21曲线与方程学案

21曲线与方程学案（精选6篇）

篇1：21曲线与方程学案

《曲线与与方程》教学案 一﹑教材内容的地位与作用分析

《曲线与方程》是高二数学选修2-1第二章第一节的内容。曲线与方程的概念既是对以前学过的函数及其图象、直线的方程和方程的直线等数学知识的深化，又是今后学习圆锥曲线的理论基础，它贯穿于研究圆锥曲线的全过程。曲线和方程分别是几何与代数中的概念。在直角坐标系中，曲线有它的方程，方程有它的曲线。曲线的方程是几何曲线的一种代数表示，方程的曲线则是代数方程的一种几何表示。根据曲线与方程的对应关系，通过研究方程来研究曲线的几何性质，使几何图形的研究实现代数化。数与形的有机结合，在本章得到充分的展现。通过本节课的课堂教学，使学生初步了解数形结合的基本数学思想方法。

二、学生学习情况分析

学生已经学习了直线的方程和方程的直线的概念，初步掌握了利用直线的方 程来研究两直线的位置关系、两条直线的夹角和点到直线的距离等与直线有关的 知识，但未真正理解直线的方程和方程的直线的含义。通过本节课让学生进一步 理解直线的方程和方程的直线的含义。

三、设计思想

建构主义学习理论认为，建构就是认知结构的组建，其过程一般是引导学生 从身边的、生活中的实际问题出发，发现问题，思考如何解决问题，进而联系所 学的旧知识，首先明确问题的实质，然后总结出新知识的有关概念和规律，形成 知识点，把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线形 成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识 体。也就是以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、主动发现以及学生对所 学知识意义的主动建构。基于以上理论，本节课遵循引导发现，循序渐进的思路，采用问题探究式教学，倡导“自主、合作、探究”的学习方式。

具体流程如下：知识回顾(根据所学知识，提出新的问题)→构建新知(师生 共同探究，得出新的知识)→巩固新知(通过质疑讨论，理解突破难点)→尝试练习(进一步理解概念)→课堂小结(回顾并反思)→布置作业

四、教学目标

1、理解曲线的方程和方程的曲线的概念

2、能证明满足已知条件的曲线C的方程是给定的方程f(x，y)=0

3、判断曲线与方程的关系

五、教学重点与难点

重点与难点：曲线的方程和方程的曲线的概念

六、教学过程设计

(一)知识回顾、提出问题

1、回顾直线的有关知识：两直线的位置关系；两直线的夹角；点到直

线的距离等；

2、我们是如何研究上述问题的(教师适时给予提示)；

3、给出直线的方程和方程的直线的定义：

①直线上的点的坐标都是某个一元一次方程的解；

②以该方程的解为坐标的点都是直线上的点。

4、提出问题：实际生活中，物体运动的轨迹绝大多数都是曲线，那么

我们又该如何研究这些问题呢？

(二)师生探究、构建新知

1、根据回顾的知识，类似可得：利用方程来研究曲线的有关问题

2、如何得出曲线与方程的关系(即：如何定义曲线的方程和方程的曲

线)能否利用我们所学知识考虑？

3、学生讨论，教师补充得到完整的定义：(在上述定义中修改)①曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)=0的解；

②以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点。

此时，把方程F(x，y)=0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程 F(x，y)=0的曲线。

(三)例题剖析、巩固新知

例

1、已知两点A(-1，1)、B(3，-1)，求证与这两点距离相等的点M的轨迹方程是2x-y-2=0。

证明：(1)：设M1(x1，y1)是直线 上的任意一点，则|M1A|=|M1B|

∴

即2x1-y1-2=0

∴轨迹 上的任意一点的坐标都是方程2x-y-2=0的解

(2)：设点M2(x2，y2)的坐标是方程2x-y-2=0的解，即2x2-y2-2=0

=

∵|M2A|= |M2B|=

∴|M2A|=|M2B| 即点M2是直线 上的点

由(1)(2)知：方程2x-y-2=0是轨迹 的方程。

例

2、(1)已知点A(1，0)、B(0，1)，线段AB的方程是不是x+y-1=0？

为什么？

(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹C的方程是不是x-y=0？

为什么？

(学生讨论，教师点拨)解：(1)不是。取点(-2，1)，该点满足方程x+y-1=0但不在线段AB上。

(2)不是。取点(-1，1)，该点到两坐标轴距离相等且距离都

为1，但1-(-1)=2≠0，也即不满足方程x-y=0。

(四)尝试练习、检验成果 见课本第33页

(五)课堂小结、回顾反思

学生归纳，互相补充，老师总结：

1、曲线的方程和方程的曲线的概念

2、证明方程是给定曲线的方程

3、判断方程是否为给定曲线的方程

(六)课外作业(略)

七、教学反思

1、直线的方程与方程的直线学习时间比较早，大多数学生对此概念已经遗

忘得差不多，因此本节课采用怎样的形式回顾这些知识，才能更合理些。

2、在师生共同探究并构建新知时，教师应该如何调整、把握课堂节奏。

3、是否有更好地方法分析例题，使学生更容易理解所学的新知识。

4、对于练习中存在的问题特别是不成立的问题，采用上述分析方法学生能

否理解。

5、课后对部分学生进行简单调查，反思此教案。

篇2：21曲线与方程学案

教学过程

一、问题情境

2011年9月29日，中国成功发射了“天宫一号”飞行器，你知道“天宫一号”绕地球运行的轨迹是什么吗？

二、数学建构

椭圆是物体运动的一种轨迹，物体运动的轨迹有很多，常见的还有直线、圆、抛物线等.一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线；当平面与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆.当我们改变平面的位置时，截得的图形也在发生变化.请观察图1.(图1)

对于第一种情形，可在截面的两侧分别放置一个球，使它们都与截面相切(切点分别为F1，F2)，且与圆锥面相切，两球与圆锥面的公共点分别构成圆O1和圆O2(如图2).(图2)

设M是平面与圆锥面的截线上任一点，过点M作圆锥面的一条母线分别交圆O1和圆O2于P，Q两点，则MP和MF1，MQ和MF2分别是上、下两球的切线.因为过球外一点所作球的切线的长都相等，所以MF1=MP，MF2=MQ，故MF1+MF2=MP+MQ=PQ.因为PQ=VP-VQ，而VP，VQ是常数(分别为两个圆锥的母线的长)，所以PQ是一个常数.也就是说，截线上任意一点到两个定点F1，F2的距离的和等于常数.通过分析，给出椭圆的概念:

F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，一般地，平面内到两个定点F1，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做椭圆的焦距.问题1 为什么常数要大于F1F2？

解 因为动点与F1，F2构成三角形，三角形的两边之和大于第三边，所以MF1+MF2>F1F2.问题2 若MF1+MF2=F1F2，动点M的轨迹是什么？ 解 线段F1F2.问题3 若MF1+MF2F1F2，动点M的轨迹不存在.抛物线的概念: 一般地，平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.说明:定点F不能在定直线l上，否则所得轨迹为过点F且与直线l垂直的一条直线.椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.三、数学运用

【例1】 已知定点P(0，3)和定直线l:y+3=0，动圆M过点P且与直线l相切，求证:圆心M的轨迹是一条抛物线.(见学生用书P15)[处理建议] 让学生仔细审题，作出图形，再引导学生对照抛物线的定义寻找相等关系，使问题得以解决.[规范板书] 证明 设圆M的半径为r，点M到直线l的距离为d.∵动圆M过点P且与l相切，∴MP=r，d=r，∴MP=d.而点P不在l上，∴由抛物线的定义知圆心M的轨迹是一条抛物线.(例2)[题后反思] 本题要紧扣抛物线的定义，主要注意两点:①到定点的距离等于到定直线的距离；②定点不在定直线上.【例2】(教材第27页习题2.1第3题)如图，圆F1在圆F2的内部，且点F1，F2不重合，求证:与圆F1外切且与圆F2内切的圆的圆心C的轨迹为椭圆.(见学生用书P16)[处理建议] 让学生仔细审题，明确需要解决什么问题，再引导学生根据椭圆的定义寻找“到两定点的距离之和为定值”的关系，使问题得以解决.[规范板书] 证明 设圆F1，F2的半径分别为r1，r2，动圆C的半径为t.依题意有CF1=r1+t，CF2=r2-t，消去t得CF1+CF2=r1+r2(一个大于F1F2的常数)，所以动圆圆心C的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆.[题后反思] 要证明某点的运动轨迹，可以先考虑动点是否满足圆锥曲线的定义.本题要紧紧抓住到两定点的距离之和为定值的动点的轨迹是椭圆这一定义.变式1 如图，已知动圆C与圆F1，F2均外切(圆F1与圆F2相离)，试问:动点C的轨迹是什么曲线？

