等量代换教学设计

2024-04-27

等量代换教学设计（通用8篇）

篇1：等量代换教学设计

《等量代换》是人教版三年级下册数学广角的内容，它主要渗透了等量代换的数学思想，等量代换是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中的一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。等量代换的思想用等式的性质来体现等式的传递性，而今天所学的等量代换是具体的实物代换，比较直观、形象，主要从日常生活出发运用到日常生活中去。在这里我就谈谈我上完这堂课后的体会：

1、新课引入时，我利用学生比较熟悉的玩跷跷板游戏，来激发学生的学习兴趣，并为后面介绍天平平衡和动物们玩的跷跷板平衡打下基础，在学习新知的过程中整个活动都是在游乐园中进行，并在游乐园中解决了一系列的难题，让学生发现数学知识无处不在，数学来源于生活，生活离不开数学，学习数学知识是有用的，增强了学习数学的信心，培养了学生的数学意识。

2、在教学过程中我注重教学策略的选择，我认为数学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验之上，教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，同时机会的创造还需要学生自觉、主动、积极的参与活动之中，这就需要教师为学生设计的活动形式是学生感兴趣的，学生乐于参与的，并且学生能在愉悦的情绪中学习并体验学习带来的快乐。怎样设计才能更好地激发学生的学习动机。促进学生主动参与和学习呢?整堂课的教学过程一直在学生喜欢玩的游乐园里面完成，让学生不感到知识的枯燥无味，就是让学生在玩中也感觉到数学知识的存在。

3、新课结束时，让学生举出日常生活中你有没有遇到过等量代换的问题，并运用学生在语文课本中学过的《曹冲称象》的故事，在没有学习等量代换之前学生并不知道这则故事还蕴含有数学思想的内容。让学生了解古人在没有货币时，很多物品之间的交换都是通过等量代换来完成的，等量代换的知识一直延续至今。让学生再次感受到数学知识本身就是来源于生活

篇2：等量代换教学设计

1、教学设计注重让学生在独立思考、合作交流中感悟体会等量代换的思想方法。整节课有一个鲜明的主线和层次，如以学生熟悉的《曹冲称象》引入新课，感受“相等的才可以替换”，从而引出新课;例题要求“1个西瓜和几个苹果同样重”，为了能让学生把自己的思路理清，我给予学生充分的时间和空间，先让学生独立思考，再在全班交流讨论中得出两种解题思路，最后总结出方法，把思维和和语言表达结合起来，帮助学生形成清晰的表象，初步感受等量代换的思想方法，再内化为自己的认识，为今后的学习打下必要的基础;练习设计层次分明,采用独立思考、同桌交流的形式进行学习。教学全过程是以学生为核心组织开展学习活动，力求体现“以生为本”的新理念。

2、尊重学生的认知规律，充分挖掘教材。考虑到学生都是初步接触等量代换，在运用教材时，从“换”字入手，化解学生对等量代换的陌生感觉，同时又充满了趣味。另外我又充分运用了教材，从量的代换，到物品价值的代换，再过渡到图形代换、物的代换，都取自教材。

3、恰当运用现代信息技术动态图像演示技术，利用媒体信息传播的丰富性、形象性和生动性，将比较抽象的知识加以直观地演示，帮助学生理解所学知识的本质属性，促使他们了解掌握相对完整的知识形成过程。如：把用4个苹果等量代换1个1千克砝码的过程形象地演示出来，使学生深刻理解一个西瓜和16个苹果同样重的道理。从而在脑中建立等量代换的表象，进一步理解该如何进行等量代换，突破了难点。

篇3：等量代换教学设计

当微灌系统中使用完全压力补偿式灌水器或微管调压灌水器时, 在灌水器工作压力范围内, 灌水器流量变化非常微小, 可以认为毛管为等量出流多孔管, 毛管压力沿程变化, 流量恒定, 灌水器的流量及灌水均匀度也就可以得到保证。采用等量出流灌水器时, 灌水器和毛管大都是独立制造的, 可以根据使用要求选择不同管径的毛管在生产车间在线安装或在施工现场进行安装。相对于灌水器和毛管一次成型的产品, 设计中补偿式等量出流灌水器可以选择的毛管管径空间要大得多。毛管是向灌水器分配流量的微灌系统最末级管道, 其投资在微灌系统投资中占有较大的比重, 研究等量出流毛管的优化方法, 指导微灌工程的设计, 能有效提高微灌系统的灌水质量, 降低工程造价及运行费用。

目前国内外学者在毛管的水力计算方面, 已取得许多研究成果[1,2]。基于灌水器连续出流假定的能坡线法[3], 基于毛管水头线多段折线模型的水力特征量计算方法[4,5];应用计算机采用进步法或退步法逆推逐步逼近的试算方法[6];中孔水头比法[7], 图解法[8,9,10], 经验系数法[11] , 遗传算法[12]等。在等量出流毛管优化设计方面的研究相对较少, 本文在前人研究成果基础上, 应用遗传算法理论和方法, 提出一种微灌等量出流毛管管径优化设计方法。

1 数学描述

1.1 水力计算

要分析毛管沿程压力分布, 就必须知道毛管上任一点的压力与管道水头损失的关系。等量出流多孔管沿程压力变化主要受2个因素的影响, 一个是管道沿程水头损失, 另一个是地面坡度。按照图1所示给孔口和管段编号, 则任一孔口的压力水头可按下式计算:

