武汉理工大学高等代数

第一篇：武汉理工大学高等代数

高等代数与高等数学的区别

高等代数、数学分析是数学专业中更细的数学研究的分类。高等代数是代数方向的究，而数学分析使用极限方法研究函数特性的数学。而高等数学是对非数学专业的人学习的区别于初等数学的数学，应当包括高等代数和数学分析部分。

高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。 高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，例如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。

集合是具有某种属性的事物的全体;向量是除了具有数值还同时具有方向的量;向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也有很大的不同了。

其研究对象不仅是数，也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。比较重要的代数系统有群论、环论、域论。群论是研究数学和物理现象的对称性规律的有力工具。现在群的概念已成为现代数学中最重要的，具有概括性的一个数学的概念，广泛应用于其他部门。 高等数学比初等数学“高等”的数学。广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论逻辑称为中等数学，作为小学初中的初等数学与本科阶段的高等数学的过渡。通常认为，高等数学是将简单的微积分学，概率论与数理统计，以及深入的代数学，几何学，以及他们之间交叉所形成的一门基础学科，主要包括微积分学，其他方面各类课本略有差异。

第二篇：高等代数教案第一章基本概念

第一章

一 综述

基本概念

1.本章是本门课程所需要的最基本概念(集合、映射、整数的一些性质、数环和数域)和方法(数学归纳法、反证法).所需位置不同,可根据课时安排及进度分散处理.如集合、整数的一些整除性质、数学归纳法、数环和数域可先讲,映射可放在线性空间前讲. 2.从内容上讲,除集合中的卡氏积的概念及数环、数域的概念外,其它内容是学生在中学数学当中熟知的,只不过是将有关内容的系统化、理论化(如整数的整除性、映射、数学归纳法,其在中学中熟知其一些事实,今在理论上加以严密论证). 3.新的知识点是集合的卡氏积、数环、数域的概念,数学归纳法作为定理的论证. 4.学习本部分的难点是：从概念出发进行推理论证,这需要从具体例子引导训练,逐步培养. 二 重点、难点

1. 重点在于所有基本概念,特别是引入的新概念. 2. 难点是可逆映射、整数的整除性、数学归纳法本身的证明.

1.1

集

合

一 教学思考

1.集合可以作为不定义的概念来处理,有些教材上给出了一个简单刻化. 2.确定一个集合A,就是要确定哪些是集合的元素,哪些不是集合的元素.说明一个集合包含哪些元素时,常用“列举法”、“示性法”(描述法). 3.中学代数大部分的内容是计算,因此一开始遇到证明题时,往往不知从何入手,此需注意培养学生的推理能力,这里应通过证明“集合相等”来加强这方面的训练. 4.为稍拓宽知识,可讲解一下补集、幂集等概念. 二 重点、要求

1.重点、难点：卡氏积的概念及从概念出发(集合相等、子集等)进行推理. 2.要求：使学生了解有关集合的刻化及运算,培养推理能力. 三 教学过程

1.集合：简称集,在此是一个不定义的原始概念,通常可给出如下描述性的解释：即所谓集合,是指由某些确定的事物(或具有某种性质的事物)组成的集体.其中每个事物称为这个集合的元素. 常用大写字母A、B、C表示集合,用小写字母a、b、c表示集合的元素. 若a是集合A的元素,就说a属于A,记作aA,或者说A包含a. 若a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作aA,或者说A 不包含a. 常采用两种方法：

(1)列举法：列出集合的所有元素(包括利用一定的规律列出无限集)的方法.如A1,2,3,. (2)示性法(描述法)：给出集合所具有的特征性质.如Bx|x3x40表示方程

2x23x40的解集. 2.集合的分类(按所含元素的个数分)： 有限集：只含有有限多个元素的集合. 无限集：由无限多个元素组成的集合. 空集：不含任何元素的集合.用表示.约定：是任何集合的子集. 3.集合间的关系：

(1) 设A、B是两个集合.

"xAxB")子集：若A的每个元素都是B的元素,则称A是B的子集(即若..记作AB

- 1如：f:RR,xx;g:RR,x2.映射的合成

x2.有fg. (1)定义3. 设f:AB,g:BC是两个映射,对xA,有f(x)B,从而g(f(x))C,这样,对xA,就有C中唯一的g(f(x))与之对应,就得到A到C的一个映射,这个映射是由f:AB和g:BC所决定的,称为f与g的合成.记作gf. 即：gf:AC,xg(f(x)).

