直线与方程的教案

教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。下面是小编收集整理的《直线与方程的教案》，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

第一篇：直线与方程的教案

4、2、3直线与圆的方程的应用教案

教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学”

heda2007@163.com

4、

2、3直线与圆的方程的应用

学案编写者：黄冈实验学校数学教师孟凡洲

一、【学习目标】

1、坐标法求直线和圆的应用性问题;

2、面积最小圆、中点弦问题的解决方法. 【教学效果】：教学目标的给出，有利于学生整体上把握课堂.

二、【自学内容和要求及自学过程】

直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，本节通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用.

1、自学例

4、例5，体会其中的解题方法和技巧(坐标法解题) <1>教材上例

4、例5都是用坐标法解决几何问题的，你能否总结 一下坐标法(代数法)解决几何问题的步骤吗?

<2>解决直线与圆的问题时，一般采用坐标法(代数法)、几何法来解决问题，多数是采用圆心到直线的距离与半径的关系来解 决，我们教材上例

4、例5采用了代数法，你能用几何法来完 成例4吗?试着作一下! <3>比较几何法和坐标法，你认为那种方法比较简便实用?

结论：<1>第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题;第二步：通过代数运算，解决代数问题;第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论;<2>过点P2作P2HOP.由已知，|OP|4,|OA|10.，在RTAOC中，有|CA||CO||OA|,设拱圆所在的半径为r，则有r222222222(r4)10.

2222解得r14.5.RTCP2H中，有|CP2||CH||P2H|.根据图形我们可以知道|P2H||OA2|=2，|CH|r|OA2|14.54206.25又|OC|14.5410.5|OH||CH||CO|，于是有我们可以很容易得到下列结论，结论如下：

206.2510.514.3610.53.86，所以支柱A2P2的长度约为3.86cm.<3>我们把两种方法比较，会发现坐标法同通俗易懂，而几何法比较难想，繁琐，因此解题时要有所选择. 练习：完成教材练习

1、

2、

3、4题.

2、面积最小圆问题、中点弦轨迹问题

例

1、求通过直线2xy30与圆xy2x4y10的交点，且面积最小的圆的方程. 结论：解法一：利用过两曲线交点的曲线系.我们可以设圆的方程为

xy2x4y1(2xy3)0.配方得到标准式方程如下所示(x1)(y2/2)(1)(2/2)31，可以得到黄冈实验学校高一数学讲义

编写者：孟凡洲 QQ：191745313

1 22222222教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学”

heda2007@163.com r2(5/4)45/4(2/5)19/5，当2/5时，此时半19/5，所求圆的方程为(x3/5)(y9/5)19/5.解法二：

222径r22利用平面几何知识.以直线与圆的交点A(x1,y1),B(x2,y2)连线为直径的圆符合条件.把两个方程式联立，消去y，得5x6x20.因为判别式大于零，我们可以根据根与系数的关系也即韦达定理得到线段AB的中点的横坐标为x0(x1x2)/23/5，y02x039/5，又半径r0.5|x1x2|.1222219/5(弦长公式)，所以所求的圆的方程是:(x3/5)(y9/5)19/5.解法三：我们可以求出两点的坐标，根据两点间距离公式和中点坐标公式求出半径和圆心，求出圆的方程. 例

2、已知圆O的方程为xy9，求过点A(1,2)所作的弦的中点的轨迹. 结论：解法一：参数法(常规方法)设过A所在的直线方程为y-2=k(x-1)(k存在时)，P(x,y)，则xy9,ykx(2k)，消去(1k)x2k(2k)xk4k50.所以我们可以y，得到如下方程2222222得到下面结果x1x22k(k2)/(k1)，利用中点坐标公式及中点在直线上，得：xk(k2)/(k1),y(k2)/(k1)(k为参数).消去k得P点的轨迹方程为xyx2y0，当k不存在时，中点P(1，0)的坐标也适合方程.所以P点的轨迹是以点(1/2,1)为圆心，5/2为半径的圆.解法二：代点法(涉及中点问题可考虑此法)我们可以设过点A的弦为MN，则可以设两点的坐标为M(x1,y1),N(x2,y2).因为M、N都在圆上，所以我们可以得到x1y19,x2y29，然后我们把两式向减可以得到：(x1x2)[(y1y2)/(x1x2)].(y1y2)0(x1x2).设P(x,y)则x(x1x2)/2,y(y1y2)/2.所以由这个结论和M、N、P、A四点共线，可以得到(y1y2)/(x1x2)(y2)/(x1)(x1).所以2x+[(y-2)/(x- 1)]2y=0，所以P点的轨迹方程为xyx2y0(x=1时也成立)，所以P点的轨迹是以点(1/2,1)为圆心，5/2为半径的圆.解法三：数形结合(利用平面几何知识)，由垂径定理可知OPPA,故点P的轨迹是以AO为直径的圆. 【教学效果】：这一部分知识内容比较艰涩，但是是高考的考点，要求基础好的同学能完全彻底理解.

