因式分解教材分析

因式分解教材分析（共6篇）

篇1：因式分解教材分析

八年级下第四章《因式分解》教材分析

一．教学目标：

1.经历将一个多项式分解成几个整式乘积的形式的过程,体会因式分解的意义,发展运算能力.2.能用提公因式法和公式法分解因式.3.认识整式乘法与因式分解的关系,体会数学知识之间的相互联系.4.进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力

二．设计思路：

因式分解是整式的一种重要的恒等变形,它和整式乘法运算有着密切的联系,是后续学习分式化简与运算、解一元二次方程的重要基础.学生已有的因数分解、整式乘法运算的学习经验是本章学习的基础.本章在知识与技能方面主要解决两个问题:什么是因式分解?怎样进行因式分解?对于第二个问题,只学习提公因式法与公式法(平方差公式与完全平方公式)这两种方法.本章教科书尽可能帮助学生从几何角度理解代数的含义,发展学生的类比思想以及从特殊到一般的思考问题的方法,帮助学生体会数学知识之间的联系.具体地,本章设计了3节内容.第1节“因式分解”,先利用993-99的例子突出与因数分解的类比,体会因式分解的必要性,然后用几何图形的拼图解释因式分解,在了解因式分解概念的基础上,体会因式分解与整式乘法的关系.第2节“提公因式法”,它的依据是乘法分配律或者单项式乘多项式的法则.对于学生来说,难点是怎样在多项式的各项中发现公因式,为此,教科书让学生从简单的多项式ab+bc的各项中发现相同因式入手,由浅入深地体会如何寻找公因式,并以例题示范的形式学习用提公因式法进行因式分解及其注意事项,形成基本技能.第3节“公式法”,其关键是熟悉平方差公式、完全平方公式的式子及其特点.学生初学时的一个难点是如何根据一个多项式的形式与特点选择运用恰当的公式.为此,教科书将这两个公式编成两课时,分开教学.需要说明的是,根据《标准》的要求,本章教科书介绍了最基本的因式分解的方法:提公因式法和公式法(平方差公式、完全平方公式).教学中应把握好这一要求,不要刻意提高要求、增加难度,另外,教科书通过设置恰当的、有一定梯度的题目,关注了学生知识技能的掌握和不同层次学生的需求.【重点 1.探索分解因式的方法.2.会用提公因式法把多项式分解因式.3.会用公式法把多项式分解因式.【难点】

1.因式分解的概念的理解.2.确定多项式的公因式.3.确定合适的方法分解因式.教学建议：

1.要引导学生多角度理解因式分解的意义.(1)类比因数分解理解因式分解.通过类比数式993-99的分解过程,帮助学生认识多项式a3-a的分解.(2)通过拼图帮助理解因式分解.通过拼图前后图形的面积不变,可以形象地解释多项式x2+2x+1变形为(x+1)2的合理性,以直观形象的方式,促进学生对因式分解的理解.教师要引导学生用自己的语言说明变形过程.(3)对比整式乘法加深理解因式分解.通过对整式乘法运算与因式分解的对比,充分感受两者之间互为逆过程的关系.2.要注重发展学生的观察、发现、归纳、概括等能力.对于因式分解概念的教学,要让学生通过观察、对比整式乘法运算与因式分解,归纳概括出整式乘法运算与因式分解互为逆过程的关系.在学生经历探索因式分解方法的过程中,更要注重发展学生的观察、发现、归纳、概括等能力.探索因式分解的方法,事实上是对整式乘法运算的再认识.在教学?,教师要借助学生已有的整式乘法运算的基础,给学生提供丰富的问题情境,留有充分探索与交流的时间和空间,让他们经历从整式乘法运算到因式分解的转换过程,并能用符号合理地表示出因式分解的方法.

篇2：因式分解教材分析

一、单元设计特点及教学说明：

《天气》单元一共设计了７课，可以分为三个阶段：第一阶段为第1课和第2课，学生认识到人们通常从云量、降水量、风和温度这几个方面来描述天气；开始在一个比较长的时间（如一个月）里收集天气信息，并把他们观察到的信息记录在“天气日历”上；在每天跟踪观察和记录天气的过程中，让学生真实地感受天气是在不断地改变着的，激发学生研究天气的兴趣。第二阶段，第3-6课。学生将分别观察、讨论、测量和记录四种(云量、降水量、风和温度)天气特征的数据。最后，进入第７课的时候，学生已经做了近一个月的观察和记录，收集了大量的关于天气的数据。在这一课，他们将分析和总结已经收集到的数据，形成《天气》单元学习以来的对当地天气的概括性的认识。

二、教学建议：

1．要让学生真正走近天气现象，用感官和简单工具获取天气特征的相关信息和记录数据。本单元学到的新的科学知识和实践能力有助于学生对天气的理解和应对天气对他们的影响。

2．由于本单元的教学活动有时需要在特定的天气环境下进行，如第4课《风向和风速》、第6课《云的观测》。因此，需要教师根据天气情况随时调整教学内容。

3．本单元学生将经历一个较长时间的观察和记录天气现象的过程，教师要对每天的观测和记录活动给以及时的指导、督促，更重要的是不断激发学生学习兴趣，这将是决定本单元学习成效的重要因素。

