线性代数考研答案

第一篇：线性代数考研答案

07年考研数学试题（线性代数）

选择题(每小题4分)

2111.(0701080

4、0702100

4、0703080

4、07040804)设矩阵A121，112

100，则A与B() B010000

(A)合同，且相似;(B)合同，但不相似;

(C)不合同，但相似;(D)合同，但不相似;

2.(0702090

4、0703070

4、07040704)设向量组1,2,3线性无关，则下列向量组线性相关的是()

(A)12,23,31 ;(B)12,23,31;

(C)122,223,321 ; (D)122,223,321.

二、填空题(每小题4分)

003.(0701150

4、0702160

4、0703050

4、07041504)设矩阵A00

秩为.

三、解答题 1000010000，则 A3 的10

x1x2x304.(070121

11、07022

311、070321

11、07042111)设线性方程组x12x2ax30①

2x14x2ax30

与方程 x1+2x2+x3 = a -1② 有公共解，求a的值及所有公共解.

5.(07012

211、07022

411、07032

211、07042211)设3阶对称矩阵A的特征值为 λ1 = 1 ，λ2 =2 ，λ3 = -2 ;向量1(1,1,1)是A的属于λ1 的一个特征向量，记 T

B = A5 - 4A3 + E ，其中E为3阶单位矩阵.

(Ⅰ)验证1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量; (Ⅱ)求矩阵B.

第二篇：2014考研数学线性代数寒假复习指南

2014年考研学子备战考研的压力都比较大，在寒假期间都没有放弃学习的时间。数学作为考研考试中比较重点和难点的科目，很多考生都比较发愁，考研辅导专家为使2014年考研的学生能在寒假有目标、有方向的进行复习，特意作此文章，以供参考。

考研数学中高等数学内容庞杂，几天里根本完不成什么，概率统计内容是依赖与高等数学的，线性代数内容较少，而且多数内容不依赖于高等数学。因此从看、线性代数开始复习是比较好的选择。

一、复习依据

数学公式、数学考试大纲、数学复习参考书、十年考研真题解析。

二、复习重点

基本概念、基本理论、基本方法。

三、复习方法

1.针对考试大纲获悉线性代数的考试重点

历年考试大纲都会对考研数学的考试重点、难点做出指示，这是考生在复习之前必须做好的准备，有了他，就有了复习的方向。

2.集中复习线性代数公式和原理

针对大纲中出现的重点和难点，考研学子可以回归复习教材，把基础公式、原理等相关知识进行系统的复习，重点大好基础。

3.适当做数学练习题

这里的数学练习题，建议还是以同济四版的大学教材为主，前期做教材上的练习题就可以。

第三篇：考研数学线性代数暑期强化复习重点及方法

考研数学线性代数相比较高等数学和概率论的复习而言，呈现明显的知识点，概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错，知识前后紧密联系。因此，考研数学线性代数暑期复习重点应充分理解概念，掌握定理的条件、结论、应用，熟悉符号意义，掌握各种运算规律、计算方法，并及时进行总结，抓联系，使学知识能融会贯通，举一反三。为了让考生在暑期复习中能将线性代数提高到一个新的层次，这里考研教育网数学辅导名师给大家重点说一下历年考研重点及复习思路。

1.行列式的重点是计算，利用性质熟练准确的计算出行列式的值。

2.矩阵中除可逆阵、伴随阵、分块阵、初等阵等重要概念外，主要也是运算，其运算分两个层次：

(1)矩阵的符号运算

(2)具体矩阵的数值运算

3.关于向量，证明(或判别)向量组的线性相关(无关)，线性表出等问题的关键在于深刻理解线性相关(无关)的概念及几个相关定理的掌握，并要注意推证过程中逻辑的正确性及反证法的使用。

4.向量组的极大无关组，等价向量组，向量组及矩阵的秩的概念，以及它们相互关系也是重点内容之一。用初等行变换是求向量组的极大无关组及向量组和矩阵秩的有效方法。

5.于特征值、特征向量，要求基本上有三点：

(1)要会求特征值、特征向量，对具体给定的数值矩阵，一般用特征方程∣λE-A∣=0及(λE-A)ξ=0即可，抽象的由给定矩阵的特征值求其相关矩阵的特征值(的取值范围)，可用定义Aξ=λξ，同时还应注意特征值和特征向量的性质及其应用。

(2)有关相似矩阵和相似对角化的问题，一般矩阵相似对角化的条件。实对称矩阵的相似对角化及正交变换相似于对角阵，反过来，可由A的特征值，特征向量来确不定期A的参数或确定A，如果A是实对称阵，利用不同特征值对应的特征向量相互正交，有时还可以由已知λ1的特征向量确定出λ2(λ2≠λ1)对应的特征向量，从而确定出A.