三、【作业】

1、必做题：习题4.2B组的

2、

3、4题;

2、选做题：习题4.2B组第5题. 黄冈实验学校高一数学讲义

编写者：孟凡洲 QQ：191745313

22222222222教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学”

heda2007@163.com

四、【小结】

本节课主要学习了坐标法解决圆和直线的应用性问题、中点弦问题、面积最小圆问题.这节课的重点是中点弦问题，中点弦问题时高考的一个考点，也为我们以后学习双曲线、抛物线、椭圆做一个预演.这节课学习完以后要求学生能达到熟练的解决中点弦问题以及有一定的解决综合性问题的能力.

五、【教学反思】

作为高一的学生，这部分知识比较艰涩，所以允许部分学生听不懂，但是要求每一个学生都要知道，这部分内容是高考的考点.

黄冈实验学校高一数学讲义

编写者：孟凡洲 QQ：191745313

第二篇：直线的参数方程教案[推荐]

直线的参数方程

(一)

三动式学案 黄建伟

教学目标：

1. 联系向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用.

2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、从特殊到一般的推理等数学思想.

3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研 的科学精神、严谨的科学态度、合作学习的习惯. 教学重点：联系向量等知识，写出直线的参数方程.

教学难点：通过向量法，建立参数t与点在直角坐标系中的坐标x,y之间的联系.

教学方式：启发、探究、交流与讨论. 教学手段：多媒体课件. 教学过程：

一、 课前任务驱动

1.已知直线l:y3x1的倾斜角为，则tan______ sin______; cos_______ 2.已知直线经过点 M0(x0,y0)，斜率为k，则直线的方程为__________

3.已知向量a(2,3)，则a=______向量a的单位向量e=________,设ate，则t=_______.

4已知点M0(x0,y0)，M(x,y)，单位向量e(cos,sin)，向量M0Mte，则

1 x_______________

y___________

5. 已知直线l:xy10与抛物线yx2交于A,B两点，求线段AB的长度和点M(1,2)到A,B两点的距离之积.

二、课堂师生互动

一、探究直线参数方程

问题一：经过点 M0(x0,y0)，倾斜角为2的直线l的普通方程是?请写出来。

2 问题二：已知直线l上一点M0(x0,y0)，直线l的倾斜角为，直线上的的动点M(x,y)，设e为直线l的单位方向向量(单位长度与坐标轴的单位长度相同)，那么我们能利用表示出直线l单位方向向量e吗?请表示出来。

问题三：根据向量的共线定理，则存在实数t使得你能根据这个式子将有关x,y的等式表M0Mte，示出来吗?请写出来。

思考以下问题：

直线的参数方程中哪些是变量?哪些是常量?

x2tcos10练习1：直线(t为参数)的倾斜角是( ) y1tsin10A.80 B. 170 C.10 D.100

x3tsin20练习2：直线(t为参数)的倾斜角是( ) y1tcos20A.20 B.70 C.110 D.160

练习3：直线l:xy10的一个参数方程(过点M(1,2))是___________

3 

二、探究直线参数方程参数的几何意义

xx0tcos问题一：由M0Mte，你能得到直线l的参数方程(t为参数)

yy0tsin中参数t的几何意义吗?t的取值范围是多少?

三、探究直线参数方程参数的运用

(一)探究过程

直线l:xy10的一个参数方程(过点M(1,2))是___________ (1)当y0时，对应的参数t1=_______;对应的点A为_________. (2)当x2时，对应的参数t2=______;对应的点B为________. (3)AB=___________;t2t1=____________ (4)MAMB=_________;t2t1=__________ 结论1：

结论2：

xx0tcos探究：直线  (t为参数)与曲线yf(x)交于M1,M2两点，yytsin0

4 对应的参数分别为t1,t2，设点M(x0,y0)。 (1)曲线的弦M1M2的长是多少? (2)MM1MM2是多少?

