高等代数向量证明题

第一篇：高等代数向量证明题

线性代数证明题

4. 设A、B都是n阶对称矩阵，并且B是可逆矩阵，证明：AB1B1A是对称矩阵. A、B为对称矩阵，所以ATA,BTB

TTT11111证明：因为(AB1B1A)T(AB1)T(B1A)T(B)AA(B)BAABABBA则矩阵5. 设T1

AB1B1A 是对称矩阵。

n1n阶矩阵的伴随矩阵为*，证明：**

0时，*0. *0，则知*可逆，

*1. 证明：因为

⑴当用反证法：假设在等式**O左右两边同时右乘，得到O，

于是O，这与假设矛盾，

n1可知当0时, 有*0;

⑵ 当0时，在等式*两边同时取行列式，得

**n

两边同时约去，得*n1. 6. 设向量b能由1,2,3这三个向量线性表示且表达式唯一, 证明：向量组1,2,3线性无关。 证明：(反证法)如果a1,a2,a3线性相关，则有一组不全为0的系数1,2,3使1a1由已知设b(1)， 2a23a3=0 112233，结合(1)式得

b0b(11)a1(22)a2(33)a3 (2)

由于1,2,3不完全为零，则17. 设1,2,3是1，22，33与1,2,3不同，这与b表示法惟一相矛盾，故向量组1,2,3线性无关。

n阶方阵A的3个特征向量，它们的特征值不相等，记123，证明：不是

A的特征向量。

证明：假设AAA123A1A2A3112233，

又： 123A112233

从而： 1122330，

由于特征值各不相等，所以1,2,3线性无关， 所以的1230123，矛盾。故不是

A的特征向量。

8.已知向量组a1,a2,a3线性无关，b12a1a2，b23a2a3，b3a14a3，证明向量组b1,b2,b3线性无关. 证明 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式

20130 b1,b2,b3a1,a2,a31,记BAK，

014设Bx0，以BAK代入得A(Kx)0，

因为矩阵A的列向量组a1,a2,a3线性无关，知Kx0的系数行列式K250，知齐次线性方程组 Kx0只有零解x0。

0只有零解x0，故矩阵B的列向量组b1,b2,b3线性无关。 所以，齐次线性方程组Bx9.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 (1)η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解;(2)η0，η1，η2线性无关。

证 由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0. (1)Aη1=A(η0+ξ1)=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b， 所以η1，η2是Ax=b的2个解。 (2)考虑k0η0+k1η1+k2η2=0，

即 (k0+k1+k2)η0+k1ξ1+k2ξ2=0. 则k0+k1+k2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。 所以 k1ξ1+k2ξ2=0. 又由Ax=0的一个基础解系, 所以，ξ1，ξ2线性无关，所以k1=k2=0，从而 k 0=0 . 故η0，η1，η2线性无关。

10.设A是n阶矩方阵，E是n阶单位矩阵，AE可逆，且f(A)(EA)(EA)1。

f(A))(EA)2E;(2) f(f(A))A。 证明(1) (E证明 ：(1)(Ef(A))(EA)[E(EA)(EA)1](EA)(EA)(EA)(EA)1(EA)(EA)(EA)2E

(2)f(f(A))[Ef(A)][Ef(A)]1

f(A)]1由(1)得：[E1(EA)，代入上式得 2111f(f(A))[E(EA)(EA)1](EA)(EA)(EA)(EA)1(EA)22211(EA)(EA)A 2211.设A与B相似，证明：AT与BT相似。

A与B相似，故存在可逆矩阵P，使得 证明：因为 B则 BTP1AP

(P1AP)TPTAT(P1)TPTAT(PT)1

T 且 P是可逆矩阵

于是

12.证明：矩阵AT与BT相似。

A与B是正定矩阵，证明：AB也是正定矩阵. 证明：由题设，对任意x0都有 xTAx0,AB也正定矩阵.

xTBx0xT(A+B)x0(x0)，

由正定矩阵的定义，则13.一个n级行列式，假设它的元素满足aijaji,i,j1,2,,n,证明，当n为奇数时，此行列式为零。

aa12a1na22a2nan2ann11aaanaaaan，则A21证明：设Aananannan1的元素满足

aijaji,i,j1,2,,n,

所以，

a11ATa12a1n于是，当a21an1a22an2a2nanna11a21an1a12a1nA(1)nA，

a22a2nan2annn为奇数时，由 AAT(1)nAA0.