$\begin{array}{l} h_{i} = h_{0} + \sum S_{i} Ι_{i} + \sum Δ h_{i} (1) \\ Δ h_{i} = a f \frac{(i q)^{m}}{d_{i}^{b}} S_{i} = a f \frac{q^{m}}{d_{i}^{b}} S_{i} i^{m} (2) \\ Η = h_{n} + a f \frac{q^{m}}{d^{b}} S_{n + 1} n^{m} + S_{n + 1} Ι_{n + 1} (3) \end{array}$

式中:hi为各灌水器的压力, m;Ii为各管段的地形坡度 (下坡为负) ;Si为第i管段管道的长度, m;α为局部水头损失加大系数;q为灌水器流量, L/h;f、m、b是与管材有关的水头损失计算系数;H为毛管进口压力水头, m; n为毛管管段数。

1.2 优化数学模型

等量出流毛管管径的设计分2种情况讨论:①等量出流灌水器一般是采用稳压或稳流的方式使出流量均等, 稳流和稳压都需要损失一定的水头才能实现, 灌水器工作压力及范围都较大。选择不同管径的毛管, 其进口压力有可能相差很大, 毛管运行费用也相差很多。此时设计的任务是在保证毛管上孔口压力满足灌水器允许工作压力的条件下, 寻求使毛管年费用最小的管径, 并设计毛管入口压力。②当灌水器工作压力范围较小时, 选择不同管径的毛管, 其进口压力相差不大, 毛管运行费用也相差不多。此时设计的任务是在满足灌水器允许工作压力的条件下, 寻求毛管的最小管径, 确定毛管入口压力。

1.2.1 年费用最小

微灌系统主要由首部枢纽、干管、支管及毛管等4个部分组成, 其年费用也由相应部分所发生的费用组成。对于等量出流毛管管径优化问题而言, 首部枢纽、干管、支管的年费用可以看作是常量, 不影响毛管管径优化的结果。因此, 可以1条毛管的年费用为目标函数, 毛管管径及进口所需压力为优化变量, 建立如下形式的优化数学模型:

$\min F = [\frac{r (1 + r)^{y}}{(1 + r)^{y} - 1} + B] \sum_{i = 1}^{n + 1} C_{i}^{j} S_{i} + \frac{E Τ Q Η}{367.2 η} (4)$

s.t. hmax≤hcmax; hmin≥hcmin (5)

1≤j≤M

式中:F为1条毛管的年费用, 元/a;y为毛管折旧年限, a;r为年利率, %;B为年平均维修费率, %;C $_{i}^{j}$ 为第i管段选用第j种管径的管道单价, 元/m;E为电价, 元/kWh;T为毛管年工作小时数, h;Q为1条毛管的流量, m3/h;η为水泵效率;hcmin、hcmax分别为灌水器的允许最小和最大工作压力水头, m;M为待选管径数。

1.2.2 管径最小

$m i m d (6)$

s.t. hmax≤hcmax; hmin≥hcmin (7)

式中符号意义同前。

1.3 求解方法

从式 (1) ～ (3) 可知, 只要知道h0, 由毛管末端向进口逆递推, 就可以求出毛管入口压力H及每个灌水器的压力。管道单价C与管径d有一一对应的关系, 上述2个模型的优化变量实际上都为d和h0, 优化目标分别是年费用最小和管径最小。可以先假设一个d, 给h0一个由大到小排列的序例, 分别由式 (1) ～ (9) 求出h0序列的每一个F、H、hmax、hmin。重复上述过程, 直到所有待选管径计算结束, 在满足约束条件的解中分别寻找使年费用或管径最小的解, 就是所求问题的最优解。上述方法是枚举的方法, 计算工作量很大, 本文应用遗传算法实现。

2 遗传算法模型

遗传算法一般要针对问题, 寻找一个客观的适应度函数, 对所涉及可能解进行个体编码, 设计相应的选择、交叉、变异等遗传算子。

2.1 构造适应度函数

由前面的数学描述可知, 模型的优化变量是管径d和毛管末端压力h0。应用遗传算法进行优化时, 可以将毛管管径和末端孔口压力作为种群中的个体, 种群中的每一个个体都代表一种可能的解。采用罚函数法对数学模型进行转化, 可得到如下无约束形式的目标函数。

2.1.1 年费用最小

$\begin{array}{l} f (d, h_{0}) = \min {F + μ | \min [0, h_{\max} - h_{c m a x}] | + \\ μ | \min [0, h_{c m i n} - h_{\min} |} (8) \end{array}$

2.1.2 管径最小

$\begin{array}{l} f (d, h_{0}) = \min {d + μ | \min [0, h_{\max} - h_{c m a x}] | + \\ μ | \min [0, h_{c m i n} - h_{\min}] |} (9) \end{array}$

为满足遗传算法对适应度函数最大化要求, 采用倒数法可构造出2种模型共同形式的适应度函数:

$F i t = \frac{1}{1 + f (d, h_{0})} (10)$

式中:Fit为遗传算法适应度函数;μ为惩罚因子;其他符号意义同前。

2.2 编码

该遗传算法的优化变量为 (d, h0) , 将管径d与标准商用管径的序号一一对应起来, 成为有序的整数, 采用整数编码方式。h0是一个连续的实数变量, 其值域为灌水器的工作压力范围, 考虑计算方便及精度要求, 采用4位小数的实数编码方式。