例子：f:RR,xx2;g:RR,xsinx .则

gf:RR,xsinx2;fg:RR,xsin2x.

(2)映射合成满足结合律：

设f:AB,g:BC,h:CD,则由合成映射的定义可得AD的两个映射：h(gf),(hg)f,则h(gf)(hg)f. 3.几类特殊映射

定义4. 设f:AB,对xA,有f(x)B,则所有这样的象所作成B的子集,用f(A)表示,即f(A)f(x)|xA,叫做A在f下的象,或叫做映射f的象. (1)满射: 定义5. 设f:AB是一映射,若f(A)B,则称f是A到B上的一个映射,也称f是一个满射. (2)单射: 定义6. 设f:AB是一个映射,若对x1,x2A,只要x1x2,就有f(x1)f(x2),则称f是A到B的一个单射,简称单射. (3)双射(1-1对应):定义7. 若f:AB既是单射又是满射,即

1)若 f(x1)f(x2)x1x2,x1,x2A;

2)f(A)B. 则称f是A到B的一个双射. 特别若f是A到A上的一个1-1对应,就称f为A的一个一一变换;有限集A到自身的双射称为A的一个置换. 如：jA是A的一个一一变换,同样jB是B的一个一一变换.由映射合成及相等：若f:AB,则有fjAf,jBff. TH1.2.1令f:AB是一个映射,则：下述两条等价：1)f是双射;2)存在g:BA使得gfjA,fgjB.且2)成立时,其中的g由f唯一决定. (4)可逆映射及其逆映射

定义8. 设f:AB,若存在g:BA,使得gfjA,fgjB,则称f是可逆映射,且称g为f的逆映射. 求其逆的方法

由定理知：f:AB可逆f是双射.而验证双射有具体方法,所以可先证f可逆(双射),再求其逆.而由TH1证知f可逆时其逆唯一为g:BA,yx(若f(x)y)(即对yB,找在f下的原象). (5)代数运算

引例：我们常说整数加法是整数的一个“代数运算”.其意思是说对任一对整数(a,b),有确定的唯一一个整数(通过相加)与之对应,用映射的观点来说整数加法是ZZZ的一个映射：:(a,b)ab.同样实数乘法亦然.一般地：

定义9. 设A是一个非空集合,我们把AAA的一个映射叫做集合A的一个代数运算.若集合A 有代数运算,也说A对封闭.

- 3要从中体会严格的推理论述.此与多项式相应的问题平行,到时应对照学习. 1. 整除、带余除法 (1)整除

这时a叫做b的一个因数,而b叫做a的一个倍数.若a不整除b(即对dZ,adb),记作a|b. B)整除的性质：

1)a|b,b|ca|c;

(传递性) 2)a|b,a|ca|(bc); 3)a|b,cZa|bc;

4)由2)、3)a|bi,ciZ,i1,2,3,,na|bcii;

5)1|a,a|0,a|a(aZ);由此任意整数a有因数1,a,它们称为a的平凡因数; 6)若a|ba|b;

7)a|b且b|aab或ab.(对称性) (2) 带余除法

“整除”是整数间的一种关系,任意两个整数可能有这种关系,可能没有这种关系,一般地有：

TH1.4.1(带余除法) 设a,bZ,且a0;那么q,rZ使得baqr

且0ra.满足上述条件的q,r是唯一的. 2. 最大公因数、互素 (1)最大公因数

且c|a,c|bc|d(即d能被a与b的任一个公因数整除).则称d为a与b的一个最大公因数. 最大公因数的概念可推广至有限个整数. B)最大公因数的存在性(及求法)

TH1.4.2 任意n(n2)个整数a1,a2,,an都有最大公因数;若d为a1,a2,,an的一个最大公因数,则d也是;a1,a2,,an的两个最大公因数至多相差一个符号. C)性质

TH1.4.3 设d为a1,a2,,an的一个最大公因数,那么t1,t2,,tnZ使得A)定义1. 设a,bZ,若dZ使得bad,则称a整除b(或b被a整除).用符号a|b表示.d|a且d|bA)定义2. 设a,bZ,dZ,若d满足：1)(即d是a与b的一个公因数);2)若cZdt1a1ta22tnan. 略证：若a1a2an0,则d0,从而对tiZ都有0t1a1t2a2tnan;若ai不全为0,由证明过程知结论成立.