4．我国幅员辽阔，各个地方的天气情况千差万别。教师可根据本地的实际情况使用教材。有条件的学校，可以建立学校的观测气象站，为学生的观察活动提供更为有利的条件。

三、单元概述

天气可以被定义为“关于热或冷、潮湿或干燥、平静或风暴、晴朗或多云等方面的大气层的状态。”天气的变化是大气层变化的结果，而驱动全球天气变化的动力是来自太阳的能量。

天气与我们的生活密切相关，四年级的学生已经注意到天气在影响着他们的生活：每天需要穿什么衣服去上学；明天的春游会不会下雨；今天上学需不需要拿雨伞……但是，他们对天气的认识还仅仅停留在感官的感知，或听家长、天气预报对天气的描述。在我国还有一种特殊现象，就是孩子们每天穿什么衣服常常是由家长替他们选择的，他们甚至不用去关心天气。当问到学生“今天天气怎么样”时，他们往往回答为：挺好、下雨了、寒冷、太阳很高、阳光灿烂、树叶都落了、小鸟越来越少了等，基本上不能区分天气特征与季节以及其他自然事物的特征。对于天气，学生也会有一大堆疑问：下雨时为什么会打雷？为什么一天中有时冷，有时热？……

本单元以天气为主题，引导学生关注每天天气的变化，对天气的一些基本特征进行研究，并像气象学家那样观察、记录、分析各种天气现象。期待学生经过本单元的学习，能对天气有一个全面、科学的认识，激发学生对天气现象研究的好奇心和热情。学生还会发现科学工具使他们的观察能力得到延伸，并使他们在观察过程中，获得更多的有价值的信息。

“天气”单元一共设计了７课，可以分为三个阶段：

第一阶段，第1课和第2课。学生将了解人们通常从云量、降水量、风和气温这四个方面来描述天气；开始在一个比较长的时间（如一个月）里收集天气信息，并把他们观察到的信息记录在“天气日历”上；在每天跟踪观察和记录天气的过程中，他们将真实感受天气是在不断地改变着的，激发研究天气的兴趣。

第二阶段，第3~6课。学生将分别观察、讨论、测量和记录四种天气特征(云量、降水量、风和气温)的数据。

进入第７课的时候，学生已经做了近一个月的观察和记录，收集了大量的关于天气的数据。在这一课，他们将分析和总结已经收集到的数据，形成“天气”单元学习以来对当地天气的概括性的认识。

通过本单元的学习，学生将能够熟悉天气现象，用他们的感官和科学的工具获取天气特征和记录数据。他们在本单元学到的科学知识和实践能力将有助于对天气的理解和应对天气对他们的影响。

由于本单元的教学活动有时需要在特定的天气环境下进行，如第4课“风向和风速”，第6课“云的观测”，需要教师根据天气情况随时调整教学内容。

本单元学生将经历一个较长时间的观察和记录天气现象的过程，教师要对每天的观测和记录活动给予及时的指导、督促，更重要的是不断激发学生学习的兴趣，这将是决定本单元学习成效的重要因素。

我国幅员辽阔，各个地方的天气情况千差万别。教师可根据本地的实际情况使用教科书。有条件的学校，可以建立学校的气象观测站，为学生的观察活动提供更为有利的条件。

四、单元教学目标

科学概念

● 天气每天都在发生着变化。

● 天气特征主要包括云量、降水量、风和气温。● 温度计、雨量器、风向标和风速仪是测量天气的工具。

● 气象学家是研究、观察和记录关于天气信息以及应用这些信息预报天气的科学家。

● 天气影响着我们的生活。过程与方法

● 用感官观察天气。

● 讨论和记录关于天气特征的信息。

● 使用温度计测量气温；用简单工具测量风速、风向；用自制的简易雨量器测量降雨量。

● 观察各种云的不同，并能给它们分类。● 对天气数据进行总结和分析。情感、态度、价值观

● 增强天气意识，提高观察和研究天气的兴趣。● 意识到天气是如何影响每天的生活的。

● 意识到测量和长期的记录有助于我们学习更多的关于天气的知识。

五、分课时教学建议

第１课 我们关心天气

（一）背景和目标

天气几乎每天都在影响着我们的生活。四年级的学生已经对天气有了初步认识，这些认识来自于平时的生活经验、每天的天气预报或其他的书籍资料。但是

他们还不清楚天气的基本特征。当问及他们“今天天气怎么样？”的时候，他们往往会回答：“鲜花都盛开了”“树叶都绿了”“秋天要来了”等。他们往往不能根据天气来判断每天应该穿什么样的衣服。随着在本单元学习过程中学生对各种天气特征的认识，期待着他们能更加关心天气、准确地观察天气，提高他们的生活质量。

科学知识

● 通常通过云量、降雨量、气温、风向和风速等天气特征来描述天气。过程与方法

● 对各种天气现象进行分类。运用感官观察天气，并讨论和记录天气的特征。

情感、态度、价值观

● 意识到天气影响着我们的生活，提高关心天气的意识。

（二）教学准备

一张大图画纸，上面写有：“今天天气怎么样？”

一张大的中国地图，上面贴有某一天天气预报的各种天气符号。为每组准备一套天气符号卡片。

一张大的教科书第44页的用于对我们知道的天气现象归类的表格。一张大的教科书第45页的“关于天气的网状图”。每个学生准备一本科学记录本、笔。

（三）教科书说明

第一部分：我们知道的天气现象

通过引导学生观察一张“城市天气预报图”来帮助学生明确常见的天气现象。

图上的各种天气符号和表示温度的数字，反映了这一天全国各个地区的天气情况。学生通过对这张图的观察，可以对常见的天气现象有一个全面的了解。图上的表示天气现象的符号可采用粘贴的形式，在符号下面应写上符号的名称，便于学生认识这些天气现象。

