分解因式法解一元二次方程导学案

分解因式法解一元二次方程导学案（精选11篇）

篇1：分解因式法解一元二次方程导学案

因式分解法解一元二次方程导学案

【学习目标】

1、会用因式分解法（提公因式法、公式法）解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法。

2、能根据一元二次方程的特征，选择适当的求解方法，体会解决问题的灵活性和多样性。任务一

1、自学课本60页“议一议”上面的内容，明确：小颖、小明、小亮解方程的方法有什么不同？谁的解法不对？错在什么地方？为什么？正确解法中你觉得哪种简单一些？

说明：当一元二次方程的一边为0时，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，这种解法被称为分解因式法，其理论依据是：若 ab=0 那么a=0 或 b=0(a、b为因式)。

2、用因式分解法来解一元二次方程，其关键是什么? 用因式分解法来解一元二次方程必须要先化为一般形

式吗？

3、自学例一并总结用因式分解法解一元二次方程的步骤 1）方程右边化为。

2)将方程左边分解成两个的乘积。3)至少因式为零，得到两个一元一次方程。4)两个就是原方程的解。

任务二

1.仿照例题解方程：

（1）x2

－4=0（2）（x+2）2

-25=0（3）4x(2x+1)=3(2x+1)

2、如果方程x2-3x+c=0有一个根为1，那么，该方程的另一根为 该方程可化为（x-1）（x）=0 任务三

思考：如何选用解一元二次方程的方法？

因式分解法解一元二次方程课堂小测

A1、已知方程4x2-3x=0，下列说法正确的是（）

A.只有一个根x=

B.只有一个根x=0C.有两个根x1=0,x2=

334

D.有两个根x1=0,x2=-

4A2、如果(x-1)(x+2)=0，那么以下结论正确的是（）

A.x=1或x=-2B.必须x=1C.x=2或x=-1D.必须x=1且x=-2 A3、方程（x+1）2=x+1的正确解法是（）

A.化为x+1=1B.化为（x+1）（x+1-1）=0C.化为x2+3x+2=0D.化为x+1=04.用因式分解法解一元二次方程

必做：2(x+3)2=x(x+3)选作：(4x+2)2=x(2x+1)

因式分解法解一元二次方程课堂小测

A1、已知方程4x2-3x=0，下列说法正确的是（）

A.只有一个根x=

B.只有一个根x=0C.有两个根x31=0,x2=

D.有两个根x1=0,x2=-

4A2、如果(x-1)(x+2)=0，那么以下结论正确的是（）

A.x=1或x=-2B.必须x=1C.x=2或x=-1D.必须x=1且x=-2 A3、方程（x+1）2=x+1的正确解法是（）

A.化为x+1=1B.化为（x+1）（x+1-1）=0C.化为x2+3x+2=0D.化为x+1=04.用因式分解法解一元二次方程

必做：2(x+3)2=x(x+3)选作：(4x+2)2=x(2x+1)

篇2：分解因式法解一元二次方程导学案

丁秀凤

（一）课标表述

会用因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程(二)目标分解

1、经历探索因式分解法解一元二次方程的过程

2、会用因式分解法（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程

（三）目标重构：

1、通过自学，交流，观察，比较等活动，发现能用分解因式法解方程的特征。

2、通过理解例题，有梯度的习题，会用分解因式法解方程。

（四）、在确定本节课（本单元）的教学目标时应把握的问题：

1、经历了什么过程才能够得到能用因式分解法一元二次方程的特征？ 数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过思考、探索、交流获得知识。

2、本节课如何让学生会用因式分解法解一元二次方程？ 了解数学的价值，增强应用数学的意识，体现学以致用的思想。

（一）、如何落实目标一：

如何落实“通过自学、交流、比较等活动，发现能用分解因式法解一元二次方程的特征”这个目标。

采用的教学策略和评价方案分别是：

为了落实这个目标，可采用自学探究教学策略，通过学生自主、独立发现问题。

具体设计如下：

活动一：自主学习课本67---68引例，让学生观察比较“一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？”让学生在练习本上各自求解，然后四人一组交流，比较分析，发现出分解因式是解某些一元二次方程较为简便的方法。

设计目的：体会方程解法的多样性，同时引入课题。评价方案：为了评价目标一的达成度，设计了过程性评价，从以下几个方面设计了这个环节的评价。

即是否积极主动参与学习活动，是否有学好数学的自信心，能够不回避遇到的困难，是否乐于与他人合作，愿意与同伴交流各自的想法，结合我校的小组合作交流学习的方式，在小组内进行评价，对回答问题积极者及时进行表扬、鼓励、加分等。

