二元一次方程的知识点

二元一次方程的知识点（共9篇）

篇1：二元一次方程的知识点

二元一次方程组知识点

1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。

4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

5、代入消元法解二元一次方程组：

（1）基本思路：未知数又多变少。

（2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。

（3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。

（4）代入法解二元一次方程组的一般步骤：

1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”

2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。

3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。

4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”

5、把x、y的值用｛联立起来即“联”

6、加减消元法解二元一次方程组

（1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

（2）用加减消元法解二元一次方程组的解

1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。

2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。

3、解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。

4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”。

5、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。

二元一次方程组应用题

1、一、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：

2、审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；

3、找：找出能够表示题意两个相等关系；

4、列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；

5、解：解这个方程组，求出两个未知数的值；

6、答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案

二、典型例题讲解

题型

一、列二元一次方程组解决生产中的配套问题

1、某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只，贤计划用132米这样布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套

题型

二、列二元一次方程组解决行程问题

2、甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇。相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时候后调转车头原速返回，在汽车再次出发后半小时后追上乐拖拉机，这时，汽车、拖拉机各行驶了多少千米？

3、一轮船从甲地到乙地顺流航行需4小时，从乙地到甲地逆流航行需6小时，那么一木筏由甲地漂流到乙地需要多长时间？

题型

三、列二元一次方程解决商品问题

4、在“五一”期间，某超市打折促销，已知A商品7.5折销售，B商品8折销售，买20件A商品与10件B商品，打折前比打折后多花460元，打折后买10件A商品和10件B商品共用1090元。求A、B商品打折前的价格。

题型

四、列二元一次方程组解决工程问题

5、某城市为了缓解缺水状况，实施了一项饮水工程，就是把200千米以外的一条大河的水引到城市中来，把这个工程交给甲、乙两个施工队，工期为50天，甲、乙两队合作了30天后，乙队 因另外有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修0.6千米，10天后乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队每天比原来多修0.4千米，结果如期完成，问：甲、乙两队原计划每天各修多少千米？

题型五：列二元一次方程组解决增长问题

6、某中学现有学生4200人，计划一年后初中在校学生增加8%，高中在校学生增加11%，这样全校在校生将增加10%，则该校现在有初中生多少人？在校高中生有多少人？

篇2：二元一次方程的知识点

1.二元一次方程的定义含有两个未知数，并且未知项的次数是1，系数不是o，这样的整式方程，叫做二元一次方程.

二元一次方程指的是有两个未知数的，而且未知数的质数都是1的方程式。由二元一次方程衍生出了二元一次方程组、二元一次方程的解等方面的知识，一般来说，解二元一次方程都需要把方程中的未知数的个数减少，然后再解，它的方程式是x-y=1。

2.二元一次方程的一般形式ax+by=c(其中x、y少是未知数，a、b、c是字母已知数，且ab≠o).

3.判断一个方程是二元一次方程，它必须同时满足下列四个条件

(l)含有两个未知数;

(2)未知项的次数都是1;

(3)未知项的系数都不是仇

(4)等号两边的代数式是整式，即方程是整式方程.

二元一次方程解题技巧：

每个人初学二元一次方程的时候，总是会觉得十分难解的，但是只要你掌握了解题技巧，自然而然就能解开。首先要想解开一个二元一次方程，就应该是解开二元一次方程组，第一步做的就是把第一个和第二个方程组合并，然后把需要解开的项移到一旁，然后合并同类项，最后就可以将解得的一个未知数带入原先的方程中，就可以得知两个未知数的值。

篇3：中考中的二元一次方程(组)

一、考查二元一次方程的定义

1.(2013·贵州安顺)4xa+2b-5-2y3a-b-3=8是二元一次方程,那么a-b=______.

解:根据题意得,解得:则a-b=0. 故答案是0.

【点评】本题主要考查二元一次方程的概念与解二元一次方程组,要求熟悉二元一次方程的形式及其特点:含有2个未知数,未知数的项的次数是1的整式方程. 根据二元一次方程的定义即可得到x、y的次数都是1,则得到关于a、b的方程组,再求得a、b的值,代数式的值即可求得.

二、考查二元一次方程解的不定性

2.(2014·黑龙江)小明带7元钱去买中性笔和橡皮(两种文具都买),中性笔每支2元,橡皮每块1元,那么中性笔能买______支.

解:设买中性笔x支,橡皮y块. 则由题意得2x+y=7,变形为y=7-2x.因为两种文具都买,所以x、y皆为正整数,解得

【点评】此题主要考查了列二元一次方程与二元一次方程解的不定性,根据小明所带的总钱数以及中性笔与橡皮的价格,可以列出方程,再根据“两种文具都买”,得出符合题意的答案. 正确分类讨论是解题的关键.

3.(2014·山东滨州)王芳同学到文具店购买中性笔和笔记本,中性笔每支0.8元,笔记本每本1.2元,王芳同学花了10元钱,则可供她选择的购买方案的个数为(两样都买,余下的钱少于0.8元)().

A. 6B. 7C. 8D. 9

解:设购买x支中性笔,y本笔记本,根据题意得出9.2<0.8x+1.2y≤10,

当x=2时,y=7;当x=3时,y=6;当x=5时,y=5;当x=6时,y=4;当x=8时,y=3;当x=9时,y=2;当x=11时,y=1.故一共有7种方案. 故选B.

