线性代数习题考试题

第一篇：线性代数习题考试题

线性代数习题册

线 性 代 数

习

题

册

江苏师范大学科文学院

第一章矩阵

重点掌握：矩阵的运算;行列式的计算;元素的代数余子式和伴随矩阵的定义;可逆矩阵的性质和逆矩阵的求法;矩阵秩的求法等。

一、逆矩阵

对于记作，若有. 为可逆矩阵

;

满足

，则称

为可逆矩阵，且

为

的逆矩阵， 运算律： (1) 对于可逆为可逆矩阵.

可逆, 且，有

.

. ，取(2)可逆，可逆，且.

对于(3) 对于，取与，取都可逆

，有

可逆，且，有

. .

.

(4) 对于可逆，取

可逆, 且

，有

.

.

(5)(6)可逆与都可逆

.

.

二、矩阵的初等变换

初等变换 行变换 列变换 ① 对调 ② 数乘

, 记作

③ 倍加

经过初等变换得到初等矩阵：

.

(1)

(2)

(3) 定理

设(1)对(2)对是

矩阵，则

进行一次行初等变换，相当于用一个阶的初等矩阵左乘; . 进行一次列初等变换，相当于用一个阶的初等矩阵右乘求逆矩阵的初等变换法：

(

都是初等矩阵)

由此可得：对 (矩阵的位置)成为

施行“初等行变换”，当前列 时，则后

列(

的位置)为

.

三、矩阵的秩

1、子式：在中, 选取行与

列, 位于交叉处的 个数按照原来的

的一个阶子式, 记作

个.

. 相对位置构成阶行列式, 称为 对于给定的, 不同的

2、矩阵的秩：在

中，若

;

阶子式总共有 (1) 有某个阶子式 (2) 所有的 称

阶子式

(如果有，或者

阶子式的话). .

阶梯矩阵. 的秩为，记作定理 任意一个矩阵，均可以经过一系列行初等变换化为定理 初等变换不改变矩阵的秩. 定理 阶矩阵可逆

. 典型习题练习

*1设是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与

等价的矩阵是( )

A. B.

C. D.

2.设3阶阵A.0 B.1 C.

2*3如果A 4设阶方阵D.3

，则的秩为( )

可逆，则下列结论正确的是( )

; C

; D

的行向量线性相关。 ; B 是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与等价的矩阵是____________。 *5设为三阶方阵，且，则____________。

*6设为三阶方阵，的行列式

____________。 ，则

___________。 *7.已知三阶方阵8.设矩设矩阵，矩阵，则矩阵的秩=____________。

9.设矩阵*10设n阶可逆矩阵

，矩阵

满足

，则矩阵，则

的秩=____________。

=____________。

11.3阶矩阵，则的秩为____________。

12矩阵，则行列式=____________。

13*14已知三阶方阵

。 的行列式

，则

。

15已知矩阵， ，则=____________。

*16设矩阵，则的特征值为____________。

17计算行列式

*18计算行列式

*19计算行列式

。

20计算行列式

*21设

，求。

*22设

，求 。

*23设

，求 。

*24设

，求 。

*25设

26已知

*27证明：如果矩阵

阶矩阵满足

，求

,求证：可逆，并求的逆。

是可逆对称矩阵，则也是对称矩阵。

第二章线性方程组

重点掌握：向量组间的线性关系：线性相关和线性无关;向量组极大无关组和秩的求法，线性方程组基础解系的求法等。

一、线性方程组

一、克拉姆(Cramer)法则

定理(克拉姆法则)如果含有个方程的元线性方程组

(1) 的系数行列式

则方程组(1)有唯一解，并且

其中是将系数行列式

的第列元

元线性方程组

换成常数项

后得到的行列式. 定理 如果如果含有个方程的

的系数行列式

，则方程组(2)仅有零解.

二、解线性方程组的消元法

定理 (1) (2) 若, 有解有解时，若

;

，则有唯一解;

个自由未知量. ，则有无穷多组解，此时，一般解中有定理 (1)

仅有零解

;

(2)

由于对推论 如果矩阵

有非零解[即有无穷多个解]有

，由此得到

.

元齐次线性方程组

必有非零解.

中，方程的个数少于未知量的个数，即，则方程组特别地，对于含有个方程的元齐次线性方程组

由定理2.2和定理2.4可以得到

定理 齐次线性方程组

有非零解

.

三、向量及其线性运算

1.向量的线性组合 设维向量

，

及(为正整数)，若有数组

，

称为的线性组合，或称

可由向量组

线性表示.

使得

2.线性相关与线性无关 对维向量组

，若有数组

则称向量组

线性相关，否则称为线性无关.