如何落实目标二

通过理解例题，有梯度的习题，会用分解因式法解方程。采用的教学策略和评价方案是：问题式教学策略 具体设计

活动一：教师先板书例题的题目，让学生书和上，请四名学生上台演板，其余学生先独立完成例题，再翻开课本对照，板演的结果让学生自觉自主上台纠错，教师点评纠错。

设计目的：根据学生的认知特点，学生在理解纠错的基础上，通过对例题的掌握，体现例题的示范性，从而规范做题格式。

评价方案：关注学生的参与程度，采用定性评价方式，多用鼓励性的语言，关注学生对知识的掌握程度，获得了那些进步，获得了哪些能力，从而培养学生对学习数学的自信心。

活动二：设计有梯度的练习，设计6道问题，其中提公因式法2个，平方差公式2个，完全平方公式2个。这些题目用小黑板呈现，让学生上台板演，其余学生分组在练习本上完成。

篇3：利用分解因式法解一元四次方程

一元四次方程有根式解法, 就是费拉里 (Ferrari) 解法.此解法亦称差分配方法.此方法是受一元三次方程求解方法的启发而得到的.一元三次方程是在进行了巧妙的换元之后, 把问题归结成了一元二次方程从而得解的.于是, 如果能够巧妙地把一元四次方程转化为一元三次方程或一元二次方程, 就可以利用已知的公式求解.本文利用待定系数法解一元四次方程.

二、主要结论

引理1:四次方程a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=0 (a4a0≠0) (1) 可变形为四次方程y4+ay2+by+c=0 (2) 的形式.其中是a=

由上述引理1知, 所有的一元四次方程均可变形为y4+ay2+by+c=0 (a4a0≠0) , 故只需讨论 (2) 式的解法即可.当b=0时, (2) 式变为y4+ay2+c=0, 得y2=± , y=±.下面总设b≠0.±

定理2:y4+ay2+by+c= (y2+py+m) (y2-py+n) , 其中p, m, n是关于a, b, c的待定系数.

证明:设方程 (2) 有四根y1, y2, y3, y4, 则有y4+ay2+by+c= (y-y1) (y-y2) (y-y3) (y-y4) , 因为y-y1, y-y2, y-y3, y-y4四个式子中任取两式相乘, 必得首项为1的二次三项式, 故y4+ay2+by+c= (y2+py+m) (y2+qy+n) .比较两边三次项系数有p+q=0, 即p=-q, 故y4+ay2+by+c= (y2+py+m) (y2-py+n) .

定理3:四次方程y4+ay2+by+c=0的根为.其中p, m, n可通过a, b, c的有限次加、减、乘、除运算得到.

证明:由定理2可设

y4+ay2+by+c= (y2+py+m) (y2-py+n) =y4+ (m+n-p2) y2+ (pn-pm) y+mn.

比较上式两边系数, 可得

由 (Ⅰ) , (Ⅱ) 可得

上式代入 (Ⅲ) 有p4+2ap2+a2-4c-=0即p6+2ap2+ (a2-4c) p2-b2=0 (5) .令p2=t, 则 (5) 式变为t3+2at2+ (a2-4c) t-b2=0 (6) .若t1为 (6) 式的任一解, 则p1=± (5) 式, 由b≠0知t1≠0, 代入 (4) 式可得

则 (t1, m1, n1) 为 (3) 式的一组解.为了方便表示, 令 (p, m, n) 为 (3) 式的一组解.故有

y4+ay2+by+c= (y2+py+m) (y2-py+n) .

解y2+py+m=0和y2-py+n=0两个方程得 (2) 式的解为:

三、应用举例

例1:解方程x4+4x3-2x2+12x+9=0

解:令x=y-1, 原方程变形为y4-8y2+24y-8=0.

令

比较上式两边系数, 可得:

由 (Ⅰ) , (Ⅱ) 可得

上式代入 (Ⅲ) 有p4-16p2+96-=0

即

令p2=t, 则上式变为t3-16t2+96t-576=0.

解上面的方程得t=12为其一解.则p=为方程 (3) 的解代入 (2) 式得:

例2:解方程

解:令x=y+1代入式 (1) 得:y4-5y2-2y+3=0.

设y4-5y2-2y+3= (y2+py+m) (y2-py+n) (2) , 比较两边系数得:

代入mn=3得p6-10p4+13p2-4=0.

令p2=t, 得t3-10t2+13t-4=0, 解此方程得t=1为其一解, 代入 (3) 得:m=-1, n=-3.将m=-1, n=-3代入 (2) 有:y4-5y2-2y+3= (y2+y-1) (y2-y-3) , 得y1, 2=, y3, 4=, 即原方程的解为:.

摘要：利用待定系数法可将一元四次多项式分解为两个二次多项式的乘积, 通过解两个一元二次方程达到求解四次方程的目的.

关键词：一元四次方程,待定系数法,分解因式,方程的解

参考文献

[1]张禾瑞, 郝鈵新编.高等代数[M].高等教育出版社, 2007.6.