(二)例题讲练

例1.已知直线l:xy10与抛物线yx2交于A,B两点，求线段AB的长度和点M(1,2)到A,B两点的距离之积.

课堂练习：

41、已知过点P(2,0)，斜率为的直线和抛物线y22x相交于A,B两点，求

3PAPB的值。

课堂小结：

1、知识小结

5

2.思想方法小结

三、课后培育自动

1.经过点M(1，5)且倾斜角为参数方程是( ) 1111x1tx1tx1tx1t2222A. B. C.  D. 

3333y5y5y5y5tttt2222x22tt为参数上与点P2，

2、直线3距离等于2的点的坐标是 . y32t的直线，以定点M到动 点P的位移t为参数的3xtcosx42cos

3、直线与圆相切，则______ ytsiny2sin

4、经过点P(−1，2)，倾斜角为 4 的直线 l与圆 x2 +y2 = 9相交于A，B两点，求PAPBPA +PB和PAPB的值。

第三篇：直线的方程(二) 教案示例

亿库教育网

http://

直线的方程(二)·教案示例

目的要求

1.掌握直线方程的两点式和截距式，并能运用这两种形式求出直线的方程. 2.培养学生的数形结合的数学思想. 内容分析

本节课的重难点是关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式的讨论及变形. 直线方程的两点式可由点斜式导出.对于直线方程的两点式的理解，应明确以下几点： (1)当直线平行于坐标轴时，即当直线没有斜率(x1=x2)或斜率为0(y1 =y2)时，不能用两点式yy1xx1求出它的方程，但可以把两点式y2y1x2x1

化为整式形式：(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)就可以利用它求出过平面内任意两个已知点的直线的方程.

若x1=x2，y1≠y2，则有x2-x1=0即x=x1; 若y1=y2，x1≠x2，则有y-y1=0即y=y1.

(2)若已知两点恰好在坐标轴上(非原点)，则可用两点式的特例截距式写出直线的方程.由于由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便.

(3)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式.但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在;当直线通过原点时，两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式.

本节课有两个例题.例2是直线方程的截距式的推导，即直线方程的两点式的应用.例3是两点式方程的灵活应用.

教学过程

1.复习提问.

(1)什么叫直线方程的点斜式?它是如何导出的? (2)已知直线分别经过下列两点，求直线的方程. ①A(2，1)、B(0，-3); ②A(0，5)、B(5，0); ③A(-4，-5)、B(0，0);

④A(x1，y1)、B(x2，y2)，(x1≠x2). 让学生口答上述解题过程和答案. 2.讲授新课.

(1)直线方程的两点式推导

针对上述第④小题师生共同归纳：

已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤： ①利用直线的斜率公式求出斜率k， ②利用点斜式写出直线的方程.

如第④小题：k=y2y1(x≠x2)，x2x11

y2y1(x-x1)(Ⅰ)x2x1 ∴l的方程为：y-y1=亿库教育网

http://

亿库教育网

http:// 当y1≠y2时，方程(Ⅰ)可以写成yy1xx1，(Ⅱ)y2y1x2x1

由于(Ⅱ)这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式. (2)组织讨论

①(Ⅰ)式与(Ⅱ)式有何区别与联系?为什么把方程(Ⅱ)作为直线方程的两点式?

学生甲1：(Ⅱ)式是由(Ⅰ)式导出的，它们表示的直线范围不同.(Ⅰ)式中只需x1≠x2，它不能表示倾斜角为90°的直线的方程;(Ⅱ)式中x1≠x2且y1≠y2，它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程，但(Ⅱ)式相对于(Ⅰ)式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆.

②两点式公式运用时应注意什么? 学生乙1：应注意分类.

已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)

yy1xx1a若x1≠x2且y1≠y2，则直线l方程为;y2y1x2x1

b若x1=x2且y1≠y2，则直线l方程为x=x1; c若x1≠x2且y1=y2，则直线l方程为y=y1.

③(Ⅱ)式变形为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)可用于求过平面上任意两点的直线方程吗? 学生丙1：可以.

(3)讲解例2即直线方程的截距式推导.

已知直线l与x轴交于P1(a，0)，与y轴交于P2(0，b)，其中a≠0，b≠0，求直线l的方程. 解：因为直线l经过P1(a，0)和P2(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得

y0xa=b00axy就是+=1ab(Ⅰ)(Ⅱ)

点评：(Ⅱ)这个方程形式对称、美观.其中a是直线与x轴交点的横坐标，称a为直线在x轴上的截距，简称横截距;b是直线与y轴交点的纵坐标，称b为直线在y轴上的截距，简称纵截距.