提问学生还知道哪些天气现象，以帮助学生全面认识天气现象。为每一组准备一套天气符号，让学生尝试着给这些天气现象进行分类。

第二部分：今天天气怎么样

通过前面的活动，学生已经了解到可以从云量、降雨量、气温、风向和风速等天气现象来描述天气了。接下来把学生带到室外，教师引导学生从上面几个方面对当天的天气进行观察。并引导学生用一些词或句子将观察到的现象记录在科学记录本上。回到教室后，让学生对观察到的现象进行交流。

在了解了当天的天气情况后，教师引导学生思考“今天的天气对我们的生活有什么影响”，或提问“你们觉得今天我们应该穿什么衣服？”使学生意识到天

气在影响着我们的生活。

在学生描述当天的天气时，可能只是一些毫无联系的几个简单的词语或句子。提示部分对学生描述天气的方法进行了深入的指导。可以引导学生阅读提示，并应用提示的方法对自己的记录进行改进，并把改进后的描述和同学交流。

（四）教学建议 1.单元前评价

首先，教师可以在黑板上出示上面写有“今天天气怎么样”的大图画纸，在上面写上日期和地点。教师指着上面的问题提问学生：如果有人问你们“今天天气怎么样？”你们准备怎么回答呢？然后，教师将学生对当天天气的描述一一记录在大图画纸上。学生的回答将帮助教师了解他们对天气的初始认识，这也是对学生学习本单元的“单元前评价”。将“单元前评价”和最后一课的“单元后评价”结合起来，可以了解学生在本单元学习前后，对天气的理解有了哪些变化和进步。

2.了解云量、降水量、风和气温等是天气的基本特征

可以首先引导学生思考：天气和我们的生活密切相关，每天天气都在发生变化，我们怎样描述天气的变化呢？出示“城市天气预报图”，提问学生：在这张天气预报图中，是怎样反映天气变化的？图中符号代表的是什么意思？学生根据已有经验，会说出他们的理解。教师将学生的认识和相应的符号、文字进行比较，帮助学生认识常见的天气符号，并提示图上标出的温度是指当地的日最低气温和最高气温的变化范围。然后可以提问学生还知道哪些天气现象，教师根据学生的回答出示事先准备好的相应的其他天气符号。

接下来，教师可以给每组发天气符号，小组讨论怎样把这些天气符号分类。

当学生得出分类结果后，教师在黑板上出示一张大的“对我们知道的天气现象归类”表格，指定一个小组把分类情况粘在横格中，全班对分类结果进行讨论，形成按云量、降雨量、气温、风速和风向分类的统一认识。

3.学生实际观察并描述当天的天气

观察前要让学生明确：要从云量、降雨量、气温、风向和风速这几个方面来观察天气，要在科学记录本上写上当天的日期，并把观察到的现象记录在科学记录本上。需要给每组发一个气温计用来测量室外的气温。由于学生刚刚开始对天气的观察，教师应对学生如何观察云量、降雨量、气温、风向和风速进行初步的指导，引导学生运用多种感觉器官进行观察。如：看天空中的云量、看看是否有雨、降雨量是大还是小，通过周围的树枝、国旗等来判断风向和风速。

回到教室后，先让学生交流他们的观察记录。然后，从“对我们知道的天气现象归类”表格中挑选出最能表示当天的云量、降雨量、风速和风向的符号。

引导学生阅读教科书第45页上的提示，教师对记录方法进行指导后要求学生：你们能根据提示对“今天天气怎么样”的记录进行改进吗？学生改进自己的“今天天气怎么样”的记录后进行交流。

最后，教师要告诉学生：在今后一个月的关于天气的学习过程中，我们每天都要进行天气观察和记录。这样我们就能了解这段时间里我们这个地方的天气变化情况了。

第2课 天气日历

（一）背景和目标

太阳的光和热透过大气层，引起了空气温度的变化，这种变化的结果使空气

产生运动——形成风。从海洋和河流吹来的风，伴随着潮湿的空气，又促进了云和降雨的形成……就这样，天气每天都发生着一系列的变化。气象学家的工作就是运用感官和借助仪器时刻观察天气的各种信息，这些信息将帮助气象学家分析和判断天气将要发生怎样的变化。在今后几课的学习中，教师要帮助学生像气象学家那样去观察和记录每天的天气。“天气日历”为学生提供了简单易行的方法，使他们可以参与一段较长时期的天气观察、记录和分析数据活动。

科学概念

● 天气每天都在发生变化。过程与方法

● 运用多种感官和初步地使用温度计来收集天气信息和数据，并记录在“天气日历”和“日期－温度”表中。

情感、态度、价值观

● 意识到长期的观察和记录会使我们了解到更多的天气信息。

（二）教学准备

一张分类画有天气符号的大纸。

为每个学生准备几张用来画天气符号的小卡片。一张天气日历。一张气温柱形图表。

每组一支温度计和记录温度的纸、笔。

（三）教科书说明

第一部分：识别一些天气符号

上一堂课学生已经认识了在天气预报中常用的天气符号。在天气日历中，学

生将用改进后的、比较简单明确的天气符号（有时需要用有相关数据的“天气符号卡”）来记录观察到的天气现象，并且他们需要自己制作这样的“天气符号卡”来完成观察记录，所以让学生练习画一画天气符号是很必要的。在降雨量中增加降雨的毫米数的记录，是为了和后面雨量器的教学相呼应。运用小旗被风吹动情况的符号来记录风的大小，也是和后面“怎样描述风”的教学活动相配合，并使学生的观察和记录更容易一些。