篇4：分解因式法解一元二次方程导学案

顺学而导互相评价相互鼓励愚教于乐共同成长一、具体课例分析：八年级三元一次方程组及其解法

教学过程：通过本节导学案的学习你有什么收获？又有哪些疑问？（同学们回答，老师总结。）

学生说出收获和疑问后，出示大屏幕，目的是让学生明确本节课的学习的重点内容。根据学生的疑问“顺学而导”。

讨论：1.判断下列方程是不是三元一次方程

（1）5x+y=12 （2）x+y+z=12 （3） x+2y+5z=22 （4）x-4y+2=5 （5）x2+2y+5z=22（6）12-x +y+2z=1

以上6个方程有二元一次方程、三元一次方程、三元二次方程和分式方程。通过（2）和（3）共同点的分析后，在让学生按照自己的理解定义三元一次方程。最后师生共同总结：

三元一次方程：含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程.

2.判断下列方程组哪些是三元一次方程组

（1）6x+5y=22

5x+y=12 （2）6x+5y=22

y=12 （3）x+y+z=12

x+2y+5z=22

x-4y+2z=5 （4）x+2y+z=12

x+5y=20

x=4y（5）x+2y=12

x+5z=20

设计目的：

以上5个方程组有些是二元一次方程组，有些是三元一次方程组。其中（3）、（4）、（5）都是三元一次方程组。（3）中的每一个方程都是二元一次方程，（4）中的第一个是三元一次方程，第二个和第三个都是二元一次方程。（5）中只有两个方程，第一个是三元一次方程，第二个是二元一次方程。通过不同形式的展示说明让学生更清楚的了解三元一次方程组，并能给出定义。

教师引导学生进行定义。

三元一次方程组：共含有三个未知数，含有未知数的项的次数都是1，且由两个或两个以上的一次方程组成的方程组叫做三元一次方程组.

探究解三元一次方程的方法，回顾二元一次方程组的解法。想一想，能否运用解题思想来解三元一次方程呢？

例1x+y+z=12

x+2y+5z=22

x=4y 例23x+4z=7

2x+3y+z=9

5x-9y+7z=8

（代入消元法） （加减消元法）

例1由两组同学上台讲解，学生共同评价，老师在点评；例2由小组合作完成。

设计学生上台讲解的目的：

1.能激发学生学习数学的兴趣。“兴趣是最好的老师”。有了兴趣，学生就能主动地学习。让学生走上讲台当“小老师”，这在以前从未有过，老师改变了教学方式，由传统的知识传授，由教师上课，改为学生上课，学生成为讲台的主人。这样学生有新鲜感，大部分同学都跃跃欲试，课堂气氛活跃了，学生自己能轻松自主地学习。

2.“老师”与学生能进行“零距离”交流，创造和谐的教学环境。共同创建了和谐的教学环境，更能体现以人为本，以学生为主体的教学理念。

3.真正实现培养学生自主探究、团结合作的学习方式。从课前的准备到课堂中的问题探讨，都体现这种轻松的学习方式，让学生真正体会到“寓教于乐”。

4.为学生提供一个展示自己的平台，发挥其创造力。培养学生想说、会说、敢说的口头表达能力。

5.全面提高学生的综合素质，丰富学生的情感体验。我觉得让学生走上讲台上课，当“老师”给学生的独特体验更丰富，在整个过程中，学生参与性广泛，积极性也被充分调动起来，课堂气氛活泼，培养学生自主学习，创造性学习，综合性学习的能力。

6.真正实现充分发挥教师的主导作用。在整个过程中教师充分发挥其主导作用：让学生走上讲台前，为学生提供尽可能的帮助，让上课的学生谈感受，写体会，让其他学生评价这节课的优劣，共同寻找不足，扬长避短，提高“老师”上课的教学技巧。同时也促进其他学生的共同成长。

设计学生共同评价，老师再点评的目的：

1.教师要学会科学地发挥口头评价的作用，让学生更多地看到自己的优势和进步，体验成功与乐趣。学生也学会了互相评价，互相鼓励，共同进步。

2.教师在课堂上要注意观察，及时应景、灵活反馈，充分发挥激励与导向功能。当然，过多过滥的表扬和激励只会导致骄傲情绪和过激行为的滋长，对学生百害而无利。因此，教师要把握好评级语言的度，对学生学习过程中的行为优劣应宽容，但正误必须分明。教师直面学生的不足与错误，从正面提出问题和努力方向。同事巧妙渗透了价值观教育，这样的评价值得提倡。

总之，评价体现一种教育艺术，它能影响学生心理康和个性的形成。教师要树立以学生发展为目标的新评价观，正确、适时、灵活地进行评价，在教学中，充分参与评价的机会，让学生在数学学习过程中自主探究，自主体验，让“丑小鸭”在不久的将来都成为美丽的“白天鹅”。

二、学案导学在本节课中的优点和不足之处

利用导学案，引导学生，培养学生，组织学生发挥自身的学力，积极自觉地参与学习活动。从导学案可以看出：自主探究环节，学生明确学习内容，明确学习要求，学习思路清晰，学习效果较好；合作交流环节，有利于培优辅差；汇报展示环节，在师生互动、生生互动的过程中，查缺补漏，解疑答惑，规范了学习的习惯，拓展了学生的思维，尤其是培养了学生的展示能力。

