近世代数期末考试试卷

近世代数期末考试试卷（精选5篇）

篇1：近世代数期末考试试卷

近世代数模拟试题三

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。A、2阶

B、3 阶 C、4 阶 D、6 阶

2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。A、4个 B、5个 C、6个 D、7个

3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。

A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂

4、下列哪个偏序集构成有界格（）

A、（N,）B、（Z,）C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、(P(A),)

5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）

A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。

2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f1fa----------。

3、区间[1，2]上的运算ab{mina,b}的单位元是-------。

4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。

5、环Z8的零因子有-----------------------。

6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。

n9、设群G中元素a的阶为m，如果ae，那么m与n存在整除关系为--------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？

2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？

3、设有置换(1345)(1245)，(234)(456)S6。

1．求和1；

2．确定置换和1的奇偶性。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。

近世代数模拟试题三

参考答案

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、C；

2、C；

3、D；

4、D；

5、A；

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、唯

一、唯一；

2、a；

3、2；

4、24；

5、9、mn；

6、相等；

7、商群；

8、特征；；

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。

2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1∩S2：

因为S1，S2是A的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2，因而a-b, ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：

1(1243)(56)

3、解： 1．，(16524)；

2．两个都是偶置换。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a0，由理想的定 3

1a义a1，因而R的任意元bb1

这就是说=R，证毕。

2、证 必要性：将b代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，所以b=a-1。

—————————————————————————————————————— 一．判断题(每小题2分,共20分)

1.实数集R关于数的乘法成群.（）2.若H是群G的一个非空有限子集，且a,bH都有abH成立，则H是G的一个子群.（）3.循环群一定是交换群.（）4.素数阶循环群是单群.（）

5.设G是有限群，aG，n是a的阶，若ake，则n|k.（）

6.设f是群G到群G的同态映射，H是G的子群，则fH是G的子群.（）7.交换群的子群是正规子群.（）8.设G是有限群，H是G的子群，则GH|G|.（）|H|9.有限域的特征是合数.（）10.整数环Z的全部理想为形如nZ的理想.（）二．选择题(每小题3分,共15分)11.下面的代数系统G,中，（）不是群.A.G为整数集合，为加法； B.G为偶数集合，为加法； C.G为有理数集合，为加法； D.G为整数集合，为乘法.12.设H是G的子群，且G有左陪集分类H,aH,bH,cH.如果H的阶为6，那么G 的阶G（）

A.6；

B.24；

C.10；

D.12.4

13.设S31,12,13,23,123,132,，则S B.2；

C.3；

3中与元123不能交换的元的个数是

A.1；

D.4.14.从同构的观点看，循环群有且只有两种，分别是（）

A.G=（a）与G的子群；

B.整数加法群与模n的剩余类的加法群； C.变换群与置换群；

D.有理数加法群与模n的剩余类的加法群.15.整数环Z中，可逆元的个数是()。

A.1个

B.2个

C.4个

D.无限个 三．填空题(每小题3分,共15分)

16.如果G是全体非零有理数的集合，对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是.17.n次对称群Sn的阶是____________.18.整数加法群Z关于子群nZ的陪集为.19.设N是G的正规子群，商群GN中的单位元是。

20.若R是交换环, aR则主理想a____________.四．计算题(第21小题8分, 第22小题12分，共20分)21.令6123456123456，543212315641621354，计算,.123456

22.设H{(1),(123),(132)}是3次对称群S3的子群，求H的所有左陪集和右陪集，并说明H是否是S3的正规子群.五．证明题(每题10分,共30分)

23.设G是群，H是G的子群，证明：aG，则aHa1也是子群

24.设G是群，H是G的正规子群.G关于H的陪集的集合为

GH{gH|gG}，证明：G/H对于陪集的乘法成为一个群，称为G对H的商群.25.证明：域F上全体nn矩阵的集合MnF在矩阵的加法和乘法下成为环.一．判断题(每小题2分,共20分)

