笔为x支, 圆珠笔为y支, 则

0.3x+0.9y=5.1.

整理后得

3x+9y=51.

根据题意知x, y都是自然数, 且有1≤y≤5, 所以问题转化为求二元一次不定方程整数解的问题.

例3 某瓜农去市场卖瓜, 白兰瓜每个5元, 西瓜每个3元, 小甜瓜每元3个, 共卖出100个瓜, 卖了100元钱, 问卖出白兰瓜、西瓜、小甜瓜各多少个?

解 设卖出白兰瓜x个, 卖出西瓜y个, 则小甜瓜为100- (x+y) .依据题意有

$5x+3y+\frac{100-(x+y)}{3}=100$,

整理后得

7x+4y=100.

其中x, y都是自然数, 还是一个二元一次不定方程求正整数解的问题.

二元一次不定方程可以写成Ax±By=C的形式, (A, B是正整数, C是整数) 当x, y的系数A, B不是互质时, 若C没有约数k (k为A, B大于1的公约数) , 那么不定方程Ax±By=C没有整数解.例如:3x+9y=23, 等号左边当x, y都是整数时, 3x+9y必为3的倍数, 而23不是3的倍数, 等号两边不可能相等, 所以方程无整数解.

在Ax±By=C中, 如果 (A, B) /C, (A, B) 表示A, B的最大公约数, 那么在方程的两端同除以 (A, B) 后得A1x+B1y=C1.

如果x=x0, y=y0是A1x+B1y=C1的一组解, 那么方程的所有解为

一般来说, 如果我们能直接观察出Ax+By=C的一组解为x=x0, y=y0, 则也可直接写出方程Ax+By=C的所有解为

对一般初中学生来说, 解这类应用题有两种方法.

1) 当符合条件的解不是很多, 可以根据题目条件, 先确定其中的一个未知数, 然后逐一求出另一个未知数, 从中选择出符合条件的解.

如例1中11x+2y=98, 根据题意, x, y是0-9的自然数, 取x=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 则$y=49‚\frac{87}{2}‚38‚\frac{65}{2}‚27‚\frac{43}{2}‚16‚\frac{21}{2}‚5‚-\frac{1}{2}$.显然符合题设条件的只有x=8, y=5, 所以该同学的年龄为1+9+8+5=23.

例2中, 3x+9y=51, 根据题意x, y都是自然数, 且有1≤y≤5, 取y=1, 2, 3, 4, 5时, 求出x=14, 11, 8, 5, 2.显然5组解全部符合题设条件.

2) 当符合条件的解很多, 可用一般解法, 先通过方程的系数和常数, 判断有无整数解, 以其中一组整数解, 写出方程的所有解的通式, 再根据题设条件, 确定t的范围, 得到所有解.

如例1, 因为 (11, 2) /98, 所以一定有整数解, 容易看出x=8, y=5是方程的1组解, 所以, 该方程的所有整数解为

根据题设条件

所以x=8, y=5.

如例2, 3 x+9y=51化简为x+3y=17.因为 (1, 3) /17, 所以方程有整数解, 容易看出x=2, y=5是方程的一组解, 写出所有解为

因为y≥0, 所以t≤5, 且x≥0 2+3t≥0 t≥0, 所以t=0, 1, 2, 3, 4, 5, 解为

如例3, 7 x+4y=100.因为 (7, 4) /100, 所以方程有整数解, 容易看出x=8, y=11是方程的一组解, 从而所有解为

所以t=0, -1, -2.

所以方程的所有解为

在初中数学教学中, 对此类问题, 要引导学生仔细审题, 进行严密的逻辑推理, 挖出题目中隐藏的条件, 通过计算或推导, 找出符合条件的解答.如果应用恰当, 可训练学生的数学思维能力和解题技巧.

篇9：二元一次方程组的实际应用

一、计费问题

例1 （2014年呼和浩特）为鼓励居民节约用电，我市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时以内（含180千瓦时）的部分，执行基本价格：第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时（含450千瓦时）的部分，执行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，执行市场调节价格，我市一位同学家2014年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元.已知我市的一位居民2014年4、5月份的家庭用电量分别为160千瓦时、410千瓦时，请你依据该同学家的缴费情况，计算这位居民4、5月份的电费分别为多少元.

思路分析：设基本电价为x元/千瓦时，提高电价为y元/千瓦时，根据“2月份用电330千瓦时，电费为213元”与“3月份用电240千瓦时，电费为150元”，即可列出方程组求解.

方法归纳：解答此类问题的常用方法是认真读题，审清题意，全面分析，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组求解.读懂题中提供的信息和电费的计算方法是解题的关键.