2.3 遗传算子

选择、交叉、变异是遗传操作的基本遗传算子。选择是建立在群体中个体适应度评价基础上的, 采用竞赛规模为2的锦标赛选择法, 随机从种群中选择2个个体, 将小的个体选作父个体, 重复这个过程直到完成个体的选择。在交叉概率Pc控制下, 将所选择的父个体随机配对分别进行算术交叉运算, 产生子代个体。在变异概率Pm控制下, 随机选择个体, 在解的可行域内随机产生新的值替换原个体的值, 采取实值变异的方式生成新个体。

2.4 算法实现

在 (d, h0) 的可行域内随机生成一定规模初始群体作为第一代遗传群体, 按照设计的遗传操作生成新一代群体, 直至找到最优解或满足优化准则为止。具体见图2所示的流程图。

3 实例计算

已知某微灌系统采用压力补偿式灌水器, 灌水器流量q=4.0 L/h, n=200, S=0.5 m, 毛管进口至第一个灌水器的间距为S/2, I=-0.1 (下坡为负) , hmax=40 m, hmin=5 m, y=6 a, r=6%, B=1%, E=0.45元/kWh, T=60 h, η=0.7, 毛管待选管径及单价见表1。

分别应用年费用最小和管径最小遗传算法, 寻求满足灌水器设计流量和工作压力范围要求的毛管管径, 并设计毛管入口压力及各孔口的压力。取种群规模为50, 最大遗传代数为30, pc = 0.8, pm = 0.05, 惩罚因子μ为10, 进行模拟计算。程序运行2 s, 模拟计算最优结果见表2, 孔口压力分布见图3。

表2和图3表明, 2种模型计算的最优结果, 进口端毛管水头损失坡降大于地形坡降, 最大压力出现在毛管进口, 其后压力逐渐降低, 分别至第79和48孔达到最小, 其后毛管水头损失坡降小于地形坡降, 至末端毛管孔口压力略有增加, 2个模型的最大、最小压力均在毛管允许工作压力范围内。

由表2可知, 年费用最小模型优化结果, 最优毛管管径为12 mm, 进口所需压力15.619 m, 一次性投入44.89元, 年费用9.00元。而管径最小模型优化结果, 最优毛管管径为10 mm, 进口所需压力39.514 m, 一次性投入39.9元, 年费用10.17元。说明当灌水器工作压力范围大时, 选用年费用最小模型优化计算较为合理。

考虑随机因素对算法求解性能评估的干扰, 将算法程序独立运行100次, 比较每次计算结果与最优解的年费用的相对偏差, 结果见表3。本文100次的计算结果中, 所得毛管管径与最优解完全相同, 毛管进口压力略有差异, 导致毛管年费用有一定的偏差。其中相对偏差小于0.11%的概率达到80%以上, 小于1%的概率达到100%, 说明算法计算结果稳定, 具有较高的求解效率、计算精度和可靠性。

4 结语

本文提出的2种等量出流毛管管径优化设计方法, 只需要输入毛管的基本参数和已知条件, 算法程序即可完成毛管管径的优化, 具有较强的通用性。模型与算法求解速度快, 计算的精度及可靠性也很高, 还可应用于非均匀坡、变径毛管、灌水器不等间距毛管的优化设计, 具有较好的实用价值。具体应用时, 若灌水器工作压力范围较大, 应选择年费用最小模型进行优化设计;若灌水器工作压力范围较小, 则应选择管径最小模型进行优化设计。

参考文献

[1]范兴业, 马孝义, 张建兴, 等.灌溉管网优化设计方法与软件的研究进展[J].中国农村水利水电, 2007, (2) :19-23.

[2]张礼兵, 程吉林, 金菊良, 等.灌溉排水工程优化设计新方法研究与应用[J].中国农村水利水电, 2005, (9) :63-65.

[3]I-pai Wu, Harris M Gitlin.Energy gradient line for drip irigationlaterals[J].Journal of the Irrigation and Drainage Division, 1975, 101 (4) :323-326.

[4]张国祥.微灌毛管水力学研究[J].喷灌技术, 1990, (2) :9-16.

[5]张国祥.杜茂林.微灌水力设计方法的商榷与建议[J].喷灌技术, 1990, (3) :27-31.

[6]康跃虎.微灌系统水力学解析和设计[M].西安:陕西科学技术出版社, 1999.

[7]张国祥.微灌毛管水力学设计的中孔水头比法 (均匀坡度) [J].喷灌技术, 1991, (3) :8-15.

[8]张国祥.微灌毛管水力计算曲线图及其应用 (均匀坡度) [J].喷灌技术, 1991, (2) :17-22.

[9]李蔼铿.多口出流管道水力设计的文件诺谟图原理的研究[J].水利学报, 1994, (2) :1-8.

[10]李蔼铿.微机图解法的多口出流管道水力设计[J].喷灌技术, 1990, (4) .

[11]张国祥.微灌毛管水力学设计的经验系数法[J].喷灌技术, 1991, (1) :4-8.