三、考查解二元一次方程组

4.(2014·山东威海)解方程组:

解:整理方程组得

2-1得:3y=3,即y=1,将y=1代入1得:x=8/3,则方程组的解为

【点评】此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想. 而消元的方法包括代入消元法与加减消元法,本题正是利用了加减消元法.

四、考查二元一次方程组与其他知识点的结合

5.(2014·贵州毕节)若-2amb4与5an+2b2m+n可以合并成一项,则mn的值是( ).

A. 2 B. 0 C.-1 D. 1

解:若-2amb4与5an+2b2m+n可以合并成一项,可知是同类项,由同类项概念可知解得,故选D.

【点评】本题考查了同类项的概念与列、解二元一次方程组,同类项是本题关键词. 根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同,列出方程组,解得m、n的值,进行乘方,可得答案.

6.(2014·湖北孝感)已知,是二元一次方程组,的解,则m-n的值是( ).

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解:将x=-1,y=2代入方程组得解得:m=1,n=-3,

则m-n=1-(-3)=1+3=4. 故选D.

【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解的概念与解法,解方程组的基本思想是消元,正确解方程组是关键. 将x与y的值代入方程组求出m与n的值,即可确定m-n的值.

4.(2014·贵州安顺)已知等腰三角形的两边长分别为a、b,且a、b满足,则此等腰三角形的周长为( ).

A. 7或8 B. 6或11

C. 6或7 D. 7或10

当a为底时,三角形的三边长为2,3,3,则周长为8;

当b为底时,三角形的三边长为2,2,3,则周长为7.

故选A.

【点评】本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组,都是基础知识,要熟练掌握. 先根据非负数的性质求出a、b的值,再分两种情况确定第三边的长,从而得出三角形的周长.

五、考查二元一次方程组的应用

8.(2014·江苏苏州)某地准备对一段长120 m的河道进行清淤疏通. 若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务,则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天;若甲工程队先单独工作8天,则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天. 设甲工程队平均每天疏通河道x m,乙工程队平均每天疏通河道y m,则(x+y)的值为______.

解:由题意,得

故答案为20.

篇4：二元一次方程的整数解

例1 （2014年衡阳）某班组织活动，班委会准备把15元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品，已知笔记本2元/本，中性笔1元/支，且每种奖品都要有.有多少种购买方案？请列举所有可能的方案.

分析：要确定有几种购买方案，只需确定符合条件的购买笔记本和中性笔的情况有几种.

解：设应购买笔记本x本，中性笔y支.依题意，得2x+y=15，即y=15-2x.

由题意知x、y都是正整数，所以x=1时，y=13；x=2时，y=ll；x=3时，y=9；x=4时，y=7；x=5时，y=5；x=6时，y=3；x=7日寸，y=l.

故符合条件的购买方案有7种，它们分别是：购买笔记本1本，中性笔13支；购买笔记本2本，中性笔11支；购买笔记本3本，中性笔9支；购买笔记本4本，中性笔7支；购买笔记本5本，中性笔5支；购买笔记本6本，中性笔3支：购买笔记本7本，中性笔1支.

说明：本题中购买的是笔记本和中性笔两种奖品，x、y都是正整数.

例2（2013年黄石）四川雅安地震期间，为了紧急安置60名灾民，需要搭建可容纳6人或4人的帐篷.若所搭建的帐篷恰好（即不多不少）能容纳这60名灾民，则不同的搭建方案有（）.

A.4种

B.6种

C.9种

D.11种

分析：要确定有几种搭建方案，只需确定符合条件的搭建可容纳6人或4人的帐篷的情况有几种.

解：设搭建容纳6人的帐篷x顶，容纳4人的帐篷y顶，依题意，得6x+4y=60.

故符合要求的搭建方案有6种，一是搭建容纳6人的帐篷O顶，容纳4人的帐篷15顶：二是搭建容纳6人的帐篷2顶，容纳4人的帐篷12顶；三是搭建容纳6人的帐篷4顶，容纳4人的帐篷9顶：四是搭建容纳6人的帐篷6顶，容纳4人的帐篷6顶：五是搭建容纳6人的帐篷8顶，容纳4人的帐篷3顶：六是搭建容纳6人的帐篷10顶，容纳4人的帐篷0顶，应选B.

说明：本题中搭建的帐篷可以全是容纳6人的帐篷，也可以全是容纳4人的帐篷，还可以是既有容纳6人的帐篷，又有容纳4人的帐篷.

例3（2014年龙东）学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场）.记分办法是：胜l场得3分，平1场得1分，负1场得0分，在这次足球比赛中，小虎所在足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎所在足球队所负场数的情况有（）.

A.2种

B.3种

C.4种

D.5种

分析：要确定小虎所在足球队所负场数的情况有几种，只需确定小虎所在足球队所负场数和踢平场数有几种符合条件的情况.

说明：本题中小虎所在足球队不可能全胜，根据踢平场数是所负场数的整数倍，且x、y都是正整数即可得解.

1.（2014年齐齐哈尔）将一张面值100元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，兑换方案有（）.

A.6种 B.7种 C.8种 D.9种

2.（2013年绥化）某班组织20名同学去春游，同时租用两种型号的车辆，一种车每辆有8个座位，另一种车每辆有4个座位，要求租用的车辆不留空座，也不能超载，则有____种租车方案.