，仅当数组

称向量组向量组线性无关，否则称为线性相关. 线性相关

元齐次线性方程组

全为0时，才有

不全为0，使得

线性无关：对维向量组

(1)

有非零解. 向量组特别地，当向量组

线性无关

元齐次线性方程组(1)仅有零解. 时，由定理2.5可推出： 线性相关

方程组(1)的系数行列式

向量组

线性无关

方程组(1)的系数行列式

四、向量组的秩

极大线性无关组：设向量组为 (1)在 (2)在都可以表为则称的秩，记作：秩中有个向量中有

，若

线性无关;

个向量的话).[即

中每一个向量

个向量线性相关(如果有的线性组合] 为向量组的一个极大线性无关组，简称为极大无关组，称为向量组

.[即极大无关组所含的向量个数] 向量组的秩与矩阵的秩的关系 设

(1) (2) 当 (1)(2)时，有

线性相关线性无关线性相关线性无关

; .

; .

五、线性方程组解的结构

1、齐次线性方程组 不妨设

的基础解系

的一般解为

(

)

依次令

可求得 因为 (1) (2)所以，，„，

线性无关

，是解空间

的一个基，称为齐次方程组

解的结构

的一个基础解系.

2、非齐次线性方程组设 的一个基础解系为 的特解为

，一般解为，则有

()

六、若标准正交基

为向量空间

，

的一个基，

(1) 正交化：取

，

，

，

为正交向量组(两两正交)，且与向量组(2)单位化，取

等价.

则向量组为

的一个标准正交基.

典型习题练习

*1.设向量组

线性相关，则向量组中( )

A.必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B.必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 C.必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 D.每一个向量都可以表为其余向量的线性组合 *2.下列结论不正确的是( ) A 如果B 如果，

„，„，

，则

，

，„，

线性相关;

线性相关，则其中某个向量是其它向量的线性组合;

C 向量组的任何一个向量可由它的极大无关组线性表示;

D 如果一个向量组线性无关，则它的任何一个部分向量组也线性无关。

*3.设向量组

线性无关，则向量组( ) A.均不为零向量 B.任意两个向量不成比例

C.任意s-1个向量线性无关 D.任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示 *4.设向量

，则下列向量是单位向量的是( )

A. B.

C.

D.

5.设为3阶非奇异矩阵，则齐次线性方程组：的解为_________________ . *6.设是一个4维向量组，若已知

可以表为

的线性组合，且表示法惟一，则向量组的秩为____________。

5.如果*7.若有非零解，则=____________。

元齐次线性方程组

的系数矩阵的秩

，则它的基础解系含解向量的个数为____________。

8. 已知向量组

*9.已知向量组

,,的秩为2，则数____________.

,,, (1)求向量组的秩;(2)求向量组的一个极大无关组。

*10已知向量组

,

,

,

(1)求向量组的秩;(2)求向量组的一个极大无关组。

*11试确定

的值，使齐次方程组有非零解，并求方程组的解。

*12已知向量组

,判断

,

,

是否可以表示为其余向量的线性组合。若可以，求其表示式。

*13已知向量组

,

14.证明：包含零向量的向量组一定线性相关。

,

,

判别向量组是否线性相关。如果现行相关，将其中一个向量表为其余向量的线性组合。

第四章 矩阵的特征值和特征向量

重点掌握：矩阵的特征值和特征向量的计算;矩阵的特征值和特征向量的性质;相似矩阵矩阵对角化问题等。

一、特征值与特征向量

对阶矩阵称为，若有数

和

维列向量

满足

，则称数

为

的特征值，非零向量的属于特征值的特征向量.

说明：

1、特征向量

2、阶方阵值，即满足方程

，特征值问题是对方阵而言的. 的特征值，就是使齐次线性方程组

的

都是矩阵

的特征值.

有非零解的

3、称以记

4、设 (1)(2)特征方程：

有非零解

.

或者

为未知数的一元次方程

，它是阶方阵

的

为

的特征方程.

的特征多项式.

次多项式，称其为方阵

的特征值为，则有

;

特征矩阵：

或者 特征多项式：特征值和特征向量的性质

定理 设是阶矩阵，则

与

有相同的特征值.

定理 阶矩阵定理

设可逆的充分必要条件是它的任一特征值不等于零. 的互异特征值为

线性无关.

，与之对应的特征向量依次为，则向量组注意：

1、属于不同特征值的特征向量是线性无关的.

2、属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量.

3、矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一;一个特征向量不能属于不同的特征值.

定理

设无关的特征向量为的互异特征值为

，重数依次为，则向量组

线性无关.

定理

设(1)(2)

. 0是

的特征值.

, 则 ;

.

的特征值

;

，

，则 ，对应

的线性推论

一元多项式：矩阵多项式：定理 设 (1) (2) [注] 一般结论：若 为

的全体特征值为

.

