高等代数考试大纲

第一篇：高等代数考试大纲

全国2004年1月高等教育自学考试线性代数试题

酷题(K-Tii) 海量试题下载

http:// 全国2004年1月高等教育自学考试

线性代数试题

课程代码：02198

*试卷说明：A表示矩阵A的转置矩阵，E是单位矩阵，A是方阵A的伴随矩阵。

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题2分，共20分) T1251. 设行列式D=132=0，则a=( ). 25aA. 2 B. 3 C. -2 D. -3

T2. 设A是k×l矩阵，B是m×n矩阵，如果ACB有意义，则矩阵C的阶数为( ). A. k×m B. k×n C. m×l D. l×m 3. 设A、B均为n阶矩阵，下列各式恒成立的是( ).

TTTA. AB=BA B. (AB)=BA

22222C. (A+B)=A+2AB+B

D. (A+B)(A-B)=A-B 4. A为n阶方阵，下面各项正确的是( ). A. |-A|=-|A| B. 若|A|≠0,则AX=0有非零解

2C. 若A=A,则A=E D. 若秩(A)k B. 秩(A)≥k C. 秩(A)=k D. 秩(A)≤k 6. 设A、B为同阶方阵，则下面各项正确的是( ). A. 若|AB|=0， 则|A|=0或|B|=0 B. 若AB=0, 则A=0或B=0 22-1-1-1C. A-B=(A-B)(A+B)

D. 若A、B均可逆，则(AB)=AB kxkyz0 7. 当k满足( )时，2xkyz0 只有零解.

kx-2yz0A. k=2或k=-2 B. k≠2 C. k≠-2 D. k≠2且k≠-2 8. 设A为n阶可逆阵，则下列( )恒成立. -1-1-1TT-1A.(2A)=2A B. (2A)=(2A)

-1-1TT-1-1TT-1-1-1TC. [(A)]=[(A)] D. [(A)]=[(A)]

9. 设A是n阶方阵，则A能与n阶对角阵相似的充要条件是( ). A. A是对角阵

B. A有n个互不相同的特征向量

C. A有n个线性无关的特征向量 D. A有n个互不相同的特征值

22T10. 二次型f(x1,x2)=x1+2x1x2+3x2=xAx,则二次型的矩阵表示式中的A为( ). 12101131A. B. C. D. 03231311 

二、填空题(每小题2分，共28分)

- 1酷题(K-Tii) 海量试题下载

http:// 4. 求向量组α1=(1,1,3,1),α2=(-1,1,-1,3),α3=(5,-2,8,-9),α4=(-1,3,1,7)的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出. 5. 求方程组的通解

x1x23x3x41 3x1x23x34x44

x5x9x8x02341122，求A的特征值及对应的特征向量. 2126. 设A=2217. 用配方法将二次型f(x1,x2,x3)=x1+4x1x2-3x2x3化为标准型.

四、证明题(每小题5分，共10分) 21. 设n阶方阵A满足A-A-2E=0,证明A和E-A可逆. 2. 设A为n阶方阵，λ1,λ2是A的两个不同的特征值，而α1,α2是分别对应于λ1,λ2的特征向量，证明α1,α2线性无关.

2

- 3 -

第二篇：高等代数与高等数学的区别

高等代数、数学分析是数学专业中更细的数学研究的分类。高等代数是代数方向的究，而数学分析使用极限方法研究函数特性的数学。而高等数学是对非数学专业的人学习的区别于初等数学的数学，应当包括高等代数和数学分析部分。

高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。 高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，例如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。

集合是具有某种属性的事物的全体;向量是除了具有数值还同时具有方向的量;向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也有很大的不同了。

其研究对象不仅是数，也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。比较重要的代数系统有群论、环论、域论。群论是研究数学和物理现象的对称性规律的有力工具。现在群的概念已成为现代数学中最重要的，具有概括性的一个数学的概念，广泛应用于其他部门。 高等数学比初等数学“高等”的数学。广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论逻辑称为中等数学，作为小学初中的初等数学与本科阶段的高等数学的过渡。通常认为，高等数学是将简单的微积分学，概率论与数理统计，以及深入的代数学，几何学，以及他们之间交叉所形成的一门基础学科，主要包括微积分学，其他方面各类课本略有差异。