参考答案

1.A 2.2

篇5：二元一次方程的知识点

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6、如果x=1，y=2满足方程ax

7、已知方程组1y1，那么a=____________； 42xay3有无数多解，则a=______，m=______；

4x6y2m

8、若方程x-2y+3z=0，且当x=1时，y=2，则z=______；

9、若4x+3y+5=0，则3(8y-x)-5(x+6y-2)的值等于_________；

10、若x+y=a，x-y=1同时成立，且x、y都是正整数，则a的值为________；

11、从方程组4x3y3z0(xyz0)中可以知道，x:z=_______；y:z=________；

x3yz0

2212、已知a-3b=2a+b-15=1，则代数式a-4ab+b+3的值为__________；

四、解方程组

mn35x2y11a3

4(a为已知数)；

37、；

38、4x4y6amn132

3xy3x4y2x(y1)y(1x)2539、； 40、； 2xyx(x1)yx01

2x2y13x3y3x2y22322541、；

42、； 1yx23(2x3y)2(3x2y)25132236

xyz13xy16

43、yzx1；

44、yz12；

zxy3zx10

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3xy4z13x:y4:7

45、5xy3z5；

46、x:z3:5；

xyz3x2y3z30

二元一次方程组应用题

1、一、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：

2、审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；

3、找：找出能够表示题意两个相等关系；

4、列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；

5、解：解这个方程组，求出两个未知数的值；

6、答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案 典型例题讲解

题型

一、列二元一次方程组解决生产中的配套问题

1、某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只，贤计划用132米这样布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套

题型

二、列二元一次方程组解决行程问题

2、甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇。相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时候后调转车头原速返回，在汽车再次出发后半小时后追上乐拖拉机，这时，汽车、拖拉机各行驶了多少千米？

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3、一轮船从甲地到乙地顺流航行需4小时，从乙地到甲地逆流航行需6小时，那么一木筏由甲地漂流到乙地需要多长时间？

题型

三、列二元一次方程解决商品问题

4、在“五一”期间，某超市打折促销，已知A商品7.5折销售，B商品8折销售，买20件A商品与10件B商品，打折前比打折后多花460元，打折后买10件A商品和10件B商品共用1090元。求A、B商品打折前的价格。

题型

四、列二元一次方程组解决工程问题

5、某城市为了缓解缺水状况，实施了一项饮水工程，就是把200千米以外的一条大河的水引到城市中来，把这个工程交给甲、乙两个施工队，工期为50天，甲、乙两队合作了30天后，乙队 因另外有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修0.6千米，10天后乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队每天比原来多修0.4千米，结果如期完成，问：甲、乙两队原计划每天各修多少千米？

题型五：列二元一次方程组解决增长问题

6、某中学现有学生4200人，计划一年后初中在校学生增加8%，高中在校学生增加11%，这样全校在校生将增加10%，则该校现在有初中生多少人？在校高中生有多少人？

学习时的苦痛是暂时的，未学到的痛苦是终生的。

篇6：二元一次方程组的典型例题

分析 我们已经掌握一元一次方程的解法，那么要解二元一次方程组，就应设法将其转化为一元一次方程，为此，就要考虑将一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示．方程(2)中x的系数是1，因此，可以先将方程(2)变形为用含y的代数式表示x，再代入方程(1)求解．这种方法叫“代入消元法”． 解： 由(2)，得 x=83y．(3)把(3)代入(1)，得：

2(83y)+5y=21，166y+5y=21，y=37，所以y=37．

点评 如果方程组中没有系数是1的未知数，那么就选择系数最简单的未知数来变形．

分析 此方程组里没有一个未知数的系数是1，但方程(1)中x的系数是2，比较简单，可选择它来变形．

解： 由(1)，得

2x=8+7y，(3)把(3)代入(2)，得

分析 本题不仅没有系数是1的未知数，而且也没有一个未知数的系数较简单．经过观察发现，若将两个方程相加，得出一个x，y的系数都是100、常数项是200的方程，而此方程与方程组中的(1)和(2)都同解．这样，就使问题变得比较简单了．

解：(1)+(2)，得100x+100y=200，所以

x+y=2

(3)

解这个方程组．由(3)，得

x=2y(4)把(4)代入(1)，得53(2y)+47y=112，10653y+47y=112，6y=6，所以y=1．

分析 经观察发现，(1)和(2)中x的系数都是6，若将两方程相减，便可消去x，只剩关于y的方程，问题便很容易解决、这种方法叫“加减消元法”． 解：(1)(2)，得12y=36，所以y=3．把y=3代入(2)，得：

6x5×(3)=17，6x=2，所以：

点评 若方程组中两个方程同一未知数的系数相等，则用减法消元；若同一未知数的系数互为相反数，则用加法消元；若同一未知数的系数有倍数关系，或完全不相等，则可设法将系数的绝对值转化为原系数绝对值的最小公倍数，然后再用加减法消元．在进行加减特别是进行减法运算时，一定要正确处理好符号．