,则的全体特征值

二、相似矩阵及其性质

对于或称是阶方阵和

，若有可逆矩阵

.

，使得

，则称矩阵

与

相似，的相似矩阵，记作相似矩阵的性质 性质1

与

[

与

有相同的特征多项式];

的特征值相同.

推论 若阶方阵与对角形矩阵

相似，则性质2 即是

的

个特征值.

(.

为正整数).

性质3

[相似矩阵一定等价，显然有相等的秩;反之不然] 性质4 单位矩阵的相似矩阵就是其本身.

性质5 性质6 性质7 若，且

与

可逆

.

即相似矩阵或都可逆或都不可逆.当它们都可逆时，它们的逆矩阵也相似.

相似对角化

若方阵对能够与一个对角矩阵相似，称，若可找到可逆矩阵

，使

可对角化.

为对角矩阵，这就称为把方阵阶方阵对角化. 定理 阶方阵推论 如果似.[其中[注] 可对角化

的

有个线性无关的特征向量.

]互不相等，则

.]

的特征值. 可对角化.

，重数依次为

，

有个线性无关的特征向量.

的每一个

重特征值

，

，则

可对

与对角阵

相阶矩阵个特征值[的主对角线的元依次为的主对角元素为有个互异特征值的全体互异特征值为推论1 推论2 设角化的充要条件是，对应于每个特征值定理 阶矩阵特征矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是对于

. 的秩为定理 也可以叙述为：阶矩阵重特征值，齐次线性方程组

与对角矩阵相似的充分必要条件是对于

的基础解系中恰含有

的每一个

个向量.

三、实对称矩阵的特征值和特征向量

1.实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 定理

实对称矩阵的特征值都是实数.[即

] 定理 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交.

2、正交矩阵 实矩阵(1) (2)满足是正交矩阵是正交矩阵

时，称为正交矩阵.

. .

(3)即

是正交矩阵，

的列向量组是两两正交的单位向量.

(4)是正交矩阵， 即的行向量组是两两正交的单位向量. 定理 [设为阶实对称矩阵]是以

的

存在正交矩阵

，使得

[即].其中即，设为

个特征值为对角元素的对角矩阵.

，使得

成为对角矩阵. 一定有个线性无关的阶实对称矩阵，则存在正交矩阵，若

是推论 设特征向量.

的重特征值, 则对应于特征值

3、实对称矩阵对角化方法——利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为： ① 求② 由的特征值;

，求出

的特征向量;

③ 将特征向量正交化;

④ 将特征向量单位化.

典型习题练习

1. 已知矩阵A.C.2.设 B. D.与对角矩阵

，则

相似，则( )

为3阶矩阵，且必有一个特征值为( )

A. B.

C. D. *3.设矩阵A.1 C.3 B.2 D.4

，则的线性无关的特征向量的个数是( )

*4. 设3阶实对称矩阵的特征值为，则 __________。

5.已知为矩阵的重特征值，则的另一特征值为____________。

*6.已知三阶方阵7.已知3阶矩阵的特征值为的特征值为

，则且矩阵

与

________。 相似，则

_________. *8求矩阵

的全部特征值及对应的全部特征向量。

*9.求矩阵

的全部特征值及对应的全部特征向量。

*10设矩阵

*11设矩阵

，求可逆矩阵，使为对角矩阵。

，求可逆矩阵，使为对角矩阵。

*12矩阵

13证明：如果矩阵

与

，求可逆矩阵，使为对角矩阵。

相似，则 与相似 14：证明：如果矩阵

与相似，则 =。

第四章 二次型

重点掌握：二次型及其矩阵;矩阵的合同的性质;二次型标准型与规范型的求法;二次型正，负惯性指数和秩的计算等。

一、二次型的矩阵表示

含有个变量

称为元二次型，简称为二次型.

：称：称只含有平方项的二次型

称为二次型的标准形(或法式).

1.矩阵表示：令

，则

，于是

为实二次型(本章只讨论实二次型) 为复二次型 的二次齐次多项式

其中 ， ，.即

， (2)

其中为对称矩阵，因为().

2、标准形：

对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形. 二次型的标准形

的矩阵为

3、合同矩阵： 对于同于.记为定理 ∽∽为对称矩阵，，若有可逆矩阵.

. 为可逆矩阵，若

，即

与

合同，则

亦为

使得

, 则称矩阵

与

合同，或

合定理 设对称矩阵.

二、化二次型为标准形

1.正交变换法 说明：

1、二次型经可逆变换

2、要使二次型经可逆变换

后，其秩不变，但

的矩阵由

变为

;

变成标准形，就是要使

也就是要使称为对角矩阵.