第二部分：制作天气日历

活动完成后，带领学生到室外观察当天的天气情况。回到教室后，教师出示“天气日历”，引导学生在天气日历上记录当天的天气（见教科书建议）。

讨论今后的天气日历应怎样记录？可以有以下几种方法：方法一，小组轮换，每周指定一个小组，每１至２人负责一项天气现象的观察和记录，并把观察到的天气现象记录在天气日历上；方法二，每天安排一个同学观察和记录天气，制订一份观察记录值日表；方法三，每天安排一个人或一个小组，把每天观察到的天气现象先向全班同学描述，再记录在“天气日历”上。

（四）教学建议 1.认识一些天气符号

上课时，教师可以首先提问学生：“你们还记得两周前的天气是怎么样的吗？”除非那一天有特别明显的天气现象发生，否则学生是很难记得清楚的。然后，教师让学生描述当天的天气怎么样。再讨论：我们怎么样才能在两周后仍然记住今天的天气？学生的回答将集中在如何把天气现象记录下来。教师这时向学生介绍天气日历并指出制作天气日历是跟踪记录天气的好办法。告诉他们，这节课就来研究如何观察天气，并将观察到的天气信息记录在“天气日历”上。

接下来，出示分类画有天气符号的大纸。告诉学生在天气日历中，我们可以使用天气符号来记录云量、云的种类（次项可以选学）、降水量、风速和风向、气温等天气现象。向学生分类介绍每一种天气符号，并引导学生观察这些符号和上节课天气预报里的符号一样吗，学生会发现今天的天气符号上添加了许多文字说明。

每个学生在小纸卡上照着大纸画几个天气符号，制成天气记录卡。因为在今后的一个月的时间里，学生就要用自己制作的这样的天气记录卡在“天气日记”上记录每天他们观察到的天气现象。可以小组分工，每人画一类天气符号的小纸卡，小组内不画重复的。注意提示学生在卡片的上方写上当天的日期。

2.制作天气日历

可以由每个小组完成一个天气日历，但全班共同完成一个天气日历的记录可能会比较现实。

首先，带领学生到户外观察天气。因为，从这一次开始，学生将持续一个月的天气观察，并在观察的过程中对天气情况进行判断。此时的学生对天气现象的观察能力还不强，教师应重点对在什么地方测量气温最合适，如何判断天空中的云是多云、阴天等方法和学生们进行交流，并作初步的指导。

回到教室后，教师将“天气日历”贴在黑板上。提问学生：哪一张天气符号最能反映今天的云量？各小组举起前面画好的相应的小卡片。请一名学生把小卡片贴在“天气日历”相应的日期栏内。

提问学生哪一张天气符号最能反映今天的降雨量？各小组举起前面画好的相应的小卡片。请一名学生把小卡片贴在“天气日历”相应的日期栏内。

提问学生哪一张天气符号最能反映今天的风向？各小组举起前面画好的相

应的小卡片。请一名学生把小卡片贴在“天气日历”相应的日期栏内。

出示“温度记录表”，指导学生用填充图（描竖条）的方法记录当天的气温。告诉学生，从今天开始，每天都要把天气现象像这样记录下来。然后讨论怎样分配每天的记录任务，根据学生的讨论明确分配任务的方案。统一确定每天在什么时间观察天气。

第3课 温度与气温

（一）背景和目标

气温对天气的影响很大，并且每天都在发生变化。学生每天测量到的气温，是“天气日历”中重要的记录数据。气温可以用温度计来测量。学生在三年级已经学习了温度计的使用方法，并用温度计测量过室内和室外的温度。在本课将进一步巩固学生使用温度计测量温度的技能。

在同一时间里，室内和室外的温度不同，室外不同地方的温度也不同；同一地点，一天中的温度也在不断变化。要研究气温的变化，首先要明确平时所说的气温是在什么环境下测定的。

科学概念

● 气温是指室外阴凉、通风地方的温度，每天应选择同一时间来测量气温。过程与方法

● 选择每天测量气温的环境，完成“天气日历”中温度的测量和记录。情感、态度、价值观

● 保持对气温变化的研究兴趣，理解长期测量和记录数据的重要性。

（二）教学准备

课前布置分小组记录一天中清晨、上午、中午、下午和傍晚的气温。每组一张温度填充图。每个小组或每人一支温度计。

（三）教科书说明

第一部分：室内外温度的测量与比较

学生在三年级已经掌握了用温度计测量温度，在第1课和第2课中，学生已经开始用温度计测量气温。本课中，每个小组或每个同学都将再次使用温度计测量气温，并将在今后的一段时间里，每天都使用温度计来测量气温，同时将测量的结果记录在“天气日历”和“我们的日期——温度表”中。为了提高学生们测量的准确性，有必要在下列几个方面对学生使用温度计测量气温进行指导：1.认识温度计上的刻度。温度计上标出的温度往往是整十数，每两个数值之间分成５或10个相等的小格，每个小格代表１摄氏度或２摄氏度。2.测量时，要把温度计放置到测量环境内2~3分钟，待液柱不再升高或降低时再读数。3.读数时，视线要与温度计的液面保持水平。

在学生复习了温度计的使用方法之后，可以通过引导学生对以下问题的思考，开始对室内外哪个温度更能反映当地气温的研究。

教室内的温度和教室外的温度一样吗？ 我们怎样知道外面的温度比室内高还是低呢？

怎样测量室内外的温度？需要做哪些准备？怎样做好记录？

学生开始测量教室内外的气温。当测量教室外的温度时，可以让不同小组（同学）选择教室外的不同地点来测量，要保证有的小组测量的是教室外阴凉、通风处的温度。

第二部分：气温的测量

对测量的温度进行比较和分析，确定只有室外阴凉通风的地方才能反映当地的气温。并指导学生把测得的气温记录在“天气日历”和“我们的日期——温度表”上。

通过利用收集的数据制成的“温度填充图”来分析每天选择一致的时间来测量气温的重要性。

（四）教学建议

上课时，首先提醒学生：我们这堂课要使用温度计来测量气温，但温度计是一个非常容易破损的玻璃仪器，一定要小心拿放，尤其要避免碰到坚硬的物体或掉落到地上。如果温度计破碎了，一定要告诉老师来处理。