篇5：分解因式法解一元二次方程导学案

备课人：张友 时间：2017.3.6 教学目标：

1.通过学生自学探究掌握运用因式分解法及其基本思想； 2.能用因式分解法解一些一元二次方程； 3.学会选择合适的方法解一元二次方程.教学重点：因式分解法解一些一元二次方程.教学难点：能够正确选择因式分解的方法.教学过程： 一.复习回顾

1.同学们，前面我们学习了一元二次方程及其解法，那么总共学习了多少种解法呢？

学生回答：直接开平方法、配方法、公式法

2.今天我们要学习因式分解法解一元二次方程，你还记得因式分解有哪几种方法吗？下面三题如何因式分解？各用了什么方法？

（1）xx（2）x9（3）x5x6

学生回答：（1）x(x1)，提公因式法；（2）(x3)(x3)，公式法；（3）(x2)(x3)，十字相乘法.二.新课学习

1.首先，我们来看这个问题x5x60，你有几种方法求解呢？

师生共同讨论：无法用直接开平方法，可以用配方法，也可以用公式法，有什么新方法吗？ 学生回答：(x2)(x3)0 ①

x20或x30 ②

x12,x23

教师提问：从①到②，依据是什么？

学生回答，教师总结：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0.化为符号语言为：AB0A0或B0

这种利用因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法。

这种降次的方法体现了化归的数学思想方法.2.试试水

用因式分解法解下列方程.（1）xx（2）x90 222222三.巩固提高 1.例题解析

(x4)(x1)6 解：原方程可化为 x3x100(x5)(x2)0

x50或x20

x15,x22.2.总结因式分解的一般步骤

（1）方程化成一元二次方程一般形式； 右化零

（2）方程左边分解成两个一次因式相乘； 左分解

（3）得到两个一元一次方程； 两方程

（4）求解。各求解 四.课堂练习

1.课本第三十页练习2.解方程：x6x110

启发：如何选择合适的方法解一元二次方程？ 化为一般形式后，左边易因式分解的用因式分解法更易，配方法和公式法适用于所有一元二次方程.五.课堂小结

通过本节课的学习你有什么收获？ 六.作业

课本第三十一页习题 第五、六题

板书设计

篇6：分解因式法解一元二次方程导学案

（二）直接开平方法

1．如果（x－2）2=9，则x＝．

2．方程（2y－1）2－4=0的根是．

3．方程（x+m）2＝72有解的条件是．

4．方程3（4x－1）2=48的解是

配方法

5．化下列各式为（x+m）2+n的形式．

（1）x2－2x－3=0．

（2）x210

6．下列各式是完全平方式的是（）

A．x2+7n=7

B．n2－4n－

4C．x2112x16

D．y2－2y+2

7．用配方法解方程时，下面配方错误的是（）

A．x2+2x－99=0化为（x+1）2=0

B．t2－7t－4=0化为(t72652)4

C．x2+8x+9=0化为（x+4）2=2

52210

D．3x2－4x－2=0化为(x3)9

8．配方法解方程．

（1）x2+4x=－3（2）2x2+x=0

因式分解法

9．方程（x+1）2=x+1的正确解法是（）

A．化为x+1=0

B．x+1＝

1C．化为（x+1）（x+l－1）＝0

D．化为x2+3x+2＝0

10．方程9（x+1）2－4（x－1）2=0正确解法是（）

A．直接开方得3（x+1）=2（x－1）

B．化为一般形式13x2+5＝0

C．分解因式得[3（x+1）+2（x－1）][3（x+1）－2（x—1）]=0

D．直接得x+1＝0或x－l＝0

11．（1）方程x（x+2）=2（z+2）的根是．

（2）方程x2－2x－3=0的根是．

2a3b

12．如果a2－5ab－14b2=0，则5b．

公式法

13．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是b2—4ac．

14．方程（2x+1）（x+2）=6化为一般形式是b2—4acx1，x2x1+x2，x1x2，15．用公式法解下列方程．

（1）（x+1）（x+3）＝6x+4．

（2）x1)x0．

（3）x2－（2m+1）x+m＝0．

16．已知x2－7xy+12y2＝0（y≠0）求x：y的值．

综合题

17．三角形两边的长是3，8，第三边是方程x2—17x+66＝0的根，求此三角形的周长．

18．关于x的二次三项式：x2+2rnx+4－m2是一个完全平方式，求m的值．

19．利用配方求2x2－x+2的最小值．

20．x2+ax+6分解因式的结果是（x－1）（x+2），则方程x2+ax+b＝0的二根分别是什么?