(2)互素

定义3. 设a,bZ,若(a,b)1,则称a,b互素;一般地设a1,a2,,anZ,若(a1,a2,,an)1,则称a1,a2,,an互素. 3. 素数及其性质

(1)定义4. 一个正整数p1叫做一个素数,若除1,p外没有其他因数. (2)性质

1)若p是一个素数,则对aZ有(a,p)p或(a,p)1. (注意转换为语言叙述,证易;略)

2)aZ且a0,1;则a可被某一素数整除. 3)TH1.4.5 设p是一个素数,a,bZ,若p|ab,则p|a或p|b.

TH1.4.4 n个整数a1,a2,,an互素t1,t2,,tnZ使得t1a1t2a2tnan1.

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第三篇：全国2004年1月高等教育自学考试线性代数试题

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http:// 全国2004年1月高等教育自学考试

线性代数试题

课程代码：02198

*试卷说明：A表示矩阵A的转置矩阵，E是单位矩阵，A是方阵A的伴随矩阵。

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题2分，共20分) T1251. 设行列式D=132=0，则a=( ). 25aA. 2 B. 3 C. -2 D. -3

T2. 设A是k×l矩阵，B是m×n矩阵，如果ACB有意义，则矩阵C的阶数为( ). A. k×m B. k×n C. m×l D. l×m 3. 设A、B均为n阶矩阵，下列各式恒成立的是( ).

TTTA. AB=BA B. (AB)=BA

22222C. (A+B)=A+2AB+B

D. (A+B)(A-B)=A-B 4. A为n阶方阵，下面各项正确的是( ). A. |-A|=-|A| B. 若|A|≠0,则AX=0有非零解

2C. 若A=A,则A=E D. 若秩(A)k B. 秩(A)≥k C. 秩(A)=k D. 秩(A)≤k 6. 设A、B为同阶方阵，则下面各项正确的是( ). A. 若|AB|=0， 则|A|=0或|B|=0 B. 若AB=0, 则A=0或B=0 22-1-1-1C. A-B=(A-B)(A+B)

D. 若A、B均可逆，则(AB)=AB kxkyz0 7. 当k满足( )时，2xkyz0 只有零解.

kx-2yz0A. k=2或k=-2 B. k≠2 C. k≠-2 D. k≠2且k≠-2 8. 设A为n阶可逆阵，则下列( )恒成立. -1-1-1TT-1A.(2A)=2A B. (2A)=(2A)

-1-1TT-1-1TT-1-1-1TC. [(A)]=[(A)] D. [(A)]=[(A)]

9. 设A是n阶方阵，则A能与n阶对角阵相似的充要条件是( ). A. A是对角阵

B. A有n个互不相同的特征向量

C. A有n个线性无关的特征向量 D. A有n个互不相同的特征值

22T10. 二次型f(x1,x2)=x1+2x1x2+3x2=xAx,则二次型的矩阵表示式中的A为( ). 12101131A. B. C. D. 03231311 

二、填空题(每小题2分，共28分)

- 1酷题(K-Tii) 海量试题下载

http:// 4. 求向量组α1=(1,1,3,1),α2=(-1,1,-1,3),α3=(5,-2,8,-9),α4=(-1,3,1,7)的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出. 5. 求方程组的通解

x1x23x3x41 3x1x23x34x44

x5x9x8x02341122，求A的特征值及对应的特征向量. 2126. 设A=2217. 用配方法将二次型f(x1,x2,x3)=x1+4x1x2-3x2x3化为标准型.

四、证明题(每小题5分，共10分) 21. 设n阶方阵A满足A-A-2E=0,证明A和E-A可逆. 2. 设A为n阶方阵，λ1,λ2是A的两个不同的特征值，而α1,α2是分别对应于λ1,λ2的特征向量，证明α1,α2线性无关.