(变式1)

[处理建议] 从例2的解法中联想思考，寻找动点满足的几何性质是什么.[规范板书] 解 双曲线的一支.证明如下: 设圆F1，F2的半径分别为r1，r2(r1>r2)，动圆C的半径为t.依题意有CF1=r1+t，CF2=r2+t，消去t得CF1-CF2=r1-r2(一个小于F1F2的正数)，所以动圆圆心C的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的一支.[题后反思] 应引导学生学会利用圆锥曲线的定义直接得出轨迹.本题还有其他方式的变式:当两圆相离时，动圆与两圆均内切或与一圆内切与另一圆外切，其动圆圆心的轨迹均为双曲线的一支.2 2 2 2变式2(1)动圆与圆C1:x+y=1和C2:(x-4)+y=4都外切，则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.(2)动圆与圆C1:x 2+y 2=1和C2:(x-4)2+y 2=4都内切，则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.(3)动圆与圆C1:x 2+y 2=1内切，与圆C2:(x-4)2+y 2=4外切，则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.(4)动圆与圆C1:x 2+y 2=1外切，与圆C2:(x-4)2+y 2=4内切，则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.*

2【例3】 已知圆F的方程为(x-2)+y=1，动圆P与圆F外切且和y轴相切.求证:动圆的圆心P在一条抛物线上运动，并请写出这条抛物线的焦点坐标及准线方程.[处理建议] 因为要证明圆心P的轨迹是抛物线，所以可引导学生通过画图找到定点和定直线.[规范板书] 证明 设圆P的半径为r，它与y轴相切于T，则PF=r+1，PT=r，所以PF=PT+1，作直线l:x=-1，PT的延长线交直线l于A，则PF=PA，故点P到定点F的距离等于它到直线l的距离，所以点P在以F(2，0)为焦点，直线l:x=-1为准线的抛物线上运动.[题后反思] 三种圆锥曲线的概念都与距离有关:椭圆和双曲线的概念描述的都是点到点的距离；抛物线的概念描述的是点到点的距离，同时还有点到线的距离.圆与直线相切，能够联想到抛物线的条件.变式 点P到定点F(2，0)的距离比它到y轴的距离大1，求点P的轨迹.[处理建议] 引导学生考虑本题条件与哪种圆锥曲线的定义一致.[规范板书] 解 过点P作PT⊥y轴，垂足为T，所以PF=PT+1，作直线l:x=-1，PT的延长线交直线l于A，则PF=PA，故点P到定点F的距离等于它到直线l的距离，所以点P在以F(2，0)为焦点、直线l:x=-1为准线的抛物线上运动.[题后反思] 本题依然是属于动点到定点和到定直线的距离，但不相等的问题，关键是

[2]将不等关系转化为相等关系，可以培养学生类比推理、归纳猜想、转化等数学思维能力.四、课堂练习

1.已知双曲线的两个焦点分别为F1(-3，0)和F2(3，0)，则此双曲线的焦距为 6.2.已知点A(0，-2)，B(2，0)，动点M满足|MA-MB|=2a(a为正常数).若点M的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，则常数a的取值范围为(0，提示 因为AB=

2).，即0

.，由双曲线的定义知0<2a<23.若动圆M过点(3，2)，且与直线3x-2y-1=0相切，则点M的轨迹是抛物线.4.已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，O为F1F2的中点，P为椭圆上任一动点，取线段PF1的中点Q，求证:动点Q的轨迹也是一个椭圆.证明 设PF1+PF2=m(定值)，且m>F1F2，则QF1+QO=PF1+PF2=m>F1F2=F1O，所以点Q的轨迹是一个椭圆.五、课堂小结

篇3：圆锥曲线的切线方程的探究与应用

在学习直线与圆的位置关系时, 我们容易得出一个形式非常简洁而又美观的结论:经过圆x2+y2=r2上一点M (x0, y0) 的切线方程是x0x+y0y=r2.当我们学习圆锥曲线时, 自然而然会提出问题:经过圆锥曲线上的一点的切线方程会有类似简洁而又美观的形式吗?

2.问题的探究

我们知道, 圆锥曲线含有三种曲线, 即椭圆、双曲线和抛物线, 它们不仅具有统一的定义, 而且具有相似的几何性质.为了回答上面提出的问题, 我们以椭圆来研究:已知椭圆的方程是undefined, 求经过椭圆上一点M (x0, y0) 的切线方程.不妨设切线的斜率为k, 则所求的切线方程为y-y0=k (x-x0) , 故问题的关键在于怎样求斜率k.下面我们利用导数的几何意义求之:

把椭圆方程undefined的两边同时对x求导, 得undefined, 即undefined, 则undefined, 故所求的切线方程为undefined, 即b2x0x+a2y0y=b2xundefined+a2yundefined.又因为点M (x0, y0) 在曲线上, 所以undefined, 即b2xundefined+a2y20=a2b2, 故b2x0x+a2y0y=a2b2, 整理得undefined, 且当点M在坐标轴上时, 可以验证此方程同样适用.因此, 经过椭圆undefined上一点M (x0, y0) 的切线方程是undefined

同理, 我们容易推导另外两种圆锥曲线的切线方程: (1) 已知双曲线的方程是undefined, 经过其上一点M (x0, y0) 的切线方程为undefined; (2) 已知抛物线的方程是y2=2px (p>0) , 经过其上一点M (x0, y0) 的切线方程为y0y=p (x+x0) , 对于抛物线其他三种类型的切线方程均可类似得出.

从这里我们可以看出, 经过圆锥曲线上的一点的切线方程在结构上可以说是经过圆上一点的切线方程的推广, 而对于圆锥曲线自身来说, 圆锥曲线在其上某点处的切线方程在结构上又是一个和谐完美的统一.统一的结论是:经过圆锥曲线上一点M (x0, y0) 的切线方程, 只需要把圆锥曲线的方程中二次项x2, y2分别换为x0x, y0y, 一次项x, y分别换为undefined, 就可得到所求的切线方程.这对我们学习圆锥曲线的内容是一个很好的补充, 同时也是一种更深层次的认识和理解.

3.结论的应用

通过上面的探究, 对于处理有关圆锥曲线的切线问题时, 如果我们能够灵活地应用上面给出的探究结论, 会起着事半功倍的作用.下面举例说明.

例1 经过点P (1, 1) 作一直线与椭圆undefined交于A, B两点, 过A, B两点分别作该椭圆的切线, 设两切线的交点为M, 则点M的轨迹方程为 ( ) .

undefined

解 设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则经过点A, B的切线方程分别为undefined

设点M (x0, y0) , 则有undefined,

故知点A, B在直线undefined上,

即直线AB的方程是undefined

又 点P (1, 1) 在直线AB上, 则有undefined

∴点M的轨迹方程为undefined, 即3x+4y=12.

故答案选D.

例2 已知F (1, 0) 为一定点, P (0, b) 为y轴上一动点, 点M (a, 0) 满足undefined, 若点N满足undefined, 求:

(1) 点N的轨迹C的方程.

(2) 曲线C的任何两条相互垂直的切线的交点的轨迹方程.

解 (1) 易求点N的轨迹C的方程为y2=4x (过程略) .

(2) 设两条切线的切点分别为A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则过点A, B的切线方程分别为

y1y=2 (x+x1) , y2y=2 (x+x2) . ①

又 yundefined=4x1, yundefined=4x2,

从而有yundefined-2y1y+4x=0, yundefined-2y2y+4x=0,

故y1, y2是方程t2-2yt+4x=0的两根, 则y1y2=4x.