，总有正交矩阵

，使

由于对任意的实对称矩阵此结论应用于二次型，有

，即.把定理

任给二次型准形

()，总有正交变换，使化为标

其中是的矩阵

的特征值.

用正交变换化二次型为标准形的具体步骤： 、将二次型表成矩阵形式、求出 的所有特征值

，求出;

;

，记

;

、求出对应于特征值的特征向量、将特征向量;

正交化，单位化，得 、作正交变换

2、配方法

，则得的标准形.

用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变. 问题：有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形?

问题的回答是肯定的.下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗日配方法. 拉格朗日配方法的步骤： 、若二次型含有

的平方项，则先把含有

的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;

、若二次型中不含有平方项，但是

，则先作可逆线性变换

(且化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.

定理 对于实二次型

定理 对于实对称矩阵

, 存在可逆矩阵

, 使得

, 存在可逆变换

)

, 使得

3、初等变换法

求可逆矩阵 可逆, 使得

： (

是初等矩阵)

典型习题练习

1设2元二次型

正定，则矩阵

可取为( )

A. B.

C.2 二次型A.1 B.2 C.3 D.4 D.

的秩为( )

3 若3阶实对称矩阵 是正定矩阵，则的正惯性指数为__________。 *4实二次型的正惯性指数=__________。

*5矩阵

对应的二次型 __________。

第二篇：线性代数期末复习题详解[精选]

线性代数B复习资料（2014）

(一)单项选择题

1．设A，B为n阶方阵，且ABE，则下列各式中可能不成立的是（ A ）

2(A)AB

(B)ABAB

(C)BABA

(D)(BA)2E 2．若由AB=AC必能推出B=C（A，B，C均为n阶矩阵）则A必须满足（ C ） (A)A≠O

(B)A=O

(C)A0

(D) AB0 3．A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=A，则（ D ） (A) B为单位矩阵

(B) B为零方阵

(C) B1111A

(D) 不一定

4．设A为n×n阶矩阵，如果r(A)

(C)A的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (D)A的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比例 5．71．已知向量组1,2,3,4线性无关则向量组 ( C ) (A) (B) (C) (D) 12,23,34,41线性无关 12,23,34,41线性无关

12,23,34,41线性无关 12,23,34,41线性无关

6．下列说法不正确的是( A ) (A) 如果r个向量1,仍然线性无关 (B) 如果r个向量1,组仍然线性无关 (C)如果r个向量1,(D)如果r个向量1,2,,r线性无关，则加入k个向量1,2,,k后，2,,r线性无关，则在每个向量中增加k个分量后所得向量2,,r线性相关，则加入k个向量后，仍然线性相关

则在每个向量中去掉k个分量后所得向量组2,,r线性相关，仍然线性相关

7．设n阶方阵A的秩r

(B) 任意r个行向量均可构成极大无关组 (C) 任意r个行向量均线性无关

(D) 任一行向量均可由其他r个行向量线性表示 8．设方阵A的行列式A0，则A中 C (A) 必有一行（列）元素为零 (B) 必有两行（列）成比例

(C) 必有一行向量是其余行（列）向量的线性组合 (D) 任一行向量是其余行（列）向量的线性组合

9．设A是m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是( A ) (A)A的列向量线性无关 (B)A的列向量线性相关 (C)A的行向量线性无关 (D)A的行向量线性相关

11．n元线性方程组AX=b，r（A，b）

(B)有唯一解

(C)无解

(D)不确定 10．设A，B均为n阶非零矩阵，且AB＝0，则A和B的秩（ D ） (A) 必有一个等于零

(B)一个等于n，一个小于n

(C) 都等于n

(D) 都小于n 12．设向量组1,2,,s(s>1，10) 线性相关，则（

C ）由1,2,,i1线性表出。

(A)每个i(i1)都能

(B) 每个i(i1)都不能

(C) 有一个i(i1)能

(D) 某一个i(i1)不能

A的第二行加到第一行得到B，再将B的第一列的(1)倍加13.设A为3阶矩阵，将到第2列得到C，记B

110P010

001（A）CP1AP则：

（C）CPTAP(B)CPAP1

(D)CPAPT

14. 若向量组,,线性无关;,,线性相关,则( C ) (A)必可由,,线性表示.

(B)必不可由,,线性表示 (C)必可由,,线性表示.

(D)必不可由,,线性表示.

