(no.1)2013年高中数学教学论文 反证法在几何问题中的应用 新人教版

(no.1)2013年高中数学教学论文 反证法在几何问题中的应用 新人教版（共9篇）

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反证法在几何问题中的应用

反证法是一种非常重要的数学方法，它在几何的应用极为广泛，在平面几何、立体几何、解析几何都有应用，本文选择几个有代表性的应用，举例加以介绍。

一、证明几何量之间的关系

例1：已知：四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，EF12(ABCD)。

求证：AB//CD。

证明：假设AB不平行于CD。如图，连结AC，取AC的中点G，连结EG、FG。∵E、F、G分别是AD、BC、AC的中点，∴GE//CD，GE12CD；GF//AB，GF12AB。

∵AB不平行于CD，∴GE和GF不共线，GE、GF、EF组成一个三角形。∴GEGFEF ① 但GEGF12(ABCD)EF ②

DEGCF①与②矛盾。AB∴AB//CD

例2：直线PO与平面相交于O，过点O在平面内引直线OA、OB、OC，POAPOBPOC。

求证：PO。

证明：假设PO不垂直平面。

作PH并与平面相交于H，此时H、O不重合，连结OH。由P作PEOA于E，PFOB于F，P根据三垂线定理可知，HEOA，HFOB。∵POAPOB，PO是公共边，∴RtPOERtPOF ∴OEOF

A又OHOH

E∴RtOFHRtOEH

O∴FOHEOH HF因此，OH是AOB的平分线。CBa同理可证，OH是AOC的平分线。

但是，OB和OC是两条不重合的直线，OH不可能同时是AOB和AOC的平分线，产生矛盾。∴PO。

例3：已知A、B、C、D是空间的四个点，AB、CD是异面直线。求证：AC和BD是异面直线。

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证明：假设AC和BD不是异面直线，那么AC和BD在同一平面内。

因此，A、C、B、D四点在同一平面内，这样，AB、CD就分别有两个点在这个平面内，则AB、CD在这个平面内，即AB和CD不是异面直线。这与已知条件产生矛盾。

所以，AC和BD是异面直线

上面所举的例子，用直接证法证明都比较困难，尤其是证两条直线是异面直线，常采用反证法。

二、证明“唯一性”问题

在几何中需要证明符合某种条件的点、线、面只有一个时，称为“唯一性”问题。例3：过平面上的点A的直线a，求证：a是唯一的。证明：假设a不是唯一的，则过A至少还有一条直线b，b ∵a、b是相交直线，∴a、b可以确定一个平面。设和相交于过点A的直线c。∵a，b，∴ac，bc。

这样在平面内，过点A就有两条直线垂直于c，这与定理产生矛盾。所以，a是唯一的。

例4：试证明：在平面上所有通过点(2,0)的直线中，至少通过两个有理点（有理点指坐标x、y均为有理数的点）的直线有一条且只有一条。

证明：先证存在性。

因为直线y0，显然通过点(2,0)，且直线y0至少通过两个有理点，例如它通过(0,0)和(1,0)。这说明满足条件的直线有一条。

再证唯一性。

假设除了直线y0外还存在一条直线ykxb（k0或b0）通过点(2,0)，且该直线通过有理点A(x1,y1)与B(x2,y2)，其中x1、y1、x2、y2均为有理数。

因为直线ykxb通过点(2,0)，所以b2k，于是yk(x通过A(x1,y1)与B(x2,y2)两点，所以y1k(x1yk(x2)，①

2)，且k0。又直线2)②

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①－②，得y1y2k(x1x2)。③

因为A、B是两个不同的点，且k0，所以x1x2，y1y2，由③，得ky1y2x1x2，且k是不等于零的有理数。

由①，得2x1y1k。

此式的左边是无理数，右边是有理数，出现了矛盾。

所以，平面上通过点(2,0)的直线中，至少通过两个有理点的直线只有一条。

综上所述，满足上述条件的直线有一条且只有一条。

关于唯一性的问题，在几何中有，在代数、三角等学科中也有。这类题目用直接证法证明相当困难，因此一般情况下都采用间接证法。即用反证法或同一法证明，用反证法证明有时比同一法更方便。

三、证明不可能问题

几何中有一类问题，要证明某个图形不可能有某种性质或证明具有某种性质的图形不存在。它们的结论命题都是以否定形式出现的，若用直接证法证明有一定的困难。而它的否定命题则是某个图形具有某种性质或具有某种性质的图形存在，因此，这类问题非常适宜用反证法。

例5：求证：抛物线没有渐近线。

证明：设抛物线的方程是y2px(p0)。

假设抛物有渐近线，渐近线的方程是yaxb，易知a、b都不为0。因为渐近线与抛物线相切于无穷远点，于是方程组

(1)y22px

(2)yaxb2的两组解的倒数都是0。

将（2）代入（1），得

ax222(abp)xb20（3）

设x1、x2是（3）的两个根，由韦达定理，可知

2(abp)a2x1x2，x1x2ba22

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则1x11x2x1x2x1x2ab222(abp)b20，（4）

1x11x21x1x20，（5）

由（4）、（5），可推得p0，这于假设p0矛盾。

所以，抛物线没有渐近线。

关于不可能问题是几何中最常见也是非常重要的一种类型。由于它的结论是以否定形式出现，采用直接证法有困难，所以这类问题一般都使用反证法加以证明。

四、证明“至少存在”或“不多于”问题

在几何中存在一类很特殊的问题，就是证明具有某种性质的图形至少有一个或不多于几个。由于这类问题能找到直接论证的理论根据很少，用直接证法有一定困难。如果采用反证法，添加了否定结论这个新的假设，就可以推出更多的结论，容易使命题获证。

例6：已知：四边形ABCD中，对角线AC=BD=1。

求证：四边形中至少有一条边不小于

22。

证明：假设四边形的边都小于

22，由于四边形中至少有一个角不是钝角（这一结论也可用反证法证明），不妨设A90，根据余弦定理，得BD∴BD220AD2AB22ADABcosA，AD2AB2，2222即BDAD2AB2()(2)21。

这与已知四边形BD=1矛盾。所以，四边形中至少有一条边不小于

22。

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柯西不等式在解题中的几点应用

摘要：本文利用怎样运用柯西不等式解题的技巧，介绍了柯西不等式在解等式、不等式、极值、三角问题等方面的应用。

关键词：柯西不等式、技巧、应用

一、引言

人民教育出版社高中《代数》下册“不等式”一章的习题中有这样一道题（P、15练习第2题）： 求证：ac+bda2b2*cd22这题用比较法是很容易证明的，这里用比值的方法来证明。