14.设矩阵A正交，证明：对于数k，若kA也正交,则k1

证明：因为A正交，所以ATA1。从而

kA正交(kA)T(kA)111A， k又ATA1，所以，(kA)TkATkA1kA111A， kk21k1. 15设

1，证明：矩阵AB、AB 是正交矩阵。 A、B为n阶正交矩阵，证明：因为A、B为n阶正交矩阵，所以AATE,BBTE

T

因为(AB)(AB)所以 ABBTATAEATAATE

AB是正交矩阵。

(即两个同阶的正交矩阵的乘积也是正交矩阵)

因为B是正交矩阵，所以B1也是正交矩阵(P115)

由以上结论得：AB1也是正交矩阵。

16.若0是可逆矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，

证明：1是A1的特征值，是A1的属于

1的特征向量;

证明：因为

1A1AA1 从而 A1

1111即 是A的特征值，是A的属于的特征向量。 A，则

第二篇：高等代数与高等数学的区别

高等代数、数学分析是数学专业中更细的数学研究的分类。高等代数是代数方向的究，而数学分析使用极限方法研究函数特性的数学。而高等数学是对非数学专业的人学习的区别于初等数学的数学，应当包括高等代数和数学分析部分。

高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。 高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，例如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。

集合是具有某种属性的事物的全体;向量是除了具有数值还同时具有方向的量;向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也有很大的不同了。

其研究对象不仅是数，也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。比较重要的代数系统有群论、环论、域论。群论是研究数学和物理现象的对称性规律的有力工具。现在群的概念已成为现代数学中最重要的，具有概括性的一个数学的概念，广泛应用于其他部门。 高等数学比初等数学“高等”的数学。广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论逻辑称为中等数学，作为小学初中的初等数学与本科阶段的高等数学的过渡。通常认为，高等数学是将简单的微积分学，概率论与数理统计，以及深入的代数学，几何学，以及他们之间交叉所形成的一门基础学科，主要包括微积分学，其他方面各类课本略有差异。

第三篇：高等代数教案第一章基本概念

第一章

一 综述

基本概念

1.本章是本门课程所需要的最基本概念(集合、映射、整数的一些性质、数环和数域)和方法(数学归纳法、反证法).所需位置不同,可根据课时安排及进度分散处理.如集合、整数的一些整除性质、数学归纳法、数环和数域可先讲,映射可放在线性空间前讲. 2.从内容上讲,除集合中的卡氏积的概念及数环、数域的概念外,其它内容是学生在中学数学当中熟知的,只不过是将有关内容的系统化、理论化(如整数的整除性、映射、数学归纳法,其在中学中熟知其一些事实,今在理论上加以严密论证). 3.新的知识点是集合的卡氏积、数环、数域的概念,数学归纳法作为定理的论证. 4.学习本部分的难点是：从概念出发进行推理论证,这需要从具体例子引导训练,逐步培养. 二 重点、难点

1. 重点在于所有基本概念,特别是引入的新概念. 2. 难点是可逆映射、整数的整除性、数学归纳法本身的证明.