15．下列命题正确的是( D ) (A) 若向量组线性相关, 则其任意一部分向量也线性相关 (B) 线性相关的向量组中必有零向量

(C) 向量组中部分向量线性无关, 则整个向量组必线性无关 (D) 向量组中部分向量线性相关, 则整个向量组必线性相关 16．设向量组1,2,,s的秩为r，则 D (A) 必定r

17．A是m×n矩阵, r(A)=r 则A中必( B ) (A)没有等于零的r-1阶子式至少有一个r阶子式不为零 (B)有不等于零的r阶子式所有r+1阶子式全为零 (C)有等于零的r阶子式没有不等于零的r+1阶子式 (D)任何r阶子式都不等于零任何r+1阶子式都等于零 18．能表成向量10,的向量是（

B ） (A) 0,0,0,1,20,1,1,1,31,1,1,1的线性组合0,1,1 (B)2,1,1,0

(C)2,3,1,0,1 (D)0,0,0,0,0

19．已知11,2,3, 23,1,2,32,3,x 则x=（ D ）时1,2,3线性相关。

(A) 1

(B)2

(C) 4

(D) 5

20．向量组11,1,2,4,20,3,1,2,330,7,14

41,1,2,0的秩为 C （A）1

（B）2

（C）3

（D）4

21．设A为n阶方阵,且A0，则C (A) A中任一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (B) A必有两行（列）对应元素乘比例

(C) A中必存在一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (D) A中至少有一行（列）向量为零向量

22．向量组1,2,,s线性相关的充要条件是( C ) 3

(A) (B) (C) (D) 1,2,,s中有一零向量

1,2,,s中任意两个向量的分量成比例 1,2,,s中有一向量是其余向量的线性组合 1,2,,s中任意一个向量均是其余向量的线性组合

23．若向量可由向量组1,2,,s线性表出,则(C

) (A) 存在一组不全为零的数k1,k2,,ks,使等式k11k22kss成立 (B) 存在一组全为零的数k1,k2,,ks,使等式k11k22kss成立 (C)向量,1,2,,s线性相关 (D) 对的线性表示不唯一

24．对于n元方程组，正确的命题是（

D ） (A)如AX=0只有零解, 则AX=b有唯一解 (B)AX=0有非零解, 则AX=b有无穷解 (C)AX=B有唯一解的充要条件是A0

(D)如AX=b有两个不同的解, 则AX=b有无穷多解

25．设矩阵Amn的秩为r(A)=m

(C)A通过初等变换, 必可化为(Im,0)的形式

(D) 若矩阵B满足BA0,则B0. 26．非齐次线性方程组AX=b中未知数的个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则（

A ）

(A) r=m时, 方程组AX=b有解 (B) r=n时, 方程组AX=b有唯一解 (C) m=n时, 方程组AX=b有唯一解 (D) r

27．已知1,2,3是齐次线性方程组AX=0的基础解系，那么基础解系还可以是（

B ） (A) k11k22k33 (B) (C) 12,23,31 12,23,

(D)1,123,32,

28．向量组1,2,,r线性无关，且可由向量组1,2,,s线性表示，则 D r(1,2,,r)必(

)r(1,2,,s) (A)大于等于

(B)大于

(C)小于

(D)小于等于

T 29．设n元齐次线性方程组AX=0的通解为k（1，2，…，n），那么矩阵A的秩为（

B ） (A) r(A)=1

(B) r(A)=n-1

(C) r(A)=n

(D)以上都不是

1111的秩为2，则=（

D ） 30．设矩阵A=12233A.2

B.1

C.0

D.-1 31．设n维向量组1,2,,r(Ⅰ)中每一个向量都可由向量组1,2,,s(Ⅱ)线性表出,且有r>s, 则( D)

(A) (Ⅱ)线性无关

(B) (Ⅱ)线性相关

(C) (Ⅰ)线性无关

(D) (Ⅰ)线性相关 32．设1,2,,n是n个m维向量，且n>m, 则此向量组1,2,,n必定( A ) (A) 线性相关

(B) 线性无关

(C) 含有零向量

(D) 有两个向量相等 33．矩阵A 适合条件（

D ）时，它的秩为r (A)A中任何r+1列线性相关

(B) A中任何r列线性相关

(C) A中有r列线性无关

(D) A中线性无关的列向量最多有r个 34．若m×n阶矩阵A中的n个列线性无关

则A的秩（ C

） (A)大于m

(B)大于n

(C)等于n

(D) 等于m 35．若矩阵A中有一个r阶子式D≠0，且A中有一个含D的r+1阶子式等于零，则一定有R（A）（

A ）

(A) ≥r

(B)＜r

(C)=r

(D) =r+1 36．要断言矩阵A的秩为r，只须条件（

D ）满足即可 (A) A中有r阶子式不等于零 (B) A中任何r+1阶子式等于零

(C) A中不等于零的子式的阶数小于等于r (D) A中不等于零的子式的最高阶数等于r 37. 设m×n阶矩阵A，B的秩分别为r1,r2，则分块矩阵（A，B）的秩适合关系式（