二、生产问题

例2 （2014年菏泽）食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输.某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克.已知生产A、B两种饮料共100瓶恰好用了270克该添加剂，问A、B两种饮料各生产了多少瓶.

思路分析：采用直接设元法设出未知数，根据“生产4、B两种饮料共100瓶恰好用了270克该添加剂”即可列方程组求解，

方法归纳：此题设计新颖，可用二元一次方程组的知识来解决.读懂题意，找出其中的等量关系，建立方程组模型是求解的关键.

篇10：二元一次方程

【教学目标】

【知识目标】了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。

【能力目标】通过讨论和练习，进一步培养学生的观察、比较、分析的能力。

篇11：二元一次方程组

学生活动：尝试总结二元一次方程组的解的概念，思考后自由发言．

教师纠正、指导后板书：

使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．

例题  判断 是不是二元一次方程组 的解．

学生活动：口答例题．

此例题是本节课的重点，通过这个例题，使学生明确地认识到：二元一次方程组的解必须同时满足两个方程；同时，培养学生认真的计算习惯．

3．尝试反馈，巩固知识

练习：（1）课本第6页第2题  目的：突出本节课的重点．

（2）课本第7页第1题  目的：培养学生计算的准确性．

4．变式训练，培养能力

练习：（1）P8 4．

【教法说明】使学生更深刻地理解二元一次方程组的解的概念，并为解二元一次方程组打下基础．

（2）P8 B组1．

【教法说明】为列二元一次方程组找等量关系打下基础，培养了学生分析问题、解决问题的能力．

（四）总结、扩展

1．让学生自由发言，了解学生这节课有什么收获．

2．教师明确提出要求：弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解．

3．中考热点：中考中有时会出现检验某个坐标点是否在一次函数解析式上的问题．

八、布置作业

（一）必做题：P7 3．

（二）选做题：P8 B组2．

（三）预习：课本第9～13页．

参考答案

篇12：二元一次方程组

学生活动：尝试总结二元一次方程组的解的概念，思考后自由发言.

教师纠正、指导后板书：

使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.

例题 判断 是不是二元一次方程组 的解.

学生活动：口答例题.

此例题是本节课的重点，通过这个例题，使学生明确地认识到：二元一次方程组的解必须同时满足两个方程;同时，培养学生认真的计算习惯.

3.尝试反馈，巩固知识

练习：(1)课本第6页第2题 目的：突出本节课的重点.

(2)课本第7页第1题 目的：培养学生计算的准确性.

4.变式训练，培养能力

练习：(1)P8 4.

【教法说明】使学生更深刻地理解二元一次方程组的解的概念，并为解二元一次方程组打下基础.

(2)P8 B组1.

【教法说明】为列二元一次方程组找等量关系打下基础，培养了学生分析问题、解决问题的能力.

(四)总结、扩展

1.让学生自由发言，了解学生这节课有什么收获.

2.教师明确提出要求：弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解.

3.中考热点：中考中有时会出现检验某个坐标点是否在一次函数解析式上的问题.

八、布置作业

(一)必做题：P7 3.

(二)选做题：P8 B组2.

(三)预习：课本第9～13页.

参考答案

篇13：二元一次方程组“错解”档案

1. 求解不完整

错解: (1) + (2) , 得2x=4, 解得x=2, 所以原方程组的解是x=2.

剖析:错解只求出了一个未知数x的值, 没有求出另一个未知数y的值, 所以求解是不完整的.

正解:方程 (1) + (2) , 得2x=4, 解得x=2, 将x=2代入 (2) , 得y=0.

我的启示:用消元法来解方程组时, 只求出一个未知数的解, 就以为求出了方程组的解, 这是对二元一次方程组的解的意义不明确的表现.应牢记二元一次方程组的解是一组解, 而不是一个解.

2. 忽视检验

剖析:二元一次方程组中各个方程的公共解, 才是这个方程组的解.错解中忽视了对另一个方程的检验.

我的启示:检验方程组的解时, 应把解代入方程组中的每一个方程, 只有使两个方程都成立时, 才是方程组的解.

3. 运算错误

剖析: (1) - (2) 的结果出现错误.

正解: (1) - (2) , 即 (3m+2n) - (3m-n) =7-5.去括号, 得3m+2n-3m+n=2.

我的启示:学习了二元一次方程组的解法后, 我感到加减消元法比代入消元法方便好用, 但用加减消元法解方程组时常常受到符号问题的困扰.我的错解告诉我, 解决问题的关键是要正确应用等式的性质, 重视加与减的区分.

4. 变形错误

剖析:错解将解方程组整理时大意失荆州, 移项没有改变符号.

(4) - (3) , 得, 代入 (3) , 得.