篇4：《等量代换》教学设计

◆ 综合运用情境创设法和实践操作法。充分利用学生的生活经验，为学生提供探究学习的空间与环境，使学生能够协同配合多种感官进行操作与探究，这样，更有利于学生对知识的深刻体验和准确把握。

◆ 有效发挥白板的优势，改善教学效果。

教材分析

《等量代换》是人教版数学三年级下册中的教学内容。等量代换是指一个量用和它相等的量去代替，隶属于“数与代数”的范畴，是一种基本的数学思想和方法。本课主要是向学生渗透一些初步的现代数学思想方法，并能解决一些简单的实际生活问题和数学问题。

教学目标

知识目标：使学生在解决实际问题的过程中体会等量代换的思想。

能力目标：培养学生的推理能力和语言表达能力，发展学生的思维；借助简洁的图示或文字使学生理清数量关系，帮助其推理。

情感目标：渗透美育思想，培养学生有序地、全面地思考问题的意识和合作学习的习惯。

教学过程

1.创设情境、提出问题

师:（出示曹冲的图片）同学们，大家知道曹冲称象的故事吗？

生：知道。

师：在这个故事里，曹冲是用什么方法得出了大象的体重？他为什么用这种方法？用其他的方法行吗？请大家带着这些问题，再来回顾一下这个故事。（播放Flash动画）

生1：他先称一下大象的重量，并在船上作一个记号；再放上石头直到船沉到记号处，然后称出石头的重量，就得到了大象的重量。

师：可是，曹冲为什么用这种方法来称象呢？

生：古代没有这么大的称，只好用这种方法，主要是因为这些石头的重量和大象相等。

师：也就是因为它们的重量相等，曹冲才可以把大象的体重等量成石头的重量。再多一块石头可以吗？为什么？

生：不行，再多一块石头或者少一块石头，它们两者之间的重量就不相等了。

师：是呀，只因为他们之间存在着相等的关系，所以，当我们无法直接获得大象的重量时，就可以通过称石头的重量的方法来获得。这种方法就是数学上常用到的“等量代换”。（板书：等量代换）

【设计意图】学生可能都知道曹冲称象的故事，但只限于感性的认识，对于里面所蕴涵着的数学问题并没有提到理性的高度，所以，让学生带着问题再次观看动画，学生就会用数学的眼光看待问题。当然，利用传统的多媒体教学，也能播放动画，但无法将有价值的图片进行定格。而利用白板的照相机功能，在播放动画的同时，可以随时抓拍到有价值的图片，将其定格，使学生的关注点有效地聚集到数学问题上。通过学生的讨论和回答，学生能够得出只有相等的量才能进行交换的道理，也就是“等”是“换”的前提。

2. 知识新授

（1）生活举例。

师：请大家仔细想想，在生活中你用过这种数学方法跟别人换东西吗？举个例子。

生1：我们平时做作业时，如果得5个优+，就可以换一朵小红花。

师：那10个优+，可以换几朵小红花？

生：2朵。

师：反过来，我想换3朵小红花，需要得几个优+，为什么？

生：15个，因为3×5=15（个）。

生2：有一次，妈妈给我买了一顶帽子，回家后感到不满意，就回去换了一顶价钱相等的帽子。

师：其他同学在生活中碰到过这样的例子吗？

生：有。

师：那我们换到的东西跟我们原来的东西，在哪些方面存在着相等的关系？

生：价钱是相等的。

师：可是如果碰到我们原有物品的价格比要换的东西的价格高或低这样的情况时，怎么办？

（学生的回答略。）

师：也就是我们只能换价格相等的那部分是吗？

生：是。

师：大家看，小红家和小明家周末约好去游乐园玩，他们把买水果的任务承包了下来。咱们一起来看，在买水果的过程中发生了什么事情？（如图1）

（2）创设情境，深化体验（课件演示）。

师：小明想买一个西瓜，可是他们提了提，感觉太重，不好拿。小红说：“我们把它换成苹果吧，根据这幅图中的信息，你说老板会愿意吗？为什么？

生：愿意，因为苹果和西瓜的单价相等。

师：那意味着什么？

生：买西瓜的钱可以买同样重量的苹果。

师：说得真不错。那要把西瓜换成苹果，需要知道哪些条件？

生：一个西瓜有多重？一个苹果有多重？

师（出示信息）：1个西瓜=4千克，4个苹果=1千克。

师：现在你能根据这些信息，解决“一个西瓜可以换几个苹果”的问题吗？请大家自己想一想，然后同桌间讨论一下。

师：谁愿意把自己的观点给大家展示一下？

生1：（利用白板展示思路，如图2）1千克=4个苹果，4千克 = 16个苹果，1个西瓜=4千克，所以，1个西瓜=16个苹果。

师：大家解决这个问题的关键是什么？

生：关键是要知道1千克相当于几个苹果的重量？

师：他们买好水果回到家，有点渴，想喝点饮料，请同学根据老师给出的条件，想一想，他们两家共6口人，每人喝2小杯，这1大瓶可乐够吗？（如图3）（教师巡视指导。）

生：再次利用白板展示自己的观点。（如图4）

【设计意图】这个环节利用“西瓜换苹果的情境”，大家可以发现西瓜和苹果没有直接的关系，需要找到它们的中间桥梁，才能解决。在学生操作学具的基础上，让学生利用提供的图片，通过拖一拖、画一画、克隆等形式，无须更多的语言表述，思路就能清晰可见，并且有效地突破了“砝码和苹果同时扩大4倍”这个知识难点。利用白板搭建了一个师生、生生之间多元思维交流、碰撞的平台。