A ） (A) rr1r2

(B) rr1r2

(C) rr1r2

(D) rr1r2 38．R(A)=n是n元线性方程组AX=b有唯一解(

C ) (A)充分必要条件

(B) 充分条件

(C) 必要条件

(D) 无关的条件 39．矩阵A=11的特征值为0,2, 则3A的特征值为(

B ) 115

(A) 2,2;

(B) 0,6;

(C) 0,0;

(D) 2,6; 40．A=1122I2AA， 则的特征值为（ B ） 111(A) 2,2;

(B) –2,-2;

(C) 0,0;

(D) –4,-4; 41．BPAP,0是A,B的一个特征值, 特征向量是( C ) (A)

是A的关于0的特征向量, 则B的关于0的

(B) P

(C) P1

(D) P

242．A满足关系式A2AEO，则A的特征值是 C (A) =2

(B) = －1

(C) = 1

(D) = －2是

022x2的特征值，其中b≠0的任意常数，则x=（ D ） 43．已知－2是A=222b(A) 2

(B) 4

(C) －2

(D) －4

41771有特征值123,312，则x=（

D ） 44．已知矩阵A=444x(A) 2

(B) － 4

(C) －2

(D) 4 （提示：用特征值的和等于迹的结论来做较简单，迹的向定义见计算题与填空题17） 45．设A为三阶矩阵，已知AE0，A2E0，A3E0，则A4E A (A) 6

(B) － 4

(C) －2

(D)4

46. 设A为三阶矩阵，有特征值为1，-1，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（

D ） (A) E-A

(B) E+A

(C) 2E-A

(D) 2E+A

（二）计算题与填空题

1．A5A6I0，则A31（

）

（12A5I） 621012,则RBA_____2___ 2．设A是34矩阵,RA2,B11113. 设A为3阶矩阵，且|A|2, 则行列式|TTTA3A1|____

（-1/2）

4.11t3,20t5,310t, 当t0,2时, 向量组1,2,3 线性无关. 6

5．设1kTTT5,1132,2211,k（

）时可被向量组1,2线性表出。

（-8）

6. 1001111000113120110010110013 答案：110 349012 7. 设122T,1111T,2111T,3111T.则是否为向量组1,2,3的线性组合？

（是）

8． 确定a,b为何值时，使下列非齐次线性方程组有解，并求其所有解. x1x22x33x40x3x5x2x11234. x1x2ax34x41x17x210x37x4b答： 当a1,b4时，解为

1172131 ，其中

c1c1,c2为任意非零常数; c22020020

当a1,b4时，解为

17211

k0，其中k为任意常数; 2020

方程组不存在唯一解. 1111，矩阵X满足A*XA12X，其中A*是A的伴随矩阵，求9．已知A11111矩阵X. 1101答 ：X0114101

10． 求下列矩阵的特征值与特征向量. 102（1）010 (2) 201

312202. 211答案： (1) 11,21,33，

对应于11的全部特征向量是k10,1,0，k10；

对应于21的全部特征向量是k21,0,1，k20；

对应于33的全部特征向量是k31,0,1，k30.

(2) 10,231,

1

对应于10的全部特征向量是k11，k1为非零常数；

1TTT

对应于231的全部特征向量为

10k22k32，k2,k3是不同时为零的常数； 0111.三阶矩阵A的特征值为11,22,33,则A为(

).

(6; 1,;A1,A*,A1A2的特征值

1111,; 6,3,2; 2,4,9.) 2323 8

1k1012. 设矩阵A121有一个特征向量为2，求k及A的三个特征值.

101k答案：k3，A的三个特征值为1,3,4. 13．已知向量组

12,1,2,1T,21,1,5,7T,31,2,3,8T,41,1,a,6T,53,0,4,7T

的秩为3，求a及该向量组的一个极大无关组，并用该极大无关组表示其余向量。 答案：a2,1,2,4 为一个极大无关组，31204,

51024,

14． 设向量组11,k,1,2k1,2,1,31,1,k，

(1) k为何值时，1,2线性相关？线性无关？

(2) k为何值时，1,2,3线性相关？线性无关？

(3) 当1,2,3线性相关时，将3表示为1,2的线性组合. 答案：(1) k2时线性相关，k2时线性无关；

(2) k1,2或2时线性相关；k1且k2且k2时线性无关；

(3) 当k1时，3102；当k2时， 3534142. 15设A123012,使得方程组AXb总有解的b是(

211(k12310k21k322) 1121116. 已知向量(1,k,1)T是矩阵A121的逆矩阵A1的特征向量，求常数k

112答案：k1,2

17．矩阵A321315的迹为

。（7） 323

).

定义：对于n阶方阵A(aij)，矩对角线元素之和称为方阵A的迹，记为trA，即

trAa11a22ann，

定义2.15 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B， 则称矩阵A与B等价，记作AB

（三）证明题：

1.