分析 方程组中，相同未知数的系数没有一样的，也没有互为相反数的．但不难将未知数y的系数绝对值转化为12(4与6的最小公倍数)，然后将两个方程相加便消去了y．

解：(1)×3，得9x+12y=48

(3)(2)×2，得10x-12y=66(4)(3)+(4)，得19x=114，所以x=6．把x=6代入(1)，得 3×6+4y=16，4y=-2，点评 将x的系数都转化为15(3和5的最小公倍数)，比较起来，变y的系数要简便些．一是因为变y的系数乘的数较小，二是因为变y的系数后是做加法，而变x的系数后要做减法．

例6 已知xmn+1y与2xn1y3m2n5是同类项，求m和n的值．

分析 根据同类项的概念，可列出含字母m和n的方程组，从而求出m和n． 解：因为xmn+1y与2xn1y3m2n5是同类项，所以

解这个方程组．整理，得

(4)(3)，得2m=8，所以m=4．把m=4代入(3)，得2n=6，所以n=3．所

分析 因为x+y=2，所以x=2y，把它代入方程组，便得出含y，m的新方程组，从而求出m．也可用减法将方程组中的m消去，从而得出含x，y的一个二元一次方程，根据x+y=2这一条件，求出x和y，再去求m． 解：将方程组中的两个方程相减，得x+2y=2，即(x+y)+y=2．

因为x+y=2，所以2+y=2，所以y=0，于是得x=2．把x=2，y=0代入2x+3y=m，得m=4．把m=4代入m22m+1，得m22m+1=422×4+1=9． 例8 已知x+2y=2x+y+1=7xy，求2xy的值．

分析 已知条件是三个都含有x，y的连等代数式，这种连等式可看作是二元一次方程组，这样的方程组可列出三个，我们只要解出其中的一个便可求出x和y，从而使问题得到解决． 解：已知条件可转化为

整理这个方程组，得

解这个方程组．由(3)，得x=y1(5)把(5)代入(4)，得5(y1)-2y-1=0，5y-2y=5+1，所以

y=2．

把y=2代入(3)，得x-2+1=0，所以

x=1．

2x-y=0．

二元一次方程组的典型例题

二元一次方程组复习题

例题：

1、下列方程是二元一次方程的是（）

110(A)x2+x+1=0

(B)2x+3y-1=0

(C)x+y-z=0

(D)x+y

2、下列各组数值是x-2y=4方程的解的是（）

x2x1x0x4(A)y1(B)y1(C)y2(D)y1 x2

3、以y1为解的二元一次方程的个数是（）

(A)有且只有一个

(B)只有两个

(C)有无数个

(D)不会超过100个

4、二元一次方程3x+2y=7的正整数解的组数是（）(A)1组

(B)2组

(C)3组

(D)4组

x4

5、已知y2是二元一次方程mx+y=10的一个解，则m的值为

6、已知3xm-1-4y2m-n+4=1是二元一次方程，则m=，n=

.7、下列方程组中，属于二元一次方程组的是（）。

xy5xy1xy1xy32x2y1xy2z2y1x20(A)

(B)

（C)

(D)

8、已知2ay+5b和-4a2xb2-4y是同类项，则x= ,y=

.x1y

29、写一个以为解的二元一次方程组：

。x12xay5bx3y1y2

10、如果是方程组的解，则ab

。xy13x2y

511、方程组的解是

.12、将下列二元一次方程变形，使其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示： ⑴2x-y-3=0

⑵x-2y-3=0

uv41⑶

2x+5y-13=0

⑷

313、用代入法解下利二元一次方程组：

y1xx2y4xy13x2y5①

②

③2s3t14s9t8

2x3y53x2y

414、用加减法解方程组时，下列变形正确的是（）

6x9y54x6y106x3y152x6y106x4y49x6y126x2y123x6y12(A)

(B)（C)(D) 13x6y25(1)27x4y19(2)

15、解方程组

你认为下列4种方法中，最简便的是（）

(A)代入消元法

(B)用（1）27-（2）13，先消去x（C)用（1）4-（2）6，先消去y

(D)用（1）2-（2）3，先消去y

3x5y21m5n62x5y113m6n4

16、用加减法解下列方程组：①

②

x2axby7axby5y1提高题：

1、已知是方程组的解，求ab的值。

x3y0x11(y0)y4z02、已知，则z（）(A)12

(B)-1

2（C)-12

(D)12

3、已知︳4x+3y-5︳+︳x-2y-4︳=0,求x，y的值

x1x1y0y5，4、已知二元一次方程ax+by=10的两个解为，则a= ,b=

.mx2ny4x6y3xy1nx(m1)y

35、已知关于x，y的方程组与的解相同，求m,n的值。

xy22xy4a6、已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程x-y=2的解，求a的值。

7、方程2x+3y=11的正整数解是。

axby2x2cx7y8y

28、解方程组时，一学生把c看错而得到，已知该方程组的正确的解x3y2是，那么a,b,c的值是（）

(A)不能确定

(B)a=4，b=5，c=-2（C)a，b不能确定，c=-2

篇7：二元一次方程组的教学设计

二元一次方程组

安阳县马家乡一中 袁智敏

2017-03-29

二元一次方程组

安阳县马家乡一中 袁智敏

【教材分析】本节内容是七年级下学期第八章第一节的内容，与一元一次方程的学习间隔了许久，很多学生都有不同程度的遗忘，后进生更甚，故此讲解前要花一定的时间来复习回顾等式、方程的概念，循序渐进地启发诱导学生思维，进而自然而然顺利成章地接受理解二元一次方程组，实现思维质的飞跃。

【学法与教法】

学法：自学，小组交流，认真聆听感悟相结合。

教法：感受式教学法——启发诱导，让学生从中感悟，找出答案。

【教具准备】

黑板，白板，多媒体教学机1台，投影仪1台；

自制PPT 课件。

【教学目标】

知识与技能

1、掌握概念： A、二元一次方程

B、二元一次方程组（重难点）

2、辨别真假： A、二元一次方程

B、二元一次方程组（重难点）

3、正确理解： A、二元一次方程的解

B、二元一次方程组的解（重难点）

4、会建数学模型： 列二元一次方程组。（重难点）

过程与方法?