(3)相似对角化以后的应用，在线性代数中至少可用来计算行列式及An.

6.将二次型表示成矩阵形式，用矩阵的方法研究二次型的问题主要有两个：

(1)化二次型为标准形，这主要是正交变换法(这和实对称阵正交相似对角阵是一个问题的两种提法)，在没有其他要求的情况下，用配方法得到标准形可能更方便些。

(2)二次型的正定性问题，对具体的数值二次型，一般可用顺序主子式是否全部大于零来判别，而抽象的由给定矩阵的正定性，证明相关矩阵的正定性时，可利用标准形，规范形，特征值等到证明，这时应熟悉二次型正定有关的充分条件和必要条件。

第四篇：线性代数试题及答案

线性代数(经管类)试题答案

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A为三阶方阵且A.-108 B.-12 则( D )

C.12 D.108 2.如果方程组A.-2 B.-1 C.1 D.2 有非零解,则 k=( B )

3.设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是( D )

A.AB=BA B.

C. D.

4.设A为四阶矩阵，且则(

C )

A.2 B.4 C.8 D.12 5.设可由向量α1 =(1，0，0)α2 =(0，0，1)线性表示，则下列向量中只能是( B ) A.(2，1，1) B.(-3，0，2) C.(1，1，0) D.(0,-1,0)

6.向量组α1 ，α2 ，…，αs 的秩不为s(s)的充分必要条件是(

C )

A. α1 ，α2 ，…，αs 全是非零向量 B. α1 ，α2，…，αs 全是零向量

C. α1 ，α2，…，αs中至少有一个向量可由其它向量线性表出

D. α1 ，α2，…，αs 中至少有一个零向量

7.设A为m矩阵，方程AX=0仅有零解的充分必要条件是(

C )

A.A的行向量组线性无关 B.A的行向量组线性相关 C.A的列向量组线性无关 D.A的列向量组线性相关

8.设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误的是(

D )

A. B.秩(A)=秩(B)

C.存在可逆阵P，使P-1AP=B D.E-A=E-B 9.与矩阵A=相似的是( A )

A. B.

C. D.

10.设有二次型则( C )

A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.若则k=_______1/2____.

12.设A=,B=则AB=___________. 13.设A=, 则A-1=

14.设A为3矩阵,且方程组A x=0的基础解系含有两个解向量,则秩(A)= _____1______. 15.已知A有一个特征值-2,则B=A+2E必有一个特征值___6_________. 16.方程组的通解是_____ __ c 1 _+__ c 2 __. 17.向量组α1 =(1,0,0) α2 =(1,1,0), α3 =(-5,2,0)的秩是_______2____. 18.矩阵A=的全部特征向量是. 19.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则=__-16_________. 20.矩阵A=所对应的二次型是.

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

21.计算四阶行列式的值. =

22.设A=,求A. A =

23.设A=,B=,且A,B,X满足(E-BA)求X,X

(E-BA)

X= =

X==

24.求向量组α1 =(1,-1,2,4)α2 =(0,3,1,2), α3 =(3,0,7,14), α4 =(2,1,5,6), α5 =(1,-1,2,0)的一个极大线性无关组.

α1 α2 α4 为极大无关组。

25.求非齐次方程组的通解

通解

26. 设A=,求P使为对角矩阵. =

P= =

四、证明题(本大题共1小题,6分)

27.设α1，α2，α3 是齐次方程组A x =0的基础解系. 证明α1，α1+α2，α1 +α2 +α3也是Ax =0的基础解系. (答案~~略)

线性代数B期末试题

一、判断题(正确填T，错误填F。每小题2分，共10分) 1.A是n阶方阵，R，则有AAAB0。()

2.A，B是同阶方阵，且3.如果4.若

111(AB)BA。() ，则A与B等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。

(

) A,B均为n阶方阵，则当AB时，A,B一定不相似。

(

) 5.n维向量组1,2,3,4线性相关，则1,2,3也线性相关。()

