多问一个“为什么”-数学教学不应忽视对数学基础和数学哲学问题的探讨

多问一个“为什么”-数学教学不应忽视对数学基础和数学哲学问题的探讨（通用5篇）

篇1：多问一个“为什么”-数学教学不应忽视对数学基础和数学哲学问题的探讨

数学发端于古代人们计数与度量的实际需要。现代的许多数学理论尽管具有非常抽象的形式，但它同时也是现实世界空间形式和数量关系的深刻反映，因此可以广泛地应用于自然科学、社会科学和技术的各个部门，对人类认识自然和改造自然，起着重要的作用。在我国中小学的课程设置中，数学作为一门主课，被赋予大量的课时。在大学，不仅理工科的学生要学习高等数学，许多文科专业也开设了高等数学。这是数学重要性的体现。然而，在我们的数学教学中，过于注重按部就班地讲述教科书上现有的数学定义和数学命题，介绍各种计算题和证明题的解题方法，让学生做大量的习题，却忽视了与数学有关的一些根本性问题的说明和讨论，特别是数学基础和数学哲学问题。前不久，中央电视台10套的一档节目中，嘉宾提出这样一个问题：“有理数多还是无理数多?”有三个答案供在场的学生选择：(A)有理数多，(B)无理数多，(C)一样多。结果，绝大多数学生选择了B，嘉宾表示了肯定。这一问题看似浅显，但要真正理解它提出的知识背景，并作较深入的阐述，并不那么容易，因为它与某些数学概念、数学理论赖以成立的基本前提有关，涉及了数学基础和数学哲学研究中的一个重要问题――“无限观”，即应该如何看待数学中出现的无限多的对象(如无限多的自然数、有理数、无理数)的问题。在数学的研究中，有两种“无限观”。当学生们作“无理数多”的解答时，是根据学过的集合论的有关知识来回答的。集合论是一百多年前德国数学家康托尔创立的，这种理论建立在一种“无限观”――“实无限”的基础上。所谓“实无限”，即把“无限”作为一个已经完成了的观念实体来看待。在集合论中用N={(n：n是自然数｝表示全体自然数的集合就是如此。然而，集合论之前的几千年的数学发展史中，数学研究中占主导地位的却是古希腊哲学家亚里士多德所主张的另一种无限观――“潜无限”的观念，即把“无限”看作一个不断发展着的、又永远无法完成的过程来看待。把自然数看成一个不断延伸的无穷无尽的序列1，2，3，…，n，…，就是如此。如果采用“潜无限”的观念，“有理数多，还是无理数多?”这一问题就没有什么意义，因为有理数和无理数都为数无穷，而“无限”是一个不断发展着的、又永远无法完成的过程，不能加以比较。正如伽利略所说：“‘等于’、‘大于’和‘小于’诸性质不能用于无限，而只能用于有限的数量。”还需要说明的是，尽管现在集合论已进入中学和大学的.数学教科书，成为全部经典数学的理论基础，但是它并非无懈可击。人们已先后发现了一系列的“集合论悖论”，这说明集合论隐含着逻辑矛盾，使用集合论和采用“实无限”观念来研究数学，可能会出问题。这也从一个侧面说明了数学理论只具有相对的真理性。学习数学理论如此，对数学方法同样要多思考。初中学习习近平面几何，学生就接触了公理方法，这种常用的数学方法源于古希腊数学家欧几里德的《几何原本》，它具有严格、高度概括的特点。然而，为什么要选择这些公理而不选另一些呢?公理方法有没有什么限度呢?正是对《几何原本》中公理选择方式的质疑，导致了后来的“非欧几何”的创建;对公理化方法的限度的讨论，则推动了近代的数理逻辑和数学哲学的发展。可见，学会提出问题、思考问题是多么重要，“问题”是科学发展的推动力。笔者学了多年数学，大学本科读的是数学专业，可是，直到投入程其襄教授门下，就读数理逻辑专业的研究生，才刚刚接触本文前述的那些数学基础问题。记得研一时读的一本英文书中某一节的标题是：“Whatistwo?”(2是什么?)，读罢茅塞顿开：原来自然界中有的只是一个个具体的事物，如1把椅子、2张桌子等等，却找不到1、2、…之类的数。自然数是人们观念的产物，是思维中的对象。看似简单、从小就熟悉的自然数，要真正理解却并不简单。数学基础是研究数学的对象、性质和方法的学科，它以数学本身为研究对象，考察重要的数学概念、数学理论和数学方法赖以成立的背景和条件，探究数学的真理性，涉及一系列数学研究中的根本问题，包括数学哲学问题。可以这么说，数学基础是让我们在学习或研究数学的时候，对最基本的数学概念、数学理论和数学方法再问一个“为什么”。我以为，这将使我们的数学学习或研究有更高的立足点。笔者近年来承担了版《辞海》和正在编纂的《大辞海》(数学卷)“数学基础・数理逻辑”分科词条的撰写，深知数学基础和数学哲学的重要性。向公众、特别是高中生和大学生普及一些与数学基础和数学哲学有关的知识，也许会使他们更喜欢数学，同时在学习数学时也多问一个“为什么”。(作者为华东师范大学哲学系教授，上海逻辑学会副会长) <关闭本页>