证明：当a=b=c(或c=d=0)时，显然成立； 假设a+b0 且c+dacbda222220,则

acbda2b2*acc2d2

2b2*bdcd2=a2c2

cd2ba22*d222a2b222*d2=a2b2*cc2dba222b*c2

 d221ac2222abcd2221bd2a2b22cd2=1 故ac+bdacbdacbda2b2*c2d2

(1)式就是著名的柯西不等式的一个简单特例。

柯西不等式的一般形式为：

对任意的实数a1,a2,,an及b1,b2,,bn有

nnn22aibiaibi,i1ii1i12

(2)nnn或i1aibii1ai*2bi12i,(3)其中等号当且仅当a1b1a2b2anbn时成立（当bk0时，认为ak0,1kn).柯西不等式有许多证明方法，这里就不作证明，仅就如何利用柯西不等式解题作一些介绍。

一、柯西不等式在解题中的应用

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1、利用柯西不等式证明恒等式 利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的，或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法获证。

例、已知a1b2b1a21,求证：a2b21。

证明：由柯西不等式，得

a1b2b1a2a21a22b21b21

当且仅当b1a21ba2时，上式取等号，abab221a21b，21a221b，1。于是 ab22、利用柯西不等式解无理方程（或方程组）用柯西不等式解无理方程，是先把方程的（含有无理式的）运用柯西不等式化为不等式，然后结合原方程把不等式又化成等式，在判定为等式后再利用柯西不等式取等号的特性，得到与原方程同解的且比原方程简单的无理方程，进而得到简单的整式方程，从而求得原方程的解。

例：解方程

x21x2x1x1x22121x12221xx1。

解：x2x11x122

= x21x12x1

由柯西不等式知

x2x1x21x12x12

x1xx1x即

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x21x21(x1)2(x1)22,x(x1)

1x21x12(x1)21(x1)2

2x(x1)1x(x1)2当上式取等号时有x(x1)成立，即

x2x10（无实根）或xx10，即

x125，经检验，原方程的根为

x125

用柯西不等式解方程组，也同样是利用柯西不等式取等号的条件，从而求得方程组的解。

例：解方程组

xyz9xw6x4

2x(y2z2w)w(y222w)4862解：原方程组可化为

xyz9xw6(x2

z)(x22y2w)4862运用柯西不等式得

(x2y2z)292327, xw2262218

两式相乘，得

x2y2z2x2w2486

当且仅当x=y=z=w=3时取等号。故原方程组的解为x=y=z=w=3.3、柯西不等式证明不等式。

很多重要的不等式都可以由柯西不等式导出，而利用柯西不等式的技巧有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等，下面略举一、二说明怎样利用柯西不等式证明不等式。例：设a,b,c为正数且不相等到，求证：

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2ab2bc2ca9abc

这两个常数进行巧拆，9=1112分析：我们利用9与2，2abcabbcca

这样就给我们利用柯西不等式提供了条件。证明

：a111bcabbccaa111bbccabccaabab221bc22ca1abca211bc221ca2 ab2abbc1bcca11192ab2bc2ca9abc a,b,c各不相等， 等号不可能成立，从而原不等式成立。

但是我们只要改变一下多项式的形态结有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，构，认清其内在的结构特征，就可以达到利用柯西不等式解题的目的。下面略举一例加以说明。

例：设a1a2anan1,求证：

1a1a21a2a31anan11an1a10

分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证：

a1111an11，a2a3anan1a1a2证明：为了运用柯西不等式，我们将a1an1写成

a1an1a1a2a2a3anan1于是

a1n2111a2a2a3anan1aaa2a3anan1211. 用心 爱心 专心 4

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即111a1an1aaa2a3anan1211a1a21a1a21，1a2a311anan111a1an11故a2a3anan1an1a10.我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。

例：求证：x1x2证明：22y1y2222x12y1x2y222.x1x222y1y222x1x2y1y22222x21x2y1y2

222由柯西不等式得

x21x2y1y2x1y1x2y22222

其中等号当且仅当x1ky1，x2ky2 时成立。

x21x222y221y222x1y1x2y2

2x1x2y12y1y22x21x22y21y222x2.1y1x2y2 x122x2y2222x1x2y1y2x1y12x2y2其中等号当且仅当x1ky1，x2ky2 时成立。

4、用柯西不等式证明条件不等式

n2n2n柯西不等式中有三个因式ai，bi，aibi而一般题目中只有一个或两个

i1i1i1因式，为了运用柯西不等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值），bi 具有广泛的选择余地，这也是利用柯西不等式的技巧之一。又柯西不等式中诸量ai，任意两个元素 ai，aj（或bi，bj）的交换，可以得到不同的不等式，因此在证题时根据需要重新安排各量的位置，这种形式上的变更往往会给解题带来意想不到的方便。这种变换也是运用柯西不等式的一种技巧，下面我们简单举例说明怎样利用上述技巧运用柯西不等式来证明条件不等式。

例：已知a,bR，a+b=1,x1,x2R, 求证：ax1bx2bx1ax2x1x2

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分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论。若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了。

证明：ax1bx2bx1ax2 =ax1bx2ax2bx1 ax1x2b2x1x22

=abx1x2x1x2。例、设x1,x2,,xnR,求证：

x12x2xx3xxnxn2x1x1x2xn

（1984年全国高中数学联赛题）

证明：在不等式的左端嵌乘以因式x2x3xnx1，也即嵌以因式

x1x2xn，由柯西不等式，得 x12x2xx3xxnxn2x1(x2x3xnx1)

x1x2x2x322222xxn1nxxn1x2x32xn2x12xnxnx1x1

x1x2x2x2x32x3xn1xnx1x2xn,于是x12x2xx3xxnxn2x1x1x2xn.5、利用柯西不等式求函数的极值

有些极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误。这多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一。下面略举例加以说明怎样利用柯西不等式来求解一些极值问题。

例 设非负实数1,2n满足12n1,求

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112_n11`23nn211的最小值。（198

2n1年西德数学奥林匹克度题）

解：易验证

112+1=

n1(12n)21221

同理可得

1113+1=

n222,,12nn1+1=

22n

令y1122_n11`23nn211

n1故yn21222+22n

为了利用柯西不等式，注意到

(2a1)(2a2)(2an)2n(a1a2an)2n1，121122(2n1)(+12n)

=(2a1)(2a2)(2an)(121122+12n)

2a1yn2n12a122a22n212a2n2n1.2an12an2n22n1,y2n1n1n等号当且公当a1a2an时成立，从而y有最小值

nn2n1

例 设x1,x2,,xn都是正数，n2,且xi1,求证：

i1nn i1xi1xii1xi.（1989年全国数学冬令营试题）

n1证明：令yi1xi(i1,2,n),由柯西不等式，得

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nnn(i1xi)2ni1xin, 即 i1xin.nnn同理，得(i1nyi)2ni1yini1(1xi)n(n1)，即 yii1n(n1).又由柯西不等式，得

nni1nyii11yi2n(i14yi14)2n

2yi故i11yin1nyin2，i1n(n1)从而

ni1xi1xinnni11yiyini11yini1yi n(n1)n

n1nn1i1xi.n16，利用柯西不等式解三角问题。

三角问题包括三角不等式，三角方程。三角极值等到，对于一些三角问题，我们为了给运用柯西不等式创造条件，经常引进一些待定的参数，其值的确定由题设或者由等号成立的充要条件共同确定，也有一些三角极值问题我们可以反复运用柯西不等式进行解决。