1.复习温度计的使用方法

首先，发给每个小组或每个人一支温度计。让学生分别指出温度计上水结冰时的温度（０ °C）和水沸腾时的温度（100 °C）的刻度分别在哪里？再指出炎热的夏天和寒冷的冬天时，温度计的温度可能在什么位置。再让学生在温度计上指出18 °C、25 °C，让学生们认识温度计刻度的含义。

然后，可以让学生用手握住温度计的液泡，待温度计的液柱不再上升时，读出这时的温度。提问学生：这时测量的是什么的温度？让学生感受到温度计的小液泡虽然敏感，在测量温度时，也需要有一个变化的过程，这个过程要在1分钟以上。

2.室内外温度的测量与比较

首先，可以让学生思考：你们认为今天教室内和教室外的温度是否相同？哪一个温度会高一些？是怎么知道的？

然后，发给学生（每组或每人）一张“室内外温度记录表”开始室内外温度的测量。

测量室内温度。让学生把温度计放在桌面（或手持于身前）两分钟，读出温度计上的温度，并记录在“室内外温度记录表”上相应的地方。

汇报测量的结果，对各组（同学）之间的温度差别进行分析，认识误差，并指导学生在测量时尽量减少误差。如：操作过程中，如果某个温度计测得的气温和大多数温度计测得的气温有较大的差距，有可能是这个温度计不准确，需要更换温度计重测。

测量室外温度。带学生到室外，每组（每个人）选择室外不同的地点测量气温。记录测得的气温和地点。

回到教室，让学生把室内外测得的温度进行比较，并思考：哪一个温度更能反映当地的气温？以下问题对学生的思考有帮助。

室内外的温度相同吗？ 哪儿的温度高（或低）？ 哪一个温度可以反映当地的气温？

明确室外阴凉、通风处的温度更能反映当地的气温。3.气温的测量

首先，可以比较每个组（学生）刚才测得的室外不同地点的气温是否相同。讨论测量气温应选择室外的什么地点。

然后，讨论刚才在测量室外温度时，哪个小组（同学）测得的温度最能反映当天的气温，并将这个气温记录在“天气日历”和“我们的日期—温度表”上。

接下来开始一天中温度变化情况的研究。可以先将各个小组收集的前一天的清晨、上午、中午、下午和傍晚的气温填进“温度填充图”。

再组织学生对温度填充图中的数据进行分析。下面的问题将有利于指导学生分析。

一天中，什么时候的气温最高？什么时候的气温最低？ 一天中气温的变化有什么规律吗？

最后，对于每天选择什么时间测量气温进行讨论。下面的问题将帮助学生开展讨论。

如果想知道每天的最高气温和最低气温，应分别选择什么时间测量？ 我们在完成“天气日历”和“我们的日期—温度表”时，每天测量气温的时间是不是应该一致？

第4课 风向和风速

（一）背景和目标

放风筝的时候我们能感受到风的大小和风往哪个方向刮，这与气象学上的风速和风向类似。风速和风向用来描述风的基本特征。

风向可以用风向标来测量，而风速仪可以测量风行进的速度——风速。“蒲福风力等级”将风速从0~12划分为十三个等级，每个等级有一定的风速范围和对应的烟、树木、旗的变化描述。“蒲福风力等级”对于小学四年级的学生来说，比较复杂。本课中，学生是通过观察风吹动小风旗的状况，确定风速的三个等级，并用这种方法完成“天气日历”中关于风的观察和记录。

科学概念

● 风可以通过自然界中事物的变化来感知，可以用风向和风速来描述。过程与方法

● 自制简易风向标和小风旗。用自制的风向标和小风旗测量风向和风速，并使用适当的方法记录观察结果。

情感、态度、价值观

● 感受到使用简单工具能对天气观察活动提供很大的帮助。进一步提高观察天气现象的兴趣和好奇心。

（二）教学准备

为全班准备：一张大图画纸、一张风向图。

篇3：因式分解学习中常见错误分析

对于初中学生来说,接触因式分解试题,需要做好各种变形,需要运用到不同的符号,这些符号的变化才能带来形式的变化。但是,很多学生在做题时容易顾头不顾尾,用上括号忘记变换正负号,去掉括号没有变换正负号,出现做题失误,影响做题速度,不利于逻辑思维能力的提升。

例如:a(a-b)-b(b-a)2=a(a-b)+b(a-b)2=(a-b)[a+b(a-b)]=(a-b)(a+ab-b2)。

学生在做这道试题的时候,很容易受到b-a=-(a-b)的惯性思维影响,在将(b-a)2转换成(a-b)2时也相应地在前面加了一个负号,这样的完全平方是不需要变号的,因为b2-2ab+a2=a2-2ab+b2,所以,(a-b)2=(b-a)2。

又如:4x2-y2-2x-y=(2x+y)(2xy)-(2x-y)=(2x-y)(2x+y-1)。

这也是不少学生在做因式分解试题时常见的错误,做题时使用了负号和括号,没有做到配合使用,忘记了括号里面的各项符号要对应变化。

再如:x2-y2+2yz-z2=x2-(y2-2yz+z2)=(x-y+z)(x-y-z)。

如果括号前面原来是负号,要去去掉括号,括号里面的符号也必须做相应的变化,如果学生能够将该习题的步骤做得详细一些,写出了x-(y-z)这个步骤,或许就不会出现错误了。