篇2：多问一个“为什么”-数学教学不应忽视对数学基础和数学哲学问题的探讨

数学发端于古代人们计数与度量的实际需要。现代的许多数学理论尽管具有非常抽象的形式，但它同时也是现实世界空间形式和数量关系的深刻反映，因此可以广泛地应用于自然科学、社会科学和技术的各个部门，对人类认识自然和改造自然，起着重要的作用。

在我国中小学的课程设置中，数学作为一门主课，被赋予大量的课时。在大学，不仅理工科的学生要学习高等数学，许多文科专业也开设了高等数学。这是数学重要性的体现。然而，在我们的数学教学中，过于注重按部就班地讲述教科书上现有的数学定义和数学命题，介绍各种计算题和证明题的解题方法，让学生做大量的习题，却忽视了与数学有关的一些根本性问题的说明和讨论，特别是数学基础和数学哲学问题。

前不久，中央电视台10套的一档节目中，嘉宾提出这样一个问题：“有理数多还是无理数多?”有三个答案供在场的学生选择：(A)有理数多，(B)无理数多，(C)一样多。结果，绝大多数学生选择了B，嘉宾表示了肯定。

这一问题看似浅显，但要真正理解它提出的知识背景，并作较深入的阐述，并不那么容易，因为它与某些数学概念、数学理论赖以成立的基本前提有关，涉及了数学基础和数学哲学研究中的一个重要问题――“无限观”，即应该如何看待数学中出现的无限多的对象(如无限多的自然数、有理数、无理数)的问题。

在数学的研究中，有两种“无限观”。当学生们作“无理数多”的解答时，是根据学过的集合论的有关知识来回答的。集合论是一百多年前德国数学家康托尔创立的，这种理论建立在一种“无限观”――“实无限”的基础上。所谓“实无限”，即把“无限”作为一个已经完成了的`观念实体来看待。在集合论中用N={(n：n是自然数｝表示全体自然数的集合就是如此。

然而，集合论之前的几千年的数学发展史中，数学研究中占主导地位的却是古希腊哲学家亚里士多德所主张的另一种无限观――“潜无限”的观念，即把“无限”看作一个不断发展着的、又永远无法完成的过程来看待。把自然数看成一个不断延伸的无穷无尽的序列1，2，3，…，n，…，就是如此。如果采用“潜无限”的观念，“有理数多，还是无理数多?”这一问题就没有什么意义，因为有理数和无理数都为数无穷，而“无限”是一个不断发展着的、又永远无法完成的过程，不能加以比较。正如伽利略所说：“‘等于’、‘大于’和‘小于’诸性质不能用于无限，而只能用于有限的数量。”

还需要说明的是，尽管现在集合论已进入中学和大学的数学教科书，成为全部经典数学的理论基础，但是它并非无懈可击。人们已先后发现了一系列的“集合论悖论”，这说明集合论隐含着逻辑矛盾，使用集合论和采用“实无限”观念来研究数学，可能会出问题。这也从一个侧面说明了数学理论只具有相对的真理性。

学习数学理论如此，对数学方法同样要多思考。初中学习习近平面几何，学生就接触了公理方法，这种常用的数学方法源于古希腊数学家欧几里德的《几何原本》，它具有严格、高度概括的特点。然而，为什么要选择这些公理而不选另一些呢?公理方法有没有什么限度呢?正是对《几何原本》中公

