解二元方程组的技巧和方法

解二元方程组是初中数学中的重要内容, 是学生学习学好数学知识的基础。它对以后数学的学习起着重要的推动和帮助作用。同时会解二元方程组也是初中数学学科的基本技能。初中的简单求解与高中数学学习的衔接是非常重要的, 如果对二元议程组不会求解或不熟练, 它将直接影响高中数学的学习。

本文综合了解二元方程 (组) 的各种类型, 也包括了解二元方程 (组) 所需要用到的一些基础知识和有关的一些技巧。解此类题目的关键是根据方程组的特征, 认真分析问题, 灵活运用代入消元法或加减消元法等技巧和方法, 以达到消元和降次的目的。从而顺利的解决问题。

现举几个例子供学生学习及复习时参考, 望能对学生有所帮助。

一、整体代入法

解:由 (1) 得3 (x+5) =y+23, 代入 (2) 得

5 (y-1) =y+23, 解之得, y=7

二、整体加减法

三、参数法

解:设y=k-2, 则由 (1) 得x=5k-1, 将其代入 (2) 可得k=1

四、消常数项法

解: (1) ×8+ (2) 得:4.5x-3y=0, y=1.5x代入 (2) 得:

五、观察法

以上是二元一次方程组的一些特殊解法。下面再谈谈二元二次方程组的一些特殊方法。

一、代入法

由一个二元二次方程和一个二元一次方程所组成的方程组, 通常用代入法求解, 这是基本的消元降次方法。

解:由 (1) 得:x=7-y (3)

把 (3) 代入 (2) 得:7y-y2=12,

解之得:y1=3, y2=4

将其代入 (3) 得x1=4, x2=3

二、韦达定理法

形如:x+y=a xy=b (a2≥4b) 的方程组均可利用韦达定理求解。

解:对于这个方程组可以把x, y看作一元二次方程z2-7z+12=0的两个根 (韦达定理) , 解这个方程得:z=3或z=4

三、配方法

形如x2+y2=a xy=b (a>0, a±2b≥0) 的方程组可用此方法

解:由 (1) + (2) ×2得: (x+y) 2=81, x+y=±9

(1) - (2) ×2得: (x-y) 2=121, x-y=±11

于是可得以下四个方程组:

四、因式分解法

在二元二次方程组中, 至少有一个可以分解时, 可采用因式分解法通过消元降次法求解。

解:由 (2) 得 (x-2y) (x-3y) =0

以下用代入法求解 (略)

五、两式相除法

六、用根的判别式

例6:m取什么值时, 方程组

解:将y=2x+m代入y2=4x得:4x2+4 (m-1) x+m2=0

而方程组仅有一个实数解, 所以△=[4 (m-1) ]2-4×4m2=0,

七、消去常数项法

以上只是一些常用的方法, 希对学生的学习有一定的帮助。总之, 要让学生记住, 解二元一次方程组基本思想就是消元, 解二元二次方程组基本思想就是降次消元, 至于如何才能更快更好地达到消元降次目的, 需要对方程组进行观察, 采取灵活方法。关于二元二次方程解法, 一般步骤是: (1) 把能分解的方程转化为两个二元一次方程; (2) 把这两个二元一次方程分别与另一个方程组成两个新的方程组; (3) 解这两个方程组, 得原方程组的解。