因为方程(Ⅱ)是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，所以方程(Ⅱ)式叫做直线方程的截距式. (4)组织讨论

①a、b表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离?

学生甲2：a、b表示的截距分别是直线与坐标轴x轴交点的横坐标，与y轴交点的纵坐标，而不是距离. ②截距式不能表示平面坐标系下哪些直线?

学生乙2：截距式不能表示平面坐标系下在x轴上或y轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.

(5)口答练习(用投影仪打出) 下列直线方程的截距式是怎样的〉 ①横截距为2，纵截距为3; ②横截距为-5，纵截距为+6; ③横截距为-2，纵截距为-3; ④横、纵截距都为-3. (6)讲解例3：

三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(如图7-16)，求这个三角形三边所在直线的方程.

亿库教育网

http://

亿库教育网

http://

分析：根据A、B、C三点坐标的特征，求AB所在的直线的方程应选用两点式;求BC所在的直线的方程应选用斜截式;求AC所在的直线的方程应选用截距式.

y0x(5)解：AB边所在直线的方程，由两点式得：=即3x303(5) 2(3)+8y+15=0，BC边所在直线的方程，由斜截式得：y=x+203 xy即5x+3y-6=0，AC边所在直线的方程，由截距式得：=1即52

2x-5y+10=0.

(7)反馈练习(用投影仪打出) ①求经过点P(4，5)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程.

②直线l过(0，0)且平分平行四边形ABCD的面积.已知平行四边形两个顶点B(1，4)、D(5，0)，求直线l的方程.

③一直线l过P(-5，-4)且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求此直线的方程. (8)小结. ①填表：

方程名称已知条件直线方程示意图应用范围两点式截距式 ②特例：

Ⅰ)倾斜角α=0°时，直线l的方程为y=y1;

Ⅲ)直线l过原点(0，0)且倾斜角α≠90”时，直线l方程为y=kx(其中k为直线l的斜率). ③注意事项

对于“截距相等”或“横截距是纵截距多少倍”等相关问题应分两类讨论： Ⅰ)过原点(0，0)， Ⅱ)不过原点(0，0). 布置作业

习题7.2第

6、

7、

8、

9、10题.

亿库教育网

http:// Ⅱ)倾斜角α=90°时，直线l的方程x=x1;

第四篇：《2-3 直线的参数方程》教案

选修4-4 2-3直线的参数方程(第二课时)

一、教学目标：

知识与技能：掌握直线的参数方程。

过程与方法：.通过直线参数方程的应用，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会数形结合、转化等数学思想。

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二重难点：教学重点：对直线的参数方程的考查。

教学难点：直线的参数方程中参数t的几何意义。

三、教学方法：自主学习与合作交流.

四、教学过程

(一)复习引入：

(1)经过定点M(x0,y0)，倾斜角为的直线的参数方程为

xx0tcos  (t为参数)。

yy0tsin【师生活动】教师提出如下问题让学生加强认识： ①直线的参数方程中哪些是变量?哪些是常量?

②参数t的取值范围是什么? ③参数t的几何意义是什么? 总结如下：①x0,y0，是常量，x,y,t是变量; ②tR;

③由于|e|1，且M0Mte，得到M0Mt，因此t表示直线上的动点M到定点M0的距离.当M0M的方向与数轴(直线)正方向相同时，t0;当M0M的方向与数轴(直线)正方向相反时，t0;当t0时，点M与点M0重合.

xx0tcos(2)直线  (t为参数)与曲线yf(x)交于M1,M2两点，yy0tsin对应的参数分别为t1,t2。

1 (1)曲线的弦M1M2的长是多少?

(2)线段M1M2的中点M对应的参数t的值是多少?