篇3：多问一个“为什么”-数学教学不应忽视对数学基础和数学哲学问题的探讨

一、营造“说”的氛围

苏霍姆林斯基曾说, 学校里的学习不是毫无热情地把知识从一个头脑里装进另一个头脑里, 而是师生之间每时每刻都在进行心灵接触。只有当师与生、生与生之间创造一种平等、和谐、融洽的氛围, 使学生感到学习是一种享受, 才能提高他们参与学习的兴趣, 增强参与学习的动机, 做到敢想、敢问、敢说。课堂民主氛围的创设, 源于教师每一个亲切的眼神, 每一句温柔的话语, 和每一个细微有效的动作。创设民主的说话氛围, 需要教师耐心地听取每位学生的发言 (即便他的回答是错误的) , 因为学生发言, 首先值得肯定的是他有搜索数学的兴趣, 有着不断思维的大脑, 同时也有着敢“说话”的精神。

二、创设“说”的话题

氛围, 让说话成为可能。不过如果没有一个很好的“话题”, 学生将无从说起, 所以创设说的“话题”, 是培养学生说话能力必不可少的环节。如在教学图形认识 (长方形) 的过程中, 创设了若干话题。

话题1:找一找身边的长方形。

首先提供长方形实物让学生观察, 然后我说:“在我们的教室里有许多物体的面是长方形的, 你能找到它们吗?”有的说课桌的面, 有的说黑板的面, 有的说电教柜的面……学生纷纷发言, 气氛活跃。

话题2:自做解说员。

让同学们自己做解说员, 向同桌介绍长方形。学生在说的过程中, 不仅再次加深了对图形认识, 同时也发展了语言, 丰富了思维内容, 提高了思维能力。

三、提供“说”的机会

课堂上, 我们既要注意人人平等, 同时也要注意合理分配, 多给后进生说话的机会, 让学生敢说、想说、直到最后的会说。在目前大班集中授课制下, 短短的40分钟内, “说话的机会安排给谁?”对于一些较容易解决的问题, 应将说话的机会留给那些特别需要训练的后进生, 值得注意的是:后进生回答得不太准确时, 千万不可冷落或是斥责他们, 从他们的发言中寻找优点, 给予表扬, 以培养他们能经常大胆发言的勇气。让他们在简单的问题情境中获得成功的体验, 从而调动他们语言表达的欲望, 激发其思维的积极性。

四、扩大“说”的范围

机会是有限的, 如何在有限的“机会”面前让更多的学生得到说的训练呢?就要求我们在数学课堂扩大说的“范围”, 除了一问一答式的师生交流外, 还要增加多种交流的形式。

1. 同桌交流

同桌交流非常方便, 也是课堂教学中让学生发表见解、培养语言能力的好方法。特别是新授课时, 学生掌握了一定的方法, 需要用语言及时总结。如名数之间的化法:2米6厘米= () 厘米, 可让学生叙述:2米就是200厘米, 200厘米加上6厘米等于206厘米。简单的两句话, 通过同桌间的互相交流, 使学生掌握思路, 并能举一反三, 灵活运用。而班级中的学习困难生, 也可在同桌的带动下, 逐步学会叙述, 正确地解答。

2. 小组讨论

小组讨论是课堂中常用的一种方式。在每个小组中选出小组长、记录员等, 当学习中有疑难时, 便可请学生以小组形式进行讨论, 讨论后请一名代表交流。这样做, 可以使每一个学生都有发言的机会, 也有听别人说的机会;既有面对几个人发表自己见解的机会, 又有面对全班同学说的机会。学生为了表达本组的意见, 更加主动地思考、倾听、组织, 灵活运用新旧知识, 使学生全身心都处于主动学习的兴奋中, 同时也增加了课堂密度, 起到事半功倍的效果。

3. 让学生小结

小结是课堂教学的重要组成部分。通过小结能提高学生的综合概括能力, 清晰地回忆出本课的要点。小学生虽然表达能力有限, 但只需正确引导, 学生便能正确地概括。而且, 经常进行有目的的课堂小结, 可以提高学生的分析、概括、分类等逻辑思维能力, 达到智能并进, 全面育人的目的。

多种形式的训练, 使每一个学生都有发言的机会, 同时, 学生把思维说出来, 会有一种愉悦的感觉, 也是自我表现和实现自我价值的需要。

五、变换“说”的形式

篇4：不应忽视的数学课堂评价功能

关键词：课堂激励；课堂启发；教学反思

新课程标准指出：对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程；要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。教师的创造性劳动就能获得最准确的评价。长期以来数学被定义为严密性、抽象性和逻辑性学科，课堂教学评价强调“精讲多练”，产生了重结论轻过程、重讲解轻学习、重课内轻课外、重“学会”轻“会学”的现象，严重束缚了学生学习主动性的发挥，影响了学生个性的发展和创造意识的培养。笔者认为：有效的数学课堂评价应具备以下功能。