对于这类习题一定要分清试题的类型,添去括号时做到与符号的合理配合使用。什么时候不需要改变符号,什么条件下必须做到与符号对应变换,学生一定做好具体分析,总结经验和方法,形成自己的思维和做题思路。

二、系数计算错误

因式分解时,看似最为简单的系数计算,学生却容易忽视或者粗心大意,造成系数计算错误。很多学生关注因式分解的方法,关注习题中的一次项、二次项或者多次项,而忘了最为基本的系数的运算。

例如,3a2b+6ab2=2ab(a+3b),这道试题学生重点关注了因式分解的方法,而忽视了最为基本的计算,6=3×2错误的计算成了6=3+3,造成了最为简单的失误。

又如:(2a+6)2-(a2+3a)=(2a+3)2-a(a+3)=(a+3)(a+6)。

这道试题的问题出在了积的乘方上,需要注意(2a+6)2=[2(a+3)]2=22(a+3)2=4(a+3)2。

做这样的试题时,学生一定要注意系数,不能忽视系数的计算,做题时和做题后,需要重新检查系数的运算问题。

三、整式乘法和因式分解区分有误

因式分解和整式乘法属于不同的概念,有着不同的思维和运算方式。

例如:2a3-2ab2=2a(a2-b2)=2a(a+b)(a-b)=2a(a2-b2)。

这道习题很明显,学生把整式乘法运算和因式分解混淆了,在因式分解的时候又在做整式乘法运算。为此,需要引导学生正确理解因式分解和整式乘法运算的概念,不能在因式分解的同时又做了整式乘法,回到原来的位置。

四、提取公因式后出现漏洞

提取公因式是因式分解最为基础的方法,也是与其他方法得以使用的前提,很多时候需要和其他方法配合使用。提取公因式需要找到公因式,做到提取公因式后等式不变,尤其是括号内的项数一定要和之前相等,做到大小不变。很多时候,学生在提取公因式后,没有能够照顾好括号内的项数和大小。

例如:2x2y+2xy+2y=2y(x2+x)=2xy(x+1)。

如果在提取公因式之前,将原式写成2x2y+2xy+2y1,学生在提取公因式后就不会忽略最后一项。为此,需要提醒学生,提取公因式只是对原有各项的共有因数进行了提取,他们的数量并没有变化,尤其是括号内的项数需要和原来保持一致,提取公因式后需要数项数的数量。

五、因式分解不彻底

因式分解需要完全分解,做到彻底不能够再有公因式,或者再次进行分解。

例如:(2a+b)2-(a+2b)2=(2a+b+a+2b)(2a+b-a-2b)=(3a+3b)(a-b)。

该题最后可以再次提取公因式,还需进一步分解。又如a4-1=(a2+1)(a2-1)该题还可以进一步运用公式法进行分解。

在运用提公因式法分解因式时,先确定公因式的因数,然后确定相同的字母因式,最后确定相同的多项式因式,否则往往出现错解中分解不彻底的错误。

总之,初中学生因式分解常见的错误可以归结为几个基本的类型,教师在教学中还要多研究、多总结,对学生进行针对性指导,让学生全面认真审题,真正理解因式分解的概念,不要陷入思维定势,添去括号时一定要细心,让学生少出错,甚至不出错,提高做题的正确率和速度。

参考文献

[1]熊述华.初中数学学习中常见错误分析[J].新课程学习(下旬刊),2014,(11).

篇4：因式分解在几何问题中的应用分析

关键词：因式分解；几何；应用

因式分解是初中数学中重要的恒等变形，在解各类题型时较常运用。几何是初中数学教学中的一个重点和难点问题，找出因式分解与几何问题之间的关系，并巧妙地将因式分解运用到几何问题中，可以实现将几何题化繁为简和化难为易，培养学生的几何解题能力和知识运用能力。下面，就列举实例分析如何巧妙地将因式分解运用到几何问题中。

一、运用因式分解法判断图形形状

在初中数学几何问题中，常会涉及判断几何图形的形状问题，一般可以通过求解特殊角度和求边长等方式进行判断，解题过程往往比较复杂，采用因式分解法则可有效地实现化难为易的目的。

例1：已知△ABC的三边分别为a，b，c，且三条边满足公式：■+■=■，判断该三角形的形状。

解析：在运用代数思想判断三角形的形状时，通常需要对三角形三边大小进行比较。本题中的代数关系式是一个分式等式，这就需要运用分式的相关知识进行分析和判断，即分母不等于0，通过对分式进行去分母，然后通过因式分解法分解因式。

对■+■=■的左边进行通分，则有：

■=■

由于b+c≠0，则将上式两边同时去除（b+c）得出：

■=■，去分母得：a（b+c-a）=bc，即ab+ac-a2-bc=0

因式分解得：（a-c）（b-a）=0

则有a-c=0或者b-a=0，由此可得a=b或者a=c。

由此可以判断该三角形为等腰三角形。

二、利用因式分解求解图形边长或周长

在初中几何图形题中，常会遇到求解图形边长的题目，学生在求解这类题目时往往不知如何下手，通常可以采用代数的思想来进行求解。

例2：已知a、b为等腰△ABC的两条边，且满足代数式：a2+b2-4a-6b+13=0，试求该三角形的周长。

解析：由于a、b为等腰△ABC的两条边，则可能a为腰或者b为腰，则该三角形的周长可以表示为2a+b或者a+2b。将原代数式变形配方可得（a-2）2+（b-3）2=0，根据非负数性质可以求出a、b的值，从而求出三角形的周长。