1.1

集

合

一 教学思考

1.集合可以作为不定义的概念来处理,有些教材上给出了一个简单刻化. 2.确定一个集合A,就是要确定哪些是集合的元素,哪些不是集合的元素.说明一个集合包含哪些元素时,常用“列举法”、“示性法”(描述法). 3.中学代数大部分的内容是计算,因此一开始遇到证明题时,往往不知从何入手,此需注意培养学生的推理能力,这里应通过证明“集合相等”来加强这方面的训练. 4.为稍拓宽知识,可讲解一下补集、幂集等概念. 二 重点、要求

1.重点、难点：卡氏积的概念及从概念出发(集合相等、子集等)进行推理. 2.要求：使学生了解有关集合的刻化及运算,培养推理能力. 三 教学过程

1.集合：简称集,在此是一个不定义的原始概念,通常可给出如下描述性的解释：即所谓集合,是指由某些确定的事物(或具有某种性质的事物)组成的集体.其中每个事物称为这个集合的元素. 常用大写字母A、B、C表示集合,用小写字母a、b、c表示集合的元素. 若a是集合A的元素,就说a属于A,记作aA,或者说A包含a. 若a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作aA,或者说A 不包含a. 常采用两种方法：

(1)列举法：列出集合的所有元素(包括利用一定的规律列出无限集)的方法.如A1,2,3,. (2)示性法(描述法)：给出集合所具有的特征性质.如Bx|x3x40表示方程

2x23x40的解集. 2.集合的分类(按所含元素的个数分)： 有限集：只含有有限多个元素的集合. 无限集：由无限多个元素组成的集合. 空集：不含任何元素的集合.用表示.约定：是任何集合的子集. 3.集合间的关系：

(1) 设A、B是两个集合.

"xAxB")子集：若A的每个元素都是B的元素,则称A是B的子集(即若..记作AB

- 1如：f:RR,xx;g:RR,x2.映射的合成

x2.有fg. (1)定义3. 设f:AB,g:BC是两个映射,对xA,有f(x)B,从而g(f(x))C,这样,对xA,就有C中唯一的g(f(x))与之对应,就得到A到C的一个映射,这个映射是由f:AB和g:BC所决定的,称为f与g的合成.记作gf. 即：gf:AC,xg(f(x)).

例子：f:RR,xx2;g:RR,xsinx .则

gf:RR,xsinx2;fg:RR,xsin2x.

(2)映射合成满足结合律：

设f:AB,g:BC,h:CD,则由合成映射的定义可得AD的两个映射：h(gf),(hg)f,则h(gf)(hg)f. 3.几类特殊映射

定义4. 设f:AB,对xA,有f(x)B,则所有这样的象所作成B的子集,用f(A)表示,即f(A)f(x)|xA,叫做A在f下的象,或叫做映射f的象. (1)满射: 定义5. 设f:AB是一映射,若f(A)B,则称f是A到B上的一个映射,也称f是一个满射. (2)单射: 定义6. 设f:AB是一个映射,若对x1,x2A,只要x1x2,就有f(x1)f(x2),则称f是A到B的一个单射,简称单射. (3)双射(1-1对应):定义7. 若f:AB既是单射又是满射,即

1)若 f(x1)f(x2)x1x2,x1,x2A;

2)f(A)B. 则称f是A到B的一个双射. 特别若f是A到A上的一个1-1对应,就称f为A的一个一一变换;有限集A到自身的双射称为A的一个置换. 如：jA是A的一个一一变换,同样jB是B的一个一一变换.由映射合成及相等：若f:AB,则有fjAf,jBff. TH1.2.1令f:AB是一个映射,则：下述两条等价：1)f是双射;2)存在g:BA使得gfjA,fgjB.且2)成立时,其中的g由f唯一决定. (4)可逆映射及其逆映射

定义8. 设f:AB,若存在g:BA,使得gfjA,fgjB,则称f是可逆映射,且称g为f的逆映射. 求其逆的方法

由定理知：f:AB可逆f是双射.而验证双射有具体方法,所以可先证f可逆(双射),再求其逆.而由TH1证知f可逆时其逆唯一为g:BA,yx(若f(x)y)(即对yB,找在f下的原象). (5)代数运算

引例：我们常说整数加法是整数的一个“代数运算”.其意思是说对任一对整数(a,b),有确定的唯一一个整数(通过相加)与之对应,用映射的观点来说整数加法是ZZZ的一个映射：:(a,b)ab.同样实数乘法亦然.一般地：

定义9. 设A是一个非空集合,我们把AAA的一个映射叫做集合A的一个代数运算.若集合A 有代数运算,也说A对封闭.