（3）领悟“价值”，动手操作。

师：他们一起来到了游乐园，正好碰上动物们进行体重大比拼，请看（如图5）：

①根据图5，你获得了哪些信息？

生1：1头猪的重量=2只羊的重量

1头牛的重量=4头猪的重量

2头牛的重量=？只羊的重量

师：那你能找到它们之间的等量关系吗？

生1：从图中我们知道：

1头猪=2只羊

4头猪=8只羊

4头猪=1头牛

1头牛=8只羊

2头牛=16只羊

师：大家还有其他的方法吗？

生：我是这样想的：

1头牛=4头猪

1头猪=2只羊

4头猪=8只羊

1头牛=8只羊

2头牛=16只羊

师：这两种方法都可以解决问题，但两种方法有什么不同？

生：第一种从条件入手，一步一步往下走；第二种是从问题入手，一步一步往回走。

师：回答得不错。那解决这个问题关键要找到哪个条件呢？

生：关键条件是4头猪和几只羊同样重。

【设计意图】这个环节主要培养学生有序地、全面地思考问题的能力和习惯，并从中找到解决问题的基本规律。

3.运用知识，自主练习

（1）师：刚才我们利用等量代换的思想帮小猪他们解决了问题，看小兔子也有问题要大家帮忙，你能帮它吗？（见图6）6棵大白菜可以换多少根胡萝卜？你们可以用喜欢的方式，比如画图、算式等来解决。

生：因为3棵白菜=9个大萝卜，所以，6棵白菜=18个大萝卜，又因为2个大萝卜=6根胡萝卜，18个大萝卜=54根胡萝卜，所以，6棵白菜=54根胡萝卜。

师：这个题目在解决的时候，突破口应该在哪里？

生：我认为应该抓住9个大萝卜换3棵白菜，6棵白菜换的大萝卜的数量就是9个的2倍。

师：是呀，只有找到它们之间的倍数关系，就能解决问题了。所以，解决这个题目最好从问题入手。

（2）师：利用等量代换的方法可以解决重量相等或价格相等的问题，那不相等的问题能不能运用这种思想呢？请看：（如图7）

师：1只鸡和1只鸭比，谁更重一些？把你的想法与同学交流。

学生1用电子白板展示了其想法，如图8。

学生2也用电子白板展示了其想法，如图9。

4.拓展

师：以前，我们曾见过这类题目：

△+□=240 △=□+□+□

□=？△=？

师：其实，我们在解决这个问题的时候，就是利用等量代换的思想，请同学们找找这个题目中相等的量在哪里？

师：请同学们再想想下面两道题中的△、□、○又各代表多少（如图10)？

师：通过这节课的学习，我发现同学们对等量代换的思想已不陌生，希望大家在以后的生活和学习中，能灵活地运用，解决更多的问题。

【设计意图】两个题目，前者是变式的等量代换，需要从不等量中寻找等量关系，后者已经从具体的情境数学提升到符号数学，实际上是二元、三元一次方程的雏形，都有一定的难度。教师可以有效地利用电子白板的功能，记录下学生的思路，化静态的知识为动态的知识，有效地突破了知识难点。最后利用电子白板的回放功能，可以使学生对知识的发生、发展过程重新梳理，形成正确的、清晰的表象，有助于引领学生的思考过程和启发学生的思维灵感。

教学反思

《数学课程标准》指出：“使数学更贴近生活，倡导数学知识要来源于生活，从大量的生活实例和学生熟悉的情境入手，来建立数学模型；并且让学生体验到：生活离不开数学，数学来源于生活，服务于生活。从而对数学产生浓厚的兴趣和强烈的求知欲，使其在科学的道路上不断地探索出新知。

第一，充分利用学生的生活经验，准确把握学生的知识起点。对本节课的教学内容“等量代换”，学生或多或少有一些认识，但不具体、不规范。为此，我利用学生所熟悉的生活经验，合理处理教材，准确定位。由互换中的重量代换，到学生自身认知需要激发出的价值代换，再到鸡、鸭、鹅在跷跷板上的平衡代换，寻求出解决等量代换问题的基本规律。

篇5：等量代换教学反思

等量代换这一课主要让学生通过观察、操作、验证等活动，初步体会等量代换的思想方法，培养学生有序地、全面地思考问题的意识和合作学习的习惯。为以后学习代数知识做准备。

在这一课的教学设计中，我从学生喜爱的游戏跷跷板引入，激发学生的学习兴趣。再简单复习天平的知识，为下面的学习做好准备。新授部分设置小猴和小兔买西瓜的情境，根据天平的原理得出，一个西瓜=4千克，4个苹果=1千克，提出一个问题，一个西瓜=？个苹果，要求学生按照自己喜欢的方法解决这个问题，接着让学生借助学具动手操作，再让学生说过程，课件演示验证，这样让学生对本知识点进行层层递进。在练习做一做的过程，引导学生解决方法的多样化。在巩固练习题中进行题式变化，提高学生的推理能力，从不同角度锻炼学生的推理能力。最后引入了图形代换题，学生利用同桌交流和小组合作的不同方式进行合作学习，培养学生互助合作交流的意识，学会与人合作、听取别人的意见，让所有的学生都参与到学习的全过程中。

1、教学设计注意由创设情景，激发探究内需入手。整节课有一个鲜明的探究主线和层次，如引新课主线是从设计西瓜如何换苹果，在互换中由重量相等的互换，到学生自身认知需要激发出的价值互换，由羊、猪、牛在跷跷板上的互换平衡，寻求出等量代换问题的解决规律。

2、充分挖掘了教材的内在因素。一是考虑到了学生初次接触等量代换思想，在运用教材中，用“换”字入手，化解学生对等量代换的陌生感觉，同时又充满了趣味。二是发挥了教材编排作用，不论是新课的引入到巩固练习中的习题选择，教师都注意发挥文本优势，既尊重教材，又灵活驾驭教材。例：重量相等到价值相等的代换。