设A为mn矩阵，B为ns矩阵，且AB0，证明rArBn. 证 设B(1,2,,s)，则AB(A1,A2,,As)，由AB0得

Ai0,i1,2,,s，所以矩阵B的列向量都是方程组Ax0的解.

设rAr，如r0，则结论显然成立. 如rn，则方程组Ax0仅有零解，故B0，从而有rArBn.

如0rn，则方程组Ax0的基础解系中有nr个线性无关解向量.由于B的列都能由基础解系线性表示，由定理3.12知，rBnr，所以rArBrnrn.

T2. 证明：对任意矩阵A，有rAArA.



证

设A为mn矩阵，x为n维列向量，如果x满足Ax0，则有

TT

AAx0，即AAx0， 反之，如果AAx0，则xTTAAx0，即AxAx0，从而Ax0.

TTTT这说明方程组Ax0与AAx0同解，所以rAArA.



第三篇：线性代数武汉工程大学线性代数练习题(1)答案

线性代数练习题(1)详细解答

1.(1)×;

(2)×;

(3)×;

(4)×。

1110402.(1)6k1222; (2)040; 333040201(3)ABBAO; (4)010。 0021313.解：214001267811341312056。 402121012101214.解：因为0288~0288~01445990313903131210120310029~0144~01016~01016，001300130013x129,所以x216,

x33.213220585.解：3AB2A21720，ATB056。 4292290049

第四篇：线性代数综合练习题及答案7

线性代数综合练习题

(七)

一、选择题

1. 设A、B为n阶矩阵，则下面必成立的是(

)。

(A)ABAB

(B)(AB)1A1B

1 (C)ABBA

(D)ABBA 2. 设A为n阶矩阵，且A0，则(EA)1(

)。

(A)EA

(B)EAA2Ak1

(C)EAAA2k1k

(D)EA

3. 设向量组1,2,,m的秩为3，则(

)。

(A)任意三个向量线性无关

(B)1,2,,m中无零向量

(C)任意四个向量线性相关

(D)任意两个向量线性无关 4. 线性方程组Amnxn1bm1，(b0)有解的充要条件是(

)。

(A)R(A)R(A|b)

(B)R(A)m

(C)R(A)n

(D)R(A)R(A|b)

5. n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是(

)。

(A)A的n个特征值互不相同

(B)A可逆

(C)A无零特征值

(D)A有n个线性无关的特征向量

二、填空题

1. 各列元素之和为0的n阶行列式的值等于

。

2. 设三阶矩阵A412321，则A

。 3. 设矩阵A111，B2，则AB

，BA

，33。 (BA)

(k为正整数)k14. 设R(A34)2，P0012012，则R(PA)

。 35. 设向量组1,2,3线性无关，则向量组112，223，331线性

。

6. 设三阶可逆矩阵A的特征值分别为

2、

3、5，则A

，A的伴随矩阵A的特征值为

。

7. 设实二次型f(x1,x2,x3)x12x2kx32x1x22x1x32x2x3为正定二次型，则参数k的取值范围是

。

三、计算题

01. 设1010000X110000102110387954，求矩阵X。 62222. 当取何值时，线性方程组

x1x2x31x1x2x3 xxx2123有(1)惟一解;(2)无解;(3)无穷多解，并求通解。

11012121363. 设四维向量组1，，，，24351124，求001115该向量组的秩及一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组线性表示。

4. 求一个正交变换XPY，将实二次型

f(x1,x2,x3)2x1x2x34x2x3

222化为标准形，并判断该二次型是否正定。

四、证明题

21. 设A为n阶矩阵，如果AE，则R(AE)R(AE)n。

2. 设n阶矩阵A0，A0(k为正整数)，则A不能与对角矩阵相似。

k线性代数综合练习题

(七)参考答案

一、选择题

1. D

2. B

3. C

4. A

5. D

二、填空题

01. 0

2. 01201300

3.

3, 01412312132k12, 33113123121322 31134. 2

5. 无关

6. 30 ， 15，10，6

7. k1

三、计算题

01. 解：X100101231001004560011213879879514060514060001001010

102011301

078.

92. 解：线性方程组的系数行列式

A11111(2)(1)，

21(1)当A0，即2且1时，方程组有惟一解;

(2)当2时，R(A)2R(Ab)3，方程组无解;

(3)当1时，

1b)111111111r1110010010010 0A(A因为R(A)R(A)13，所以方程组有无穷多解，且通解为

111xk11k200，k1,k2为任意实数.

0103. 解：A(1,2,3,4,5) 110012110111132126r45100001001100001012，

30所以

R(1,2,3,4,5)3，

1,2,4为向量组1,2,3,4,5的一个极大线性无关组，且

312，51223

424. 解：二次型的矩阵

A00A的特征多项式

01202，

12AE00012021(1)(2)(3)，

所以A的特征值为11，22，33.