21．a是方程x2－3x+1=0的根，试求的值．

22．m是非负整数，方程m2x2－（3m2—8m）x+2m2－13m+15=0至少有一个整数根，求m的值．

23．利用配方法证明代数式－10x2+7x－4的值恒小于0．由上述结论，你能否写出三个二次三项式，其值恒大于0，且二次项系数分别是l、2、3．

24．解方程

（1）（x2+x）·（x2+x－2）=24；

2xx60（2）

225．方程x2－6x－k＝1与x2－kx－7=0有相同的根，求k值及相同的根．

26．张先生将进价为40元的商品以50元出售时，能卖500个，若每涨价1元，就少卖10个，为了赚8 000元利润，售价应为多少?这时，应进货多少?

27．两个不同的一元二次方程x2+ax+b=0与x2+ax+a=0只有一个公共根，则（）

A．a=b

B．a－b=l

C．a+b=－

1D．非上述答案

28．在一个50米长30米宽的矩形荒地上设计改造为花园，使花园面积恰为原荒地面积的寺，试给出你的设计．

29．海洲市出租车收费标准如下

（规定：四舍五入，精确到元，N≤15）N是走步价，李先生乘坐出租车打出的电子收费单是：里程11公里，应收29．1元，你能依据以上信息，推算出起步价N的值吗?

30．（2004·浙江）方程（x－1）（x+2）（x－3）＝0的根是

31．（2004·河南）一元二次方程x2—2x＝0的解是（）

A．0

B．2

C．0，－2

D．0，2

32．（2004·南京）方程x2+kx—6=0的一根是2，试求另一个根及k的值．

33．（2003·甘肃）

方程(m2)x3mx10是一元二次方程，则这方程的根是什么?

34．（2003·深圳）x1、x2是方程2x2—3x—6=0的二根，求过A（x1+x2，0）B（0，x

l·x2）两点的直线解析式．

2(2a)cc80，ax2+bx+c＝0，求35．a、b、c都是实数，满足m

代数式x2+2x+1的值．

ab82ab48c的解。36．a、b、c满足方程组求方程

37．三个8相加得24，你能用另外三个相同的数字也得同样结果吗?能用8个相同的数字得到1 000吗?能用3个相同的数字得到30吗?

参考答案：

1．x1＝5，x2＝—l

2．y131,y222

x153,x244

23．n≥04．1x22 5．（1）（x—1）2—4（2）

6．C7．C

8．（1）方程化为（x+2）2＝l，∴x1=—l，x2＝—3．

1111xx2x0x10,x2416．∴22（2）方程化为配方得

9．C10．C

11．（1）x1＝2，x2＝—2．

（2）x1＝3，x2＝—1．

12．∵a2—5ab—14b2＝0，∴（a—7b）（a+2b）＝0，∴ a＝76或a＝—26． 2

2a3b172a3b1或55b5 ∴5b

x013

．

x1

5x1x2x22,x1x2=—2． ，14．2x2+5x—4=0，57，15．（1）x11x21

（2）x11x23

2m12m1x1

x222（3），16．∵x2—7xy+12y2＝0，∴（x—3y）（x—4y）＝0，∴ x＝3y或x＝4y，∴x：y＝3或x：y＝4．,17．由x2—17x+66＝0得x1＝11，x2＝6．但x＝11不合题意，故取x＝6． ∴三角形周长是17．

mm18．∵x2+2mx+4—m2是完全平方式，∴4m2—4（4—m2）＝0．

解之，11152x2x22x2x22x248，19．

∴2x2—x+2的最小值是8。

20．x1＝l，x2＝—2

21．由题意得a2—3a+l＝0，∴a2—3a＝—l，a2+l＝30． 2

a(a23a)a25a1a26a1(a23a)3a113a3a3a∴原式=．

22．原方程可变为[mx—（2m—3）][mx—（m—5）]＝0，∴x12353,x21mm若x1为整数，则m为整数，m

∴m＝l或m＝3．若x2为整数，则5为整数．

∴m＝l或m＝5．因而m的值是l或3或5．

711110x7x410x2040． 23． 22

7111x0,02040∴． 2

711110x02040∴

∴原式＜0．

举例略．

24．（1）（x+ x）（x2+ x—2）＝24，整理得（x2+ x）2—2（x2 + x）—24＝0，∴（x2+ x—6）（x2+ x +4）．

∴x 2+ x—6＝0．x2+ x +4＝0由x2+ x—6＝0得x1＝—3，x2＝2．方程x2+ x +4＝0无解． ∴原方程的根是x＝—3或x＝2．

2xx60，即xx60，解得x＝3或x＝2（舍去）（2），2

x1＝3，x2＝—3．∴原方程的根是x＝3或x＝—3．

篇7：因式分解导学案

用提公因式法进行因式分解

编写人：王淑阁审核人 ：刘建鹏 姬小琴时间：10/3/2012

学习目标：

1、了解因式分解的意义及其与整式乘法的区别与联系，培养学生逆向思维的能力；

2、理解公因式的概念，会用提公因式法分解因式.学习过程：

一、自主探索

计算下列各式：

1、3x(x-1)=

2、m(a+b+c)=

23、(m+4)(m-4)=

4、(y-3)=

根据上面的算式填空：

1、3x2-3x=()()