一、激励性功能

人的认识活动和心理活动是一个系统的、整体的运动，思维活动始终处于整个活动之中。而语言作为一种符号系统，本身具有概括性、间接性和社会性等功能，对思维的发展有着很大的关系，可以说思维在很大程度上是借助于语言、词来实现的。学生正确表达正是其大脑思维的梳理和条理化的表现。因此，教师要把教学过程中的每一句话都作为推进学生深入学习的教学情境。教师要用具有引导性、开放性、有结构的教学语言从不同侧面给予学生质疑的方向，给学生以更大的思维空间，激励学生一起参与。

二、启发性功能

数学思想与数学知识相比，很多知识的有效性是短暂的，思想的有效性却是长期的，能使人“受益终生”，所以，评价性语言应具有数学思想性，在课堂上评价学生时要尽量从数学思想的角度去评价，这是我们数学教学所必需的。使学生达到潜移默化，因此当学生自觉或不自觉地运用了某种数学思想时，我们应及时指出，这有助于学生理解数学的重要性。将会让学生深深体会到数学的重要性，并因此而加倍努力学习数学。

三、反思性功能

学生学习时，限于自己的知识水平，在思考过程中出现一些错误想法是很正常的。因此，当他们在学习中出现错误时，教师要用一颗宽容心去评价他们，引导他们展开反思性的自我评价，寻找错误的原因，及时进行纠正。学生在进行反思的过程中，肯定会出现自己或学习伙伴都不会解决的问题，这些问题也许是难偏的问题，也许是教师强调不够的知识点或解题方法。在向教师请教的同时，就对教师有了更高的要求及完善，需要教师对教学更加专注全面、更加博学多能。再者，每一位学生存在的问题，也许正是一部分学生存在的问题，也可能是教师在教学过程中没有处理或没有处理好的问题，通过学生的反思提高带动了教师的教学反思，促进了教与学的健康和谐发展。

四、真实性功能

自从实施新课标以来，有很大一部分教师似乎走进了一个模糊性的怪圈。表现之一，为了保护学生的积极性，采取一味鼓励的评价手段，于是，“很好”“很棒”这些单一肯定的评价语言充斥了课堂。一节课下来，表扬声、鼓励声不绝于耳，赞美之辞此起彼伏，这样的现象在公开课教学中尤为常见。教师要抓住“小结点拨”的契机表现自己具体的意见、鲜明的观点和真实准确的答案。新课程理念下的“鼓励赞赏”，必须建立在“客观评价”的基础上。这样的课堂评价，才能给予学生有效的激励点化，从而积极地促进学生课堂参与的融合度。

从新课程的宗旨和精神实质论，真实性评价最贴切新课程的本质。新课程最振奋人心的一句话是：让学生走进新课程！让学生真正体验新教材的美感，成为教材的主人。在课堂上恰当地使用真实性评价语言，对切实开展新课程评价活动具有极其重要的意义。

参考文献：

李培德.数学教学中如何对学生进行评价[J].宁夏教育科研， 2007（03）.

篇5：数学考试中不应忽视的细节

学生王某在第一次模拟考试前的自习课来办公室问数学问题，见手边没有草稿纸，我就随手拿了几张纸片将分析和运算的过程讲给这位学生听，她听得非常认真。“老师，能把你的这些草稿纸给我带回去再研究研究吗？”指导结束了，学生怯生生地说。我看了看那几张参差不齐、大小不一的纸，最上面的那张，上面布满了潦草的字迹，中间还间插着一些不规则的几何图形。有心不给，终于还是没有说出口。

看着她们如获至宝地离开，我陷入了沉思。几张用过的草稿纸，或许是老师手中的几张废纸，在学生眼里却是那样的弥足珍贵。

一模考试结束后，我在办公室分析学生答卷情况的时候，两位平时数学成绩还不错的同学来找我说了两件与草稿纸有关的事情。按照高考的要求，每位考生手中只允许保留一张草稿纸，其中一位同学说他在做了一大半的时候，感觉想要换一张草稿纸，于是举手向监考老师提出了要求，结果监考老师按照高考要求，收回了她使用过的那张草稿纸，在上交了使用过的草稿纸后，这位同学心里就一直不踏实，老感觉缺了什么似的，影响了自己的考试心态，最后发挥很一般。另一位同学没有更换草稿纸，但是在检查的时候发现因为自己在打草稿时缺乏顺序和规范的书写，很多地方看不清楚了，甚至都找不到了，也影响了自己的心态，对考出来的成绩感觉也不满意。