2

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第四篇：线性代数武汉工程大学线性代数练习题(1)答案

线性代数练习题(1)详细解答

1.(1)×;

(2)×;

(3)×;

(4)×。

1110402.(1)6k1222; (2)040; 333040201(3)ABBAO; (4)010。 0021313.解：214001267811341312056。 402121012101214.解：因为0288~0288~01445990313903131210120310029~0144~01016~01016，001300130013x129,所以x216,

x33.213220585.解：3AB2A21720，ATB056。 4292290049

第五篇：中山大学 线性代数复习小结

概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的特点，故考生应充分理解概念，掌握定理的条件、结论、应用，熟悉符号意义，掌握各种运算规律、计算方法，并及时进行总结，抓联系，使学知识能融会贯通，举一反三，根据考试大纲的要求，这里再具体指出如下：

行列式的重点是计算，利用性质熟练准确的计算出行列式的值。

矩阵中除可逆阵、伴随阵、分块阵、初等阵等重要概念外，主要也是运算，其运算分两个层次，一是矩阵的符号运算，二是具体矩阵的数值运算。例如在解矩阵方程中，首先进行矩阵的符号运算，将矩阵方程化简，然后再代入数值，算出具体的结果，矩阵的求逆(包括简单的分块阵)(或抽象的，或具体的，或用定义，或是用公式A -1= 1 A*，或 A用初等行变换)，A和A*的关系，矩阵乘积的行列式，方阵的幂等也是常考的内容之一。

关于向量，证明(或判别)向量组的线性相关(无关)，线性表出等问题的关键在于深刻理解线性相关(无关)的概念及几个相关定理的掌握，并要注意推证过程中逻辑的正确性及反证法的使用。 向量组的极大无关组，等价向量组，向量组及矩阵的秩的概念，以及它们相互关系也是重点内容之一。用初等行变换是求向量组的极大无关组及向量组和矩阵秩的有效方法。

在Rn中，基、坐标、基变换公式，坐标变换公式，过渡矩阵，线性无关向量组的标准正交化公式，应该概念清楚，计算熟练，当然在计算中列出关系式后，应先化简，后代入具体的数值进行计算。

行列式、矩阵、向量、方程组是线性代数的基本内容，它们不是孤立隔裂的，而是相互渗透，紧密联系的，例如∣A∣≠0〈===〉A是可逆阵〈===〉r(A)=n(满秩阵)〈===〉A的列(行)向量组线性无关〈===〉AX=0唯一零解〈===〉AX=b对任何b均有(唯一)解〈===〉A=P1 P2 …PN，其中PI(I=1,2,…，N)是初等阵〈===〉r(AB)=r(B)A初等行变换

I〈===〉A的列(行)向量组是Rn的一个基〈===〉A可以是某两个基之间的过渡矩阵等等。这种相互之间的联系综合命题创造了条件，故对考生而言，应该认真总结，开拓思路，善于分析，富于联想使得对综合的，有较多弯道的试题也能顺利地到达彼岸。 关于特征值、特征向量。一是要会求特征值、特征向量，对具体给定的数值矩阵，一般用特征方程∣λE-A∣=0及(λE-A)ξ=0即可，抽象的由给定矩阵的特征值求其相关矩阵的特征值(的取值范围)，可用定义Aξ=λξ，同时还应注意特征值和特征向量的性质及其应用，二是有关相似矩阵和相似对角化的问题，一般矩阵相似对角化的条件。实对称矩阵的相似对角化及正交变换相似于对角阵，反过来，可由A 的特征值，特征向量来确不定期A的参数或确定A，如果A是实对称阵，利用不同特征值对应的特征向量相互正交，有时还可以由已知λ1的特征向量确定出λ2(λ2≠λ1)对应的特征向量，从而确定出A。三是相似对角化以后的应用，在线性代数中至少可用来计算行列式及An. 将二次型表示成矩阵形式，用矩阵的方法研究二次型的问题主要有两个：一是化二次型为标准形，这主要是正交变换法(这和实对称阵正交相似对角阵是一个问题的两种提法)，在没有其他要求的情况下，用配方法得到标准形可能更方便些;二是二次型的正定性问题，对具体的数值二次型，一般可用顺序主子式是否全部大于零来判别，而抽象的由给定矩阵的正定性，证明相关矩阵的正定性时，可利用标准形，规范形，特征值等到证明，这时应熟悉二次型正定有关的充分条件和必要条件。