例 在ABC中，求证：

sinAsinB5sinC1982201(2013)40

证明：sinAsinB5sinC

2sin2cos2cosAB2C2C2(coscosAB22C210sinC2)C2cosC2AB5sin).(15sin当且仅当A=B时等号成立。

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令ycosx(15sinx)(0x)2，于是引进参t0,求

y2cos2x(15sinx)2的最值。

由柯西不等式，2y2cos2x15sinx225cos2x15sinx =25cosx1t2tsinx 5cos225x12t22t2sinxt25

25t21cos2x2xt2t2sin.abab2又由平均值不等式4,得

2222y225t1cosxtsin2xt22 =25t21t2124t2.（1）

当且仅当cos2x=t2sin2x时等号成立。例、已知a,b为正常数，且0

3a23b23a23b2sin2xcos2x

3asinx3bcosx2等号成立的当且仅当sinxcosx3a3b时；

即 xarctg3ab 时，于是

3a23b23asinx3bcosx

再由柯西不等式，得

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3a23b2ba cosxsinxbabcosx sinxcosx 3asinx3 6a23sinx2asinx6bcosxbcosx2 ab3.32等号成立也是当且仅当xarctgab时。

3a 从而ysinxcosxab232b32.3 于是y的最小值是asinxcosxab232b32. 在许多问题中，如果我们能够利用柯西不等式去解决，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新。

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1. 几何画板概述

几何画板的工具箱中提供了“选择箭头工具”、“点工具”、“圆规工具”、“直尺工具”、“文本工具”和“自定义画图工具”几种工具。几何画板的主要用途之一是用来绘制几何图形,而通常绘制几何图形的工具是用直尺和圆规,它们的配合几乎可以画出所有的欧氏几何图形。因为任何欧氏几何图形最后都可归结为“点”、“线”、“圆”。这种公理化作图思想因为“三大作图不能问题”曾经吸引无数数学爱好者的极大兴趣,并在数学历史上影响重大,源远流长。从某种意义上讲,几何画板绘图是欧氏几何“尺规作图”的一种现代延伸。因为这种把所有绘图建立在基本元素上的做法和数学作图思维中的公理化思想是一脉相承的。

2. 几何教学存在的问题

2.1 几何画板条件下学生角色的定位问题

目前我国关于几何画板环境下教师角色的研究较多,而对学生角色的研究相对较少。面向未来的人才必须学会生存、学会学习和创造。随着几何画板的迅速发展,数学教学软件的操作逐步走向“傻瓜化”。就数学课来说,它所解决的问题越来越复杂,操作却越来越简单。所以,我们的几何画板教育决不能停留在技术层面,而更多的应该培养高中生利用信息工具获取信息、分析信息、加工信息、表达信息和创造信息的能力。几何画板教育可以通过专门的几何画板课来进行。但有限的课时无法保证几何画板教育目标的实现。所以,几何画板教育更多的应该是融入数学课教学之中进行。

2.2 学生体验时间不够

由于高中学习安排时间紧,在数学几何教学中实验上机时间比较少,一般是通过几何老师在上课时进行演示,学生操作的相对时间少,因此学生对几何画板掌握的熟练程度也低。

2.3 学生后期软件学习不系统

当前教材的习题,大都是封闭式的,这类习题条件完备,结论确定,形式严格,基本上是为使学生巩固知识,引起认知结构同化而设计的,容易使学生在学习过程中以死记替代主动参与。为改变这种状况,可采用编拟一些开放题的方法,使数学教学更多地体现探究性。由于学生家庭经济情况各不相同,不能保证每个学生家里都有电脑来安装几何画板这款软件,因此学生在课余对学校所学习到的几何画板操作在数学中的应用知识不能进行复习和反复训练,对几何画板在学习的应用有一定的影响。

3. 几何画板在高中数学几何教学中的应用

3.1 用图形创设情境

建构主义认为,学习应该在与现实情境相类似的情境中进行,这正应了那句古老的格言:人是环境之子。在实际情境下进行学习,可以使学习者利用自己原有的认知结构中的有关经验,去同化和索引当前要学习的新知识,从而获得对新知识的创造性的理解。几何画板可以帮助我们创造一个良好的数学环境。

例1:两条直线被第三条直线所截而成的角,即“三线八角”。

这个几何问题可以利用几何画板设计一个简单的课件,通过课件中设计的数学情境可形象地提示“三线八角”的规律,在这种背景下让学生去感知,去同化,通过探索,很自然地将“三线八角”的概念融入到教学中。

3.2 让动态图形说话

高中数学几何学习是学生在已有数学认知结构的基础上的建构活动,目的是要建构数学知识及其过程的表征,而不是对数学知识的直接翻版。这就要求我们在教学中,不能脱离学生的经验体系,只重结果而偏废过程。要让几何画板中的动态图形深刻地印在学生的脑海中。如二次函数的应用,是教材的重点,也是难点,如何突破这一难点呢?通过实例利用几何画板制作图形和图像的动画,就可以让学生观察图像的变化过程,找出规律,发现定理。同时,可借助于几何画板强大的测算功能观察图形边长、面积的变化,从而使二次函数的应用及性质一目了然。

3.3 提供数学实验室

要优化数学教学,培养创造能力,必须把学生从传统的教学模式中解放出来,提高学生的学习自主性、主动性和积极性。数学教学是学生创造性活动的过程,仅靠教师传授,远不能使学生获得真正的数学知识。如果针对课本内容设计一些开放性的教学内容,为学生的创造性学习提供必要的素材,就能使学生在对问题的独立思考、积极思索中达到对数学知识的灵活应用。在教学中,要给学生留有足够的思维空间。如引导学生思考:求函数f(x)=x2-2(a-1)+2(a∈R)在[0,1]内的最大值和最小值。先让学生思考,通过配方后发现对称轴含有参数,也就是说对称轴的位置可变,因此相应区间的最大值与最小值就可能有所不同,所以有必要分类讨论(让学生理解分类讨论的必要性)。那么接下来该如何分类呢?这时,教师可以演示课件,并引导学生思考以什么为分类标准。学生通过观察函数的对称轴在不同范围时,闭区间[0,1]内的最值会随之而变化,从而由学生自己总结出应该以对称轴的取值为分类标准。

篇4：(no.1)2013年高中数学教学论文 反证法在几何问题中的应用 新人教版

一、 分类讨论思想

所谓分类讨论，就是当要求解的问题包含两种或两种以上的答案时，需要根据不同的情况进行分类解答.