2、m2-16=()()

3、ma+mb+mc=()()

4、y2-6y+9=()2

二、合作交流

1、由m(a+b+c)得到ma+mb+mc的变形是什么运算？由ma+mb+mc得到m(a+b+c)的变形与这种运算有什么不同？你还能再举出一些类似的例子加以说明吗?与同学交流.2、分解因式与整式乘法有什么关系？

三、试一试

例

1、把下列各式分解因式：

(1)3 a2+12a(2)-4 x2y-16xy+8 x

2例

2、把下列各式分解因式：

(1)a(m-6)+b(m-6)(2)3(a-b)+a(b-a)

四、巩固练习

1.下列各式从左到右的变形，那些是因式分解？那些不是？

（1）(x+y)(x-y)=x2-y2;(2)a2-4a+4=a(a-4)+4;

（2）m2n-9n=n(m+3)(m-3);(4)x2+4x+2=(x+2)2-22、把下列各式分解因式：

(1)x2+xy(2)-4b2+2ab

（3）3ax-12bx+3x(4)6ab3-2a2b2+4a3b

（5）2(x-y)-(x-y)(6)6(m-n)+3(m-n)223、已知x+y=3,mn=6,求mnx+mny-x-y的值。

五、当堂测试1、4x2y+x2y2各项的公因式是

2、把下列各式分解因式：

(1）x2

y-xy2

（2）-2xy-4x2

y+8x3

y

（4）－25x2＋16y2（5）4a3－36ab

2（7）(2x＋1)3＋(2x＋1)2（8）6(m-n)3-12(n-m)23、利用简便方法计算：36×19.99+78×19.99-14×19.994、已知x+y=6，求x2+xy+6y的值。

5、若a+b=8,ab=12,求ab2=a2b的值。

3）a3

＋ab＋a 6）(x＋1)3＋(x＋1)2（（2.4用公式法进行因式分解(1)

学习目标:

1、会用公式法进行因式分解；

2、了解因式分解的一般步骤.学习过程:

（一）自主探索

1、你能把下列各多项式进行因式分解吗？

（1）a2-b2(2)a2+2ab+b22、这种因式分解的方法叫公式法

（二）试一试

1、把下列各多项式进行因式分解：（1）4x-25(2)16a-

（三）巩固练习A1、把下列各多项式进行因式分解：

(1)x2-9(2)4m2-n2

(3)25-4x2y2(4)

(四）做一做

1、把下列各多项式进行因式分解：

(1)25x2+20x+4(2)9m2-3mn+

(五）巩固练习：

1、把下列各多项式进行因式分解：

b

1649

x2-36y2

n

2（1）a2+8a+16(2)m2-4mn+4n2

(3)

m+mn+

n(4)4x-12xy+9y

222

(六）课堂小结

我的收获：

我的疑惑：

（七）达标测试

1、把下列各多项式进行因式分解：

（1）36—x(2)

(3)2mn—m—n(4)9—

222、多项式4x—x加上一个怎样的单项式，就成为一个完全平方式？多项式0.25x+1呢？

y+y+

1116

a

2.4用公式法进行因式分解（2）

学习目标:

1、会用公式法进行因式分解；

2、了解因式分解的一般步骤.学习过程:

（一）自主探索

1、观察下列各式的特征：有几项，含有那些字母，有没有公因式？（1）-2x4+32x2(2)3ax2-6axy+3ay22、把以上各式因式分解

3、把一个多项式进行因式分解的步骤是什么？

（二）练一练

1、把下列各多项式进行因式分解：

(1)x-xy2(2)2a3-50ab

23222

(3)9x-18x+9x(4)ax+2ax+

4（三）合作交流

1、把下列各多项式进行因式分解：

(1)(a-2b)2-(2a+b)2(2)50n-20n(x-y)+2n(x-y)

2(四）巩固练习

1、把下列各多项式进行因式分解：

（1）25a-4(b+c)(2)(x+y)+6(x+y)+9

(五）课堂小结

我的收获：

我的疑惑：

（六）达标测试

1、把一个多项式分解因式，一般步骤是：当多项式的各项有公因式时，先，然后再考虑。

2、分解因式：x3-x=,3、分解因式：x2(a-1)+y2(1-a)=.2、把下列各多项式进行因式分解：

（1）m-m(2)18xy-2x

篇8：4.1因式分解导学案

①x2－4y2=(x+2y)(x－2y)；②2x(x－3y)=2x2－6xy；

③(5a－1)2=25a2－10a+1；

课型:新授执笔:金海良

一、复习引入

1、探究

观察完成下面两组式子，你能发现

它们之间的联系与区别吗？第一组：

运用整式乘法进行计算.① m(a+b+c)=②(x+1)(x-1)=③(a+b)2

=第二组：

把下列多项式写成乘积的形式.① ma+mb+mc=()(a+b+c)② x2

-1 =(x+1)()③ a2 +2ab+b2 =()2

归纳：把一个分解成几个整式的，像这样的式子变形叫做把这个多项式,也叫做.因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即

x2

因式分解 1(x1)(x1)

整式乘法

二、新课教学

2、判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解?