使学生在小组探究与自我聆听的过程中感悟：

1、二元一次组的概念（定义）

2、建模的精髓——找出实际问题中隐含的等量关系。

情感态度与价值感?

使学生在不知不觉中建模，体会建立数学模型的乐趣，并喜欢用数学思维看待问题解决问题。

【教学重难点】

重点：

1、掌握概念：二元一次方程组

2、辨别真假：二元一次方程组、正确理解：二元一次方程组的解

4、会建数学模型： 列二元一次方程组。

难点：

1、二元一次方程和二元一次方程组的区别；

2、列二元一次方程组。

【教学过程】

Step 1 温故知新 学概念

1、数 →算式→等式

2、一元一次方程

3、一元二次方程

4、一元 N次方程（N≥3）

5、二元一次方程

6、二元二次方程

7、二元 N次方程（N≥3）

Step 2明确定义打基础

二元一次方程：

含有两个未知数，而且含未知数的项的指数都是1的方程就叫做二元一次方程。

Step 3 火眼金睛? 辨方程1、2+3=5

1、方程

2、x + 3 =7

2、一元一次方程3、3xy+7 =20

3、一元二次方程

4、x+3y =9?

4、一元 N次方程（N≥3）

5、二元一次方程

6、二元二次方程

7、xy+3x-5y=9?

7、二元 N次方程（N≥3）?

8、ax + by = c ??

8、等式

（a、b字母系数，c代表已知数）

Step 4 拨云见日 理概念

例：已知?? 关于?的二元一次方程，求 的值。

Step 5 细微之处看分明

二元一次方程与二元一次方程组的差别

【注】概念模糊点，对后进生需要耐心诱导启发）

Step 6仔细辨真假? 二元一次方程组（做判断题）

Step 7 建模解运用题（课本例题）

【注】

1、难点，让学生在交流中感悟建模方法与喜悦。

2、举一反三

Step 8小试牛刀做练习

加工某产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道每人每天可完成1200件.现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一第二道工序所完成的件数相等？

【注】让小组分成2组，指定未知数建模。更换未知数重新建模。看最后实际结果，让学生悟出建数学模型真谛。

Step 9真枪实弹见中考

【注】让学生对未来充满信心。

Step 10 畅所欲言谈收获

【注】让学生在说与听中获取更大的收获。

Step 11见缝插针做练习(机动练习)

Step 12 布置作业，宣布下课。

【教学反思】

由于学生数学功底良莠不齐，所以接受能力强弱不同，在把握复习旧知识，掌握新知识的时间掌控上有很大的难度。

为了能使100%的学生都有尽可能大的收益，采用小组交流的学习方式，实现先进生帮带中等生、后进生，中等生帮带后进生，后进生促进中等生，先进生，中等生促进先等生，优等生激励优等生的友好模式与氛围。

为了照顾优等生也能吃饱，穿插了一些高难度的例题，给他们提供尽可能大的提升空间。同时提醒中等生与后进生此乃以后学习的内容，即使没有完全掌握也不必有心里负担。

篇8：生活中的二元一次方程组

一、商品价格问题

例1《九章算术》是中国传统数学最重要的著作, 奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术.其中, 方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》中记载:“今有牛五、羊二, 直金十两;牛二、羊五, 直金八两.问牛、羊各直金几何?”译文:“假设有5头牛、2只羊, 值金10两;2头牛、5只羊, 值金8两.问每头牛、每只羊各值金多少两?”设每头牛值金x两, 每只羊值金y两, 可列方程组为_______.

【分析】根据“假设有5头牛、2只羊, 值金10两;2头牛、5只羊, 值金8两”, 得到相等关系, 即可列出方程组.

解:根据题意得

【点评】解决此类问题的关键是找到题目中所存在的相等关系, 从而建立二元一次方程组.

二、商品打折问题

例2某超市为促销, 决定对A, B两种商品打八折出售.打折前, 买6件A商品和3件B商品需要54元;打折后, 买50件A商品和40件B商品仅需384元.求打折前买30件A商品和20件B商品需要多少钱?

【分析】设打折前A商品的单价为x元, B商品的单价为y元, 则打折后A商品的单价为0.8x元, B商品的单价为0.8y元, 根据买6件A商品和3件B商品需要54元, 打折后买50件A商品和40件B商品仅需384元列出方程组, 求出x、y的值.

解:设打折前A商品的单价为x元, B商品的单价为y元, 根据题意得:

则30×8+20×2=280 (元) .

答:打折前需要的钱数是280元.