1-10 ××√√√ √√√×√ 二．选择题(每小题3分,共15分)11.D；12.B；13.C；14.B；15.B.三．填空题(每小题3分,共15分)16.1； 17.n!；18.nZ,nZ1,,nZn1；

19.N；20.aR.四．计算下列各题(第21小题8分, 第22小题12分，共20分)

21.解：123456546213，4分 6

1123456.8分

31264522.解：H的所有左陪集为

H{(1),(123),(132)}，(23)}4分

12H{(12),(13),；H的所有右陪集为

H{(1),(123),(132)}，H12{(12),(13),(23)}.对S3，有HH，即H是正规子群.12分 五．证明题(每题10分,共30分)

23.证明：因为H是G的子群，对任意x,yH，有xyH.4分 由题意，对任意

1,ax,yH，有ax11ay1aa，a从H而

axaay111aaxy11aaHa1，即aHa1也是子群.10分

24.证明：首先G3分 H对于上述乘法是封闭的，且乘法满足结合律.陪集HeH是它的单位元，eHgHegHgH,gH.7分 又任意gH，有gHgHeHgHgH，即gH是gH的逆元.10分

25.证明：MnF关于加法是封闭的，且满足结合律， 3分 零元是0nn，对任意AnnMnF，有AnnAnn0nn，即Ann的负元是Ann.111MnF关于乘法是封闭的，且满足结合律，单位元是Enn. 8分

乘法关于加法的分配律成立.10分

篇2：近世代数期末考试试卷

一．填充题

1456xx展开后，x2的系数为______.x321．行列式23A，则C____.BO3．设α,β,γ为3维列向量，已知3阶行列式|4γα,β2γ,2α|40，则行列式2．设A是m阶方阵，B是n阶方阵，且Aa, Bb, C=O|α,β,γ|______.12301bbbb2343211cccc2344126dddd2344．设|A|415a，则4A413A422A43A44______.5．行列式aaa234_______________________________________________.a0001a11aa0011aa0____________________________.6．五阶行列式det00011aa00011aa07．n阶行列式det0bb000ab00____________.00ab000aT8．设向量α(1,2)，β(2,1)，矩阵Aαβ，则An____________.19．设A2221222，则A2n1____________.1 10．设A322n1n，则A5A____________.31111．设矩阵A001100002200，则An____________________.02*112．设A，B均为n阶矩阵，A2,B3，则2AB2413．已知A6800______.0200，则A1____________________.420641101T1114．设矩阵A的逆矩阵A，则(A)_________，(A)_________.11115．设A2302400，则(A*)1________________.51aαα，T16．设n维向量α(a,0,,0,a)T,a0，若AEααT的逆矩阵为BE则a______.17．设矩阵A满足A2A4EO，则(AE)1____________.1218．设A000340005600，且B(EA)1(EA)，则(EB)1________.071*19．设矩阵A，B满足ABA2BA8E，其中A0002000，则B______.120．设A,B为可逆矩阵，X121．若矩阵01242OBA1为分块矩阵，则X____________.O34的秩为2，则a______.a 22．设ai0, bi0(i1,2,a1b1ab)n，矩阵A21abn1a1b2a2b2anb2a1bna2bn，则矩阵A的秩anbnr(A)______.123．已知43矩阵A的秩R(A)2，而B0403020，则R(AB)______.524．设A1111T，则行列式AA______.2325．若α1,α2,α3都是线性方程组Axb的解向量，则A(2α15α23α3)______.x13x22x3026．当a______时, 齐次方程组x12x23x30有非零解.2xxax0231127．设A432t123，B是3阶非零矩阵，且ABO，则t______.128．线性方程组x1x2x3x4x50的基础解系含有______个解向量.29．设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n1，则线性方程组Ax0的通解为____________________.a11x1a12x2a13x3a14x40T30．已知的基础解系为(bi1,bi2,bi3,bi4)(i1,2)，则a21x1a22x2a23x3a24x40b11x1b12x2b13x3b14x40的基础解系为________________________.b21x1b22x2b23x3b24x40131．已知矩阵A2323534745956，则秩RA______，齐次线性方程组Ax011的解空间的维数等于______.32．设向量组(1,1,1)，(1,2,3)，(2,3,a)线性相关，则a______.TTT33．已知三维线性空间的一组基底为α1(1,1,0)，α2(1,0,1)，α3(0,1,1)，向量β(2,0,0)在上述基底下的坐标是____________.34．从R2的基α1,α201111β,β到基12的过渡矩阵为__________.112 T35．设向量α(1,2,2)T，A为三阶正交矩阵，则长度||Aα||______.36．已知向量α(1,1,1)与β(1,2,a)正交，则a______.37．向量α(1,2,2,3)与β(3,1,5,1)的夹角______.38．设A(aij)33是实正交矩阵，且a111，b(1,0,0)T，则线性方程组Axb的解是____________________.39．设A是3阶矩阵，它的3个特征值互不相等，并且矩阵A的行列式A0，则矩阵A的秩R(A)______.40．若2阶方阵A满足A25A6EO，且A的两个特征值不相等, 则|A|____.41．设2阶方阵AO满足A23A，则A有一特征值____，且(AI)1____.42．设3阶方阵A的特征值为1，2，3，则|6EA|______.43．设3阶矩阵A的特征值为1，2，2，则行列式|4A1E|______.44．设A为n阶矩阵，A0，若A有特征值，则(A*)2E必有特征值______.45．设A为2阶矩阵，α1,α2为线性无关的2维列向量，Aα10，Aα22α1α2，则A的非零特征值为______.146．设矩阵A2321022，α(a,1,1)T。已知Aα与α线性相关，则a______.447．若三维向量α, β满足αTβ2，则矩阵βαT的非零特征值为______.248．设三维列向量α, β，若矩阵αβT相似于00149．已知方阵A26250．已知A1212201011y与对角矩阵00400001000，则βTα为______.000相似，则x____，y____.x5A2008220092的特征值为1,1,5，则A20106A1________.二．选择题