由①易知过点A, B的两条切线的斜率分别为undefined

又 ∵两切线相互垂直, 则有undefined, 即y1y2=-4,

∴4x=-4, 即x=-1.

篇4：“圆锥曲线与方程”单元测试

1. 椭圆x24+y2=1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则PF2等于()

A. 32 B. 3

C. 72D. 4

2. P(x0,y0)是双曲线x2a2-y2b2=1右支上的一点, F为左焦点, e为离心率,则PF等于()

A. a+ex0B. a-ex0

C. -a+ex0D. -a-ex0

3. 抛物线y2=ax(a≠0)焦点的坐标是（）

A. a2,0B. a4,0

C. |a|4,0D. ±a4,0

4. 设F1，F2分别为双曲线x2sin2θ-y2b2=1(0＜θ≤π2,b＞0)的左、右焦点，过F1的直线交双曲线的左支于A，B两点，如果AB=m，则△AF2B的周长的最大值是.

5. 学校操场上空飘着一个气球（球形），气球在太阳光的照射下，在地面上的阴影呈椭圆形，现测得椭圆的长轴长为43，太阳光线与地面成60°角，则气球内所充气体的体积为.

6. 设P是椭圆x216+y2m=1(0＜m＜16)上异于长轴端点的任意一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若PF1•PF2+OP2=25，则m的值为.

7. 若双曲线x2m-5+y2m=1的一条渐近线与直线2x+y-3=0垂直，则该双曲线的准线方程是．

8. 已知椭圆的离心率为e，两焦点分别为F1，F2 ，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，点P为抛物线和椭圆的一个交点，若ePF2=PF1，则e的值为 .

9. 椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,52)，若该椭圆被直线y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为12，求该椭圆的方程.

10. 一动圆与圆x2+y2-2x=0外切，同时与y轴相切，动圆圆心的轨迹为曲线E．

（1） 求曲线E的方程；

（2） 若过定点P(4,0)的直线l与曲线E交于A,B两点，求证：以AB为直径的圆经过坐标原点.

B组

1. P为双曲线x29-y216=1的右支上的一点，M，N分别是圆 (x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点，则PM- PN 的最大值为（）

A. 6B. 7

C. 8D. 9

2. 如图1，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，若BC=2BF，且AF=3，则此抛物线的方程为()

A. y2=9xB. y2=6x

C. y2=3xD. y2=3x

图1

图2

3. 如图2，椭圆的中心在坐标原点，离心率为35，F为椭圆的左焦点，A，B，C分别为椭圆的上、左、下顶点直线AB与FC交于点D，则∠BDC的正切值是()

A. 32B. -32

C. 8D. -8

4. 如果以原点为圆心的圆经过双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的焦点，而且被该双曲线的右准线分成弧长之比为2∶1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率e等于.

5. 已知M为双曲线x23-y2=1右支上的一个动点，F为双曲线的右焦点，定点A的坐标为（3，1），则MA+MF的最小值为.

6. 椭圆C1：x24+y23=1的左准线为l，左、右焦点分别为F1，F2，抛物线C2的准线为l，焦点为F2，C1与C2的一个交点为P，则PF2=.

7. 设点P是双曲线x2a2-y2b2=1上除顶点外的任意一点，F1，F2分别为其左、右焦点，c为半焦距，△PF1F2的内切圆与直线F1F2切于点M，如图3，则F1M•F2M=.

图3

图4

8. 椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一条弦AB过其左焦点F且倾斜角为60°,若AF=2BF，则椭圆的离心率为.

9. A，B，C是我方的三个炮兵阵地，A在B的正东且距B6km，C在B的北偏西30°且距B4km，P为敌炮阵地.某时刻在A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C比A距P地远，因此4s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1km/s，若A炮击P地，求炮击的方位角.

10. 如图4，已知A，B，C是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上的三点，其中点A的坐标为（23，0），BC过椭圆的中心O，且AC⊥BC，BC=2AC.

（1） 求点C的坐标及椭圆E的方程；

（2） 若椭圆E上存在两点P，Q，使得直线PC与直线QC关于直线x=3对称，求直线PQ的斜率.

参 考 答 案

A组

1. C2. A3. B4. 4+2m5. 36π

6. 97. y=±558. 33

9. 设椭圆的方程为y2a2+x2b2=1，则a2=b2+50,

由y2b2+50+x2b2=1，y=3x-2，

得（10b2+50）x2-12b2x-46b2-b4=0,由x1+x22=12b2=25,a2=75,

所以椭圆的方程为y275+x225=1.

10. （1） 设动圆圆心为M（x，y）（x≠0），则由题意得(x-1)2+y2=|x|+1，化简得y2-2x=2|x|，所以y2=4x(x＞0)或y=0(x<0)，

即曲线E的方程为y2=4x，x＞0，0,x＜0.

（2）设l：x=my+4，代入y2=4x(x＞0)，消去x，得y2-4my-16=0． 

设A(x1,y1)，B(x2,y2),则y1y2=-16，则x1x2=y214•y224=16．

则OA•OB=x1x2+y1y2=16-16=0,所以 OA⊥OB．故以AB为直径的圆经过坐标原点．

B组

1. D2. C3. A4. 25. 26-23

6. 837. -b2 8. 23

图5

9. 如图5，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立直角坐标系，设单位长度为1km,则B（-3，0），A（3，0），C（－5，23）.因为PB=PC，所以点P在线段BC的垂直平分线上.

因为kBC=-3，BC的中点为D（-4，3），所以直线PD的方程为y-3=13（x+4）①，

又PB－PA=4，故点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上,而

双曲线右支的方程为x24- y25=1（x≥0）②，

联立①②，得x=8，y=53，所以P为（8，53）,因此kPA=538-3=3,故炮击的方位角为北偏东30° .

10. （1） 因为BC=2AC，且BC经过O（0，0），所以OC=AC.

又A(23，0），∠ACB=90°，

所以C(3,3),

将a=23及C点坐标代入椭圆方程，得312+3b2=1,所以b2=4,

所以椭圆E的方程为x212+y24=1.

（2）因为PC与CQ所在直线关于直线x=3对称，设PC的斜率为k，则CQ的斜率为－k，所以PC的方程为y-3=k(x-3),即y=k(x-3)+3①，

CQ的方程为y=-k(x-3)+3②.

将①代入x212+y24=1，得 (1+3k2)x2+63k(1-k)x+9k2-18k-3=0③,

因为C(3,3)在椭圆上，所以x=3是方程③的一个根，

所以3xP=9k2-18k-31+3k2,

所以xP=9k2-18k-33(1+3k2)，

同理可得xQ=9k2+18k-33(1+3k2)，

所以kPQ=yQ-yPxQ-xP=-k(xQ+xP)+23kxQ-xP=13.

篇5：“曲线与方程”教学设计

深圳中学 郭慧清

一、教学内容与内容解析 1．内容：

（1）曲线的方程与方程的曲线的概念；（2）求曲线的方程；（3）坐标法的基本思想与简单应用.2．内容解析：

“曲线与方程”是《普通高中数学课程标准》规定的教学内容．在教学时，不少人认为只是为后面学习椭圆、双曲线、抛物线做准备．尽管学习这一内容是学生体会并理解圆锥曲线与其方程的基础，但人们将碰得的曲线远非这些．因此，教学时不仅要让学生学习如何求曲线的方程，而且要通过这一内容培养学生的坐标法思想，使学生明白求出曲线方程的真正意义在于利用曲线的方程去研究曲线.研究曲线与方程的目的是把曲线的几何特征转化为数量关系，并通过代数运算等方便手段，处理已得到的数量关系,进而得出曲线的几何性质，并达到利用曲线为人们服务的目的．因此，学习这一部分内容可以加深学生对数学中的代数方法的认识，也能够让学生更好地体会数学的本质．

在平面直角坐标系建立以后，任何曲线都有唯一的方程，任何方程也都有唯一确定的曲线(或点集)．因此，曲线的方程是曲线的唯一表示．这种表示，为人们表达自己的思想认识提供了一种规范，这是人们应该具备的基本素养．