由于a2+b2-4a-6b+13=0，对其进行变形和配方有：

（a2-4a+4）+（b2-6b+9）=0，即（a-2）2+（b-3）2=0，

根据非负数性质可知：a-2=0，且b-3=0

则求出：a=2，b=3。

当a为腰时，三角形的三边长分别为2，2，3，则周长为7；

当b为腰时，三角形的三边长分别为3，3，2，则周长为8。

三、利用因式分解求解关于三边关系问题

三角形的三边关系也是初中常见的试题类型之一。这类型的题通常是采用代数的思想求解，求解过程通常会用到因式分解，

在解题过程中涉及因式分解、不等式，需要学生能够灵活运用知识。

例3：已知△ABC的三条边为a、b、c，求证三边满足不等关系式：

a2-b2-c2-2bc<0。

解析：在求解此类题目时，通常采用逆推法对不等式进行因式分解，并利用三角形三边的关系进行分析。

对原不等式的左边进行变形和因式分解，有：

a2-b2-c2-2bc=a2-（b2+2bc+c2）=a2-（b+c）2=（a+b+c）（a-b-c）

由于三角形中，两边之和大于第三边，即有b+c>a，即a-b-c<0

而边长为正值，即a+b+c>0，则有：（a+b+c）（a-b-c）<0，

即a2-b2-c2-2bc<0。

四、利用因式分解求证几何问题

几何证明题是初中数学中最常见的题型之一，且分析各类题型可以发现，在这类题型中常会融合函数、不等式等思想，属于综合类题型，学生在求解过程中往往力不从心。在讲解此类题型的时候，应充分利用因式分解化繁为简的作用，将复杂的几何问题转为代数求解。

例4：已知两圆的半径分别为a、b，两圆的圆心距为c，若关于x的方程式x2-2ax+b2-（b-a）c=0存在两个相等的实数根，证明两

圆外切或相等。

解析：首先应明确两圆相等和外切时，其半径与圆心距之间的关系。两圆相切则说明其半径和为圆心距，两圆相等则说明其半径相等。则将证明两圆外切或相等转化为求证a=b或a+b=c。而题中的方程式有两个相等的实数根，则可根据其根的判别式分析a、b、c之间的关系。

由于x2-2ax+b2-（b-a）c=0有两个相等的实数根，说明其根的判别式Δ=0，

即（-2a）2-4×1×[b2-（b-a）c]=0，即4a2-4b2+4（b-a）c=0，

进一步化简可得：（a-b）（a+b-c）=0

则有c=a+b或者a=b

则证明两圆外切或相等。

例5：已知Rt△ABC的∠BAC=90°，如图所示，AC>AB，其中AD为BC边上的高，M是BC的中点，求证：BM2-DM2=AD2。

解析：这类证明题通常也可充分利用因式分解及等效替换进行求解。可以将BM2-DM2进行因式分解，则有BM2-DM2=（BM-DM）（BM+DM），

而D为BC上的一点，则有BM-DM=BD，

又因为M为BC中点，则BM=MC，则BM+DM=DM+MC=DC，

则BM2-DM2=BD·CD

而AD为Rt△ABC的高，则根据直角三角形斜边上的高的性质AD2=BD·DC，则有：BM2-DM2=BD·CD=AD2，即BM2-DM2=AD2。

因式分解贯穿了整个初中数学的教学体系，在几何教学中也发挥着很重要的作用，是求解几何题必不可少的“工具”之一，它可以将复杂的几何问题数字化、简单化。因式分解在初中几何问题中的运用是对恒等变形思想的升华，是学生通过数字运算和代数思想来驾驭几何知识的过渡。因式分解作为整式乘法的一种逆变形运算，很多学生对于这种思维方式可能存在不适感，在日常教学活动中，教师应加强几何问题中因式分解的应用练习，培养学生的数学解题思维和逆向思维能力。

参考文献：

[1]赵临龙.射影二次曲线的几何性质讨论及应用：二元二次多项式因式分解的理论[J].廊坊师范学院学报：自然科学版，2009，9（4）：5-7.

[2]刘琴.浅谈利用代数解几何问题[J].科学咨询，2011（6）：56-60，65.

[3]顾利勤，马立.代数与几何的有机结合是解析几何教学的关键[J].楚雄师范学院学报，2007，22（9）：17-20，29.

[4]周兵.认清转化思想，让解题思路飞起来[J].数学大世界：教师适用，2011（10）：10.

篇5：因式分解教材分析

教学目标

1.使学生掌握分组后能运用提公因式和公式法把多项式分解因式； 2.通过因式分解的综合题的教学，提高学生综合运用知识的能力.教学重点和难点

重点：在分组分解法中，提公因式法和分式法的综合运用.难点：灵活运用已学过的因式分解的各种方法.教学过程 设计

一、复习

把下列各式分解因式，并说明运用了分组分解法中的什么方法.(1)a2－ab+3b－3a；(2)x2－6xy+9y2－1；(3)am－an－m2+n2；(4)2ab－a2－b2+c2.解(1)a2－ab+3b－3a =(a－ab)－(3a－3b)=a(a－b)－3(a－b)=(a－b)(a－3);(2)x2－6xy+9y2－1 2