11.设A2021232112,B014,C(cij)AB，则c23().1230;(C)3;(D)2.(A)2;(B)62.设A,B为n阶方阵，则必有().(A)ABBA;(B)(AB)2A2B2;(C)A2B2(AB)(AB);(D)|AB||BA|.3.设n阶方阵A,B满足关系式ABO, 则必有().(A)AO或BO;(B)ABO;(C)|A|0或|B|0;(D)|A||B|0.4.设n阶方阵A,B满足关系式ABO, 且BO, 则必有().(A)AO;(B)|B|0;(C)(AB)2A2B2;(D)|A|0.5．设n阶方阵A中有n2n个以上元素为零，则|A|的值().(A)大于零;(B)等于零;(C)小于零;(D)不能确定.6．设三阶方阵A[α,α1,α2]，B[β,α1,α2]，其中α,α1,α2,β为3 维列向量, 且|A|5, |B|1, 则|AB|().(A)4;(B)6;(C)16;(D)24.281177．二次多项式5314x0x58161中x2项的系数是().(A)7；(B)7；(C)5(D)5.8．设A为可逆矩阵，则(A)1().(A)1|A||A|9．设A是3阶矩阵, 则必有().1(A)(2A)2A;(B)(2A)A;(C)(2A)4A;(D)(2A)8A.210．设A,B,C均为n阶方阵，且ABCE，则必有().A;(B)|A|A;(C)

1A1;(D)|A|A1.(A)BCAE;(B)BACE;(C)CBAE;(D)ACBE.311．设n阶方阵A满足关系式AO，则必有().12*2(A)AO;(B)AO;(C)AO;(D)(IA)IAA.12．设A是3阶矩阵，A的 14．设A为3阶矩阵，将A的 x1x2a23．线性方程组x2x32a有解的充分必要条件是a().xx113(A)13;(B)13;(C)1;(D)1.24．设四元非齐次线性方程组Axb的系数矩阵的秩为3，且