第三篇：高等代数教案第一章基本概念

第一章

一 综述

基本概念

1.本章是本门课程所需要的最基本概念(集合、映射、整数的一些性质、数环和数域)和方法(数学归纳法、反证法).所需位置不同,可根据课时安排及进度分散处理.如集合、整数的一些整除性质、数学归纳法、数环和数域可先讲,映射可放在线性空间前讲. 2.从内容上讲,除集合中的卡氏积的概念及数环、数域的概念外,其它内容是学生在中学数学当中熟知的,只不过是将有关内容的系统化、理论化(如整数的整除性、映射、数学归纳法,其在中学中熟知其一些事实,今在理论上加以严密论证). 3.新的知识点是集合的卡氏积、数环、数域的概念,数学归纳法作为定理的论证. 4.学习本部分的难点是：从概念出发进行推理论证,这需要从具体例子引导训练,逐步培养. 二 重点、难点

1. 重点在于所有基本概念,特别是引入的新概念. 2. 难点是可逆映射、整数的整除性、数学归纳法本身的证明.

1.1

集

合

一 教学思考

1.集合可以作为不定义的概念来处理,有些教材上给出了一个简单刻化. 2.确定一个集合A,就是要确定哪些是集合的元素,哪些不是集合的元素.说明一个集合包含哪些元素时,常用“列举法”、“示性法”(描述法). 3.中学代数大部分的内容是计算,因此一开始遇到证明题时,往往不知从何入手,此需注意培养学生的推理能力,这里应通过证明“集合相等”来加强这方面的训练. 4.为稍拓宽知识,可讲解一下补集、幂集等概念. 二 重点、要求

1.重点、难点：卡氏积的概念及从概念出发(集合相等、子集等)进行推理. 2.要求：使学生了解有关集合的刻化及运算,培养推理能力. 三 教学过程

1.集合：简称集,在此是一个不定义的原始概念,通常可给出如下描述性的解释：即所谓集合,是指由某些确定的事物(或具有某种性质的事物)组成的集体.其中每个事物称为这个集合的元素. 常用大写字母A、B、C表示集合,用小写字母a、b、c表示集合的元素. 若a是集合A的元素,就说a属于A,记作aA,或者说A包含a. 若a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作aA,或者说A 不包含a. 常采用两种方法：

(1)列举法：列出集合的所有元素(包括利用一定的规律列出无限集)的方法.如A1,2,3,. (2)示性法(描述法)：给出集合所具有的特征性质.如Bx|x3x40表示方程

2x23x40的解集. 2.集合的分类(按所含元素的个数分)： 有限集：只含有有限多个元素的集合. 无限集：由无限多个元素组成的集合. 空集：不含任何元素的集合.用表示.约定：是任何集合的子集. 3.集合间的关系：

(1) 设A、B是两个集合.

"xAxB")子集：若A的每个元素都是B的元素,则称A是B的子集(即若..记作AB

- 1如：f:RR,xx;g:RR,x2.映射的合成

x2.有fg. (1)定义3. 设f:AB,g:BC是两个映射,对xA,有f(x)B,从而g(f(x))C,这样,对xA,就有C中唯一的g(f(x))与之对应,就得到A到C的一个映射,这个映射是由f:AB和g:BC所决定的,称为f与g的合成.记作gf. 即：gf:AC,xg(f(x)).

例子：f:RR,xx2;g:RR,xsinx .则

gf:RR,xsinx2;fg:RR,xsin2x.

(2)映射合成满足结合律：

设f:AB,g:BC,h:CD,则由合成映射的定义可得AD的两个映射：h(gf),(hg)f,则h(gf)(hg)f. 3.几类特殊映射

定义4. 设f:AB,对xA,有f(x)B,则所有这样的象所作成B的子集,用f(A)表示,即f(A)f(x)|xA,叫做A在f下的象,或叫做映射f的象. (1)满射: 定义5. 设f:AB是一映射,若f(A)B,则称f是A到B上的一个映射,也称f是一个满射. (2)单射: 定义6. 设f:AB是一个映射,若对x1,x2A,只要x1x2,就有f(x1)f(x2),则称f是A到B的一个单射,简称单射. (3)双射(1-1对应):定义7. 若f:AB既是单射又是满射,即

1)若 f(x1)f(x2)x1x2,x1,x2A;