()1M1M2t1t2，

(2)tt1t2 2【设计意图】复习直线的参数方程，体会参数的几何意义。

(二)基础练习

x3tsin20(t为参数)1.直线 的倾斜角为________________。 ytcos20x=1+3t，2.已知直线l1： (t为参数)与直线l2：2x-4y=5相交于点B，求By=2-4t点坐标 ________。

【师生活动】教师投影展示问题，学生单独解答，师生共同予以纠正、完善。 【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程。

(三)直线的参数方程应用，强化理解

1、例题：已知直线l过P(-1,2)，且倾斜角A,B两点，

(1)求直线l的参数方程;(2)求点P到A，B两点的距离的积; (2)求线段AB的长;(3)求AB的中点M的点的坐标;

【师生活动】先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导。

【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力。

(四)高考在线——直线参数的应用技巧

34，与抛物线yx2交于

x12t,1.(2009广东理)(坐标系与参数方程选做题)若直线l1:(t为参数)与

y2kt. 2 xs,直线l2:(s为参数)垂直，则k 。

y12s.【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条直线垂直问题，基础题。 2.(2010.福建高考)

2x3t2在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为，在极坐标(t为参数)y52t2系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆的方程为25sin

(1)求圆的直角坐标方程;

(2)设圆与直线交于点A,B若点P的坐标为

3,5，求PAPB。

【考点定位】本小题考查极坐标化为普通方程、直线与圆锥曲线的参数方程的综合应用，中等题。

【师生活动】先由学生独立思考并动手解决，教师指导自查，互查。 【设计意图】通过本题训练，会使学生有一定的提升，一：高考题很有针对性，二：高考题难易得当，三：高考题起导向作用。要找出高考的考点和考试题型，再针对学生的不足加以强化。

(五)归纳总结，提升认识

【师生活动】先让学生从知识、思想方法以及对本节课的感受等方面进行总结.教师在学生总结的基础上再进行概括。 1.知识小结

本节课继续学习直线的参数方程，并进行了简单应用，体会了直线参数方程在解决有关问题时的作用。 2.思想方法小结

在研究直线参数方程过程中渗透了数形结合、转化等数学思想。

(六)布置作业 39页，第1题

第五篇：高中直线的两点式方程教案（模版）

直线的两点式方程

一、教学目标

1、知识与技能：(1)掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围; (2)了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。

2、过程与方法 让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。

3、情态与价值观 (1)认识事物之间的普遍联系与相互转化; (2)培养学生用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点

教学重点：掌握直线的两点式方程。

教学难点：直线的两点式方程的推导过程和理解它。

三、教具 ：三角板。学具：三角尺。

四、教学过程

(一)复习导入

上节课我们学习了直线的点斜式方程，现在同学们利用点斜式解答如下问题：①已知直线l经过两点P1,2),P2(3,5),求直线l的方程.②已知两点1(其中(x1x2,y1y2)，求通过这两点的直线方程。 P1(x1,x2),P2(x2,y2)y2y13yy(xx1) 学生解得：①y2(x1);②1x2x1

2(二)新课讲解

1 、直线两点式方程推导

教师指出：对于上面的②当y1y2时，方程可以写成

yy1xx1(x1x2,y1y2)

y2y1x2x1由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式。 思考;若点P中有x1x2，或y1y2，此时这两点的直线方1(x1,x2),P2(x2,y2)程是什么?

教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x1x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为：xx1;当y1y2时，直线与y轴垂直，直线方程为：yy1; 使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式。告诉学生经过点P的所有直线的方程可以写成： 1(x1,x2),P2(x2,y2)(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)0

2、例题讲解 例

1、已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a0,b0，求直线l的方程。

解得直线方程：

教师指出：a,b的几何意义和截距式方程的概念。

例

2、已知三角形的三个顶点A(-5，0)，B(3，-3)，C(0，2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。

教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择恰当方法求出边BC所在的直线方程和该边上中线所在直线方程。在此基础上，学生交流各自的作法，并进行比较。

3、课堂练习

课本107页的1.2.3题

4、课堂小结

先问学生：这节课学到哪些知识?可以解决哪些问题?让学生自由发言，教师再作补充。

5、作业

课本110页第1和第3题。

五、教学反思

本节主要讲授了直线的亮点是方程，是一节讲解课。

本节的知识内容是在学生学习了直线的点斜式方程的基础上引进的，所以在教学过程中，教师不仅可以了解学生掌握旧知的情况，同时还要引导学生过渡到新知。在解决问题的时候，教师要留给学生充分的思考与交流的时间，让学生开阔思路，培养学生的逻辑能力。

在教学设计上，不仅关注学生的思考过程，还要关注学生的思考习惯，本节的推理逻辑性较强，让学生动手、动脑、动笔去推导公式，让学生体会到数学的严谨性，并获得数学活动的经验，提高机自己的逻辑思维能力。

不足之处就是引用的例题不够理想，只是按照教材顺序进行，自己未能创新。 xy1 ab