TTη1(1,2,3,4)，η2(2,3,4,5)为其两个解，则Axb的通解为().(A)c(1,2,3,4)T(2,3,4,5)T;(B)c(1,1,1,1)T(1,2,3,4)T;(C)c(1,1,1,1)Tη1η2;(D)以上都不对.25．已知β1,β2是非齐次线性方程组Axb的两个不同的解，α1,α2是对应齐次线性方程组Ax0的基础解系，k1,k2为任意常数，则方程组Axb的通解必是().(A)k1α1k2(α1α2)(C)k1α1k2(β1β2)β1β22β1β22β1β22β1β22;(B)k1α1k2(α1α2);(D)k1α1k2(β1β2);.26．设A为n阶矩阵，则对于线性方程组(1)AX0，(2)ATAX0，必有().(A)(2)的解是(1)的解，(1)的解也是(2)的解;(B)(2)的解是(1)的解，但(1)的解不是(2)的解;(C)(1)的解不是(2)的解，(2)的解也不是(1)的解;(D)(1)的解是(2)的解，但(2)的解不是(1)的解.27．设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若秩AαTα则线性方程组().秩(A)，0(A)AXα必有无穷多解;(B)AXα必有惟一解;(C)AαTαXA0仅有零解;(D)T0yααX0必有非零解.0y28．矩阵方程AXB有解的充分必要条件是().(A)R(A)R(A,B);(B)R(B)R(A,B);(C)R(A)R(A,B);(D)R(B)R(A,B).29．设A为mn矩阵，则非齐次线性方程组Axb有惟一解的充要条件是().(A)mn;(B)Ax0只有零解;(C)向量b可由A的列向量组线性表出;(D)A的列向量组线性无关，而增广矩阵(A,b)的列向量组线性相关.30．若向量组α1,,αm线性相关，且k1α1kmαm0，则().(A)k1,,km全为0;(B)k1,,km全不为0;(C)k1,,km不全为0;(D)前述情况都可能出现.31．若向量组α1,,αm线性无关，且k1α1kmαm0，则().(A)k1,,km全为0;(B)k1,,km全不为0;(C)k1,,km不全为0;(D)前述情况都可能出现.32．n维向量α1,α2,,αs线性相关的充分必要条件是().(A)α1,α2,,αs中有一个零向量;(B)α1,α2,,αs中至少有一个向量可由其余向量线性表示;(C)α1,α2,,αs中任意两个向量成比例;(D)sn.33．n维向量α1,α2,,αs线性无关的充要条件是().(A)存在一组不全为0的数k1,k2,,ks，使得k1α1k2α2ksαs0;(B)α1,α2,,αs中任意两个向量都线性无关;(C)α1,α2,,αs中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示;(D)α1,α2,,αs中任意一个向量都不能用其余向量线性表示.34．设A为n阶方阵，且A的行列式A0，则A中().(A)必有一列元素全为零;(B)必有两列元素对应成比例;(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合;(D)任一列向量是其余列向量的线性组合.35．若向量组α,β,γ线性无关，α,β,δ线性相关.则().(A)α必可由β,γ,δ线性表示;(B)β必不可由α,γ,δ线性表示;(C)δ必可由α,β,γ线性表示;(D)δ必不可由α,β,γ线性表示.36．设n维向量组α1, , αm和β1, , βm，若存在两组不全为零的数1,,m和k1,,km使得