2)f(A)B. 则称f是A到B的一个双射. 特别若f是A到A上的一个1-1对应,就称f为A的一个一一变换;有限集A到自身的双射称为A的一个置换. 如：jA是A的一个一一变换,同样jB是B的一个一一变换.由映射合成及相等：若f:AB,则有fjAf,jBff. TH1.2.1令f:AB是一个映射,则：下述两条等价：1)f是双射;2)存在g:BA使得gfjA,fgjB.且2)成立时,其中的g由f唯一决定. (4)可逆映射及其逆映射

定义8. 设f:AB,若存在g:BA,使得gfjA,fgjB,则称f是可逆映射,且称g为f的逆映射. 求其逆的方法

由定理知：f:AB可逆f是双射.而验证双射有具体方法,所以可先证f可逆(双射),再求其逆.而由TH1证知f可逆时其逆唯一为g:BA,yx(若f(x)y)(即对yB,找在f下的原象). (5)代数运算

引例：我们常说整数加法是整数的一个“代数运算”.其意思是说对任一对整数(a,b),有确定的唯一一个整数(通过相加)与之对应,用映射的观点来说整数加法是ZZZ的一个映射：:(a,b)ab.同样实数乘法亦然.一般地：

定义9. 设A是一个非空集合,我们把AAA的一个映射叫做集合A的一个代数运算.若集合A 有代数运算,也说A对封闭.

- 3要从中体会严格的推理论述.此与多项式相应的问题平行,到时应对照学习. 1. 整除、带余除法 (1)整除

这时a叫做b的一个因数,而b叫做a的一个倍数.若a不整除b(即对dZ,adb),记作a|b. B)整除的性质：

1)a|b,b|ca|c;

(传递性) 2)a|b,a|ca|(bc); 3)a|b,cZa|bc;

4)由2)、3)a|bi,ciZ,i1,2,3,,na|bcii;

5)1|a,a|0,a|a(aZ);由此任意整数a有因数1,a,它们称为a的平凡因数; 6)若a|ba|b;

7)a|b且b|aab或ab.(对称性) (2) 带余除法

“整除”是整数间的一种关系,任意两个整数可能有这种关系,可能没有这种关系,一般地有：

TH1.4.1(带余除法) 设a,bZ,且a0;那么q,rZ使得baqr

且0ra.满足上述条件的q,r是唯一的. 2. 最大公因数、互素 (1)最大公因数

且c|a,c|bc|d(即d能被a与b的任一个公因数整除).则称d为a与b的一个最大公因数. 最大公因数的概念可推广至有限个整数. B)最大公因数的存在性(及求法)

TH1.4.2 任意n(n2)个整数a1,a2,,an都有最大公因数;若d为a1,a2,,an的一个最大公因数,则d也是;a1,a2,,an的两个最大公因数至多相差一个符号. C)性质

TH1.4.3 设d为a1,a2,,an的一个最大公因数,那么t1,t2,,tnZ使得A)定义1. 设a,bZ,若dZ使得bad,则称a整除b(或b被a整除).用符号a|b表示.d|a且d|bA)定义2. 设a,bZ,dZ,若d满足：1)(即d是a与b的一个公因数);2)若cZdt1a1ta22tnan. 略证：若a1a2an0,则d0,从而对tiZ都有0t1a1t2a2tnan;若ai不全为0,由证明过程知结论成立.

(2)互素

定义3. 设a,bZ,若(a,b)1,则称a,b互素;一般地设a1,a2,,anZ,若(a1,a2,,an)1,则称a1,a2,,an互素. 3. 素数及其性质

(1)定义4. 一个正整数p1叫做一个素数,若除1,p外没有其他因数. (2)性质

1)若p是一个素数,则对aZ有(a,p)p或(a,p)1. (注意转换为语言叙述,证易;略)

2)aZ且a0,1;则a可被某一素数整除. 3)TH1.4.5 设p是一个素数,a,bZ,若p|ab,则p|a或p|b.

TH1.4.4 n个整数a1,a2,,an互素t1,t2,,tnZ使得t1a1t2a2tnan1.