二、教学目标与目标解析 1．目标：

（1）通过实例理解曲线的方程与方程的曲线的概念，能判断已经学习过的特殊的曲线与方程之间是否具有互为表示的关系；

（2）通过实例体会求曲线的方程的基本步骤，能求出给定了几何特征的曲线的方程；

（3）通过实例体会不同的平面直角坐标系对同一曲线方程的影响，体会如何“恰当”地建立平面直角坐标系.（4）通过一些简单曲线的方程及其研究，体会坐标法的基本思想及简单应用． 2．目标解析：

教学目标（1）和（2）是本节课的教学重点，教学时落实好目标（1）、（2）和（3）是实现教学目标（4）的前提与保证.学生通过函数y =f(x)及其图象、直线的方程与圆的方程的学习，对曲线的方程与方程的曲线这些概念有了初步认识，但这只是一种意会，我们现在的任务是要建立曲线与方程之间的一般性的概念，让学生能从“定义”的角度去理解这些概念.教学目标（3）是学生初学时不易达到的目标，教学时要提供学生熟悉的曲线（比如直线，圆等）在不同坐标系中的方程的简洁程度，让学生体会建立坐标系时应该关注的要点．

对许多与曲线有关的具体问题而言，原本是没有坐标系的．因此，通过这样的问题，可以使学生体会如何建立坐标系，求出问题中曲线的方程，并通过曲线的方程帮助解决问题，这应该是实现教学目标（4）的一种较好的方法．

三、教学问题诊断分析 1．如何理解曲线与其方程之间的关系？学生可以很流利地背出曲线与其方程应该满足的两条，但是如何证明“一条曲线与一个方程之间具有互为表示的关系”，这是学生学习时可能遇到的第一个教学问题.这个问题可以结合“直线与其方程”、“圆与其方程”进行说明．

2．在求曲线的方程时，如何建立平面直角坐标系？这是学生会遇上的第二个教学问题，也是本节课的教学难点之一．教学时，应通过实例，帮助学生总结出建立坐标系的基本要点，并用具体问题让学生练习进行体会．

3．在将曲线上的点应该满足的几何特征转化为点的坐标应满足的等式后，常常遇上“将所得等式化简得到所求方程”的问题．对于有些复杂的等式，化简是一个学生不易把握的问题，学生在此极易出错，这是第三个教学问题.教学时不能因为这个问题而使教学偏离重点，因而宜使用信息技术工具解决这个问题.4．学生学习时，可能会因更多地关注代数运算而忽略数学思想的提炼，这个教学问题的解决，需要教师有目的地进行引领.四、教学支持条件

1．在进行本节课的教学时，学生已经在数学必修1中学习了函数y =f(x)及其图象，在数学必修2中学习了直线的方程与圆的方程，这些内容是学生理解曲线与方程概念的重要基础，因此教学时应充分注意这一教学条件，引导学生多进行归纳与概括.2．曲线与方程是数形结合的典范，教学这一内容时会涉及大量图形的绘制与方程的简化等代数运算，因此，TI图形计算器或几何画板是重要的支持条件，教学中充分利用这一条件，不仅可以节省大量时间用于学生思考，而且可以对实际问题中的数据不加“修饰”地进行分析.五、教学过程设计

引子：如果你邀请朋友在你所在城市的某餐馆聚会，你会怎样告诉他（她）聚会地点？例如，如果聚会地点在“深圳市笋岗路南，宝安路东的澳葡街”（如图一），你会怎样说？

（图一）

（图二）

意图：通过建立平面直角坐标系，用坐标来刻画点的位置，为后面用点与坐标的对应关系来研究曲线与方程的关系作准备，同时让学生体会坐标法思想。

师生活动：教师提出问题让学生思考，然后通过建立平面直角坐标系，给出聚会地点的坐标（如图二）。[问题1] 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线（航行方向与东向西方向的夹角的正切值为4/7），那么它是否会受到台风的影响？

这是同学们在学习数学必修2时曾经研究过的问题，你能说说你现在会怎样解决这个问题？ 意图：体会坐标法的思想，强调研究曲线与方程的概念的必要性，让学生体会数学方法的好处.师生活动：教师提出问题后让学生交流并回答他们的想法，在此基础上，教师归纳并演示过程：如图建立直角坐标系，得出船的航线的方程为4x+7y-28=0，圆形区域的边界圆的方程为x+y=9.联解上面两个方程所成的方程组有一定的困难，可以通过TI图形计算器求解，如下列图示：

2由此可见让船按原定航线航行不会出现危险．

进一步问学生：如果没有坐标法，没有直线的方程与圆的方程，但要确定能否让船按原定航线航行，你会怎样做？

[问题2]我们知道，在平面直角坐标系中，经过点(x0,y0)，且方向向量为确定的，你能求出这条直线的方程吗？怎么说明你所求得的方程就是这条直线的方程呢？

意图：为引出曲线的方程与方程的曲线的概念做铺垫.师生活动：让学生尝试求直线的方程，在得出直线的方程后，教师介绍怎样说明所得的方程就是直线的方程．

[问题3] 你能说明中心在(a,b)，半径为的圆的方程是(x-a)+(y-b)=r吗？

2的直线是唯一意图：让学生体会教师在[问题2]中介绍的“说明所得方程是直线的方程”的方法，为介绍曲线的方程与方程的曲线的概念再做准备.师生活动：让学生先思考，然后教师引领学生完成说明过程.[问题4] 对一般的曲线与方程，你能给出方程是曲线的方程，曲线是方程的曲线的概念吗？ 意图：给出曲线的方程与方程的曲线的概念.师生活动：让学生先思考，然后教师引领学生阅读教材上的“定义”，给出曲线的方程与方程的曲线的概念.最后问学生：

[问题5] 给定命题A：“方程f(x,y)=0是曲线曲线”，请问命题A与命题B是否互为充要条件？

意图：加深对曲线的方程与方程的曲线的概念的认识.师生活动：学生回答，教师评析．学生完成教材P37练习第1题，并将题中的“中线AO（O为原点）所在直线的方程”修改为“中线AO（O为原点）的方程”后，提问学生结论有无改变？学生完成P37练习第2题． 的方程”；命题B：“曲线C是方程f(x,y)=0的 [问题6] 你能画出函数的图象吗？图象C上的点相应于坐标轴的距离而言具有怎样的几何特征？是否具有这些几何特征的点都在图象C上？

意图：理解用解析式表示的函数与其图象之间的关系，巩固曲线的方程与方程的曲线的概念.师生活动：（1）师生画出函数的图象C（可以利用信息技术工具）；（2）学生思考“图象C上的点相应于坐标轴的距离而言具有怎样的几何特征”，利用信息技术工具探究，可能归纳出的几何特征是“图象C上的点到两坐标轴的距离的乘积是常数k”；（3）学生思考“到两坐标轴的距离的乘积是常数的点都在图象C上”吗？；（4）师生得出“到两坐标轴的距离的乘积是常数k的点的轨迹方程是”；（5）证明所得结论，完成教材P35例1．

[问题7] 阅读教材P35“2．1．2求曲线的方程”的第一段内容，你能得出什么结论？ 意图：明确解析几何研究的基本内容.师生活动：学生阅读教材并提炼回答内容，请学生回答，教师点评．

[问题8]已知平面上的线段BC的长为所张的角恒为，动点A位于线段BC所在直线的同一侧，且向线段BC，动点A的轨迹是否有有限长度？若有，你能求出其长度吗？

意图：归纳求曲线的方程的步骤，体会坐标法的基本思想． 师生活动：

（1）教师讲解：以BC所在的直线为x轴，以线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则，．设点A在x轴的上方，坐标为(x,y)(y>0)，则点A的集合为

．

由于

因为所以

所以，点A的坐标满足方程x+(y-1)= 4 ① ；

反过来，由于上述的步骤均可逆，所以方程①的解作为坐标的点都在集合P中．

所以，点A的轨迹方程是①，点A的轨迹是一段以2为半径的圆弧，它的长度是整个圆的．因此，动点A的轨迹的长度为

（2）教师根据上述过程总结求曲线的方程的步骤（见教材P36）.（3）提问学生，有无其它建立坐标系的方法使点A的轨迹方程更简单，更简单的原因是什么？教师归纳总结建立坐标系的一般要点．