(1k1)α1(mkm)αm(1k1)β1(mkm)βm0，则().(A)α1, , αm和β1, , βm都线性相关;(B)α1, , αm和β1, , βm都线性无关;(C)α1β1, , αmβm和α1β1, , αmβm线性无关;(D)α1β1, , αmβm和α1β1, , αmβm线性相关.37．设向量组α1, α2, α3线性无关，向量β1可由α1, α2, α3线性表示，而向量β2不可由α1, α2, α3线性表示，则对任常数k，必有().(A)α1, α2, α3，kβ1β2线性无关；(B)α1, α2, α3，kβ1β2线性相关；(C)α1, α2, α3，β1kβ2线性无关；(D)α1, α2, α3，β1kβ2线性相关.38．已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关，则向量组().(A)α1α2,α2α3,α3α4,α4α1线性无关；(B)α1α2,α2α3,α3α4,α4α1线性无关；(C)α1α2,α2α3,α3α4,α4α1线性无关；(D)α1α2,α2α3,α3α4,α4α1线性无关.39．设向量组A0为有限向量组A的部分组，下列命题正确的是().(A)若向量组A线性相关，则向量组A0必线性相关;(B)若向量组A线性无关，则向量组A0必线性无关;(C)秩R(A0)R(A);(D)秩R(A0)R(A).40．设向量组α1,,αs的秩R(α1,,αs)r，则().(A)必定rs;(B)向量组中任意小于r个向量的部分组线性无关;(C)向量组中任意r个向量线性无关;(D)向量组中任意r1个向量必线性相关.41．设向量组A的秩为r1，向量组B的秩为r2，A组可由B组线性表示，则r1与r2的关系为().(A)r1r2;(B)r1r2;(C)r1r2;(D)不能确定.42．设向量组A:α1,α2,,αr可由向量组B:β1,β2,,βs线性表示，则().(A)当rs时，向量组A必线性相关;(B)当rs时，向量组A必线性相关;(C)当rs时，向量组B必线性相关;(D)当rs时，向量组B必线性相关.43．设n维列向量组(1):α1,,αm(mn)线性无关，则n维列向量组(2):β1,,βm线性无关的充分必要条件是().(A)(1)可由(2)线性表示；(B)(2)可由(1)线性表示；(C)(1)与(2)等价；

(D)矩阵(α1,,αm)与矩阵(β1,,βm)等价.44．设A为3阶矩阵，A的特征值为0，1，2，那么齐次线性方程组Ax0的基础解 系所含解向量的个数为().(A)0;(B)1;(C)2;(D)3.45．设2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵((A)4313A)21有一个特征值为().;(B)34;(C)

12;(D)

14.46．若n阶矩阵A任意一行的n个元素之和都是a，则A的一个特征值为().(A)a;(B)a;(C)0;(D)a.

篇3：近世代数期末考试试卷

根据《教育部关于全面提高高等教育质量的若干意见》和《东北林业大学全面提高本科教育质量实施方案》 的相关规定和要求,为深入推进教育教学改革,提高本科人才培养质量,充分调动学生学习的积极性、主动性,东北林业大学进行了考试方法改革。“近世代数”课程实行的是1 + 1考试模式,即1次阶段考试 + 1次期末考试。在1 + 1考试模式下,如何更好地提高学生的学习积极性,提高教师的教学水平和教学质量,是亟待解决的问题。本文旨在继续深入研究这门课程的教学,以期适应1 + 1的考试模式,进而适应学校的教学改革发展。

结合多年的教学实践和研究,提出了一些教学改革的举措,并取得了一定的成效。

一、课堂教学方法的改革

在实际教学中,我们通过与名校教师交流,与学生交流,具体从以下几个方面对课堂教学方法进行了改革。

1.加强与高等代数课程的紧密联系

近世代数课程是高等代数课程的延伸,近世代数很多知识都是高等代数的平行推广,所以把近世代数课程的讲授跟高等代数课程紧密联系起来尤为重要。

例如,在讲授加群的零元和负元的时候,可以类比向量空间的零向量和负向量; 在讲授子群时,可以类比子空间等。这样触类旁通可以让学生充分认识到近世代数是高等代数课程的后继课程,它们有很多相通之处,对比着学习,有助于加强对近世代数相关知识的理解。