④x2+4x+4=(x+2)2；⑤(a－3)(a+3)=a2

－9；⑥m2－4=(m+2)(m－2)； ⑦2πR+ 2πr = 2π(R+r)． ⑧x1x(1

1x)

整式乘法运算有，多项式因式分解有.3、出示例题：

检验下列因式分解是否正确。（1）x2yxy2xy(xy)

解：∵xy(xy)＝∴ 因式分解x2yxy2xy(xy)（2）2x2

1(2x1)(2x1)

（3）x25x6(x2)(x3)

4、简便计算：（1）25913259

15259

5（2）992+99

（3）102298

2（4）(811

2)2(22)2

三、课堂反馈：

5、下列式子变形是因式分解的是（）

A．x2－5x+6= x(x－5)+6

B．x2－5x+6=(x－2)(x－3)

C．(x－2)(x－3)= x2－5x+6

D．x2－5x+6=(x+2)(x+3)

6、判断下列变形是不是因式分解.1)x2x2x24

2)6x4y32x3y3xy2

3)x4x43x3

2x2x2x2

4)5x2y3x2y2x2y7、若a=2，a+b=3，则a2+ab8、填空.（1）m2n3mn2m3n2 mn2（）（2）axay_______（3）3ax312ax215ax（）

篇9：分解因式法解一元二次方程导学案

背景材料：

因式分解是初中数学中的一个重点内容，也是一项重要的基本技能和基础知识，更是一种数学的变形方法，在今后的学习中有着重要的作用。因此，除了单纯的因式分解问题外，因式分解在解某些数学问题中有着广泛的作用，因式分解在三角形中的应用，因式分解可以用来证明代数问题，用于代数式的求值，用于求不定方程，用于解应用题解决有关复杂数值的计算，本节课的例题因式分解在数学题中的简单应用。

教材分析：

本节课是本章的最后一节，是学生学习因式分解初步应用，首先要使学生体会到因式分解在数学中应用，其次给学生提供更多机会体验主动学习和探索的“过程”与“经历”，使多数学里拥有一定问题解决的经验。

教学目标：

1、在整除的情况下，会应用因式分解，进行多项式相除。

2、会应用因式分解解简单的一元二次方程。

3、体验数学问题中的矛盾转化思想。

4、培养观察和动手能力，自主探索与合作交流能力。

教学重点：

学会应用因式分解进行多项式除法和解简单一元二次方程。

教学难点：

应用因式分解解简单的一元二次方程。

设计理念：

根据本节课的内容特点，主要采用师生合作控讨式课堂教学方法，以教师为主导，学生为主体，动手实践训练为主线，创新思维为核心，态度情感能力为目标，引导学生自主探索，动手实践，合作交流。注重使学生经办观察、操作、推理等探索过程。这种教学理念，反映了时代精神，有利于提高学生的数学素养，能有效地激发学生的思维积极性，学生在学习过程中调动各种感官，进行观察与抽象、操作与思考、自主与交流等，进而改进学生的学习方法。

教学过程：

一、创设情境，复习提问

1、将正式各式因式分解

(1)(a+b)2-10(a+b)+25 (2)-xy+2x2y+x3y

(3)2 a2b-8a2b (4)4x2-9

[四位同学到黑板上演板，本课时用复习“练习引入”也不失为一种好方法，既先复习因式分解的提取分因式和公式法，又为下面解决多项式除法运算作铺垫]

教师订正

提出问题：怎样计算(2 a2b-8a2b)÷(4a-b)

二、导入新课，探索新知

(先让学生思考上面所提出的问题，教师从旁启发)

师：如果出现竖式计算，教师可以给予肯定;可能出现(2 a2b-8a2b)÷(4a-b)= ab-8a2追问学生怎么得来的，运算的依据是什么?这样暴露学生的思维，让学生自己发现错误之处;观察2 a2b-8a2b=2 ab(b-4a)，其中一个因式正好是除式4a-b的相反数，如果用“换元”思想，我们就可以把问题转化为单项式除以单项式。

(2 a2b-8a2b)÷(4a-b)

=-2ab(4a-b)÷(4a-b)

=-2ab

(让学生自己比较哪种方法好)

利用上面的数学解题思路，同学们尝试计算

(4x2-9)÷(3-2x)

学生总结解题步骤：1、因式分解;2、约去公因式)

(全体学生动手动脑，然后叫学生回答，及时表扬，讲练结合， [运用多项式的因式分解和换元的.思想，可以把两个多项式相除，转化为单项式的除法]

练习计算

(1)(a2-4)÷(a+2)

(2)(x2+2xy+y2)÷(x+y)

(3)[(a-b)2+2(b-a)] ÷(a-b)

三、合作学习

1、以四人为一组讨论下列问题

若A?B=0，下面两个结论对吗?