三、道路设计问题

例3某校规划在一块长AD为18 m, 宽AB为13 m的长方形场地ABCD上, 设计分别与AD, AB平行的横向通道和纵向通道, 其余部分铺上草皮.如图1, 若设计三条通道, 其中一条横向、两条纵向, 且它们的宽度相等, 六块草坪相同, 其中一块草坪两边之比AM∶AN=8∶9, 问通道的宽是多少?

【分析】利用AM∶AN=8∶9, 设通道的宽为x m, AM=8y m, 则AN=9y m, 进而利用AD为18 m, AB为13 m得出相等关系即可求出.

解:设通道的宽为x m, AM=8y m,

∵AM∶AN=8∶9,

∴AN=9y,

答:通道的宽是1 m.

四、旅游购票问题

例4某景点的门票价格如表:

某校七年级 (1) 、 (2) 两班计划去游览该景点, 其中 (1) 班人数少于50人, (2) 班人数多于50人且少于100人.如果两班都以班为单位单独购票, 则一共支付1 118元;如果两班联合起来作为一个团体购票, 则只需花费816元.两个班各有多少名学生?

【分析】设七年级 (1) 班有x人、七年级 (2) 班有y人, 根据“如果两班都以班为单位单独购票, 则一共支付1 118元;如果两班联合起来作为一个团体购票, 则只需花费816元”, 建立方程组, 求出其解即可.

解:设七年级 (1) 班有x人、七年级 (2) 班有y人, 由题意得:

答:七年级 (1) 班有49人, 七年级 (2) 班有53人.

五、生产安排问题

例5某服装公司在工作中发现一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时, 加工3件A型服装和1件B型服装需7小时.一名熟练工加工1件A型服装和1件B型服装各需要多少小时?

【分析】设熟练工加工1件A型服装需要x小时, 加工1件B型服装需要y小时, 根据“一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时, 加工3件A型服装和1件B型服装需7小时”, 列出方程组, 即可解答.

解:设熟练工加工1件A型服装需要x小时, 加工1件B型服装需要y小时.由题意得:

答:熟练工加工1件A型服装需要2小时, 加工1件B型服装需要1小时.

六、货物运输问题

例6某物流公司承接A、B两种货物运输业务, 已知5月份A货物运费单价为50元/吨, B货物运费单价为30元/吨, 共收取运费9 500元;6月份由于油价上涨, 运费单价上涨为A货物70元/吨, B货物40元/吨, 该物流公司6月承接的A货物和B货物数量与5月份相同, 6月份共收取运费13 000元, 该物流公司月运输两种货物各多少吨?

【分析】相等关系分别为“5月份A货物运费单价为50元/吨, B货物运费单价为30元/吨, 共收取运费9 500元”;“6月份由于油价上涨, 运费单价上涨为A货物70元/吨, B货物40元/吨, 该物流公司6月承接的A货物和B货物数量与5月份相同, 6月份共收取运费13 000元”, 设未知数, 列方程组解决问题.

解:设A种货物运输了x吨, B种货物运输了y吨, 依题意得:

答:该物流公司月运输A种货物100吨, B种货物150吨.

七、原料消耗问题

例7大学生小刘回乡创办小微企业, 初期购得原材料若干吨, 每天生产相同件数的某种产品, 单件产品所耗费的原材料相同.当生产6天后剩余原材料36吨, 当生产10天后剩余原材料30吨, 求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数.

【分析】设初期购得原材料a吨, 每天所耗费的原材料为b吨, 根据“当生产6天后剩余原材料36吨, 当生产10天后剩余原材料30吨”, 列出方程组解决问题.

解:设初期购得原材料a吨, 每天所耗费的原材料为b吨, 根据题意得:

答:初期购得原材料45吨, 每天所耗费的原材料为1.5吨.

篇9：爱的二元一次方程式

宋洋坐在咨询中心里，脸深深地埋在手心里。

看得出，只有坐在安静的咨询室里，她才能够舒缓下自己已经紧绷许久了的神经，让自己从那快把人压垮的不安中暂时解脱出来。她很小心，小心翼翼地不让自己显得太痛苦。殊不知，正是这种徘徊在痛与伪装之间的表情，最能透露出她心底的脆弱。

她在悲伤流泪时，也并未痛哭流涕，而是从手包里取出纸巾，小心翼翼地沾掉眼旁的泪水。忽然，泪水如泉涌一般，无声却汹涌地流出，涸湿了她手中的纸巾，点点滴滴，落在胸前。

我抢了块垃圾

我想不好，该不该离开他。宋洋说。

宋洋和那个男人的初识粗俗又普通。当时刚刚出国工作的她，晚上下班后无处可去，就去酒吧独自浅斟。喝得微醉之时，一个男人坐在她面前，夸她漂亮，还请她喝酒。

酒意已经渐渐上头的宋洋根本没有多想。他乡遇故知的欣喜，让她完全放下了戒心。她只记得那天她喝得痛快淋漓，一杯又一杯。忽然，天旋地转……

再醒过来的时候，她躺在宾馆的床上，赤裸着，身旁是一个熟睡的男人。

宋洋本来是家里的乖乖女，哪怕是青春期，也没有过什么叛逆的念头。糊里糊涂中委身于这个连名字都不知道的男人，对她来讲完全是从未有过的体验。她以泪洗面，男人就在旁边好言相劝，说自己是独自在外考察的企业家第二代，家里家境很好。他既然和宋洋糊里糊涂地成就了好事，自然会负起责任。涉世未深的宋洋看着面前的男人，被他的甜言蜜语一点一点打动了。加上当时完全手足无措，她选择接受了男人的求爱。