2.采用由具体到抽象,再由抽象回到具体的教学方法来讲解概念

近世代数是一门抽象性很强的学科,直接讲解相关概念和性质,学生不易理解。由于近世代数的许多概念都是从实际问题中抽象出来的,可以采用从实例中引出相关概念,然后再由概念举出新的案例的教学方法。具体来讲, 就是先举出具体实例,给学生一个直观的理解,然后再介绍相关概念,最后采用正例反例并举的方法,揭示概念的本质。这种教学方式,有助于学生对概念的理解。

例如,在讲解循环群的概念之前,先让大家观察整数加群的特点,然后给出循环群的概念,并对该概念进行一些注解( 比如,循环群中元素的形式,两个元素相等的充要条件等等) 。这样,从学生熟悉的集合着手,抽象出定义, 学生就会有直观的理解。讲解完循环群的概念之后,接着提问: 剩余类集关于剩余类的加法是否构成循环群? 关于乘法是否构成循环群? 引导学生思考,并给出验证。这种教学方法,不但能让学生很快记住循环群的定义,而且对于循环群的判定及性质有了更为深入的理解,培养了学生的抽象思维能力。

3.采用层次分析法来讲解性质和定理的证明

在概念讲解清楚,学生理解后,接下来就是抽象性质和定理的证明。对于这些抽象的性质和定理的证明,用层次分析法来讲解,思路比较清晰,学生易于掌握,并且还能调动学生学习的积极性。

例如,利用层次分析法来讲解第三同构定理[1]的证明。

第三同构定理: 设H是G的正规子群,K是G的正规子群,且KH,证明:

G / H≌( G / K) / ( H / K)

第一层,构造对应法则G/K到G/H的对应法则f,证明f是映射;

第二层,证明f是满射;

第三层,证明同态核Kerf = H/K;

第四层,运用群同态基本定理。

二、研讨班与课堂教学的结合

针对近世代数课时少而内容多的状况,根据专业的实际情况,我们开展了一周一次的研讨班。在教师的引导下,要求学生预习某一章节,然后以小组为单位,在师生之间展开讨论,通过讨论,共同寻找解决问题的方法。通过这样一系列的讨论,学生不仅掌握了相关内容,也锻炼了逻辑思维能力和团队合作能力,同时还拉近了师生之间的心理距离。研讨班式的教学方式对于提高学生的学习兴趣和学习能力,提高教师的教学水平和教学质量,都有很大的帮助。

另外,对于准备考研的学生,则补充一些更深层次的代数知识,讲解学科前沿动态,使学生根据自己的需要作一些适当的选择,这样丰富了学生的近世代数知识,为考研奠定了基础。

三、多媒体与课堂教学的结合

加强多媒体和课堂教学的结合,是近年来一直提倡的教学方式[3]。根据近世代数课程的特点,应采用以板书为主、多媒体为辅的教学手段。首先,传统的板书教学模式更有助于教师与学生之间的面对面交流,在课堂教学过程中教师可以通过学生的反应,适度把握知识的重难点,合理分配课堂时间。其次,在教学过程中,根据章节特点再辅以多媒体教学,既有利于提高教学效率,节约时间,又有利于提高学生的注意力,调动学生的学习积极性。

例如,在讲解“群”这部分内容时,可以先向学生介绍群论的历史、历史地位以及阿贝尔、伽罗瓦等数学家在群论中所作出的巨大贡献。学生通过了解这些历史以及历史人物,可以激起学习近世代数的兴趣。再如,在讲解完子群的定义和相关性质之后,可以通过多媒体将加法子群和乘法子群的判定及性质分左右两栏列举出来。这样,学生对比着学习,可以加深对加法子群和乘法子群的理解。