- 3要从中体会严格的推理论述.此与多项式相应的问题平行,到时应对照学习. 1. 整除、带余除法 (1)整除

这时a叫做b的一个因数,而b叫做a的一个倍数.若a不整除b(即对dZ,adb),记作a|b. B)整除的性质：

1)a|b,b|ca|c;

(传递性) 2)a|b,a|ca|(bc); 3)a|b,cZa|bc;

4)由2)、3)a|bi,ciZ,i1,2,3,,na|bcii;

5)1|a,a|0,a|a(aZ);由此任意整数a有因数1,a,它们称为a的平凡因数; 6)若a|ba|b;

7)a|b且b|aab或ab.(对称性) (2) 带余除法

“整除”是整数间的一种关系,任意两个整数可能有这种关系,可能没有这种关系,一般地有：

TH1.4.1(带余除法) 设a,bZ,且a0;那么q,rZ使得baqr

且0ra.满足上述条件的q,r是唯一的. 2. 最大公因数、互素 (1)最大公因数

且c|a,c|bc|d(即d能被a与b的任一个公因数整除).则称d为a与b的一个最大公因数. 最大公因数的概念可推广至有限个整数. B)最大公因数的存在性(及求法)

TH1.4.2 任意n(n2)个整数a1,a2,,an都有最大公因数;若d为a1,a2,,an的一个最大公因数,则d也是;a1,a2,,an的两个最大公因数至多相差一个符号. C)性质

TH1.4.3 设d为a1,a2,,an的一个最大公因数,那么t1,t2,,tnZ使得A)定义1. 设a,bZ,若dZ使得bad,则称a整除b(或b被a整除).用符号a|b表示.d|a且d|bA)定义2. 设a,bZ,dZ,若d满足：1)(即d是a与b的一个公因数);2)若cZdt1a1ta22tnan. 略证：若a1a2an0,则d0,从而对tiZ都有0t1a1t2a2tnan;若ai不全为0,由证明过程知结论成立.

(2)互素

定义3. 设a,bZ,若(a,b)1,则称a,b互素;一般地设a1,a2,,anZ,若(a1,a2,,an)1,则称a1,a2,,an互素. 3. 素数及其性质

(1)定义4. 一个正整数p1叫做一个素数,若除1,p外没有其他因数. (2)性质

1)若p是一个素数,则对aZ有(a,p)p或(a,p)1. (注意转换为语言叙述,证易;略)

2)aZ且a0,1;则a可被某一素数整除. 3)TH1.4.5 设p是一个素数,a,bZ,若p|ab,则p|a或p|b.

TH1.4.4 n个整数a1,a2,,an互素t1,t2,,tnZ使得t1a1t2a2tnan1.

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第四篇：数学平面向量课后题

数学的必修四便会学习到平面向量，这和物理必修一的内容也有一定的相关性，所以，我们更应该学好这一知识点。分享了数学平面向量的课后题及答案，一起来看看吧!一、选择题

1.已知向量OA→=(3，-4)，OB→=(6，-3)，OC→=(2m， m+1).若AB→∥OC→，则实数m的值为( )

A.-3 B.-17

C.-35 D.3

5解析 AB→=OB→-OA→=(3,1)，因为AB→∥OC→，

所以3(m+1)-2m=0，解得m=-3.答案 A

2.已知|a|=|b|=2，(a+2b)(a-b)=-2，则a与b的夹角为( )

A.π6 B.π

3C.π2 D.2π3

解析 由(a+2b)(a-b)=|a|2+ ab-2|b|2=-2，得ab=2，即|a||b|cos〈a，b〉=2，cos〈a，b〉=12.故〈a，b〉=π3.

答案 B

3.平面向量a=(1,2)，b=(4,2)，c=ma+b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m=( )

A.-2 B.-

1C.1 D.

2解析 ∵a=(1,2)，b=(4,2)，∴c=m(1,2)+(4,2)=(m+4,2m+2).又∵c与a的夹角等于c与b的夹角 ，∴cos〈c，a〉=cos〈c，b〉.∴ca|c||a|=cb|c||b|.即5m+85|c|=8m+2025|c|，解得m=2.