后来两个人过了一段“好”日子。男人每天工作很辛苦，挺晚才能回家，有时候晚上还会接到突如其来的电话，要紧急出去。每当这个时候，宋洋总是在家煲好汤，不管多晚也等男人回来。有好几次男人在外面应酬回来时天已经快亮了，宋洋也无怨无悔地服侍男人就寝。

晴天霹雳发生在去年的三月。那天男人回家后对宋洋说，国内父亲的公司出了点小问题，急召他回国处理。他可能需要一周时间，但他会抓紧，争取早点回来。宋洋替男人订了当地航空公司的往返机票，含泪把他送上了飞机，临行时千叮咛万嘱咐，要他一路上一定要注意安全。

男人不在的日子，宋洋度日如年。好不容易等到预定返程的日子，男人却没回来。她吓坏了，手机不在服务区，人也不见影。出了什么事?她急忙打电话找航空公司的朋友帮忙查票。

朋友晚上来到她家，吭吭哧哧半天说不出话，被催问地急了，才告诉宋洋，根据电脑记录，男人根本没上飞机，也没出境，现在还应该在国内。

正当宋洋松了一口气时，朋友又说：可除了你，今天还有一个人也来查男人的行踪，听口音就是当地的洋妞，还自称是男人的老婆。

这如晴天霹雳般把宋洋震傻了。

那一刻，她想到了男人之前的种种异样之处。他从来不带她去公司，晚上那些听起来语音暧昧的电话，有时候天亮回来时身上的香水昧和口红印……，这些都让宋洋难以接受。她连夜写了一封电子邮件给男人，告诉他：咱俩完了。

但电子邮件她迟迟没有发出去。她心里总是含不下她的第一个男人。她想再给他一个机会。

几天后，男人“从国内”回来了。可能是知道事情已穿帮，一回来男人就向宋洋解释：他的确在和宋洋交往的同时，还和当地另外一个女白领有暧昧关系。这次回国之所以延期，是因为国内的父母着急抱孙子，给他介绍了一个对象。他甩不开，只好陪那个女孩去海南玩了一圈。

不过男人最后说得委婉而坚定：这三个人里，我还是最喜欢你。和她们，我只不过是逢场作戏罢了。

宋洋相信了男人。她想：我的条件这么好，没理由抢不过那两个女人。再说，这也表示了我的男人多有魅力。

他们所处的城市并不大，渐渐地，宋洋听到了更多关于男人的传闻。她痛苦地发现，男人并没有和那个女白领一刀两断，和国内的相亲女孩也一直眉来眼去，他结交的朋友，多是城市里的流氓地痞，他们常常拉着男人去赌钱，一赌就是一天，甚至有一天，她的一个好朋友赌咒发誓地和她说，亲眼见到男人在夜总会里吸毒。

吃喝嫖赌抽，男人都占全了。但宋洋此时仍然在想：我可以用我的柔情感化他。毕竟，他爱我，我也爱他。

就这样又过了一年，宋洋渐渐失望了。男人没什么变化，他依旧周旋于几个女人之间。宋洋开始疑惑：难道我抢了块垃圾?

就在此时，宋洋发现自己怀孕了。她所在的小城是天主教城市，禁止堕胎。她只得找借口搭班机回国，在国内做了人工流产。

22岁生日那天，她瞒着家人，独自进了医院。

出院后没多久，拖着依旧很虚弱的身体，她找到了咨询中心。在她心里，就想搞明白一个问题：我该继续和他在一起，还是应该和他分开?

其实早有定论

和宋洋的咨询过程，推进得并不顺利。

她的故事很特殊，很奇诡，听起来像听小说。但在这个故事里所隐藏的困扰，却是生活中非常常见的。如果抛开那些枝叶，只留主干的话，其实不难发现，宋洋面临的是两个问题：这个男人究竟值不值得爱，这个男人究竟值不值得抢。这两个问题就像一道二元一次方程，两个变量同时影响着宋洋最后的决定。

宋样的苦恼，表示她已经发现了自己存在着一定的心理问题。而如何解决这个问题，则需要我和她共同的努力。在咨询过程中，她总喜欢问我：我该怎么办?

每当这种时候，我都给不出她具体的意见。不是我不愿意给，而是这种问话方式其实是她的一种逃避，是她无力面对这一困境，而选择将决定权交出，从而减轻她自己责任和压力的一种方式。而逃避，肯定不是解决问题的良策，所以尽管推进困难，我还是希望宋洋能够和我一起向前。

在前几次咨询过程里，她的情绪都很糟糕，对童年经历及过往创伤的清理也很不顺利。但随着她的身体逐渐恢复，她有能力慢慢来清理自己的情绪了。据她说，她的父母曾经有过一次短暂的感情风波，给她印象很深。那时母亲在外地工作，父亲和单位里的一个女同事关系暧昧，那时父亲已经开始着手准备与母亲的离婚问题。但是母亲发现了这一点，果断地从外地调回，通过各方面施压，最终让父亲还是留在了婚姻关系里。