例1 已知点O在直线AB上，且线段OA的长度为4cm，线段OB的长度为6cm，E、F分别是线段0A、OB的中点，则线段EF的长为_________cm.

解析：要求线段EF的长，比较直观的方法就是画出图形，借助图形解决问题.由于点O在直线AB上，可能存在两种情况：一是点O在线段AB上（如图1）;二是点O在线段AB外（如图2）.当点O在线段AB上时，EF=5cm，当点O在线段AB外时，EF=1cm. 故答案为1cm或5cm.

图1 图2

例2 已知∠AOB=100°，∠BOC=60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数.

分析：本题没有图，作图时应考虑OC落在∠AOB的内部和外部两种情况.

解：（1）如图3，当OC落在∠AOB的内部时， 图3

∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，

∴∠AOM= ∠AOB= ×100°=50°，

∠BON= ∠BOC= ×60°=30°，

∴∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON

=100°-50°-30°=20°;

（2）如图4，当OC落在∠AOB的外部时，

∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，

∴∠BOM= ∠AOB=50°， 图4

∠BON= ∠BOC=30°，

∴∠MON=∠BOM+∠BON=50°+30°=80°.

点评：当图形之间的位置关系不明确时，往往要进行分类讨论，以免因考虑不周而漏解.

二、 整体思想

整体思想就是从整体的角度思考问题，即将局部放在整体中去观察、分析、探究问题.借助这种思想解题可以化难为易，化繁为简.

例3 如图5，OC、OE分别是∠AOD、∠BOD的平分线，如果∠AOB=130°，求∠COE的度数.

分析：观察图形可知∠COE=∠COD+∠DOE，而∠COD、∠DOE的大小不定，所以只能设法求出∠COD+∠DOE.根据已知OC、OE分别是∠AOD、∠BOD的平分线，则有∠COD= ∠AOD，∠DOE= ∠BOD，这样∠COD+∠DOE= （∠AOD+∠BOD），借助∠AOD+∠BOD=∠AOB，这一整体代换可得到∠COD+∠DOE= ∠AOB=65°.

解：∠COE=∠COD +∠DOE= （∠AOD+∠BOD） 图5

= ∠AOB= ×130°=65°.

例4 如图6，点B、C在线段AD上，M是AB的中点，N是CD的中点，若MN=a，BC=b，则AD的长是________.

图6

解析：∵AM=MB，CN=ND.

∴AM+ND=MB+CN.

又∵MB+CN=MN-BC=a-b.

∴AM+ND=a-b.

∴AD=AM+MN+ND=a-b+a=2a-b.

点评：整体代换是一种重要的解题策略，在解决问题时，当单个对象无法求出时，可考虑将几个单个对象作为一个整体来考虑，这就是整体思想.

三、转化思想

转化思想就是将未知的、陌生的、复杂的问题转化为已知的、熟悉的、简单的问题来解决的一种思想方法.

例5 如图7，∠AOB=90°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，求∠MON的度数.

分析：观察图形知，∠MON=∠NOC-∠MOC，但我们并不知道∠NOC、∠MOC的度数，为此，需要根据ON是∠AOC的平分线、OM是∠BOC的平分线这两个已知条件进行转化，找到∠MON与已知∠AOB之间的关系. 图7

解：∵∠NOC= ∠AOC，∠MOC= ∠BOC，

∴∠MON=∠NOC-∠MOC= ∠AOC- ∠BOC= （∠AOC-∠BOC）= ∠AOB= ×90°=45°.

例6 如图8，一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点，已知圆柱的底面半径为1.5cm，高为6cm（π取3），则蚂蚁所走过的最短路径是________. 图8

分析：要求最短路径，要把圆柱的侧面展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理即可求解.

解：将圆柱侧面展开，展开图如图9所示，点A、B的最短距离为线段AB的长.在RT△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AC为底面半圆弧长，AC=1.5π= 4.5cm，

∴AB= =7.5cm.

故答案为7.5cm. 图9

点评：研究立体图形中两点之间最短路经问题时，通常把立体图形展开成平面图形，转化为平面图形两点间的距离问题，平面内两点之间线段最短.

四、 数形结合思想

几何图形中常常蕴涵着角之间的和、差、倍、分的关系，利用数形结合思想，将代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使数量关系和空间形成结合起来，使问题清晰化、直观化、具体化.

例7 如图10，直线AB、CD相交于点O，∠EOB=90°，OF平分∠COE，∠1=20°，求∠AOF的度数.

图10

解：观察图形可知，∠1与∠3是对顶角，

∴∠3=∠1=20°，∵∠EOB=90°，

可得∠2=∠EOB-∠1=90°-20°=70°，

又∵∠COD是平角，∴∠COD=180°，

可得∠COE=∠COD-∠2=180°-70°=110°，

又∵OF平分∠COE，

∴∠COF= ∠COE= ×110°=55°，

∴∠AOF=∠COF-∠3=55°-20°=35°.

例8 往返于A、B两个城市的客车，中途有三个停靠点.

（1）该客车有多少种不同的票价？

（2）该客车上要准备多少种车票？

解：根据题意画图11所示.

（1）图11中的线段有AC、AD、AE、AB、CD、CE、CB、DE、DB、EB，共有10条，因此有10种不同的票价.

（2）同一路段，往返时的起点和终点正好相反，所以应准备20种车票. 图11

点评：解答本题的关键是先求出A、B两地之间共有多少条线段，然后根据线段的条数确定票价，最后求出车票种类.

五、方程思想

当题目中的未知量较多时，可以考虑将其中的一个用字母表示，然后尽量挖掘题目条件中的等量关系，用含字母的代数式表示其他的未知量，最后列方程解决问题.

例9 如图12，B、C两点把线段AD分成2∶3∶4三部分，M是AD的中点，CD=8，求MC的长.

图12

分析：由AB∶BC∶CD=2∶3∶4，可设AB=2x、BC=3x、CD=4x，由CD=4x=8，求得x的值，进而求出MC的长.

解：设AB=2x，由AB∶BC∶CD=2∶3∶4，

得BC=3x，CD=4x，AD=（2+3+4）x=9x，

∵CD=8，∴4x=8，∴x=2.

∴CD=4x=8，AD=9x=18，

∵M是AD的中点，

∴MC=MD-CD = AD-CD

= ×18-8=1.

例10 如图13，∠AOC与∠BOD都是90°，且∠AOB∶∠AOD=2∶11，求∠AOB与∠BOC的度数.