3、把信息技术与数学教学有机结合，融为一体，从而改善教与学的效果，提高教与学的效率。让信息技术帮助学生感知知识形成过程，突破教学重点。小学生的记忆能力很强，但理解能力欠佳。如果我们的课堂教学只满足于让学生“记”一些知识点，而不关注他们是否真正掌握了其内涵，学生们就会只知其然而不知其所以然，尤其对那些比较抽象的学习内容。为了帮助学生克服“在原有的认知结构基础上，形成新的认知结构”过程中存在的困难，我在使用常规教学手段教学的同时，恰当运用现代信息技术动态图像演示技术，利用媒体信息传播的丰富性、形象性和生动性，将比较抽象的知识加以直观地显示，以其较强的刺激作用，帮助学生理解所学知识的本质属性，促使他们了解掌握相对完整的知识形成过程。如：把用4个苹果等量代换1个1千克砝码的过程形象地演示出来，使学生深刻理解一个西瓜和16个苹果同样重的道理。从而在脑中建立等量代换的表象，进一步理解该如何进行等量代换，从而比较容易的理解了这个学习的难点。

篇6：等量代换教学设计

教学内容：三年级下册教材109、111页内容。教学目标：

1.初步体会等量代换的数学思想；初步运用其思想解决一些简单的实际或数学问题。2.通过观察、猜测、操作、计算、推理等活动，亲历学习过程，体验思考的快乐。3.培养学生有序、全面地思考问题的意识和合作学习的习惯。教学重点：

利用天平原理初步体会等量代换的思想，为以后学习简单代数知识做准备。教学难点：

初步用等量代换的数学思想解决一些简单的实际或数学问题。教学准备：课件教学过程：

一、情境引入

今天这节课，咱们首先去逛一逛水果超市。超市的水果可真是琳琅满目呀，这里面还藏着数学问题呢！老师为发言积极、善于合作、思维敏捷、敢于质疑、认真倾听的同学准备了很多的“智慧之星”，有信心得到吗？

1．课件出示一架天平，左盘放了一个西瓜，右盘放了一个哈密瓜。同学们，看了这幅图，你知道了什么？为什么？

2．再出示一架天平，左边放一个哈密瓜，右盘放一个榴莲。看了这幅图，你又知道了什么？

3．引导学生说出：一个西瓜和一个哈密瓜同样重，一个哈密瓜和一个榴莲同样重，由此可知，一个西瓜和一个榴莲同样重。榴莲的重量可以代替哈密瓜的重量！

4．接着引导学生说说理由，师引导：看似简单的问题，其实蕴含着一种重要的数学思想，知道是什么吗？

生可能答：等量代换

5．如果学生答不出，师指出这叫 “等量代换”（板书课题）。听说过曹冲称象的故事吧？（课件演示前部分，让学生说说后部分）

6．师：曹冲其实就是用的等量代换的方法，用和大象同样重的石头代替大象，便解决了称象的问题。也想象曹冲一样应用等量代换的思想解决一些简单的实际问题吗？

二、探究新知

1．师：那好，咱们先去水果超市看一看！

A、课件出示：一个大西瓜 —— 四个一千克的砝码。师：你知道了什么？（课件：西瓜重4千克）

B、出示左边四个苹果，右边一千克的砝码，你又知道了什么？（课件：四个苹果正好是一千克）。假定相同的水果同样重。

C、师：那你能提出问题吗？学生任意提，简单的当场解决，当学生提出“几个苹果与一个西瓜一样重？”时，师课件出示，然后问：你能不能回答？？的问题？

D、师：请四人一组讨论，每个同学都要说一说自己的想法，然后推荐一位代表作为组内发言人，看看哪个组最善于合作，表现最好。E、点3-4个组回答，随着学生的回答课件演示代换的过程，给表现好的组奖励“桂圆”。F、小结：我们刚才就是用代换的方法来解决同学们提出的这个问题的。都没用老师教，大家通过小组合作就知道了，看来，集体的力量真是无穷呀！

三、解决问题

1．出示图。师：李大爷家的水果看上去也挺新鲜的，咱们再去看看吧！

图1 两个桔子=一个桃图2 四个桃=一个菠萝图3 两个菠萝 =？个桔子

师：怎么换呢？请认真思考，一会儿请个小老师来告诉大家。生说后师课件演示。表扬条理清晰的学生。

2．我们在这里逛水果店的同时，有两只水果争得不可开交。咱们赶快去帮帮忙吧！2个西红柿=一个大苹果 4枝香蕉<2个苹果一个西红柿和一枝香蕉，谁重些？生讨论后回答。

3.同学们爱吃水果，小白免却是对萝卜白菜情有独钟。

6根胡萝卜换2个大萝卜，9个大萝卜换3棵大白菜。小免有一个问题：6棵大白菜换多少根胡萝卜？（课件图）

你能帮小免解决这个问题吗？可以独立思考，也可以和同学小声讨论，必要时还可借助手中的学具摆一摆。

师点名回答，鼓励用不同的方法解决。法1：摆一摆；法2：写一写；法3：算一算。4.远古时代的等量代换。

用4个番薯可以换2棵大白菜。用8棵大白菜可以换2斤米。用2只鸡可以换10斤米。

我今天带了一只鸡，可以换些什么呢？

三、拓展延伸

1．小猴子们正在享受着它们的美味佳肴，是一些饼干。

已知三角形饼干的块数+正方形饼干的块数=240 三角形=正方形+正方形+正方形三角形= 正方形= 生可能说：可以把一个三角形换成三个正方形，然后把240除以4等于60再求出正方形和三角形