这件事对宋洋影响很深。她那时候很小，被父亲用棒棒糖哄骗着叫过那个女人“妈妈”。尽管父母都以为她因为过于幼小而没有关于那段风波的记忆，但她自己知道，而且也痛恨自己的这种软弱。

通过这种清理，宋洋知道了自

己为何会对两个女人(实际上，是三个)争抢一个男人有特殊的反应。这件事对她的影响，以前一直藏在潜意识里，如今被翻出来重见天日，这让宋洋明白了为什么她会对于男人移情别恋时，第一反应不是愤怒，而是争抢。

这个过程对宋洋来说很痛苦，因为要触及到她童年甚至幼年时的记忆。但是当她意识到这一点后，她表现出从未有过的轻松。在七次咨询以后，她给我来了封信，说：那天早上站在窗前，望着外面熙熙攘攘的人群，她忽然明白了。既然争抢只是一种习惯，那么争抢的对象其实不是那个男人，而是自己的记忆。无论最后结果如何，输的都是自己。她决定离开，并且相信，历史不会重演。无论是母亲的历史，还是她的历史。 对于她的这封信，我早有预感。因为在我们的谈话中，我已经发现：其实她很抗拒回到那个男人身边，她有一种无意识的拒绝。这种拒绝，使得她面前看似两条路，其实最终只有一个结果。

没有说出口的另一个原因

其实在这次的咨询里，还有一个变量始终没有涉及，那就是“男人不坏，女人不爱”。而相比之下，这甚至比“争抢”更为常见。

坏男人为什么总有人爱呢?而且越是单纯、可爱、善良的女人，越容易爱上坏男人?

在我看来，这是因为那些单纯的女人，还不知道什么是爱。她们所谓的“爱”里，其实掺杂进去了很多其他的东西。比如说，控制欲和成就感。

她们相信自己可以改变男人。如果说改变，那么毫无疑问，改造一个坏得掉渣儿的烂人自然最有成就感。她们内心还没有足够成熟，或者说还从未体验到“爱”的感觉，于是她们把其他的感觉混同于“爱”，希望从中找到那种爱情关系里特有的甜蜜。

但“坏男人”之所以存在，就是因为总有这样善良的傻女孩愿意用无限的温情来为他们做后援。所以到了最后，受伤的总是女人。

而在我和宋洋咨询过程中屡次谈到的“争抢”，其实也有更深层次的含义。每个人的婚姻轨迹并非无迹可寻，它受原生家庭的影响深重。孩子的婚姻，或者就是与父母的婚姻截然相反，或者就是萧规曹随。宋洋父母的婚姻，有其特殊的时代背景和政治背景。除了当事人，没人知道，当她母亲企图继续这段婚姻，“争抢”已经明显出轨的丈夫时，究竟是一种什么心态。是爱怜?不合?愤怒?争强?还是简简单单想给宋洋一个“父母双全、家庭和睦”的成长背景?

但是宋洋并不知道这一点。她在内心为自己当年的软弱而不安、忏悔，于是决定用模仿母亲的方式来体现她的这种悔改之意。通过这样做，她表示出了对自己母亲的认同。但这种认同一方面脱离了当时的时代背景，另一方面又同“坏男人”交织在一起，使她在痛与伪装之间徘徊。

不过我还是想在最后给宋洋做一次咨询。我想，她的心结其实还有一个未解。当年的事始终压在她的心上，有时间的话，真希望她能和她的父母聊一聊。这，或许是我和她未完的第八次咨询吧……

压力的好处

谈笑生

“压力”总是不期而至，最好的方法不是拒之门外，而是请进来，与压力和平共处。

美国科学家摩德尔斯，曾经对两只小老鼠做了一次耐人寻味的试验：他把一灰一白两只小老鼠放在一个仿真的自然环境中，并把其中一只小白鼠的压力基因全部抽取出来。结果那只未被抽取压力基因的灰老鼠，走路或者觅食时总是小心翼翼。在那个面积约500平方米的仿真自然环境里面，灰老鼠一连生活了十几天，没有出现任何意外。它甚至开始为自己积蓄过冬的粮食，也开始习惯这一种没有人类恐吓和音乐等噪音影响的仿真空间。而另外一只被抽取了压力基因的小白鼠，从一开始就生活在兴奋之中。它的好奇心远远大于小灰鼠，只是惧怕仿真空间的自然保护区里的忽然而至的大风，因为风儿常常把空间里的东西刮得东倒西歪。

摩德尔斯教授的统计数字表明，胆大包天的小白鼠只用一天的时间，就把500平方米的全部空间大摇大摆地逛了一遍；而胆小怕事的灰老鼠用了近四天的时间，才把整个仿真空间熟悉。白鼠最后爬上了仿真空间里高达13米的假山，而灰老鼠最高只爬上了盛有食物的那个仅高2米的吊篮。

请不要为小白鼠的勇气鼓掌喝彩。结果小白鼠在仿真空间的第三天，义无反顾地爬上那个高达13米的假山，在试验能不能通过一个小石头时不幸摔下来，见上帝去了。其实，这个石头如果稍微小心一些，大可以安全通过。而灰老鼠因为有压力基因，处处谨慎小心，反而平平安安。在试验十几天后，它活蹦乱跳地出来了。