二、单项选择题(每小题3分，共15分)

1.下列矩阵中，( )不是初等矩阵。

001100100010000020100 (B)010 (C) 001(D) (A)2.设向量组(A)(C)

100012001

1,2,3线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )。

12,23,31 (B)1,2,31 1,2,2132 (D)2,3,223

)

12(A2E)( AA5E03.设A为n阶方阵，且。则 (A) AE (B) EA (C) 11(AE)(AE)33 (D)

4.设A为mn矩阵，则有( )。

(A)若mn，则Axb有无穷多解;

A有n阶子式不为零，则Axb有唯一解; A有n阶子式不为零，则Ax0仅有零解。

B，但|A-B|=0 (B)若mn，则Ax0有非零解，且基础解系含有nm个线性无关解向量;

(C)若(D)若5.若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则()

(A)A与B相似(B)A(C)A=B (D)A与B不一定相似，但|A|=|B|

三、填空题(每小题4分，共20分)

012nn101.。

2.A为3阶矩阵，且满足A3,则A1=______，

3A*。

1021112423421570是线性(填相关或无关)的，它的一个极大线性无关组是。 3.向量组，，，

14241233444R(A)，Axb的三个解，其中A的秩，则方程组Axb的通解为。 =3，4. 已知1,2,3是四元方程组

231A1a15.设503，且秩(A)=2，则a=

。

四、计算下列各题(每小题9分，共45分)。

121A3421.已知A+B=AB，且221，求矩阵B。 2.设(1,1,1,1),(1,1,1,1)，而AT，求An。

x1x2ax31x1x22x31xax3.已知方程组12x3a2有无穷多解，求a以及方程组的通解。

4.求一个正交变换将二次型化成标准型

f(x,x22212,x3)x12x22x34x1x24x1x38x2x3

5. A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。(1)求矩阵A的特征值;(求|A+3E|。

五.证明题(每题5分，共10分)。

1.若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，ABBA是否为对称矩阵?证明你的结论。

2.设A为mn矩阵，且的秩R(A)为n，判断ATA是否为正定阵?证明你的结论。

2)A是否可相似对角化?为什么?;(7

3)

第五篇：线性代数试题及答案

线性代数习题和答案

第一部分

选择题

(共28分)

一、 单项选择题(本大题共14小题，每小题2分，共28分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a11a21a12a22a13a23a11a21a11a21a12a13a22a23=m，

=n，则行列式

等于(

)

A. m+n

C. n-m

B. -(m+n) D. m-n 1002.设矩阵A=020，则A-1等于(

)

0031

3A. 00012000

1

B.

10001200013

1003

C. 010

1002

12D. 000010 3013123.设矩阵A=101，A*是A214的伴随矩阵，则A *中位于(1，2)的元素是(

)

B. 6

A. –6

C. 2

D. –2

B. BC时A=0 D. |A|0时B=C 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有(

)

A. A =0

C. A0时B=C

A. 1 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩(AT)等于(

)

B. 2

1 / 7

C. 3

D. 4

和λ1β1+λ6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则(

)

A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λβ2+…λsβs=0

B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λ(αs+βs)=0

C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λ(αs-βs)=0

D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λ1+λ2α2+…+λsαs=0

s和不全为

s使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λss

s使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0

2使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λ

s

0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α

和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0

B.所有r-1阶子式全为0 D.所有r阶子式都不为0 7.设矩阵A的秩为r，则A中(

)

A.所有r-1阶子式都不为0

C.至少有一个r阶子式不等于0 是(

)

A.η1+η2是Ax=0的一个解

C.η1-η2是Ax=0的一个解

A.秩(A)

C.A=0

B.η1+η2是Ax=b的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 B.秩(A)=n-1

D.方程组Ax=0只有零解

12128.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的9.设n阶方阵A不可逆，则必有(

)

10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是(

)

A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量

B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值

C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量

D.如λ1，λ2，λ于λ1，λ2，λ11.设λ0是矩阵3是

A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属

0的线性无关的特征向量的个3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关

A的特征方程的3重根，A的属于λ

B. k<3

D. k>3 数为k，则必有(

)

A. k≤3

C. k=3

2 / 7

12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是(

)

A.|A|2必为1

C.A-1=AT

B.|A|必为1

D.A的行(列)向量组是正交单位向量组

13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则(

)

A.A与B相似

B. A与B不等价

C. A与B有相同的特征值

D. A与B合同

14.下列矩阵中是正定矩阵的为(

)

A.23343426

B. 100

C.023035111D.120102

第二部分

非选择题(共72分)

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。 15.111356

. 9253611111116.设A=，B=123.则

124A+2B=

. 17.设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,3),则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=

. 18.设向量(2，-3，5)与向量(-4，6，a)线性相关，则a=

. 19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为

. 20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(

.