（4）提问学生思考：为什么不能把x+(y-1)= 4作为点A的轨迹方程？（5）学生练习教材P37练习第3题．

[问题9] 已知一条直线和一个点F，点F到l的距离是2．一条曲线上面的点到F的距离减去到l的距离所得的差都是2．你能建立适当的坐标系，求出这条曲线的方程吗？

意图：帮助学生熟悉和巩固求曲线的方程的步骤.师生活动：（1）师生一起讨论如何画出图形，如何建立坐标系．

（2）让学生按步骤求出曲线的方程．

（3）师生一起讨论如何避免轨迹中出现多余的点或方程中出现多余的解．（4）简化求解步骤．

[问题10]建立坐标系后，是否存在一条曲线有两个不同的方程？你能以[问题1]和[问题8]为例，归纳一下你本节课学得的东西吗？

意图：归纳总结本节内容.师生活动：学生思考交流，教师帮助总结.五、目标检测设计

1．教材P37，习题2.1：A组第3、4题；B组第1题．

篇6：数学基础版曲线与方程教案

一、导入新课

我们学习过一次函数，谁能告诉我，一次函数的一般解析表达式？学生回答：

＝

＋，其中，＝

＋看成是常数，≠0(若学生回答不全，教师修正).它的图象是什么？一条直线.我们可以把字母系数的关于，的二元一次方程，那么它就是函数

＝

＋，的图象，即直线的方程.今天我们专门研究直线的方程，首先来学习直线的点向式方程.二、讲授新课

我们知道，两点确定一条直线，也就是说，已知直线通过的两点，这条直线就确定了.由此，我们也可以说，已知直线经过的一点，并且和一个非零向量平行也能确定一条直线，下面给予证明.设一个点为坐标为(，(，)，向量为＝(，)，我们以为起点，作向量，设点的)，由向量平行和相等的充要条件代入坐标可得，(－，－)＝(，)，即

解得 由，、，为确定的数，所以，也是确定的数，即点是确定的，由于点，是确定的，所以条直线.这条直线也是确定的，因此，已知直线过一个一点且和一个非零向量平行，可以确定这 在直角坐标系中，已知点＝(，)(图9－1)，我们来求过点，并且与非零向量平行的直线的方程.其中叫做直线的方向向量.设(，)是一动点，点∈的充分必要条件是与平行，即

将(1)换用坐标表示，得

(－，＝，∈，(1)

－)＝(，)，即 消去参数，得

在方程(2)中，如果≠0，(－)－

（(2)

－)＝0.(3)

≠0可得到

方程(3)和(4)都叫做通过 特别地，当＝0(此时

(，.(4)，)的直线的点向式方程.)，方向向量为＝（≠0，否则为零向量)时，则由(3)式得到方程

＝，它表示通过 当(，)，且平行于轴的直线(图9–2(1)).＝0(此时≠0，)则由(3)式得到方程

＝，它表示通过(，)，且平行轴的直线(图9–2(2)).有了直线的点向式方程，只要知道直线上一点的坐标和一个方向向量，就可以直接根据直线的点向式方程求出直线的点向式方程.例1 求通过点(－2，1)，且平行于方向向量＝(3，－1)的直线方程.解：依直线的点向式方程，得

整理，得所求直线的方程

＋3 例2 求下列过点(1)

.－1＝0.，且一个方向向量为的直线方程：

(3，－1)，＝(2，0).(2，－1)，＝(0，3)；(2)分析：这是已知直线上一点和它的一个方向向量求其直线方程的题，其中方向向量的坐标有一个是零，所以此时的直线是特殊的.＝(0，3)平行 解：(1)由于直线的方向向量平行

轴，＝(2，0)平行轴，轴，所以通过点(2，－1)的直线方程为

＝2；(2)由于直线的方向向量平行于轴，所以通过点(3，1)，的直线方程为

例3 求过点(－1，2)和点

＝－1.(2，4)的直线方程.分析：已知条件给的是直线过的两点，若用直线的点向式方程缺少方向向量，可先由已知的两点求该直线的一个方向向量.解：直线的方向向量可取为＝(3，2)，又直线过点(－1，2)，依直线的点向式方程，得

整理，得所求直线方程

2－3

三、课堂练习

.＋8＝0.第3页 练习A.第1(1)、(2)、(5)、(6)题、第2(1)、(3)题，第3(1)题.四、课堂小结

通过今天的教学，大家应该: 1．知道除了两点可以确定一条直线外，一个点和一个非零向量也能确定一条直线.2．掌握直线的点向式方程.(1)记住并理解方程中各字母的含义；(2)注意平行于轴和平行于轴的直线方程；

(3)会用它求直线的点向式方程.五、课外作业

1．复习作业：复习第7～8页8.3.1的课文.2．书面作业：第8页练习1-3题，3．预习作业：预习课文8.3.1直线的斜率.课题：9.1.2(1)直线的斜率

教学目标：1．理解直线的倾斜角、斜率的概念.2．了解直线的斜率和该直线方向向量的关系.3．掌握求斜率公式.4．培养学生数形结合、转化的思想和逻辑思维能力.教学重点：直线的斜率.教学难点：直线的斜率.教学方法：启发式讲授法.教学过程：

一、复习提问

1．应用直线的点向式方程来求某直线方程需要有什么条件？

2．已知直线过点

二、引入新课

我们学过一次函数(，)、(，)，求直线的一个方向向量.＝＋，是常数，知道它的图象是一条直线.我们把＝

＝＋看成二元一次方程，那它就是函数斜率.三、讲授新课 1．倾斜角的定义

＋的图象即直线的方程.这里叫斜率，我们今天就来学习直线的 一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角行或重合时，规定它的倾斜角

等于0.，叫做这条直线的倾斜角，当直线与轴平(语言叙述的同时，借助于图示，指出向上的方向的含义.)由倾斜角的定义知，倾斜角的取值范围是0≤ 2．斜率的定义.＜π.当时，直线的倾斜角的正切，叫做直线的斜率，通常用表示.即 ＝tan().当时，直线没有斜率.3．直线的方向向量与直线斜率之间的关系.设直线的一个方向向量＝(时，由三角函数的定义知，)，直线的倾斜角为，斜率为(图9－3)，这时∥，当

≠0

.如果在直线上已知两点(，)，(，)(图9-4)，则直线的一个方向向量可取为，则直线的斜率

这就是已知直线上两点的坐标，求斜率的公式.(－≠０).如果已知直线的斜率为，也可求出该直线的方向向量.设＝(，)(≠0)是直线的方向向量，则向量与平行，即(1，)也是直线的一个方向向量，于是得到向量(1，)也是该直线的一个方向向量.4．例题

例4 已知直线的一个方向向量＝(－2，3)，求直线的斜率.解：直线的斜率

例5 已知直线的倾斜角是120°，求这直线的斜率和一个方向向量.解：的斜率.的一个方向向量 例6 求经过(－2，0)，.(－5，3)两点的直线的斜率和倾斜角

.解：由斜率公式，得

＝－1，又0≤

＜π，根据斜率的定义，有tan

所以

四、课堂练习

.第5页练习A第1(2)、(4)，2(2)、(4)，3(1)、(3)、(5)、(7)，4(1)、(3)题.五、课堂小结

小结时向学生说明；

1．斜率和倾斜角都是用来表示直线方向的，斜率是实数，可以用直线上任意两点的坐标来表示，而不需要求出直线的倾斜角.2．直线的斜率与上的两点的位置、顺序无关.3．当倾斜角＝90°，直线没有斜率，但不是没有倾斜角.4．由斜率求倾斜角时，要注意倾斜角的取值范围.六、课外作业