篇14：二元一次应用题

例1 《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的三分之一，若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？

【分析】要求树上、树下各有多少只鸽子吗？就要设树上有x只鸽子，树下有y只鸽子，然后根据若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的三分之一；列出一个方程，再根据若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子有一样多，列一个方程组成方程组，解方程组即可.

解：设树上有x只鸽子，树下有y只鸽子.

由题意可：y-1=13（x+y），

x-1=y+1.解得x=7，

y=5.

答：树上原有7只鸽子，树下有5只鸽子.

解应用题的关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组. 所以做这类题读懂题意是关键，最主要的是从实际问题中找到两个相等关系，通过设适当的两个未知数，用含有未知数的代数式表示数量关系，列出两个二元一次方程.

例2 《群鸦栖树》

栖树一群鸦，鸦树不知数；

三个坐一棵，五个地上落；

五个坐一棵，闲了一棵树；

请你动脑筋，鸦树各几何？

大意是：一群乌鸦落在一片树上，如果三个乌鸦落在一棵树上，那么就有五个乌鸦没有树可落；如果五个乌鸦落在一棵树上，那么就有一棵树没有落乌鸦. 请问乌鸦和树各多少？

解：设乌鸦有x只，树有y棵. 由题意，得3x+5=x，

5（y-1）=x，解得x=20，

y=5.

答：乌鸦有20只，树有5棵.

【说明】古今中外流传着许多歌谣趣题，题目新颖别致，魅力无限，不仅内容朗朗上口，蕴含数学问题，而且需要具有一定的解题能力.

例3 八张扑克牌恰好可拼成一个大的长方形（图1），用同样的这八张牌可拼成一个大正方形，但中间留下一个边长为2 cm的小正方形（图2）. 你能算出每张扑克牌的长和宽吗？

解：设扑克牌的宽为x厘米，长为y厘米.

由题意，得3y=5x，

y+2=2x，解得x=6，

y=10.

答：扑克牌的宽为6厘米，长为10厘米.

通过三个例题的分析后，引导学生发现解决问题的方法，关键是由实际问题向数学问题的转化过程. 让学生学会用数学建模的思想和方程的思想来解决问题. 从实际出发，让学生初步体会到数学与人们的日常生活的密切关系，并体会数学在社会生活中所起的作用，使学生学会从数学的角度去分析和解决简单的实际问题.

中考中的二元一次方程（组）

（作者单位：江苏省连云港市赣榆区外国语学校）

许 峰

二元一次方程（组）是初中数学的重要内容，也是中考的必考内容，各省市的中考试题中各种题型都有出现这部分内容试题，综合分析试题，一般考查这几方面：（1） 二元一次方程的定义的考查；（2） 二元一次方程解的不定性的考查；（3） 二元一次方程组的解的概念的考查；（4） 二元一次方程组的两种解法的考查掌；（5） 二元一次方程组综合与实际应用的考查. 下面分别就这几个方面举例分析，希望能够帮助同学的学习.

一、 二元一次方程的定义的考查

1. （2013·安顺）4xa+2b-5-2y3a-b-3=8是二元一次方程，那么a-b=______.

解：根据题意得：a+2b-5=1，

3a-b-3=1，解得：a=2，

b=2. 则a-b=0. 故答案是：0.

【点评】主要考查二元一次方程的概念与解二元一次方程组，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程. 根据二元一次方程的定义即可得到x、y的次数都是1，则得到关于a，b的方程组求得a，b的值，则代数式的值即可求得.

二、 对二元一次方程解的不定性的考查

2. （2014·黑龙江龙东地区）小明带7元钱去买中性笔和橡皮（两种文具都买），中性笔每支2元，橡皮每块1元，那么中性笔能买______支.

【解】设买中性笔x支，橡皮y支. 则由题得：2x+y=7，变形为y=7-2x因为两种文具都买，所以x、y皆为正整数，解得x=1，

y=5，x=2，

y=3，x=3，

y=1.

【点评】此题主要考查了列二次元一次方程与二元一次方程解的不定性的考查，根据小明所带的总钱数以及中性笔与橡皮的价格，可以列出方程，再根据限制两种文具都买，得出符合题意的答案. 正确分类讨论是解题关键.

3. （2014·滨州）王芳同学到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支0.8元，笔记本每本1.2元，王芳同学花了10元钱，则可供她选择的购买方案的个数为（两样都买，余下的钱少于0.8元）（ ）.

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

解：设购买x只中性笔，y只笔记本，根据题意得出9.2<0.8x+1.2y≤10，

当x=2时，y=7，当x=3时，y=6，当x=5时，y=5，当x=6时，y=4，当x=8时，y=3当x=9时，y=2，当x=11时，y=1，故一共有7种方案. 故选：B.

nlc202309020536

【点评】此题主要考查了列二次元一次方程与二元一次方程解的不定性的考查，得出不等关系是解题关键.