答案 D

4.)若向量a，b满足：|a|=1，(a+b)⊥a，(2a+b)⊥b，则|b|=( )

A.2 B.2

C.1 D.22

解析 ∵(a+b)⊥a，|a|=1，∴(a+b)a=0，

∴|a|2+ab=0，∴ab=-1.

又∵(2a+b)⊥b，∴(2a+b)b= 0.

∴2ab+|b|2=0.∴|b|2=2.

∴|b|=2，选B.

答案 B

5.设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m=(3sinA，sinB)，n=(cosB，3cosA)，若mn=1+cos(A+B)，则C=( )

A.π6 B.π3

C.2π3 D.5π6

解析 依题意得 3sinAcosB+3cosAsinB=1+cos(A+B)，

3sin(A+B)=1+cos(A+B)，3sinC+cosC=1，

2sinC+π6=1，sinC+π6=12.又π6

因此C+π6=5π6，C=2π3，选C.

答案 C

6.在平面上，AB1→⊥AB2→，|OB1→|=|OB2→|=1，AP→=AB1→+AB2→.若|OP→|<12，则|OA→|的取值范围是( )

A.0，52 B .52，72

C.52，2 D.72，2

解析 由题意得点B1，B2在以O为圆心，半径为1的圆上，点P在以O为圆心半径为12的圆内，又AB1→⊥AB2→，AP→=AB1→+AB2→，所以点A在以B1B2为直径的圆上，当P与O点重合时，|OA→|最大为2，当P在半径为12的圆周上，|OA→|最小为72.∵P在圆内，∴|OA→|∈72，2.

答案 D

二、填空题

7.已知向量a，b满足|a|=1，b=(2,1)，且λ a+b=0(λ∈R)，则|λ|=________.解析 |b|=22+12=5，由λa+b=0，得b=-λa，

故|b|=|-λa|=|λ||a|，所以|λ|=|b||a|=51=5.

答案

58.在△ABC中，BO为边AC上的中线，BG→=2GO→，若CD→∥AG→，且AD→=15AB→+λAC→(λ∈R)，则λ的值为________.

解析 因为CD→∥AG→，所以存在实数k，使得CD→=kAG→.CD→=AD→-AC→=15AB→+(λ-1)AC→，又由BO是△ABC的边AC上的中线，BG→=2GO→，得点G为△ABC的重心，所以AG→=13(AB→+AC→)，所以15AB→+(λ-1)AC→=k3(AB→+AC→)，由平 面向量基本定理可得15=k3，λ-1=k3，解得λ=65.

答案 65

9.在△ABC所在的平面上有一点P满足PA→+PB→+PC→=AB→，则△PBC与△ABC的面积之比是________.

解析 因为PA→+PB→+PC→=AB→，所以PA→+PB→+PC→+BA→=0，即PC→=2AP→，所以点P是CA边上靠近A点的一个三等分点，故S△PBCS△ABC=PCAC=23.

答案 2

3三、解答题

10.已知向量AB→=(3,1)，AC→=(-1，a)，a∈R

(1)若D为BC中点，AD→=(m,2)，求a，m的值;

(2)若△ABC是直角三角形，求a的值.

解 (1)因为AB→=(3,1)，AC→=(-1，a)，

所以AD→=12(AB→+AC→)=1，1+a2.又AD→=(m,2)，所以m=1，1+a=2×2，解得a=3，m=1.

(2)因为△ABC是直角三角形，所以A=90°或B=90°或C=90°.

当A=90°时，由AB→⊥AC→，

得3×(-1)+1a=0，所以a=3;

当B=90°时，因为BC→=AC→-AB→=(-4，a-1)，

所以由AB→⊥BC→，

得3×(-4)+1(a-1)=0，所以a=13;

当C=90° 时，由BC→⊥AC→，

得-1×(-4)+a(a-1)=0，

即a2-a+4=0，因为a∈R，所以无解.