1．复习课文第4页9.1.2(1)直线的斜率.2．书面作业：第5页练习A第1(1)、(3)，2(2)、(4)，3(2)、(4)、(6)，4(2)、(4)题，练习B第1题.课题：9.1.2(2)直线的点斜式方程.教学目标：1．理解直线的点斜式方程的推导过程.2．掌握直线的点斜式方程和斜截式方程，理解斜截式直线方程中的意义.3．培养学生数形结合和转化的思想方法，培养逻辑思维能力.教学重点：直线的点斜式方程.教学难点：理解直线的点斜式方程的推导过程.教学方法:启发式讲授法.教学过程：

一、复习提问 1．叙述直线倾斜角的定义.2．直线的斜率是怎样定义的？

3．求斜率公式的内容是什么？各字母的含义分别是什么？

二、导入和讲授新课 1．直线的点斜式方程.上节课我们学习了直线的斜率的定义和求斜率公式，今天我们来研究，已知过点为(图9－5)的直线的方程.(，)，斜率

设点(，)为直线上不同于(，)的一动点，由的斜率为，所以它的一个方向向量为(1，)，依直线的点向式方程，得

(－ 整理，得)－（－)＝0.这个方程是由直线上一点式方程.特别地，当＝0时，直线方程变为

这时直线平行轴或在轴上.2．直线的斜截式方程.＝

.(，)和斜率所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜 在直线的点斜式方程中，如果的点斜式方程为

＝0，＝，即直线通过点(0，)，且斜率为(图9－6)，则直线

整理，得

－＝(－0).轴交点的纵坐标 这种形式的方程，是我们熟知的一次函数的解析式，其中为直线的斜率，直线与叫做该直线在轴上的截距，这个方程叫做直线的斜截式方程.另外直线与轴交点(，0)的横坐标叫做该直线在轴上的截距.3．例题

例7 求下列直线的方程：(1)直线：过点(2，5)，倾斜角为135°；

(2)直线：过点(2，1)和点(3，4).分析：(1)知倾斜角为135°，可求出斜率＝tan 135°，用直线的点斜式方程.(2)先由直线经过的两点的坐标，用斜率公式先求出斜率，用直线的点斜式方程；如果用两点求出方向向量，则可用点向式方程求解.解：(1)直线过点(2，5)，斜率＝tan 135°＝－1，由直线的点斜式方程，得 整理，得的方程为

＋

－7＝0.－5＝－1(－2).(2)(用点斜式方程求解)直线的斜率

直线过点(2，1)，由直线的点斜式方程，得

整理，得的方程为

3－，－1＝3(－2).－5＝0.(用点向式方程求解)直线的方向向量为(3―2，4―1)＝(1，3)，直线过点(2，1)，由直线的点向式方程，得

3(－2)(整理，得的方程为

3－

－5＝0.－1)＝0.例8 求过点(0，1)，斜率为 的直线方程.轴上，分析：此题可直接用直线的点斜式方程求出该直线的方程，但考虑到直线经过的点(0，1)在表明直线在轴上的截距为1，所以用直线的斜截式方程.解：直线过点(0，1)，表明直线在求直线方程为

轴上的截距为1，又直线斜率为，由直线的斜截式方程得所

例9 已知直线经过 分析：点

.(3，0)，斜率为－2，求它的方程.(3，0)在轴上，不能用直线的斜截式方程，用点斜式方程.解：由直线的点斜式方程，得所求直线方程为

整理，得所求直线方程为

＝―2(―3).2＋ 例10 已知直线经过(，0)，－6＝0.(0，)，(≠0，≠0)，求该直线的方程.解：由直线过点过直线的点斜式方程，得(，0)，(0，)，可求出该直线的斜率为，又直线过点(，0)，由

整理，得所求直线的方程为

三、课堂练习

＋

－

.＝0.第7页练习A第1(2)、(4)、(6)，2，3(1)、(3)、(5)、(7)、(8)题.四、课堂小结

引导学生和教师一起将本节的内容总结成下表：

五、课外作业

1．复习课文9.1.2 直线的点斜式方程.2．书面作业：第7页第3(2)、(4)、(6)、(9)题，第8页练习B第1题，第24页习题9－1A第1(3)、(4)、(5)、(6)题，第26页习题9－1B第4题.3．预习作业：预习9.1.3直线的点法式方程.课题：9.1.3直线的点法式方程.教学目标：1．理解直线点法式方程的推导过程，了解直线的法向量与方向向量的关系.2．掌握直线的点法式方程，并能解决有关问题.3．培养学生数形结合，转化的数学思想.4．培养学生事物是相互联系，相互转化的辩证唯物主义观点，培养逻辑思维能力.教学重点：直线点法式的方程.教学难点：直线的法向量的理解及其应用.教学方法：讲授法.课堂类型：新授课.教学过程：

一、复习导入

1．复习提问学生回答，教师板书.(1)已知直线过(，)，一个方向向量为＝(，)，它的点向式方程是什么样的？

(2)说出下列直线的点向式方程：

①直线过(1，2)，一个方向向量为＝(3，4)；

②直线过原点，一个方同向量为＝(3，4)；(3)已知直线的方程为3(－1)－2(2．导入新课

在1(1)题中，我们把题目所求改成求过点求这个方程？

教师口述，提出问题，引导学生思考，若有学生能说出用向量内积求方程的思路，则教师按学生思路求出方程；若没有，教师给出点法式推导过程.下面我们介绍直线方程的另一种形式，直线的点法式方程.，且与向量＝(，)垂直的直线的方程，那么如何

＋1)＝0，说出它的一个方向向量.教师口述，并板书课题.二、课授新课

1．概念

如图(出示小黑板)(9－7)已知点且与向量垂直的直线的方程，设

(，)，＝()是一动点，)，且是非零向量，求过点(，)，(，∈的充分必要条件是(教师口述)或(教师板书).换用坐标表示，上述充要条件可写为(教师口述).(－)＋(－)＝0(5)(教师板书).这个方程叫做直线的点法式方程，叫做直线的法向量.(教师口述.)2．例题

例9(出示小黑板)求过点 启发学生回答教师板书.解：由直线的点法式方程，得

3(－3)＋(－4)(整理，得

3－4

三、课堂练习

1．第9页练习A第1题.－1＝0.－2)＝0.(3，2)，且与向量＝(3，－4)垂直的直线方程.出示小黑板逐步出示各题，组织学生口答或抢答，教师板书.2．求通过点(1)(2)(3)(4)，且垂直于向量的直线方程：

(1，2)，＝(3，－4)；(－1，2)，＝(3，4)；(3，－2)，＝(－3，－4)；(3，－2)，＝(－2，5)；，(－5，6)，(－1，－4)，(3，2)求

三条高线所在的直线方程.3．已知 出示小黑板引导学生画出图来，标出三条高线.四、课堂小结

投影小结内容，教师口述.注 直线方程都可以化为

＋

＋

＝0的形式.1．复习教材第8～9页，9.1.3直线的点法式方程.2．书面作业第9页练习A第2题，练习B第3题，第24页习题9－1A，第5，9题.课题：9.1.3 直线的点法式方程.教学目标：

1．理解直线的法向量.2．理解直线的点法式方程的推导过程；掌握直线的点法式方程.3．进行数形结合思想的教育，培养逻辑思维能力.教学重点：直线的点法式方程.教学难点：对直线的法向量的理解.教学方法：启发式讲授法.教学过程：

一、复习提问

1．什么样的向量叫直线的方向向量？

2．用直线的点向式方程求直线的方程需要什么条件？用直线的点斜式方程呢？

二、导入新课

我们知道，直线的方向向量是与它平行的非零向量，那么与直线垂直的非零向量叫什么呢？叫法向量.由直线的法向量和直线经过一点，也能求出直线方程，今天我们就来学习9.1.3直线的点法式方程.三、讲授新课

想一想：过平面内一点，并且和一个非零向量垂直的直线有几条？(给学生一定的思考、议论时间)教师分析，在平面几何中学过，过直线外一点，向这直线引垂线，只能引一条，所以在平面内过一点，并且与一个非零向量垂直的直线有且只有一条.这就是说，过一点并且与一个非零向量垂直确定一条直线.我们把与一条直线垂直的非零向量叫做这条直线的法向量.显然，一条直线的法向量不唯一，它们都是相互平行(共线)的.现在我们用直线的法向量来推导直线的方程.已知直线过点 设(，(，)(图9-7)，的一个法向量为＝（的充分必要条件是，)，求直线的方程.)是一动点，换用坐标表示，上述充要条件可写为