- 56 -

第四篇：《线性代数》考试大纲

课程名称：《线性代数》考试对象：09级本科

使用教材：《线性代数教程》，科学出版社，陆建华主编

一、 课程要求：

二、课程考试内容及所占比重：

1、 掌握行列式的相关概念、性质，熟练运用行列式的性质计算行列式，掌握化三角形法和

降价法这两种基本的计算行列式的方法，了解范德蒙德行列式，掌握代数余子式的性质，了解克拉默法则。

2、 掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算律，特别是方阵、行列式混合运算律，能熟

练运用;掌握逆矩阵的概念、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法，利用逆矩阵的性质进行矩阵运算和证明;理解初等矩阵的概念及它们与矩阵初等变换的关系。能熟练运用逆矩阵的球阀解矩阵方程，熟练求出矩阵的秩，掌握求线性方程组的通解的方法。

3、 理解n维向量的概念;掌握向量组的线性相关性、矩阵的秩等概念，并能熟练运用相关

性质定理判断和证明向量的相关性;熟练求向量组的极大无关组;掌握齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构;掌握非齐次线性方程组有解的条件及解的结构;能熟练地用初等变换方法求线性方程组的解及基础解系。

4、 理解向量内积的定义，掌握线性无关向量组的正交化方法，理解正交矩阵的定义，掌握

其主要性质。

5、 理解矩阵的特征值和特征向量的概念，掌握其求法并熟练运用其性质;理解相似矩阵的

概念，掌握其基本性质，掌握矩阵可对角化的条件，熟练求得正交变换矩阵将是对称矩阵对角化。

6、 理解二次型的定义，掌握二次型的两种表示方法并能互相转化;理解正定二次型和正定

矩阵的概念，能够判别二次型的正定性，了解有定性判别法。

各部分所占比重：

1、基本理论：70%

2、综合运用：30%

三、考试方法：闭卷、笔试

四、试题类型：选择题20%填空题24%计算题30%解答题20%证明题6%

五、成绩评定方式：成绩评定采取百分制：平时成绩占40%，笔试成绩占60%

第五篇：线性代数考试要点：

1、 行列式(要求只要是4阶的行列式会求)

(1) 会利用行列式的定义来计算行列式(包括逆序数的求法);

(2) 会利用行列式的性质来计算行列式;

(3) 利用按行、列展开公式来求解行列式， 包括按行、列展开公式的应用。

(4) 会利用克拉默法则的推论讨论齐次线性方程组解的情况。

2、 向量

(1) 向量的基本运算;

(2) 会判别向量组的线性相关性，掌握向量组线性相关性的性质;(证明题与选择题)

(3) 会求出给定的一组向量组的极大线性无关组及其秩，并会应用相应的性质;(计算题)

(4) 利用施密特正交化把一组线性无关的向量组化成标准正交组;

(5) 会判别一个集合是否会向量空间。

3、 矩阵

(1)会矩阵的基本运算，掌握矩阵运算中的性质;

(2)会求给定矩阵(3阶)的逆矩阵;

(3)给定一个等式，会用逆矩阵的定义来判别一个矩阵是否可逆，并会求出其逆矩阵;

(4)掌握逆矩阵的性质;

(5)掌握矩阵的初等变换，初等矩阵及其应用;

(6)会利用逆矩阵或矩阵的初等变换方法求解矩阵方程。

4、线性方程组

(1)会求解齐次线性方程组的基础解系和非齐次线性方程组(不带末知参数的)的一般解。

(2)定理4.1、4.

2、4.5的应用。(选择题或判断题)

(3)齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的结构的性质(主要是选择题与判断题)。

5、相似矩阵及二次型

(1)给定一个3阶矩阵，会求出它的特征值与特征向量;

(2)给定一个3阶矩阵，会求出它的相似矩阵P，使得PAPB(对角阵);

(3)掌握特征值的性质;

(4)掌握相似矩阵的性质;

(5)掌握正交矩阵的性质;

(6)掌握矩阵可以对角化的几个性质;

(7)给定一个二次型，会写出它所对应的对称矩阵;或者给定一个二次型，会写出它所对应的二次型;(填空题)

(8)会用配方法化二次型为标准型。

以上给的要点是A、B两份卷子的。此次题型分为判断题(10分)、选择题(15分)、填空题(15分)、简答题(60分)，其中简答题中包括证明题。

此次的试卷出的题目很多来自书上和练习册，建议大定让学生要多做一下练习题(包括例题)。 1