二元广义外代数的循环同调群

设A是域k上的有限维结合基 (b a s i c) 代数 (含单位元1) , Aε=⊗kAOP是A的包络代数。A的第i阶Hochschild同调群与上同调群[1]分别定义为

在有限维代数的表示理论中扮演着重要的角色。例如, 同调群与代数的整体维数及定向圈密切相关[2,3,4], 而上同调群则与代数的单连通性、可分性质及形变理论有重要联系[5,6,7]。一般情况下计算代数的Hochschild同调与上同调群是比较困难的。但一些特殊的代数类, 如外代数、截面代数、单项式代数等的同调与上同调群已被计算[8,9,10,11,12,13,14,3], Zacharia也证明了拟遗传代数的非零阶的同调群均为零[15]。

80年代初, 菲尔兹奖获得者A.Connes和D.Quillen等人敏锐的洞察力促使循环同调在非交互微分几何、矩阵的李代数同调理论、代数拓扑这三个非常重要的数学分支中几乎同时出现。随即循环同调理论在非交互微分几何、矩阵的李代数同调理论、代数拓扑、交换代数、代数K-理论、Hopf代数以及分析中有着非常重要而广泛的应用, 同时揭示出代数、拓扑、几何、分析之间很多非常紧密的联系。随着时间的推移和数学的蓬勃发展, 循环同调理论越来越显示出其巨大的威力和生命力。循环同调理论产生不久便与代数表示理论紧密联系起来, 如:1990年Igusa应用循环同调和代数K-理论在“No loop conjecture” (无环猜测) 方面取得重大进展[16];童年Cibils给出可分代数的循环同调的一个约化算法, 并用它计算了根方零代数的循环同调[17]等等。

徐运阁等人已经计算了这类代数的各阶Hochschild同调群的维数[18], 本文的目的就是在基域特征为零时, 计算该代数的各阶循环同调群的维数, 从而对广义外代数的同调行为有更清晰的了解。

1循环同调群

整篇文章我们总假定A=qA=k/ (x 2, xy+qyx, y2) 是两个变量的广义外代数, 其中q∈k{0}。在文献[19]中, 通过循环模A的循环双复形AA定义了循环同调HC* (A) 。设Aε=⊗kAOP是A的包络代数, 文献[20]中计算了A的各阶Hochschild同调群的维数, 从而我们可以计算A的循环同调群的维数。

命题1[20]设A=qA是广义外代数, 则有:

如果q是r (r>2) 次本原单位根且chark≠2, 则对n>2,

由以上两个命题, 我们可以得到A的第m-次循环同调群HC*[21]

定理1设A=Aq是广义外代数, 如果q是r (r>2) 次本原单位根且chark=0, 则有:

证明由文献[21], 定理4.1.13得:

又因为:

所以由命题1知:

定理2设A=qA是广义外代数, 如果q是r (r>2) 次本原单位根且chark=0, 则有:

证明类似于定理1的证明。

摘要：设Aq=k<x, y>/ (x2, xy+qyx, y2) 是含有两个变量的广义外代数, 其中q∈k\{0}。基于徐运阁等人对该代数各阶Hochschild同调群的维数清晰地计算, 本文在基域的特征为零时, 计算了Aq的所有各阶循环同调群的维数。

关键词：二元广义外代数,Hochschild同调群,循环同调群,MR (2000) 主题分类,16E40,16E10,16G10

参考文献

[1] Mac　Lane　S., Homology, Grundlehren　114, Third　corrected printing, Springer～Verlag, 1975.

[2] Igusa　K.Notes　on　the　loop　conjecture.J.Pure　Appl.Algebra, 1990, 69:161～176.

[3] Han　Y.Hochschild (co) homology　dimension.arXiv:math.RA/0408402.

[4] Avramov　L.L., Vigueé～Poirrier　M..Hochschild　homol-ogy　criteria　for　smoothness, 　Internat.　Math.Reserach　Notices, 1992, 1:17～25.

[5] Happel　D..Hochschild　cohomology　of　finite～dimentional algebtras, Springer　Lecture　Notes　in　Math.1404, 1989, 108～126.

[6] Skowronski　A..Simply　connected　algebras　and　Hochschild cohomology, 　Proc.　ICRA　IV (Ottawa, 1992) , Can.Math.Soc.Proc, 1993, 14:431～447.

[7] Gerstenhaber　M..On　the　deformation　of　rings　and　algebras, Ann.Math., 1964, 79:59～103.

[8] Xu　Y.　G., Han　Y., Jiang　W.F..Hochschild (co) homology　of exterior　algebras.　Preprint.

[9] Zhang　P..Hochschild　cohomology　of　truncated　basic　cycle, Sci　China　 (Ser.　A) , 　1997, 40:1272～1278.

[10] Cibils　C..Rigidity　of　truncated　quiver　algebras, Adv.Math., 1990, 79:18～42.

[11] Skoldberg　E..The　Hochschild　homology　of　truncated　and quadratic　monomial　algebras, 　J.　London　Math.Soc., 1999, 59:76～86.

[12] Zhang　P..The　Hochschild　of　a　truncated　basic　cycle.Alge-bra　Colloq., 1998, 5:77～84.

[13] Liu　S.X.　and　Zhang　P., 　Hochschild　homology　of　truncated algebras, 　Bull.　London　Math.　Soc., 　1994, 26:427～430.

[14] Cibils　C..Rigid　monomial　algebras, Math.　Ann., 　1991, 289:95～109.

[15] Zacharia　D..Hochschild　homology　of　quasi～hereditary algebras.　Canad.　Math.　Soc.　Conf.　Proc., 1996, 19:681～684.

[16] Igusa.K..Notes　on　the　no　loop　conjecture　[J].J.Pure　Appl.Algebra, 1990, 69:161～176.

[17] Cibils　C..Cyclic　and　Hochschild　homology　of　2～nilpotent algebras[J].K～theory, 1990, 4:131～141.

[18] Xu　Y.G., Chen　Y., Hochschild　Homology　groups　of　Gen-eralized　Exteriro　Algebras　with　Two　Variables, Acta　Math., 2005.

[19] Skowronski　A., Yamagata　K..Socle　deformation　of　self～injective　algebras, J.London　Math.Soc., 1996, 72:545～566.

[20] Hannes　T..An　Introduction　to　Hochschild　and　Cyclic Homology.J.London　Math.　Soc., 2006, 72:545～566.

[21] Loday　J.L..Cyclic　homology.Grundlehren　301, Springer, Berlin., 1992.