2.三角形+三角形+圆=30 圆=三角形+三角形+三角形三角形= 圆= 生做，做后师生讨论

篇7：《等量代换》教学设计

驻马店第二实验小学

王鑫

《等量代换》教学设计

驻马店第二实验小学王鑫

教学内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书数学》三年级下册第九单元“数学广角” P109例2及练习题。

教学目标：

1、使学生能初步学会等量代换的方法，接受等量代换的思想。

2、培养学生的观察力及初步的逻辑推理能力。

3、在小组活动中，主动参与，增强合作意识。教学重点：找到中间量，运用相等的量进行代换。教学难点：体会等量代换的思考方法。

教具、学具准备：多媒体课件、相应的学具图片。教学过程：

结合学校实施的星卡评价活动进行课前谈话：出示红星卡，喜欢它吗？想得到它可不太容易，说说怎样才能得到它？（通过自己的努力得到10张绿星卡才能换一张红星卡）这节课我们不可能得到它，但是得到绿星卡还是有可能的。老师发给你们的答题卡上都有一张笑脸统计表，由自己负责填写。只要大家能认真听讲，积极动脑，大胆发言，敢于挑战并克服困难，你就可以得到一张张笑脸。如果这节课你能得到足够多的笑脸，就能换到绿星卡，有信心吗？

一、故事导入、引出课题。

老师知道同学们最喜欢听故事了，今天特意为大家带来一个曹冲称象的故事，（课件播放曹冲称象的故事）

师：曹冲聪明吗？为什么曹冲称出了石头的重量也就知道了大象的重量？生：因为石头和大象的重量是相等的。

师：大象和石头的重量是相等的，我们把这两个相等的量叫做 “等量”（板书）通过换一换的方法，知道了大象的重量，这里运用了一种非常重要的数学思考方法——等量代换（板书课题）。

这节课我们就来研究这种有趣的互换方法，相信掌握了它你会变得和曹冲一样聪明。

二、合作探究、学习新知。

1、借助课件，提出问题。

同学们玩过跷跷板的游戏吗？当什么情况下，跷跷板会平衡？动物乐园里的小动物们也在玩跷跷板的游戏呢，我们一起去看一看。

出示第一幅图，你看到了什么？又过来一只和它一样重的小羊，这时跷跷板怎样了？你明白了什么？（1头猪=2只羊）出示第二幅图，从这幅图中你看到了什么？（1头牛=4头猪）

现在小牛想和小羊玩跷跷板，一只小牛需要和几只小羊玩，跷跷板才会平衡？出示第三幅图。

师：到底是不是８只，咱们来验证一下，看活动要求:１,两人一组，拿出学具袋中的小猪、小牛和小羊图片，通过摆一摆、换一换、算一算等方法寻找小牛与小羊之间的等量关系２,并把你的思考过程和答案与同桌进行交流，比比谁表达得更简洁，更清楚。

2、提生汇报，全班交流。谁愿意把自己的想法说给大家听听？提不同的学生汇报解题思路并到讲台前展示代换过程。

生上台去摆，换，算。（1头牛等于4头猪的重量，1头猪等于2只羊的重量，可以用2只羊来代换1头猪，那么四头猪就需要4个2也就是8只羊来替换。所以1头牛的体重等于8只羊的体重。4×2=8，1头牛=8只羊。）

3、小结代换方法。

请同学们仔细观察，我们要解决小牛和几只小羊质量相等，可是小牛和小羊没有直接的关系，但它们都和小猪有关系，是小猪的出现帮了我们这个大忙。3

我们可以通过小猪这个桥梁，先把１头牛换成４只猪，１头猪换成２只羊，４头猪就是４个２,也就是８只羊。小猪的作用可真大呀！（课件演示）

４,及时练习。

刚才我们用换的方法知道了小牛与小羊的等量关系，现在我们用这种方法来小试身手，看到小动物在称体重，可爱的鸡，鸭，鹅也来凑热闹了。

师：谁愿意把你看到的信息告诉大家？

师：一只鸡和一只鸭谁重呢。同桌讨论一下，你们是怎么想的？

生1：鸡和鸭没有直接的关系，但它们都同鹅有关系。2只鸭=1只鹅，2只鸡 < 一只鹅，所以1只鸭比1只鸡重。师：这种方法对吗？还有不同的想法吗？

生2：2只鹅=4只鸭，2只鹅 > 4只鸡，所以1只鸭比1只鸡重。（总结：直接比较1只鸡和1只鸭谁重一些比较困难，可以转化为2只鸡和2只鸭，或4只鸡和4只鸭的比较。）

师：看来同一个问题我们可以从不同的角度去思考，去解决。

师小结：要知道1头小牛和几只小羊一样重，就要找到它们和小猪有怎样的关系，要想比较鸡和鸭谁重些，我们就要找到它们和鹅之间的重量关系。以后再遇到找两种量之间的等量关系的问题，我们都要看看这两种量都和谁有关系，然后根据它们之间的关系来解决问题。