(－)＋

（－

.)＝0.(5)

方程(5)是由直线上一点线的点法式方程.2．直线的法向量与方向向量的关系.直线(5)的法向量为＝(设，＝(，－×)，＋×(－)＝0.，－)就是直线的一个方向，)，(，)和的一个法向量＝(，)确定的，因此这个方程叫做直 则有·＝ 所以⊥.这就是说，如果是直线的一个法向量，则向量＝(向量.3．例题

例1 已知直线的一个方向向量，求它的一个法向量.(1)；(2)＝(0，1)；(3)＝(1，0).解：由直线的方向向量和其法向量的垂直关系，用向量的内积定义可得

(1)例2 求过点 ；(2)＝(1，0)；(3)＝(0，1).(1，2)，且与向量＝(3，－4)垂直的直线方程.解：由直线方程的点法式，得

3(－1)＋(－4)(整理，得所求直线方程为

3－4

四、课堂练习

第9页 练习A 第1，2(1)、(3)题，练习B 第3题.五、课堂小结

－2)＝0.＋5＝0.1．过一点(，)且与一个非零向量＝（(－)＋，（）垂直确定一条直线，这条直线的点法式方程为 －)＝0.＝(，)叫这条直线的法向量.直线的法向量不唯一.(－)－

（－)＝0，其中＝(，)2．注意点法式方程的特点与直线的点向式方程为方向向量之间的区别.3．直线的法向量和直线的方向向量有互相垂直的关系可以利用.六、课外作业

1．复习作业：阅读9.1.3课文

2．书面作业：第9页练习A 第2(2)、(4)题，练习B第2题.3．预习作业：预习9.1.4直线的一般式方程.课题：9.1.4 直线的一般式方程.教学目标：1．理解直线与二元一次方程的关系，掌握直线的一般式方程及其系数的几何意义.2．培养学生数形结合的思想方法，培养逻辑思维能力.3．对学生进行事物是相互联系，变化的，对立统一的辩证唯物主义观点教育.教学重点：直线与二元一次方程的对应关系.教学难点：对二元一次方程系数的几何意义的理解.教学方法：启发式讲授法.课堂类型：新授课.教学过程：

一、直观导入

1．提出问题：前面我们学过的任一条直线都可写出它的点向式方程，而直线的点向式方程都是二元一次方程，这就是说每一条直线方程都是关于，的图象都是直线呢？(教师口述.)2．直观导入：下面我们看计算机，决定二元一次方程的值.下面我们任意给一次方程2－3象.(计算机演示)从以上计算机演示我们可以看出，二元一次方程的图象都是直线.这就是今天我们所要学习的直线的一般式方程.(教师口述，并板书课题.)

二、讲授新知

1．下面我们从理论上对上述结论给予证明.(教师口述.)定理：每一个二元一次方程的图象都是直线.(教师板书.)证明：任给一个二元一次方程

设(，)是方程的一个解，得

(1)－(2)得

建立直角坐标系述：

因为每一个二元一次方程的图象都是一条直线，所以我们常说，直线

＋

＋

＝0.(－

（）＋，（－)＝0.(3)(教师板书.)，)，方程(3)就是通过点，且垂直于

＋

＋

＝0.(2)(教师板书.)

＋

＋

＝0，(1)(教师板书.)，赋予三个值，即

＝2，，＋

＋

0图象的是三个系数，的二元一次方程.反过来，是否每一个二元一次方程

＝－3，4，输入计算机，即得到二元＋4＝0的图象，以此类推，连续给赋值，就会得到不同二元一次方程的图，取点)，向量＝(向量的直线方程，这就证明了每一个二元一次方程的图象都是一条直线.(教师口述.)出示投影教师口 这个方程又常说成直线的一般式.2．二元一次方程中系数的几何意义(教师板书).由直线 ＝(，＋＋＝0中，＋的系数＋，所确定的向量＝(，)与这条直线垂直.)叫做直线＝0的垂直向量.)垂直，所以向量(－，)与直线

＋

＋

＝0 因为向量(－平行.(－，)与向量＝(，)为直线＋＋，＝0的方向向量.)为直线

＋

＋

＝0的一个法向量；向量(－，)于是我们得到，向量＝(为直线＋＋＝0的一个方向向量.，)都与直线

＋

＋

＝0垂直，(－，)都与直线

＋ 换句话说，向量＝(＋＝0平行.三、例题分析

例1(出示小黑板)求通过(－2，5)且与直线：4－

3＋9＝0垂直的直线方程.(由已知条件，根据推论启发学生，回答所求直线的法向量或方向向量.)解：

或 3(＋2)＋4(即 3＋－5)＝0，－14＝0.(教师板书以上三式.)

＋9＝0平行的直线方程.例2(出示小黑板)求过点(3，－4)，且与直线：3＋7(启发学生回答出所求直线的法向量或方向向量，然后写出直线的点法式方程或点向式方程.)解： 3(－3)＋7[

－(－4)]＝0 或 即 3＋7

.＋19＝0.(教师板书以上三式)

四、课堂练习

1．第11页练习A第1(1)、(3)、(4)，2(1)、(4)，3题 2．补充题：

已知(－1，－2)，(2，1)，(0，4)，求

三条高所在直线的方程.出示投影，要求学生画出图表示三条高线同的学生，到黑板前板书.五、课堂小结

用投影出示小结内容教师口述.，，然后巡视，发现不同解法，找三位解法不

注在本节正式提出直线方程的一般式，直线方程的这几种形式是可以相互转化的，但最后一般都化为一般式.要注意这一点.六、布置作业

1．看书9～11页，9.1.4直线的一般式方程.2．书面作业：第11页练习A第1(2)，2(2)、(3)题，第24页习题9－1A第5题.课题：9.1.4 直线的一般式方程.教学目标：1．理解直线与二元一次方程的关系，掌握直线的一般式方程及其系数的几何意义.2．培养学生数形结合的思想方法，培养逻辑思维能力.3．对学生进行事物是相互联系，变化的，对立统一的辩证唯物主义的观点教育.教学重点：直线与二元一次方程的对应关系.教学难点：对二元一次方程系数的几何意义的理解.教学方法：讲授法.课堂类型：新授课.教学过程：

一、复习导入

1．复习提问.(1)什么是直线的点法式方程？(学生回答，教师板书.)(2)直线的方程都是几元几次方程？(学生回答.)2．导入新课：前面我们学习了求直线的方程，通过求直线的方程我们知道，直线的方程都是二元一次方程；反过来，是否每一个二元一次方程的图象都是直线呢？这就是我们今天所要研究的问题.(教师口述这些导入语，并板书课题，导入新课.)