图13

解：设∠AOB=2x，则∠AOD=11x，

∵∠AOD-∠AOB=∠BOD=90°，

∴11x-2x=90°，x=10°，∴∠AOB=20°，

∵∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°-20°=70°，

∴∠AOB=20°，∠BOC=70°.

点评：方程是解决很多数学问题的重要工具.事实上，用设未知数的方法，可使计算过程简洁，也易于求解.方程思想常用于线段与角的计算.

一元一次方程和不等式巩固练习参考答案

1.D;2.A;3.B;4.C;5.（-3，0）;6.-1;7. ;

8.3x=2x+60×2;9. 37或49;

10.（1） ;（2）x≥2（图略）;

11.解：所编制的方程可以为：

1- = ，解得：x= .

12. 解：（1）∵一个人操作该采棉机的采摘效率为35公斤/时，大约是一个人手工采摘的3.5倍，∴一个人手工采摘棉花的效率为：35÷3.5=10（公斤/时），

∵雇工每天工作8小时，

∴一个雇工手工采摘棉花，一天能采摘棉花：10×8=80（公斤）;

（2）由题意，得80×7.5a=900，解得a= ;

（3）设张家雇佣x人采摘棉花，则王家雇佣2x人采摘棉花，其中王家所雇的人中有 x人自带彩棉机采摘， x人手工采摘.

∵张家雇佣的x人全部手工采摘棉花，且采摘完毕后，张家付给雇工工钱总额为14400元，∴采摘的天数为： = ，

篇5：(no.1)2013年高中数学教学论文 反证法在几何问题中的应用 新人教版

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探索高中数学课堂教学中对“问题”设计的思考

《诱思探究教学论》中已重点阐述：教学活动总是通过一定的情境，调动学生的情意过程，以激励学生进入学习过程。即“创设情境，激发情意”。要求从教学行为上去创设情境，在教学心理上落实激发学生积极学习的情意因素。在数学科教学过程中，经常采用“愤悱情境”或“问题情境”的形式设置教学情境。因为思维总是从疑问开始。所以“问题”是解决人类思维的一种普遍的表现形式。在数学教学中，从课堂提问到新概念的形成与确立，新知识的巩固与应用，和学生思维方法的训练与提高，以及实际应用能力和创新能力的增强，无不从“问题”开始，在研究问题、解决问题的过程中努力实现。因此，课堂教学实质上就是依据教材内容和学生实际，师生重组旧知识，不断发现问题、研究问题、解决问题的活动。可以这样说，课堂教学就是“问题”的教学，教学“问题”。

课堂教学中的“问题”一方面依据于教材，另一方面取源于学生，但很大部分需要教师的再加工――“问题”的设计，那么如何把握课堂教学中“问题”的设计呢？仅从教者角度提出以下八个方面的思考，供大家教学中参考。

1、“问题”设计的趣味性（联系实际，贴近生活）

学生是课堂的主体，兴趣是最好的“老师”。充分调动、激励学生学习的求知欲和积极性是每个教育工作者不断为之奋斗的宗旨。显然“问题”的设计当然也离不开这个宗旨，联系实际，贴近生活就能让“问题”走近学生，使学生对“问题”产生极大的兴趣，这就为研究问题、解决问题提供了基础、动力和保证。

2、“问题”设计的导向性（强化“双基”，突出重点）

强化双基，夯实基础是教学工作的基本原则。“问题”取源于双基，通过解决问题又强化了双基，“问题”围绕重点，通过解决问题又突出了重点。让学生在不断提出问题、解决问题的流程中扎实双基，并认识夯实双基的重要。

3、“问题”设计的整体性（整体设置，相似强化）

“问题”设计的整体性，就是围绕课标对“问题”的设计作整体的考虑。注重从同一模型、相近题类和方法的归类等形成问题链，不仅产生布局设计的整体效果，也同时取得相似强化的特出成效。

4、“问题”设计的针对性（目标明确，补漏、纠偏）

“问题”设计的针对性不仅表现在对课堂提问的设计，而且也产生于学生阶段学习中的存在问题，即针对性问题又明确意向地去进行“问题”设计。

5、“问题”设计的启发性（利于思考，富于启迪）

苏霍姆林斯基曾说过，学生心灵深处有一种根深蒂固的需要――希望自己是一个发现者、研究者、探索者。所以数学问题的设计更应有助并满足学生的这种需要，学生能够自己发现问题，教师绝不包办，学生能够自己思考的问题，教师决不暗示，“问题”设计的启发性就是针对学生的这种心理需要，以问促思，以问促问，促进学生不断的再思再问。

6、“问题”设计的层次性（铺设“阶梯”，逐步深入）

问题解决的有效策略之一是：手段――目的分析策略，它的基本点是把需要解决的问题分析成一系列子问题，通过解决子问题逐步消除初始状态与目标状态之间的差异，从而导致问题的解决。因此，围绕某个总“问题”的解决，而设计一些子“问题”铺垫，来降低思维难度，这就是“问题”设计的层次性。

7、“问题”设计的深刻性（小中见大，揭示规律）

学生中不良习惯的表征之一：“眼高手低”。他们往往热衷于大题、难题的习作，疏忽对小题的思考与研究。作为教师适时地从小题研究入手，并进行拓展性的“问题”设计，在用心 爱心 专心 知识改变命运

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师生互动中，让学生取得“小中见大，揭示规律”的教育效果，这就是“问题”设计的深刻性。

8、“问题”设计的创新性（强化思维，求异创新）

思维是从问题开始的，有问题才有思考，有思考才有进行创造性学习的可能，所以问题是创造的基础。爱因斯坦说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更为重要”。发现问题，提出问题是有效开发创新学习潜能的开端，创新学习也由此开始，因此，教师要根据实际情况，通过“问题”设计将科学发现过程简捷地重演于课堂，让学生积极主动地参与学习，给予他们充分的时间和空间，进行探索、猜想和发现。

“问题”设计的优化，它不仅是数学课堂教学的需要，也是其他学科课堂教学的需要。它需要现代化教育手段的支持和烘托。

“问题”设计的优化不仅符合新课程改革的要求，而且是课堂教学改革中必须重视的十分重要的研究课题。它的效应不单单表现为课堂教学效益的提高，更为重要的是对学生在学习中如何发现问题、提出问题、研究问题、解决问题起着潜移默化的影响，在此良性循环的过程中，学生的思维方法、思维能力、创新意识、创新精神不断得到锤炼与增强，这样才能使他们从“学会”逐步走向“会学”。