接下来，让我们走进智慧岛，看看智慧岛里都有什么问题在等着我们去解决？

三，勇闯智慧岛。

1，看，动物园里的小动物比体重，水果王国中的居民也来凑热闹，看看哪

些水果在称重量。（在这里，我们假设每个西瓜同样重，每个苹果同样重。）课件出示下图，谁愿意把你看到的信息告诉大家？

？个苹果

师：那到底多少个同样大小的苹果和1个西瓜一样重呢？

请同学们独立解决，哪位同学愿意把你的想法说给全班同学听一听。2，接下来让我们来到题目大变脸，帮一帮图形宝宝的忙吧！△=□+□+□

□=○+○+○+○

△=（）个○ △+■=240

△=■+■+■

那么 ■=（）

△=（）

３,像上面这样的例子都是通过等量代换的方法来解决的，其实生活中也有很多这样的问题，这里有100元钱，怎样才能换成零钱呢。

在人类很早很早以前，那时候还没有出现货币，人们怎么买东西呢？（只能用物品和物品进行交换）老师也搜集了一些资料，你们想不想看看古时候的人们是怎么进行交换物品的？

李家用1头牛可以换几套衣服？

学生独立解答，解答出来的同学每人可得到二张火炬旗。你想学一学古人换物吗，你想怎样进行交换?

四、换卡激励。

在有趣的互换中大家通过观察、分析、思考、推理已经学会了用“等量代换”的思想解决生活中的一些实际问题。在解决问题的过程中，同学们也都得到了许多张笑脸，如果6张笑脸可以换2面火炬旗标志，3面火炬旗标志可以换一张绿星卡，看看自己得了几张笑脸，算一算这节课你能得到几面火炬旗，是否能得到一张绿星卡？

教学反思：

“等量代换”是一个较为有挑战性的课题，因为当中的数学思想较为抽象。下面是我上完这节课的一些反思。

等量代换是指一个量用与它相等的量去代替,它是数学中一种基本的思想方法,也是代数思想方法的基础。同时，等量代换的理论又是比较系统、抽象的数学思想方法，为了让学生通过生活中容易理解的题材初步体会这种思想方法，能够用自己的方法解决问题，我在教学中注意做到以下几点：

1、重视学生的动手操作过程。

我把例题换成了做一做中的，１头小牛等于几头小羊这个问题，由于是孩子们喜欢的小动物，所以孩子会更加感兴趣。１头小牛等于４头猪，一头猪等于２只羊，那么１头小牛等于几只小羊呢？在学生发现了这些信息后，我先

给几秒钟学生独立思考，然后再通过摆学具来验证自己的想法。等量代换是较为抽象的数学思想方法，尤其对于中下生来说，理解起来会有一定的难度，需要借助形象学具的帮忙，通过动手的操作，可以让学生更好地建立起“换”的过程。

2、重视等量代换思维方法的归纳。

教学中，我会充分利用学具、多媒体课等教学辅助手段，用形象而直观的方式帮助学生建立起等量代换的方法，当学生已经初步建立了这一思想方法时，我又会及时地帮助学生总结等量代换的方法。例如，在例中，学生通过摆学具和独立的思考，知道了1头牛和８只小羊一样重。这时，我用形象化的语言归纳出：我们要解决小牛和几只小羊质量相等，可是小牛和小羊没有直接的关系，但它们都和小猪有关系，是小猪的出现帮了我们这个大忙。我们可以通过小猪这个桥梁，先把１头牛换成４只猪，１头猪换成２只羊，４头猪就是４个２,也就是８只羊。小猪的作用可真大呀！同时，配合如下的板书，引导学生把形象思维上升到抽象思维。

板书：

4×2=8 这一思维方法的归纳，会让学生在处理后面的练习中，更加的得心应手，能够培养学生养成良好的思考问题的方法。

3、根据实际重新编排处理教材。

在教学中，我对教材做了一个新的编排。首先，我把做一做中的习题做为例题来讲授，接着出示了练习二十四中的第６题，因为这两道题都是小动物称体重的问题，如果分开的话，会破坏掉创设的情境，另外，这两道题是有一定梯度，有助于提高孩子的学习兴趣。接着我把原例题做为巩固练习中的第一题，另外，等量代换在图形类的题目中也有出现，为此把这类题做为练习的第二题，最后一题是古人换物，通过这一题，让孩子走近古人，做一回古人，体会了古代的人是怎样进行交换的，有效的提高了学习的学习兴趣。

篇8：巧用变量代换

一、变量代换的应用

通常认为, 高等数学是由微积分学, 较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科, 主要内容包括:极限、微积分、空间解析几何与向量代数、级数、常微分方程等.变量代换法可以对极限、微积分、级数、常微分方程等不能直接求解的问题运用变量代换, 显现题目本质.也就是变换题目中的量与量, 化繁为简, 化难为易, 将比较困难的问题转化成容易解决的问题.

1. 变量代换在函数中的应用

巧用变量代换法化简函数表达式、求解函数值等问题.

例1已知f (xn) =lnx, 求f (e) .

解由于题中函数表达式不是我们习惯的形式, 可先把函数表达式化为我们习惯的形式, 根据题意, 不妨设xn=e, 则.从而有.

2. 变量代换在极限运算中的应用

(1) 在求函数极限的问题中, 经常用到两个重要极限, 即, 有很多函数都可通过变量代换转换成两个重要极限的形式, 从而求极限.

(2) 对某些无理根式, 巧用变量代换使其化为有理式, 从而求解.

(3) 二元及多元函数求极限可作变量代换, 转化为一元函数求出极限.

3. 变量代换在求导中的应用

(1) 对比较复杂的函数, 尤其是复合函数求导

设函数y=f (μ) 在μ点可导, 函数y=g (x) 在x点可导, 则y=f[g (x) ]在x点可导, 且.

(2) 对隐函数求导