综上所述，a=3或a=13.

11.在△ABC中，已知2AB→AC→=3|AB→||AC→|=3BC→2，求角A、B、C的大小.

解 设BC=a，AC=b，AB=c.

由2AB→AC→=3|AB→||AC→|，得2bccosA=3bc，

所以cosA=32.

又A∈(0，π)，因此A=π6.

由3|AB→||AC→|=3BC→2，得cb=3a2.

于是sinCsinB=3sin2A=34.

所以sinCsin5π6-C=34.

sinC12cosC+32sinC=34，

因此2sinCcosC+23sin2C=3，

sin2C-3cos2C=0，

即2sin2C-π3=0.

由A=π6知0

所以-π3<2C-π3<4π3，

从而2C-π3=0，或2C-π3=π，

即C=π6或C=2π3，

故A=π6，B=2π3，C=π6，或A=π6，B=π6，C=2π3.

B级——能力提高组

1.

已知正三角形ABC的边长为1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，且AP→=λAB→，AQ→=(1-λ)AC→ ，λ∈R，则BQ→CP→的最大值为( )

A.32 B.-32

C.38 D.-38

解析 ，BQ→CP→=(BA→+AQ→)(CA→+AP→)=[BA→+(1-λ)AC→](CA→+λAB→)=AB→AC→-λAB→ 2-(1-λ)AC→2+λ(1-λ)AB→AC→=(λ-λ2+1)×cos60°-λ+λ-1=-12λ-122-38，0≤λ≤1，所以当λ=12时，BQ→CP→的最大值为-38，选D.

答案 D

2.已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2个a和3个b排列而成.记S=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+x5y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值. 则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).

①S有5个不同的值;

②若a⊥b，则Smin与|a|无关;

③若a∥b，则Smin与|b|无关;

④若|b|>4|a|，则Smin>0;

⑤若|b|=2|a|，Smin=8|a|2，则a与b的夹角为π4.

解析 对于①，若a，b有0组对应乘积，则S1=2a2+3b2，若a，b有2组对应乘积，则S2=a2+2b2+2ab，若a，b有4组对应乘积，则S3=b2+4ab，所以S最多有3个不同的值，①错误;因为a，b是不等向量，所以S1-S3=2a2+2b2-4ab=2(a-b)2>0，S1-S2=a2 +b2-2ab=(a-b)2>0，S2-S3=(a-b)2>0，所以S30，④正确;对于⑤，|b|=2|a|，Smin=4|a|2+8|a|2cosθ=8|a|2，所以cosθ=12，又θ∈[0，π]，所以θ=π3，⑤错误.因此正确命题是②④.

答案 ②④

3.已知向量m=3sinx4，1，n=cosx4，cos2x4.

(1)若mn=1，求cos2π3-x的值;

(2)记f(x)=mn，在△ABC中，角A ，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a-c)cosB=bcosC，求函数f(A)的取值范围.

解 (1)mn=3sinx4cosx4+cos2x4

=32sin x2+12cosx2+12=sinx2+π6+12.

又∵mn=1，∴sinx2+π6=12.

cosx+π3=1-2sin2x2+π6=12，

cos2π3-x=- cosx+π3=-12.

(2)∵(2a-c)cosB=bcosC，

由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC，

∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC.

∴2sinAcosB=sin(B+C).

∵A+B+C=π，∴sin(B+C)=sinA，且sinA≠0.

∴cosB=12.又∵0

∴0

∴π6

又∵f(x)=mn=sinx2+π6+12，

∴f(A)=sinA2+π6+12.

第五篇：向量空间证明

向量空间证明解题的基本方法：

1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系 中 2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位; 3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标; 4)求解给定问题

证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。

证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可 只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法 2 解：

因为x+y+z=0 x=-y-z y=y+0*z z=0*y+z (x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z y,z为任意实数

则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2) 步骤1 记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c ∴a+b+c=0 则i(a+b+c) =i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A) =-asinC+csinA=0 接着得到正弦定理 其他 步骤2. 在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。