0011对应的线性无关的特征向量为11，单位化得p112112110，单位化得p20; 00; 22对应的线性无关的特征向量为20033对应的线性无关的特征向量为31，单位化得p312.

112x1所求正交变换为

x2x301212210020y11y2， 21y322二次型的标准形为

fy12y23y3，

因为110，所以该二次型不是正定二次型.

四、证明题

1. 证：由A2E，得(AE)(AE)0，则

R(AE)R(AE)n;

又

R(AE)R(AE)R(AE)R(EA)R(2E)n，

所以

R(AE)R(AE)n.

2. 证：反证法，假设A与对角矩阵相似，则存在可你矩阵P，使得

P1APdiag(1,2,,n)，

1(1,2,,n)P则

APdiagkkkk，

1(1,2,,n)P从而

APdiag0，

所以 10，20，…，n0，因而 A0，这与A0矛盾， 故A不能与对角矩阵相似.

第五篇：六年级数学数与代数习题精选

数与代数习题精选

一、填空(每空1分,共20分)

1.二亿六千零五万七千写作()，改写成用“万”作单位的数是()万，改写成用“亿”作单位的数是()亿，

2.0.667，0.76，和68%这三个数中最大的数是()，最小的数是()。

3.能同时被

2、

3、5整除的最大的三位数是()。

4.某班男生和女生人数的比是4：5，则男生占全班人数的()，女生占全班人数的()。

5.()÷()=()÷60=2：5=()%=()折

b

6.如果a=c(c 0)，那么()一定时，()和()成正比例;()一定时，()和()成反比例。

51

7.4去掉()个分数单位，它就变为最小的合数。

二、判断(对的在括号里打，错的打 )，(每题2分，共10分)

1.时间一定，路程和速度成正比例。()

2.比的前项乘2，比的后项除以2，比值不变。()

11

3.小华比小明高5，小明就比小华矮5。()

4.甲数能被乙数整除，乙数一定是甲乙两数的最大公因数。()

5.新培育的某种种子的发芽率是120%。()

三、选择题(将正确答案的序号填入括号内)，(每题2分，共10分)

1.一台电冰箱的原价是2400元，现在按七折出售，求现价多少元?列式是()，

A.2400÷70%B.2400×70%C.2400×(1-70%)

32

2.甲数和乙数都不等于0，如果甲数的5等于乙数的3，那么()

A.甲数>乙数B.甲数<乙数C.甲数=乙数

3.一批玉米种子，发芽粒数与没有发芽粒数的比是4：1，这批种子的发芽率是()

A.60 %B.75%C.25%D.80%

4.某班男生人数比女生人数多3，则男生人数占全班人数的()

4343

A.3B.4C.7D.7

33

5.两根同样长的绳子，第一根用去全长的4，第二根用去4米，剩下的绳子相比较()

A.第一根长B.第二根长C.两根同样长D.无法确定哪根长

四、计算题

1.直接写出得数(每小题1分，共10分)

4.2÷0.2=1÷0.6=5-0.25+0.75=4.5×10=2270÷18=

75111

2 213×(2+13)=9×6=(): 7=72÷5=o.4-0.3=

2.脱式计算，能简算的要简算。(每小题3分，共12分)

6

1.05×(3.8-0.8)÷6.3(20.1-21×7)÷5.1 531

(7-8)÷567.6÷5.4÷1.9×5.4

3.解方程(每小题3分，共12分)

1.20.4

x

93x-6=8.2575=x14x+7.1=12.5- 2x2x1=

4.列式计算(每小题2分，共6分)

比某数的20%少0.4的数是7.2，求这个数。(用方程解)

0.9与0.2的差加上1除1.25的商，和是多少?

五、应用题(每题6分，共30分)

1.李师傅加工一批零件，原计划每小时加工30个，6小时可以完成，实际每小时比原来计划多加工20%，实际加工这批零件比原计划提前几小时?

2.客车和货车同时从甲、乙两地的中间向相反方向行驶，5小时后，客车到达甲地，货车离乙地还有60千米，已知货车与客车的速度的比是5：7，求甲、乙两地相距多少千米?

3.在比例尺是1：4000000的地图上，量得甲、乙两地相距20厘米，两列火车同时从甲乙两地相对开出，甲车每小时行55千米，乙车每小时行45千米，几小时相遇?

4.李华乘汽车从A地到B地，需要2天，他第一天走了全程的2又72千米，第二天

走的路程是第一天的3，A、B两地相距多少千米?

5.风华服装厂，接到生产一批衬衫的任务，前5天生产600件，完成了任务的40%，照这样计算，完成这项任务一共需要度少天?(用不同的方法解答)