三、 对二元一次方程组解的考查

4. （2014·威海）解方程组：3x-5y=3，

x2-y3=1.

解：方程组整理得：3x-5y=3，①

3x-2y=6.②

②-①得：3y=3，即y=1，将y=1代入①得：x=83，则方程组的解为x=83，

y=1.

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.

5. （2014·山东东营）如果实数x，y满足方程组x+3y=0，

2x+3y=3.那么代数式xyx+y+2÷1x+y的值为______.

解：原式=xy+2x+2yx+y·（x+y）=xy+2x+2y，

方程组x+3y=0，

2x+3y=3.解得：x=3，

y=-1.当x=3，y=-1时，原式=-3+6-2=1. 故答案为：1.

【点评】此题考查了分式的化简求值与解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程组的解得到x与y的值，代入计算即可求出值.

四、 对二元一次方程组与学科内的结合的考查

6. （2014·毕节地区）若-2a↑mb↑4与5a↑n+2b↑2m+n可以合并成一项，则m↑n的值是（ ）.

A. 2

B. 0

C.-1

D. 1

解：若-2a↑mb↑4与5a↑n+2b↑2m+n可以合并成一项，可知是同类项，由同类项概念可知m=n+2，

2m+n=4.解得m=2，

n=0.m↑n=2↑0=1，故选：D.

【点评】本题考查了同类项的概念与列解二元一次方程组，同类项是字母相同且相同字母的指数也相同是解题关键. 根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，列出方程组，得m、n的值，根据乘方，可得答案.

7. （2014·孝感）已知x=-1，

y=2.是二元一次方程组3x+2y=m，

nx-y=1.的解，则m-n的值是（ ）.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

解：将x=-1，y=2代入方程组得：-3+4=m，

-n-2=1.解得：m=1，n=-3，

则m-n=1-（-3）=1+3=4. 故选D.

【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解的概念与解法，解方程组的基本思想是消元，正确解方程组是关键. 将x与y的值代入方程组求出m与n的值，即可确定出m-n的值.

8. （2014·贵州安顺）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足2a-3b+5+（2a+3b-13）↑2=0，则此等腰三角形的周长为（ ）.

A. 7或8

B. 6或11

C. 6或7

D. 7或10

【解】∵2a-3b+5+（2a+3b-13）↑2=0，

∴2a-3b+5=0，

2a+3b-13=0.解得a=2，

b=3.

当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；

当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；

综上所述此等腰三角形的周长为7或8. 故选A.

【点评】本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握. 先根据非负数的性质求出a，b的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长.

五、 对二元一次方程组应用的考查

9. （2014·苏州）某地准备对一段长120 m的河道进行清淤疏通. 若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队先单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天. 设甲工程队平均每天疏通河道x m，乙工程队平均每天疏通河道y m，则（x+y）的值为______.

解：设甲工程队平均每天疏通河道x m，乙工程队平均每天疏通河道y m，由题意，得

4x+9y=120，

8x+3y=120.解得：x=12，

y=8.∴x+y=20.

故答案为：20.

【点评】本题考查了列二元一次房产界实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，工程问题的数量关系的运用，解答时由工程问题的数量关系建立方程组求出其解是关键. 设甲工程队平均每天疏通河道x m，乙工程队平均每天疏通河道y m，就有4x+9y=120，8x+3y=120，由此构成方程组求出其解即可.

10. （2014·益阳）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：

销售时段＼&销售数量＼&销售收入＼&销售数量＼&A种型号＼&B型号＼&第一周＼&3台＼&1 800元＼&5台＼&第二周＼&4台＼&3 100元＼&10台

（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）

（1） 求A、B两种型号的电风扇的销售单价；

（2） 若超市准备用不多于5 400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？

（3） 在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1 400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.

解：（1） 设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，

依题意得：3x+5y=1 800，

4x+10y=3 100.解得：x=250，

y=210.

答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；

（2） 设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30-a）台.

依题意得：200a+170（30-a）≤5 400，解得：a≤10.

答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5 400元；

（3） 依题意有：（250-200）a+（210-170）（30-a）=1 400，

解得：a=20，∵a>10，∴在（2）的条件下超市不能实现利润1 400元的目标.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解.

（1） 设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1 800元，4台A型号10台B型号的电扇收入3 100元，列方程组求解；

（2） 设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30-a）台，根据金额不多余5 400元，列不等式求解；

（3） 设利润为1 400元，列方程求出a的值为20，不符合（2）的条件，可知不能实现目标.