篇6：《几何画板》在数学教学中的应用

1 巧用《几何画板》, 激发学生学习兴趣

兴趣是学生学习的最好的老师, 由于用传统手段教数学缺乏学生的操作活动, 缺乏了解数学背景, 缺乏获得数学经验, 所以数学留给学生的印象是枯燥和抽象的。绝大部分的学生对数学敬而远之, 甚至是惧怕和厌恶。这种情绪极大地压抑了学生的学习潜力。《几何画板》具有强大的动态变化功能, 一流的交互功能, 能以浓缩的形态给学生提供数学背景, 通过学生的参与和亲手操作, 枯燥抽象的内容变成生动形象的图形, 原本不明白或不甚明白的概念等变得一目了然。当我们使用《几何画板》动态地、探索式地表现立方体的表面展开图, 让我们的学生在操作的过程中, 反复观察沿不同的棱展开的图形特点, 实现空间想象能力的培养, 原本静止枯燥的数学课变成了生动、活泼、优美感人的舞台, 学生情绪高涨, 专注、渴求和欣喜的神情挂在脸上, 作为老师的我感到无限欣慰, 《几何画板》一时成了师生的热门话题。实践证明使用《几何画板》探索学习数学不仅不会成为学生的负担, 相反使抽象变形象, 微观变宏观, 给学生的学习生活带来极大的乐趣, 学生完全可以在轻松愉快的氛围中获得知识。例如学生学习“角平分线”的概念和性质时, 可以让学生跟着教师操作《几何画板》, 构造出∠ABC的平分线BE。然后让学生度量出∠ABE和∠CBE的值。学生拖动点A改变角的大小, 观察度量值的变化, 领会角平分线的概念。接着做出角的两边的垂线ER和ES, 度量出点E到垂足的距离。学生用鼠标在角平分线上任意拖动点E, 观察度量值, 不难发现角平分线的性质。

学生动手在操作中学数学, 学生动手“做数学”, 这是一种新的学习方式, 课堂上不再是老师滔滔不绝地讲, 老师组织学习内容, 指导学生研究问题, 指导学生学习, 成为学生学习的帮助者, 学生成为学习的主人。对自己的任何发现, 都可以得到及时地验证。这时教师的角色不再是学生的保姆, 学生不再是被灌输知识的容器, 也不再是目睹教师口干舌燥的“观众”, 而是积极参与探索的“主角”, 经过自己亲身的实践活动, 感受、理解知识产生和发展的过程, 形成自己的经验, 发挥了学生的能动性和创造能力, 达到让学生“做”数学的目的。

2 有助于提高学生学习数学的动力

在传统的数学教学中, 以教师传授为主, 缺乏学生的操作活动, 缺乏了解数学背景, 缺乏获得数学经验, 所以数学留给学生的印象是枯燥和抽象, 部分学生对数学敬而远之, 甚至是惧怕和厌恶, 这种情绪极大地压抑了学生学习的潜力;其次, 数学教学内容过于强调自身的系统性, 导致与实际生活相脱节, 教师为考试而教, 学生为考试而学, 从而忽视了培养学生的数学素质和数学能力, 学生学习积极性不高, 数学无用论抬头。要解决诸如上述问题, 数学教学需要一场深刻的改革, 这不仅是在教学内容上, 而且也在教学方式、方法上。而《几何画板》恰可以帮助我们营造一个良好的数学学习环境。当把《几何画板》教给学生, 让他们自己动手去拖动鼠标, 改变图象形状, 观察形和数的变化, 去想象、猜测、归纳、验证, 他们的学习情况就发生变化了。

3 自主探究, 培养学生的综合能力

“动态”是《几何画板》的最大特点, 也是其魅力之所在。这在数学上的意义非同寻常, 它满足了数学教学之需, 弥补了传统教学手段之不足。黑板上的图形是永远静止不动的, 它掩盖了几何实质。在传统数学教学中, 用圆规、三角板绘制的几何图形是静态的, 要认识它的关系需要教师的语言描述和学生的理解和想象能力。《几何画板》画出的图形与在黑板上画出的图形不同, 它具有动态特征。教师可以在“动”中教, 学生可以在“动”中学。有些教学内容在传统教学中显得枯燥和乏味, 引入《几何画板》后, 许多内容变静为动, 学生在“动”中求知, 从而激发了学生的学习兴趣与学习积极性。利用《几何画板》的动态性和形象性, 可以给学生创造一个实际“操作”几何图形的环境。学生可以任意拖动图形、观察图形、猜测并验证, 在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识, 形成丰厚的几何经验背景, 从而更有助于学生理解和证明。

《几何画板》与初中数学教学, 其主体还是数学教学, 而不是《几何画板》, 或为了使用技术而使用技术, 应以实现数学目标为最根本的出发点, 以改善学习者的学习为目的, 恰当合理地使用《几何画板》。特别切忌在使用传统教学手段能够取得良好效果, 生硬地使用《几何画板》。如果在设计上我们仅限于把课程内容转换成精美的课件并以良好的传递方式直接播放给学生, 那这种整合只是表面层次上的整合, 是封闭的, 学生的学习仍是接受性的, 并不利于学生对深层次知识的探讨也不会引发学生高水平的思维。如何在教育教学中适当地使用《几何画板》这种教育手段, 使之充分发挥作用, 提高教学效率, 突破重点和难点, 更好地为数学教学服务, 如何让学生学好、学活、学深并培养学生的综合能力, 才是《几何画板》如何为数学教学服务的核心。

4 《几何画板》也有利于教师教学素质的提高

教师不但要有渊博的学科知识, 教师的教育理念、教育方式、教育技术也应随着时代的发展而不断发展、创新。一方面为了制作好一个课件, 教师往往要想方设法结合《几何画板》的功能, 来体现数学问题的实质, 有时还要与其他教师或学生进行相互交流合作, 这有利于教师创新能力的培养。另一方面教师的主要工作是指导学生学习。用《几何画板》开展探究式教学, 要求教师能为学生提供合适的研究数学、建构知识体系的线索, 这对教师的综合素质提出了很高的要求。

总之, 信息技术运用到数学教学过程中, 标志着一个新的以教育技术的变革来推动教育本身变革的时代已经到来, 《几何画板》只是其中一个成功的典范。而先进的教育技术的开发, 必将为数学教学方法进一步改革和深化, 使教学模式发生翻天覆地的改变, 必将迎来数学教育的又一个春天。

摘要：通过对《几何画板》在数学课堂教学中与中学数学整合的应用案例的分析, 展现《几何画板》进行辅助教学的特有的优势。充分体现数学源于实践, 源于生活。《几何画板》使枯燥无味的课堂教学走向生动活泼的“动态教学”, 真正向创新型教育教学发展。

篇7：反证法在中学数学中的应用

关键词 反证法 中学数学 教学

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）21-0088-02

在数学证题当中常常会运用到反证法，牛顿说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。通常来说，反证法通常用以去证明的题型有：“至少”或“至多”、命题的结论以“否定形式”“无限”“唯一”等形式出现的命题；或是否定结论更简单、具体、明显的命题；或是直接去证明比较难解出的命题，变换其思维方式，从结论下手使用反面思考，可能问题会柳暗花明。