3 / 7

21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积(α+β，α-β)=

. 22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为

. 23.设矩阵0106A=133，已知α21082=12是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为

. 24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为

.

三、计算题(本大题共7小题，每小题6分，共42分)

12025.设A=340121，B=1105231(2)|4A|. .求(1)ABT;

24026.试计算行列式352112341313. 42327.设矩阵A=110123，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B. 21301301. ，α=28.给定向量组α1=，α，α23=4=22404193试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合;若是，则求出组合系数。

12124229.设矩阵A=210333266. 23340求：(1)秩(A);

(2)A的列向量组的一个最大线性无关组。 30.设矩阵022A=234432的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D. 31.试用配方法化下列二次型为标准形

4 / 7

2

2f(x1,x2,x3)=x12x223x34x1x24x1x34x2x3，

并写出所用的满秩线性变换。

四、证明题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)

32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2. 33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ基础解系.试证明

(1)η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ

答案：

一、单项选择题(本大题共14小题，每小题2分，共28分) 1.D

2.B

3.B

6.D

7.C

8.A

11.A

12.B

13.D

二、填空题(本大题共10空，每空2分，共20分) 15. 6 16.

4.D 9.A 14.C

5.C 10.B

2是其导出组Ax=0的一个

2均是Ax=b的解;

(2)η0，η1，η2线性无关。

337137

17. 4 18. –10 19. η1+c(η2-η1)(或η2+c(η2-η1))，c为任意常数 20. n-r 21. –5 22. –2 23. 1 24. 222z1z22z3z4

三、计算题(本大题共7小题，每小题6分，共42分)

12022403425.解(1)AB=312110T

86=1810310(2)|4A|=43|A|=64|A|，而

. |A|=1203402. 121所以|4A|=64·(-2)=-128 26.解 352111051234131351105110511311300

5 / 7

=5111111 55051162620301040. 55550=27.解

AB=A+2B即(A-2E)B=A，而

(A-2E)-1223=1101211143153. 164所以

B=(A-2E)-114342353110 A=116412338696. =2212928.解一 2130053213011301

0224011234190131121000100005111200088014140002101, 0110003035112

011000所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为(2，1，1). 解二

考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，

即 2x1x23x30x3x112 2x2x4323x14x2x39.方程组有唯一解(2，1，1)T，组合系数为(2，1，1). 29.解

对矩阵A施行初等行变换

121000A03209602628232

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212101210328303200000062000217000283=B.

31000(1)秩(B)=3，所以秩(A)=秩(B)=3. (2)由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第

1、

2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第

1、

2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。 (A的第

1、

2、5列或

1、

3、4列，或

1、

3、5列也是)

30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为

ξ1=(2，-1，0)T，

ξ2=(2，0，1)T.

25/525/15经正交标准化，得η

1，η

25/5=5/15=4. 05/3λ=-8的一个特征向量为

1/3ξ=13，经单位化得η2

3=2/3. 22/325/5215/151/3所求正交矩阵为

T=. 5/545/152/305/32/31对角矩阵

D=00010. 00825/5215/151/3(也可取T=.)

05/32/35/545/152/331.解

f(x1，x2，x3)=(x1+2x2-2x3)2-2x22+4x2x3-7x32

=(x1+2x2-2x3)2-2(x2-x3)2-5x32. y1x12x22x3x1y12设yy22x2x3，

即x2y2y3xyy3x333因其系数矩阵C=12011可逆，故此线性变换满秩。 0001经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形

y12-2y22-5y32 .

四、证明题(本大题共2小题，每小题5分，共10分) 32.证

由于(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E，

所以E-A可逆，且 (E-A)-1= E+A+A2 . 33.证

由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0. (1)Aη1=A(η0+ξ1)=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，

所以η1，η2是Ax=b的2个解。 (2)考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，

即

(l0+l1+l2)η0+l1ξ1+l2ξ2=0. 则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.

又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而

l0=0 . 所以η0，η1，η2线性无关。

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，