二、讲授新知

1．下面我们看定理：

定理(教师板书)每一个二元一次方程的图象都是直线.证明：任给一个二元一次方程

设(，)是方程的一个解，得

(1)－(2)得

(－)＋

（－)＝0.(3)(教师边分析，边板书.)＋

＋

＝0.(2)

＋

＋

＝0，(1)建立直角坐标系，取(，)，＝(，)，方程(3)就是通过点，且垂直于向量的直线方程，这就证明了每一个二元一次方程的图象都是一条直线.(教师口述.)(教师口述并板书)因为每一个二元一次方程的图象都是一条直线，所以我们常说，直线＝0，这个方程又口述常说成直线的一般式.2．二元一次方程中系数的几何意义.由直线 ＝(，＋＋＝0中的，＋

＋，的系数，所确定的向量＝(，)与这条直线垂直.＋

＋)是直线，＝0的法向量.)垂直，所以向量(－，)与直线

＋

＋

＝0平行.因为向量(－ ＝(－，)与向量（＋，)为直线＋)为直线

＝0的方向向量.＋

＋

0的一个法向量；向量(－，)为直 由此我们得到，向量(线＋＋＝0的一个方向向量.，)都与直线垂直，(－，)都与直线

＋

＋

＝0平行.(教 换句话说，向量＝(师用幻灯打出内容.)对任意非零实数，(＋ ＋，)是直线＋＋＝0的法向量；向量(－，)是直线＝0的方向向量。

三、例题分析

例1(出示小黑板)求通过(－2，5)且与直线：4－

3＋9＝0垂直的直线方程.解：(教师板书)因为向量(4，－3)与直线垂直，所以向量(4，－3)与所求的直线平行.由点向式方程，可得直线方程为

即 3＋

4－14＝0.，例2(出示小黑板)求过点(3，－4)，且与直线l：3＋7＋9＝0平行的直线方程.解：(教师板书)因为所求直线与已知直线平行，所以直线的法向量与所求直线垂直，由直线方程的点法式，可得所求直线方程为

3(－3)＋7[

－(－4)]＝0，＋19＝0.即 3＋7

四、课堂练习

1．第11页练习A第1题.2．(先让学生看书审题，然后教师提问，学生口答)已知直线：)、(－，)、(，－)与直线的关系.＋

＋

＝0分别说出向量(、3．求过点(1)(2)，且平行于直线的直线方程：(用幻灯投影，找一位学生黑板前板书)

＋1＝0； ＝0.(5，2)，：3－(－3，－4)，：＋(用投影，让学生审题后，找一位学生口答所得方程，先求点法式，然后再转化为一般式.)4．求过点和一般式求解.)(1)(2)(－2，1)，：3＋(2，0)，：－

3－3＝0； －4＝0.，且垂直于直线的直线方程：(出示投影后，将学生分成三组，分别用点向式、点法式(找学生口答所求方程.)

五、课堂小结

用投影出示小结内容，教师口述分析.注 在本节正式提出直线的一般式方程后，求直线方程不管用什么式，最后一般都要化成一般式，这一点要注意.六、布置作业

1．看书第9～11页，9.1.4直线的一般式方程.2．书面作业：第11页练习A第2题，第3题，第24页习题9－1A第5题.课题：9.1.4 直线的一般式方程.教学目标：1．理解直线与二元一次方程的关系

2．理解直线的一般式方程，能由直线的一般式方程的系数直接写出的它的一个方向向量和一个法向量，反之，已知方向向量或法向量，也能直接写出直线方程中和的系数.3．会由直线的一般式方程，求出该直线的斜率和在两坐标轴上的截距.4．培养学生数形结合和转化的思想，培养学生逻辑思维能力.5．渗透辩证唯物主义思想教育.教学重点：直线与二元一次方程的关系和直线的一般式方程.教学难点：直线与二元一次方程的关系

教学方法：启发式讲授法.教学过程：

一、复习提问

1．什么叫直线的法向量？ 2．已知直线过点

二、导入新课

前几节我们学习了直线的点向式方程，点斜式方程，点法式方程，大家还记得吗，我们用这些不同的方程求出直线的方程后，都可整理成一个统一的形式，即

＋

＋

＝0(其中，为常数，不全为零).(，)，又知它的一个法向量为＝(，)，那么它的点法式方程是什么？

这样形式的直线方程就是我们今天所研究的：直线的一般式方程(板书课题9.1.4直线的一般式方程)

三、讲授新课

1．直线与二元一次方程的关系，直线的一般式方程.大家知道，任何一条直线都可以由其上不同的两点所确定.我们取其上一个点，及其上两个不同的点所确定的一个向量为方向向量，就可以写出它的点向式方程.我们知道直线的点向式方程是一个二元一次方程.因此可以说，每一条直线方程都是一个关于，的二元一次方程.(这个结论要重点板书在黑板上.)反过来，我们要问，是否每一个二元一次方程的图象都是直线呢？下面我们来研究这个问题.关于，的二元一次方程的一般形式为

设(，＋

＋

＝0(，不全为零).(1))是方程的一个解，得

＋

＋

＝0.(2)(1)－(2)得

建立直角坐标系

(－

()＋，（－)＝0.(3)，)，方程(3)就是通过点，并与向(图9－8)，作)，＝(量垂直的直线方程.又因方程(1)和(3)是同解方程，因此，我们得到结论：

关于，的二元一次方程 的图象是一条直线.我们把这个方程叫做直线的一般式方程.＋

＋

＝0(，不全为零)因为每个二元一次方程的图象都是一条直线，所以把直线的方程就叫做直线 2．由上述结论的证明过程，还可以得到：(1)向量＝(条直线的方向向量.(2)由关于，的二元一次方程

＋

＋

＝0(，不全为零)，)为直线

＋

＋

＝0的法向量，向量＝(，－

＋＋＝0.)或(－，)为这的图象是一条直线和前面所得的结论：每一条直线的方程都是一个关于，为研究二元一次方程的代数问题.3．例题

例10写出下列直线的一个法向量和一个方向向量：(1)3－4－1＝0；(2)2－3＝0；(3)

3＋1＝0.的二元一次方程，表明了在平面直角坐标系中，二元一次方程与直线的一一对应关系.这样，我们就可以把研究直线的几何问题转化 解：(1)直线的一个法向量为(3，－4)，一个方向向量为(－4，3)；(2)直线的一个法向量为(2，0)，一个方向向量为(0，2)；(3)直线的一个法向量为(0，3)，一个方向向量为(3，0).(此例的教法为用投影仪打出，或用小黑板把题目和解都写出，让学生看.)总结：

给直线方程的一般式，要求它的法向量和方向向量，一般先写出直线的法向量，然后由垂直向量坐标之间的关系，只要保证内积为零而写出一个方向向量就行了.例13 求通过点(－2，5)，且与直线：4－3

＋9＝0垂直的直线方程.分析：与直线垂直，即与的法向量平行，即的法向量，可作为所求直线的方向向量，于是可用直线的点向式方程；如果求出的一个方向向量，则这个方向向量可作为所求直线的法向量，所以此题也可用直线的点法式方程来作.重点在引导学生来分析，解法可以很快的写出来.解：因为向量(4，－3)与直线垂直，所以向量(4，－3)与所求的直线平行.由点向式方程，可得直线方程为

整理，得直线方程

3＋4 例14 求过点

.－14＝0.(1，－4)，并且与向量＝(3，2)垂直的直线方程.(1，－4)，分析：所求直线与向量＝(3，2)垂直，所以＝(3，2)是它的一个法向量，又知它过点显然可以直接用直线的点法式方程作.但若用待定系数法作，此题可以用条件与向量＝(3，2)垂直，即是它的一个法向量再由直线的一般式方程中用直线过点将求出.此题也可以由过点，的几何意义而设所求直线方程为3＋

2＋

＝0，再

(1，－4)用点斜式方程，将斜率作为待定系数把方程设出来，主要考虑结合本节知识内容.然后再用直线与向量垂直，把斜率求出来.教材中用的是待定 解：因为向量＝(3，2)与所求直线垂直，所以是所求直线的一个法向量.因此，可设所求直线的一般式方程为

3＋2其中待求.(1，－4)，代入方程(1)，解得

＝5.＋

＝0，又直线过点 所以所求直线方程为

3＋2

四、课堂练习

＋5＝0.第11页 练习A第1(2)、(3)，3(1)题，练习B第2题.五、课堂小结

用投影仪打出小结内容.1．直线的一般式方程量＝(，－)或(－，)为这条直线的方向向量.＋

＋

＝0，则说＋

＋

＝0(，不全为零)，向量＝(，)是它的法向量，向 2．在平面直角坐标系中，二元一次方程与直线一一对应.若直线的方程是直线＋＋＝0.六、课外作业

1．复习课文9.1.4直线的一般式方程.2．书面作业：第24页习题9－1A第21题，第11页练习A第1(1)、(4)，2，3(2)题.3．预习作业：预习9.2.1两条直线平行或重合的条件.注视学生的实际情况，本教案也可调整为两课时，第一课时重点讲授概念，第二课时重点解决例题，这样的话，教材中例11也可安排进来，不过例12最好放到9.2.4两条直线交点一节中去.实质上，直线在，轴上的截距就是求它与两坐标轴(直线