另外,结合课程特点,我们建立了网络课程,提供了电子课件和试题库,方便学生的查阅和学习。通过做习题, 学生可以了解自身的学习情况,为下一步的学习制订合理的计划。

四、网络答疑与课堂教学的结合

“答疑”是一个必不可少的教学环节。以往的近世代数教学,都是设定每周一次的答疑时间,教师针对学生提出的问题进行解答,这种形式的答疑称为传统答疑。传统答疑的优点是教师可以直接了解到学生学习中的困难,从而帮助学生一一解决所遇难题。缺点是: ( 1) 时间有限,不能解答所有学生的问题; ( 2) 大部分学生都是临时抱佛脚,仅在考试前的答疑中露面,平时的答疑基本不去。

随着科技的日益发展,计算机、互联网广泛地深入到人们的工作、学习、生活当中,网络答疑方式显现出其巨大的优越性。( 1) 利用网络交流平台进行教学答疑,具有广阔的时间和空间优势,学生可以随时随地向老师咨询问题,老师也可以根据自己的时间回答学生; ( 2) 网络答疑可消除面对面答疑给学生带来的紧张感,师生之间不但可以讨论学习中的问题,也可以讨论其他问题,这种讨论方式既可以拉近学生和老师之间的距离,学生也不必担心因提“很幼稚”的问题而被其他同学嘲笑。

篇4：近世代数第一章小结

本章主要研究群的有关问题：定义性质、子群及不变子群、三类重要的群——变换群、置换群、循环群、同态与同构，主要内容有：

一、基本概念

子集--相等集合交集集合集合运算并集积集（笛卡儿积）单射映射满射 预备知识

双射映射变换代数运算等价关系与分类交换群（阿贝尔群Abel),（a,bG,有abba）非交换群（a,bG，使abba)群定义有限群G—阶Gn无限群G—阶G子群子群正规子群 群陪集--商群变换群——由一个非空集合的若干一一变换构成的群三种重要群置换群——由n元有限集合的若干一一变换（置换）构成的群循环群——每个元素都是某个元的幂存在保运算的映射同态两个群的关系同构存在保运算的一一映射单位元、逆元、元素的阶、子群在群中的指数

.二、主要结论

1.群的基本性质： 1）——5），定理1.2.1，1.2.2； 2.元素阶的性质：定理1.2.3---1.2.4 3．子群的判别条件（重点）

为群(1)任给（2）任给（3）任给 的非空子集.则 , 有 , 有 , 有 为 的子群的充分必要条件是: , 有

.，任给

.（只适合有限子集）

子群的性质：子群的交集仍是子群 4．陪集、商群性质

设 是 的子群, 则

（1）aH=Ha=H当且仅当 a∈H

（2）（3）

（4）集之并.（5）(拉格朗日定理)有限群 的任一元素a 的阶都是群（7）设 为有限群.的任一子群 的阶数是群 的阶数的因子.且|G|=|H|[G：H]（6）有限群 当且仅当 当且仅当 , ，;;

可以表示成一些不相交的左(右)陪 的任何两个左(右)陪集或者完全相同, 或者无公共元素.因此 的阶数的因子.即|a|||G| , 则对任意的 ，.5.正规（不变）子群的判别条件

N是群 的子群，则N是G的不变子群的充要条件是（1）任意的（2）, 都有 aN=Na , ,;，.（3）6.变换群、置换群、循环群的结论

（1）一个集合A的所有一一变换作成一个变换群。(2)(凯莱定理)任一群都同构于一个变换群.推论：任一个有限群都同构于一个置换群.(3)

个元素的全体置换关于置换的乘法构成群.(4)每一置换可唯一表为若干个不相交轮换(循环置换)的乘积(5)每一循环置换都可以表为若干个对换的乘积.(6)

每一置换都可表为若干个对换的乘积

(7)设 为群, , 则|a|=|a-1|（8）设（9）设（10）设 为群, 为群, ,ΙaΙ=n且 , 则., 如果 |a|=n,则

|ar|=n/d(d=(r,n))