(1)A和B同时都为零，即A=0且B=0

(2)A和B至少有一个为零即A=0或B=0

[合作学习，四个小组讨论，教师逐步引导，让学生讲自己的想法，及解题步骤，培养语言表达能力，体会运用因式分解的实际运用作用，增加学习兴趣]

2、你能用上面的结论解方程

(1)(2x+3)(2x-3)=0 (2)2x2+x=0

解：

∵(2x+3)(2x-3)=0

∴2x+3=0或2x-3=0

∴方程的解为x=-3/2或x=3/2

解：x(2x+1)=0

则x=0或2x+1=0

∴原方程的解是x1=0，x2=-1/2

[让学生先独立完成，再组织交流，最后教师针对性地讲解，让学生总结步骤：1、移项，使方程一边变形为零;2、等式左边因式分解;3、转化为解一元一次方程]

3、练习，解下列方程

(1)x2-2x=0 4x2=(x-1)2

四、小结

(1)应用因式分解和换元思想可以把某些多项式除法转化为单项式除法。

(2)如果方程的等号一边是零，另一边含有未知数x的多项式可以分解成若干个x的一次式的积，那么就可以应用因式分解把原方程转化成几个一元一次方程来解。

设计理念：

篇10：分解因式法解一元二次方程导学案

教案

一、教学目标

1、会用分解因式法解一元二次方程

2、会用分解因式法（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程

二、教学重点

应用分解因式法解一元二次方程

三、教学难点

形如x2＝ax方程的解法

四、教学过程

1、引导：例1)X－4＝0 解： X＝4 所以 X＝＋ 2 所以 X1＝2 X2＝－2

2、提出问题

例2）X ＝3X 解： X－3X＝0 X（X－3）＝0 X＝0或X－3＝0 所以 X1＝0，X2＝3

3、应用新知

例 3）X－2＝X（X－2）

解； X －2 －X（X －2）＝0（X－2）（X－1）＝0 X－2＝0或X－1＝0 所以 X1＝2，X2＝1

五、练习：分解以下因式

（1）（X＋2）（X－4）＝0 解； X＋2＝0或X－4＝0

222所以X1＝－2，X2＝4（2）4X（2X＋1）＝3（2X＋1）

解： 4X（2X＋1）－3（2X＋1）＝0（4X－3）（2X＋1）＝0 4X－3＝0或2X＋1＝0 所以X1＝3/4，X2＝－1/2

六、小结：我们这节课又学习了一元二次方程的解法—因式分解法，它是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法。

七、作业：分解以下因式

（1）X－X＝0（2）3X（2X－4）＝0（3）X－3X－2＝0（4）（X－1）（X＋3）＝12

八、板书设计

一元二次方程的分解因式法

一、应用分解因式法解一元二次方程

二、形如x＝ax方程的解法。

篇11：2.4分解因式法研学案

1、知识与技能：（1）了解分解因式法的概念；（2）会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程。

2、能力培养：体验解决问题的方法的多样性，灵活选择方程的解法。

3、情感与态度：在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的信心。【学习重点】会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程。【学习过程】

一、前置准备：

1、有两个数a、b，如果它们之间满足a•b=0，则a，b的值会是怎样的情况？

2、将下列各式分解因式：（1）5x2-4x(2)x-2-x2

+2x

二、自学提示：会用分解因式法解某些简单的数字系数的一元二次方程。自学教材P.60—61的内容，解答下列问题：

1、一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？

2、观察小颖、小明、小亮的做法，正确的有，思考错误的原因； 小颖的依据是，小亮是如何做的？（说明）由小亮的做法可以得到：如果，那么

3、当一元二次方程的一边为0，而另一边容易时，我们就可以采用的方法求解。这种解一元二次方程的方法称为。

三、合作交流：1.利用分解因式法解一元二次方程的步骤是什么？

2.你能用分解因式法解方程x2-4=0,(x+1)2

-25=0吗？与同学交流一下。

四、归纳总结：（教师寄语：只有不断总结，才能有所提高！）通过上面的学习你学到了哪些知识？与同学交流一下。

五、例题解析： 例

1、利用分解因式法解方程（1）5x2

=4x(2)x-2=x(x-2)

分析：解上述两方程时第一步均应作什么变形？

六、必做题： 用分解因式法解方程：

（1）x2-6x=0（2）3（x-5）2=2（5-x）

（3）2（x-3）2=x2-9（4）4x2-4x+1=0

（5）4（x-2）2=9（x+3）

2【自我测试】

1、用分解因式法解下列方程：

（1）4x（2x+1）=3（2x+1）（2）（2x+3）2=4（2x+3）

（3）3x（x-1）=2-2x（4）2（x-3）2=x2-9

（5）5（x2-x）=3（x2+x）（6）（x-2）2=（2x+3）

引申提高（7）（x-2）（x-3）=12（8）x2

-52x+8=0