双曲线及其标准方程

1 教学内容

(1) 探求轨迹 (双曲线) ; (2) 学习双曲线定义; (3) 推导双曲线标准方程并应用。

2 教学目标

认知目标:掌握双曲线的定义、标准方程, 了解双曲线及相关概念。

能力目标:通过学生的操作和协作探讨, 培养学生的实践能力和分析问题、解决问题的能力, 通过知识的再现培养学生的创新能力和创新意识。

情感目标:让学生体会知识产生的全过程, 体会解析法的思想。通过画双曲线的几何图形让学生感知几何图形曲线美、简洁美、对称美, 培养学生学习数学的兴趣。

3 教学重点与难点

双曲线及其标准方程的探求;领悟解析法思想。

4 教学过程

环节内容教学双边活动设计意图

复习问题1:椭圆的第一定义是什么? (哪几个关键点)

问题2:椭圆的标准方程是怎样的?

问题3:如何作椭圆?

学生回顾, 教师补充纠正。回顾椭圆学习过程, 本身具有复习提高价值。此处侧重于类比研究椭圆的思想和方法, 期望在双曲线学习中有一种方法引领。

引入新课:到两个定点的距离差为定值的动点轨迹?

过渡

探求轨迹问题:我们用什么方法来探求 (画出) 轨迹图形?用几何画板演示拉链的轨迹, 同时, 问题1:|MF1|与|MF2|哪个大?请学生回答, 不定:当M在双曲线右支上时, |MF1|>|MF2|;当点M在双曲线左支上时, |MF1|<|MF2|。问题2:点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|?请学生回答, 不一定, 也可以是|MF2|-|MF1|。正确表示为||MF2|-|MF1||。问题3:这个常数是否会大于等于|F1F2|?请学生回答, 应小于|F1F2|且大于零。当常数=|F1F2|时, 轨迹是以F1、F2为端点的两条射线;当常数>|F1F2|时, 无轨迹小组讨论实验演示提问, 通过提出问题, 让学生讨论问题, 并尝试解决问题。让学生了解双曲线的前提条件, 并培养学生的全面思考的能力。

感受曲线, 解读定义

演示得到的图形是双曲线 (一部分) ;归纳双曲线的定义:平面内, 到两个定点的距离的差的绝对值为常数 (小于两定点距离) 的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点, 两焦点的距离叫做双曲线的焦距。

推导方程, 认识特性 (1) 建系设点取过焦点F1、F2的直线为x轴, 线段F1F2的垂直平分线为y轴 (如图1) 。设M (x, y) 为双曲线上任意一点, 双曲线的焦距是2c (c>0) , 那么F1、F2的坐标分别是 (-c, 0) 、 (c, 0) 。又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数。

(2) 点的集合由定义可知, 双曲线就是集合:P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MFz|-=±2a}。

(3) 代数方程

(4) 化简方程由双曲线定义, c2-a2=b2 (b>0) (c2-a2) x2-a2y2=a2 (c2-a2) , 代入上式得:b2x2-a2y2=a2b2, 即这就是双曲线焦点在x轴上的标准方程。 (引导学生归纳) 焦点在y轴上的方程。教师指出: (1) 双曲线标准方程中, a>0, b>0, 但a不一定大于b; (2) 如果x2项的系数是正的, 那么焦点在x轴上;如果y2项的系数是正的, 那么焦点在y轴上。注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上。 (3) 双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2, 不同于椭圆方程中c2=a2-b2。类比椭圆, 认识共同点, 辨别不同。

运用方程, 体验思想

例1:已知双曲线的焦点为F1 (-5, 0) , F2 (5, 0) , 双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6, 求双曲线的标准方程。

如果把上面的6改为8, 其他条件不变, 会出现什么情况?由学生分析, 教师板补充。可以进一步巩固理解双曲线的定义。

练习1:如果方程表示双曲线, 求m的取值范围。

变式一方程, 表示双曲线时, 则m的取值范围_________________。

变式二上述方程表示焦点在y轴的双曲线时, 求m的范围和焦点坐标。

练习2:证明椭圆与双曲线x2-15y2=15的焦点相同。

变式思考:上题的椭圆与双曲线的一个交点为P, 焦点为F1, F2, 求|PF1|。

进一步加强双曲线标准方程形式理解。确定焦点位置:椭圆看分母大小双曲看系数正负。

回顾过程, 归纳小结双曲线定义的要点, 标准方程的形式。

摘要：双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种, 传统的处理方法是先学习椭圆, 再学习双曲线, 通过对比椭圆知识来学习, 降低难度, 便于学生学习掌握。

关键词：轨迹,双曲线,标准方程