.则 为 阶循环群，为 的生成元的充分必要条件是

（11）循环群必是交换群.（12）循环群的子群必是循环群

（13）设 为循环群, 且G=（a）则

如果

如果

7.同态、同构性质 , 则 , 则

;(1)设G是一个群，G 是一个非空集合，若G与G对于它们的乘法来说同态，则G也是一个群

(2)定理1.8.2 设 与G是群, 是 到G的同态映满射.1)如果 是 的单位元, 则 ，是

是G的单位元;

在G中的逆元.即

2)对于任意的

(3)定理1.8.3-----满射、单射的条件

(4)定理1.8.4——同态映射保子群、正规子群.(5)定理1.8.5------同态基本定理

三、基本方法与题型

1、群的判别----定义法

2、子群的判别方法（四种方法）：定义法； 定理1；定理2；定理3（有限）；

3、正规子群的判别方法（四种方法）：定义法； 定理1）-3）；

4、求有限群的子群方法：（重点掌握循环群的子群求法）

1）确定子群的可能阶数； 2）按阶数确定可能的子集；3）判断哪个是子群。

5、求正规子群方法：1）求子群； 2）判别哪些子群是正规子群（交换群的子群都是正规子群）

6、求陪集：定义法

7、求商群方法：按定义

8、计算置换的乘积、逆、阶----定义方法

9、把置换表成不相连的循环置换的乘积或对换的乘积

10、求元素的阶：1）定义方法 2）有关性质

11、判别循环群方法：定义法

12、同态、同构映射的判断：定义方法

篇5：近世代数期末考试试卷

线性代数(经管类)优化试卷

（一）说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩

阵，|A|表示方阵A的行列式．

一、单项选择题(本大题共10小题。每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内．错选、多选或未选均无分．

1．设A为3阶方阵，且|A|=2，则 | 2A-l |

（）

A．-4

B．-1

C．1

D．4 2．设矩阵A=(1,2),B=，C=,下列矩阵运算中有意义的是

A．ACB

B．ABC

C．BAC

D．CBA 3．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是

（A．A+AT

B．A-AT

C．A AT

D．AT A 4．设2阶矩阵A=，则A*=

（）

5．矩阵的逆矩阵是

（）

（）)

6．设矩阵A=，则A中

（）

A．所有2阶子式都不为零

B．所有2阶子式都为零

C．所有3阶子式都不为零

D．存在一个3阶子式不为零

7．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是

（）

A．A的列向量组线性相关

B．A的列向量组线性无关

C．A的行向量组线性相关

D．A的行向量组线性无关

8．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为，且系数

矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k,k1,k2，方程组的通解可表为

（）

9．矩阵

A．4

B．3

C．2

D．l 的非零特征值为

（）

10．4元二次型

A．4

B．3

C．2

D．l 的秩为

（）

二、填空题(本大题共10小题．每小题2分．共20分)请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均无分．

11．若i=1，2，3，则行列式=_________________。

12．设矩阵A=，则行列式|ATA|=_______________。

13．若齐次线性方程组

__________________。

有非零解，则其系数行列式的值为

14．设矩阵A=

15．向量空间

16．设向量,矩阵B=A – E，则矩阵B的秩r（B）=______________。的维数为_______________。，则向量的内积

=_______________。

17．设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r（A）=____________。18．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵经初等行变换化为：，若方程组无解，则a的取值为___________。

19．设3元实二次型f(x1 , x2 , x3)的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形式_____________。

20．设矩阵A= 为正定矩阵，则a的取值范围是_______________。

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分．共54分)

21．计算3阶行列式。

22．设A= 23．设向量组，求A-1

(1)求向量组的—个极大线性无关组：

(2)将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合．

24．求齐次线性方程组的基础解系及通解。

25．设矩阵A=，求正交矩阵P，使P-1AP为对角矩阵。

26．利用施密特正交化方法，将下列向量组化为正交的单位向量组：