直线与圆锥曲线问题的套路解法

直线与圆锥曲线的位置关系问题是中学数学各主干知识的交汇点之一, 是各种数学思想方法的综合点之一, 也是初等数学与高等数学的衔接点之一, 因此一直是高考数学的热点, 题目以解答题的形式出现, 由两个 (或三个) 小问组成;通常第一问考查基础知识, 第二 (或第三) 问主要考查直线与圆锥曲的交点及弦等问题;分值12分, 计算量较大, 难度属于中高档题。其实这类题目并不那么难, 在准备时, 首先要掌握好解这类题目的“套路”, 以不变应万变;其次要对自己有信心, 相信自己能得大部分分值。下面就谈谈用直线与圆锥曲线问题中的套路解题。

一、直线与圆锥曲线问题中的套路

套路一位置套路——消元、分类、判别式

由消y得x的方程ax2+bx+c=0 (或消x得:

1、若a≠0, 记△=b2-4ac则

(1) Δ>0直线和曲线相交 (有两个公共点) ;

(2) Δ=0直线和曲线相切 (有一个公共点) ;

(3) Δ<0直线和曲线相离 (无公共点) 。

2、若a=0, 则在双曲线中, 直线和双曲线的渐近线平行, 与双曲线相交一点;在抛物线中, 直线和抛物线的对称轴平行, 与抛物线相交一点。

套路二交点套路——消元、恒正、横纵转化

1、消元, 记△=b2-4ac, 则△>0

2、设交点为A (x1, y1) , B (x2, y2) 则

横坐标:

横坐标表示纵坐标:y1=kx1+m, y2=kx2+m

(类似可用纵坐标表示横坐标)

套路三弦中点套路——消元、代方程

1、弦AB的中点坐标。设中点为 (x0, y0) , 由求到横坐标x0, 然后代x0入直线 (或曲线) 方程求y0 (, 类似消x可先求y0后求x0)

2、差分法。代A (x1, y1) , B (x2, y2) 的坐标入圆锥曲线方程——两式相减——纵横坐标分别结合——平方差公式分解——结合中点公式解决问题

套路四弦长套路——消元、判别式、代公式

弦长公式:

(k为直线斜率) ,

说明:类似地可转化为用纵坐标计算得:。

二、运用直线与圆锥曲线问题中的套路解题举例

例1: (2009四川理20) 已知椭圆的左右焦点分别为F1, F2, 离心率, 右准线方程为x=2。 (I) 求椭圆的标准方程; (II) 过点F1的直线与该椭圆交于M, N两点, 且, 求直线的方程。

解析: (Ⅰ) 由已知条件易得椭圆的方程为。

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知F1 (-1, 0) 、F2 (1, 0) 。易知直线的斜率存在。设为y=k (x+1) 。 (解略)

例2: (2010天津文21, 理20) 已知椭圆 (a>b>0) 的离心率, 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设直线与椭圆相交于不同的两点A、B, 已知点A的坐标为 (-a, 0) . (i) 若, 求直线的倾角; (ii) 若点Q (0, y0) 在线段AB的垂直平分线上, 且.求y0的值.

解: (Ⅰ) 由已知条件易得椭圆为:.

(Ⅱ) (i) 由 (Ⅰ) 可知点A的坐标是 (-2, 0) .设点B的坐标为 (x1, y1) , 直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k (x+2) .

于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理, 得 (1+4k2) x2+16k2x+ (16k2-4) =0,

整理得32k4-9k2-23=0, 即 (k2-1) (32k2+23) =0, 解得k=±1.所以直线l的倾斜角为或.

(ii) 设线段AB的中点为M (x中, y中) , 由 (i) 得到, 从而

分两种情况: (1) 当k=0时, 点B的坐标是 (2, 0) , 线段AB的垂直平分线为y轴, 于是由

(2) 当k≠0时, 线段AB的垂直平分线方程为。

令x=0, 解得

由坐标套路有

整理得7k2=2, 故, 所以

综上, 或