一、基本命题

例1.已知：如图1所示，AB⊥EF 于M，CD⊥EF 于N。求证：AB∥CD。

证明：假设AB，CD不平行，即AB，CD交于点P，则过点P有AB⊥EF，且CD⊥EF，与“过直线外一点，有且只有一条直线垂直与已知直线”矛盾。∴AB∥CD。

二、结论本身是以否定形式出现的一类命题

例2.求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。

证明：已知∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个内角。

求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个钝角。

假如∠A、∠B、∠C中有两个钝角，不妨设∠A>90埃摇螧>90埃颉螦+∠B+∠C>180啊U庥搿叭切文诮呛臀80啊闭庖欢ɡ硐嗝埽省螦、∠B均大于90安怀闪ⅰK裕桓鋈切尾豢赡苡辛礁龆劢恰

三、关于唯一性、存在性的命题

例3.试证明：在平面上所有通过点（，0）的直线中，至少通过两个有理点（有理点指坐标x、y均为有理数的点）的直线有一条且只有一条。

证明：先证存在性

因为直线y=0，显然通过点（，0），且直线y=0至少通过两个有理点，例如它通过（0，0）和（1，0）。这说明满足条件的直线有一条。

再证唯一性

假设除了直线y=0外还存在一条直线y=kx+b（k≠0或b≠0）通过点，0），且该直线通过有理点A（x1，y1）与B（x2，y2），其中x1、y1、x2、y2均为有理数。

因为直线y=kx+b通过点（，0），所以b=-k，于是y=k（x-），且k≠0.又直线通过A（x1，y1）与B（x2，y2）两点，

所以 y1=k（x1-） ①

y2=k（x2-） ②

①-②，得y1-y2=k（x1-x2） ③

因为A、B是两个不同的点，且k≠0，所以x1≠x2，y1≠y2，

由③，得k=，且k是不等于零的有理数。

由①，得=x1-

此式的左边是无理数，右边是有理数，出现了矛盾。

所以，平面上通过点（，0）的直线中，至少通过两个有理点的直线只有一条。

综上所述，满足上述条件的直线有一条且只有一条。

四、结论以“至多”“至少”等形式出现的命题

问题以“至少”“至多”“最多”或“不多于”等方式出现的命题，我们能找到直接论证的理论根据很少，所以用直接证法有一定的困难。不过如果运用反证法，添加了否定结论这个新的假设，就可以推出更多的结论，从而容易使命题获证。

例4已知：如图3，四边形ABCD中，对角线AC=BD=1。

求证：四边形中至少有一条边不小于。

证明：假设四边形的边都小于，由于四边形中至少有一个角不是钝角（这一结论也可用反证法证明），不妨设∠A≤90埃萦嘞叶ɡ恚肂D2=AD2+AB2-2AD·AB·cosA

∴BD2≤AD2+AB2，

即BD≤<=1

这与已知四边形BD=1矛盾。

所以，四边形中至少有一条边不小于。

五、结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题

例5.求证：是无理数。（古希腊人引自百科全书）

分析：由于题目给我们可供使用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步都非常困难。而无理数又是无限不循环的，“无限”与“不循环”都很难表示出来。当反设是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件”，使得能方便地将表示为一个分数。

证明：假设是有理数，则存在a，b∈N，且a，b互质，使=→a2→2b2从而，a为偶数，记为a=2c，∴a2=4c2，∴2c2=b2，则b也是偶数。由a，b均为偶数与a，b互质矛盾，故是无理数。

六、“必然性”问题

例6.若x1，x2，…，xn，xn+1均为小于1的非负实数，试证：其中一定存在两个数，其差的绝对值小于 。

证明：不妨设x1

篇8：几何画板在中学数学教学中的应用

1. 几何画板在中学数学概念教学方面的应用

中学数学中像圆锥曲线中椭圆、双曲线和抛物线等概念, 仅凭教师的一张嘴、一支粉笔是很难讲清楚的。而几何画板在这方面则可大显身手, 它把学生很难想象到的点的轨迹动态地展现在学生眼前。

例如抛物线的定义:到一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。但是这个定义课本并不是首先给出的, 而是说“我们知道到一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是一个常数e, 当01时, 这个点的轨迹是双曲线。”紧接着就提出问题:当e=1时, 这个点的轨迹是什么?这是一个探究性学习问题。为此, 我们用几何画板做出如图1、图2所示的课件。拖动点C可以改变点P到点F的距离与到直线l的距离的比值 (即离心率e的值) 。在图1中, 此时的e=0.8l, 此时P的轨迹已变成了双曲线, 如图2所示。再拖动点C, 使得这个比值e=l, 此时我们看到了点P的轨迹是一条抛物线。如图3所示。

此外, 这个课件还可以在复习课中, 演示椭圆的离心率e∈ (0, 1) , 逐渐增大时, 椭圆的形状越扁, 而逐渐趋于0时, 形状越接近圆。e∈ (1, ∞) 逐渐增大时, 双曲线的开口由窄变宽。

学生看了上述直观现象后, 师生可以共同用几何画板来探求满足条件:到一个定点的距离和一条定直线的距离的比等于1的点的轨迹是什么。步骤是先作一定点F和一条定直线L, 在直线L上任作一自由点M, 过点M作直线m⊥L, 再连结MF, 作MF的垂直平分线n交直线m于点P, 跟踪点P, 显然点P到点F的距离和到直线L的距离是相等的 (即e=1) 。最后我们拖动点M, 可以看到点P的轨迹是一条抛物线, 如图4所示。

2. 几何画板在解题方面的应用

几何画板在中学数学解题方面也有着很广泛的应用, 如在数形结合方面、在分类讨论方面、在图形的空间变换方面等, 都可以用几何画板来演示各种类型数字题中的数量、图形位置之间的关系。

在解含有参数的方程或不等式时, 一般都要对参数进行分类讨论, 而学生并不是都知道讨论的必要性。看下面例子:

解方程:

并讨论参数a对方程根的影响。

解析:方程有根的条件是:x-2≥0和a-x2≥0, 原方程两边平方后有 (x-2) 2=a-x2 (2)

即2x2-4x+4-a=0

由△= (-4) 2-4×2× (4-a) ≥0, 知方程有根又要满足条件:a≥2, 在此条件下, 方程 (2) 的两根为:

显然x2不能满足条件x-2≥0, 应舍去, 由得a≥4

x1也满足条件a-x2≥0, 事实上, x1作为方程 (2) 的解, 必满足方程 (2) , 而 (x-2) 2≥0所以a-x2≥0。

故a<4当时, 原方程无解;当a≥4时, 原方程的根是

讨论:方程 (1) 变形到方程 (2) 是非同解变形, 所以条件a≥2只能保证方程 (2) 有解, 但不能保证方程 (1) 有解。因为满足 (2) 式的方程还有:

所以原方程的解必须同时满足条件a≥2、x-2≥0和a-x2≥0。

可以看出, 上面用代数方法解答讨论是比较费力的, 学生也不一定能完全理解。下面用几何画板制作演示课件来配合讲解, 我们将会看到各种量的关系, 会一览无余地展现在学生的眼前, 同时能培养学生使用数形结合解题的意识。原方程的根就是直线y=x-2和曲线交点的横坐标, 在几何画板中, 作出含参变数a的函数的图像和直线y=x-2的图像。如图5所示:改变参数a的值, 此时将看到这个半圆的半径在变化。由于直线的位置已确定, 半圆与直线是否有相交就完全取决于参数a的值了。当a≥4时, 半圆和直线总是相交的, 即原方程总是有解的;当a<4时, 半圆和直线没有交点, 即原方程无解。此外, 条件a≥2是方程 (3) 有解的充分条件, 如图5的虚线部分。

3. 几何画板在探究性学习方面的应用

几何画板能为学生进行探究性学习提供一个很好的操作平台。下面举例说明:

已知常数a>0, 在矩形ABCD中, AB=4, BC=4a, O为AB的中点, 点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动, 且p为GE与OF的交点。问是否存在两个定点, 使P到这两个点的距离的和为定值?若存在求出这两个点的坐标及此定值。若不存在请说明理由。 (2003年高考题, 全国卷)

分析:本题是要探求点P的轨迹是不是椭圆, 为此用几何画板制作一个满足题目条件的演示课件, 如图6所示:拖动点E在BC上移动, 可以看到三个比值始终相等, 而点P运动的轨迹是椭圆 (部分如图6所示) 。这说明存在两个定点, 使得点P到这两个定点的距离的和为定值。拖动点C, 可以改变参数a的值, 当a的值逐渐减小时, 椭圆的长轴由原来与y轴重合变化到与x轴平行。 (如图7所示) 显然, 有了上述直观分析, 求点P的轨迹方程应该不是难事了;同时, 也看到对参数a的讨论是很有必要的。解答过程略。

4. 几何画板在教学中的优势

(1) 利用几何画板可以创设问题情境。有了情境才能激发学生的求知欲望, 才能提出猜想并想方设法去验证。

(2) 几何画板有很强的交互性。建构主义学习理论认为, 知识不是通过教师传授得到的, 而是学习者在一定的情境即社会文化背景下, 借助其他人 (包括教师和学习伙伴) 的帮助, 利用必要的学习资料, 通过意义建构的方式而获得的。而几何画板正是这样的学习资料, 它给学习者提供了强大的交互平台, 使学生学数学变成做数学、玩数学。如图8这个课件就具有这种交互式的特点, 学生拖动N, 可以改变这个三角函数的初相φ的值, 此时会看到图像在左右移动;拖动点M, 可以改变这个图像的振幅A的值, 此时会看到图像在纵向伸缩:拖动点L, 可以改变ω的值进而改变图像的周期的值, 此时会看到图像横向伸缩。通过学生自己操作, 能亲身体验知识的发生过程, 主动构建自己的知识体系, 比起教师从外部灌输效果要好得多。

5. 应用几何画板在教学中应注意的问题

(1) 应用几何画板制作动画演示给学生时, 应根据课堂需要适时展示。否则, 会分散学生的注意力, 适得其反。 (2) 计算机辅助教学毕竟是“辅助”, 不能全部让计算机来代替人的工作, 剥夺人的情感交流。应用几何画板进行辅助教学时也不例外, 该用计算机的地方就用计算机, 不该用计算机的地方就不用计算机。 (3) 应用几何画板进行辅助教学与传统教学应该互为补充, 相得益彰。而不要人为地把它们对立起来, 以为有了新的教育技术, 就不重视传统教育的看法是错误的。 (4) 要求教师比较熟练掌握几何画板的使用方法, 这样才能顺利进行辅助教学, 同时使学生能自主学习、探究学习、合作学习。

篇9：(no.1)2013年高中数学教学论文 反证法在几何问题中的应用 新人教版

【关键词】几何画板；信息技术；数学；整合；操作

1 有效调动学生的对数学的学习兴趣，让学生在“做中学”传统的数学教育模式留给学生的印象是枯燥和抽象的。绝大部分的学生对数学敬而远之，甚至是惧怕和厌恶，特别是在初中接触了几何与函数之后。这种情绪极大地压抑了学生的学习潜力。《几何画板》具有强大的动态变化功能，一流的交互功能，能以浓缩的形态给学生提供数学背景，通过学生的参与和亲手操作，枯燥抽象的内容变成生动形象的图形，原本不明白或不甚明白的概念等变得一目了然。

2 利用《几何画板》，给学生一个“操作数学”的环境,把抽象的数学教学变得形象、直观 动态展示教学内容或数学问题，能够化抽象为具体，化具体为形象，因而，使教学更加直观、生动，有利于激发学生的学习兴趣，增强教学的趣味性。数形结合思想是一个非常重要的数学思想。数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”《几何画板》为“数形结合”创造了一条便捷的通道，它不仅对几何模型的绘制提供信息，同时，可以解决学生难以绘制的图形，而且提供了图形“变换”的动感，丰富多彩的“动画”模型，给学生一种耳目一新的视觉感受，使学生从画面中去寻求到问题解决的方法和依据，并从画面中去认清问题的本质。

3 利用《几何画板》进行数学实验，使学生们直接参与课堂教学，让学生自主 “研究数学”，真正成为学习的主人 几何画板是一种适合数学教学的简单工具，我在初二上半年利用几节课或兴趣小组活动中教会学生使用《几何画板》的基本功能和数学内涵，在数学课堂上，老师指导学生任意拖动图形、观察图形、猜测和验证结论，在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景从而更有助于学生对图形性质的学习和理解，为学生创造一个进行几何“实验”的环境，有助于发挥学生的主体性、积极性和创造性，这种数学实验，对学生主体意识的形成，主动参与数学实践本领的提高，自行获取数学知识的能力培养，都将发挥作用。

4 利用《几何画板》搭建验证问题和揭示问题本质的技术平台 在解决数学问题中，由于问题本身的抽象性和推理的复杂性，花费了很多时间都未能把问题证明出来，此时，产生对问题的疑义并对问题真实性进行验证是一种极为可能并欲想去做的事。验证一方面可以缓解心理紧张和心理焦虑，变换思维角度，对问题进行再认识；另一方面可以调节心理平衡，重塑解题信心。学生在通过实验验证得出问题是真实的时，将会激发起信心，增强解决问题的动力。从而，有效地克服推理过程中产生的心理障碍。例如研究函数图象的性质，特别是增减性，是教学中的难点，有了《几何画板》，我们就很容易解决这一问题。