小小的一张草稿纸，因为使用的不当，竟然影响了两位同学正常的发挥，可见它的重要性。新课程标准要求重视对学生学习过程和学习方法的研究。日本教育家多湖辉曾说过：“草稿纸是思考过程的履历表。”在教学实践中我发现最能体现学生思维过程和方法的载体就是“草稿纸。”它满载着学生分析、思考、探究的痕迹。

经过观察，我发现成绩比较好的学生在使用草稿纸时一般都比较规范，成绩中等的学生在使用草稿纸时一般都比较随意、马虎。慢慢的我还发现，草稿纸的使用质量和学生的学业成绩有着密切的联系，一般来说草稿纸书写较乱的学生，思维也比较缺乏条理性。喜欢在草稿纸上乱写乱画的学生，往往思维不够集中，容易中断。不停更换草稿纸的学生思维则比较浮躁。怎样才能促使学生合理利用草稿纸，养成良好的学习习惯，培养学生思维的条理性和严谨性呢？在实际的教学实践中我有以下一些体会。

一、思想上要加强对“打草稿”的认识

教学中我发现，学生的草稿纸一般都是家长单位的公文纸、信笺，还有的学生使用的是一些废旧纸张和以前做过的讲义背面。很少有高三学生使用崭新的作业本或装订好的白纸作草稿纸。不少同学认为草稿纸不必交出去，就随便乱写，习题解完、草稿纸就一丢了事。殊不知，这样处理草稿纸不仅影响到自己的学习效果，而且影响了自身养成良好的行为习惯。所有学科中，数学是使用草稿纸最频繁的学科，进入高三，随着练习和考试次数的增加，草稿纸的使用量就更大。笔者觉得可以禁止高三同学使用零散的草稿纸，而提倡使用成本的草稿本，定期查阅学生平时在数学练习中的草稿纸使用情况。对草稿纸使用好的学生给予肯定和表扬。也可以经常让学生将草稿本拿出来翻阅，分析自己思考的轨迹，发现自己学习中的弱点。从而使每一位高三学生真正在思想上加强对“打草稿”作用的认识。要知道在实际考试中，草稿纸与试卷是同等重要的！

二、习惯上要重视对“打草稿”的养成

俄国教育家乌申斯基说：“良好的习惯是人在他的神经系统中所储存的资本，这个资本不断的增值，而人在其整个一生中就享受着它的利息。”这是说良好的学习习惯对于学生今后一生的学习、工作时时都在悄悄地发生积极的影响。我国教育家陶行知先生曾说过：“在基础教育阶段‘最重要的’就是‘培养习惯’。”习惯的养成不是一朝一夕的事情，虽然教材的改革降低了对繁杂计算的要求，但在养成良好的“打草稿”习惯上并不能降低要求，必须从平时抓起。要让学生知道重视草稿，就是重视自己的思维能力，就是重视自己的学习过程。从而改变“重结果、轻过程”的错误观念。

三、方法上要突出对“打草稿”的指导

一般情况下，学生认为“打草稿”就是计算时将草稿纸写得整齐、清楚。这样既节约纸张又便于检查。其实在很多时候“打草稿”还有其它的方法。譬如，在解决立体几何有关翻折问题时，可以通过翻折手中的草稿纸，这样既直观又方便，使得难以想象的图形很清楚的展现在自己眼前。这样也可以提高学生分析问题、思考问题、解决问题的能力。长期这样训练，学生的思维能力、动手操作能力也会得到提高。

因此在教学过程中，我们要清醒的认识到草稿纸真的草不得。作为老师应帮助学生树立正确的“打草稿”的态度，确立正确的目标，养成良好的“打草稿”的习惯，运用科学的方法去“打草稿”。这样，学生在学习的过程中才会获得更广阔的发展空间。

那么在数学考试中使用草稿纸时，究竟应该注意些什么呢？

首先在拿到草稿纸后，应先将它对折两次，使一张8K的大草稿纸变成八张32K的小草稿纸，然后按顺序进行编号使用。草稿纸上每道题之间留空，标清题号。字迹要做到能够准确辨认，切不可胡写乱画。同时也要注意书写的顺序，一般按从左到右、从上到下的顺序书写。另外对答案有怀疑、无把握的应在草稿纸上作好相应的标记（在试卷上是禁止作任何标记的），这样做可以提醒自己在检查复核时可以再重点推敲，从而提高解题的正确率。

做到以上这些，不但能节省稿纸，更重要的是便于检查，稳定心态，提高计算的正确率。