=(x－3y)2－1 =(x－3y+1)(x－3y－1);(3)am－an－m2+n2 =(am－an)－(m2－n2)=a(m－n)－(m+n)(m－n)=(m－n)(a－m－n);(4)2ab－a2－b2+c2 =c2－(a2+b2－2ab)=c2－(a－b)2 =(c+a－b)(c－a+b).第(1)题分组后，两组各提取公因式，两组之间继续提取公因式.第(2)题把前三项分为一组，利用完全平方公式分解因式，再与第四项运用平方差公式继续分解因式.第(3)题把前两项分为一组，提取公因式，后两项分为一组，用平方差公式分解因式，然后两组之间再提取公因式.第(4)题把第一、二、三项分为一组，提出一个“－”号，利用完全平方公式分解因式，第四项与这一组再运用平方差公式分解因式.把含有四项的多项式进行因式分解时，先根据所给的多项式的特点恰当分解，再运用提公因式或分式法进行因式分解.在添括号时，要注意符号的变化.这节课我们就来讨论应用所学过的各种因式分解的方法把一个多项式分解因式.二、新课

例1 把45m2－20ax2+20axy－5ay2分解因式.分析：这个多项式的各项有公因式5a，先提取公因式，再观察余下的因式，可以按：

一、三”分组原则进行分组，然后运用公式法分解因式.解 45m2－20ax2+20axy－5ay2=5a(9m2－4x2+4xy－y2)=5a[9m2－(4x2－4xy+y2)] =5a[(3m2)－(2x－y)2] =5a(3m+2x－y)(3m－2x+y).例2 把2(a2－3mn)+a(4m－3n)分解因式.分析：如果去掉多项式的括号，再恰当分组，就可用分组分解法分解因式了.解 2(a2－3mn)+a(4m－3n)=2a2－6mn+4am－3an =(2a2－3an)+(4am－6mn)=a(2a－3n)+2m(2a－3n)=(2a－3n)(a+2m).指出：如果给出的多项式中有因式乘积，这时可先进行乘法运算，把变形后的多项式按照分组原则，用分组分解法分解因式.三、课堂练习

把下列各式分解因式：

(1)a2+2ab+b2－ac－bc；(2)a2－2ab+b2－m2－2mn－n2；(3)4a2+4a－4a2b+b+1；(4)ax2+16ay2－a－8axy；(5)a(a2－a－1)+1；(6)ab(m2+n2)+mn(a2+b2)；

答案：

(1)(a+b)(a+b－c)；(2)(a－b+m+m)(a－b－m－n)；(3)(2a+1)(2a+1－2ab+b)；(4)a(x－4y+1)(x－4y－1)；(5)(a－1)2(a+1)；(6)(bm+an)(am+bn).四、小结

1.把一个多项式因式分解时，如果多项式的各项有公因式，就先提出公因式，把原多项式变为这个公因式与另一个因式积的形式.如果另一个因式是四项(或四项以上)的多项式，再考虑用分组分解法因式分解.2.如果已知多项式中含有因式乘积的项与其他项之和(或差)时(如例1)，先去掉括号，把多项式变形后，再重新分组.五、作业

1.把下列各式分解因式：(1)x3y－xy3；(2)a4b－ab4；(3)4x2－y2+2x－y；(4)a4+a3+a+1；

(5)x4y+2x3y2－x2y-2xy2；(6)x3－8y3－x2－2xy－4y2；(7)x2+x－(y2+y)；(8)ab(x2－y2)+xy(a2－b2).2.已知x－2y=－2b=－4098，求2bx2－8bxy+8by2－8b的值.答案：

1.(1)xy(x+y)(x－y)；(2)ab(a－b)(a2+ab+b2)；

(3)(2x－y)(2x+y+1)；(4)(a+1)2(a2－a+1)；

(5)xy(x+2y)(x+1)(x－1)；(6)(x2+2xy+4y2)(x－2y－1)；(7)(x－y)(x+y+1)；(8)(ax－by)(bx+ay).2.原式=2b(x－2y+2)(x－2y－2)当x－2y=－2，b=－4098时，原式的值=0.课堂教学设计说明 1.突出“通法”的作用.对于含四项的多项式，可以根据所给的多项式的特点，常采取“

二、二”分组或“

一、三”分组的方法进行因式分解，这是运用分组法把多项式分解因式的通法，是带有规律性和程序性的解题思路，学生应切实掌握.2.加强各种方法的纵横联系.把分组分解法与提公因式法和公式法之间结合为一体，进行纵横联系，综合运用，考察学生掌握因式分解的方法和技能的状况是这节课教学设计的目标.通过讨论例1，引导学生综合应用三种方法把多项式分解因式，以开发学生解题思路的变通性和灵性活，对于启迪学生的思维和开阔学生的视野起到重要作用.3.打通相反的思维过程.因式分解与整式乘法是相反的变形，也是相反的思维过程，学生在学习多项式的因式分解时，也应当适当联系整式的乘法.安排例2，目的是引导学生认识到，在把多项式因式分解时，如果给出的多项式出现了有因式乘积的项，但又不能提取公因式，这时就需要进行乘法运算，把变形后的多项式重新分组，再分解因式，从而启发学生在学习数学时，应善于对数学知识和方法融汇贯通习惯于正向和逆向思维.探究活动

系数为1的 型的二次三项式同学们已经会分解因式了，那么二次项系数不是1的二次三项式 怎么分解呢？

篇6：LU分解MatLab算法分析

先来解读下题目，寥寥几句话，里面囊括的信息量却不少，然后这些都得自己去琢磨。首先对A矩阵能做LU分解，即能把A分解成这种形式A=L*U（U是上三角矩阵，是由A矩阵经过高斯消元后得到的，L是下三角矩阵，其对角线全为1，其他非零元素为在消去（i,j）位置元素过程中主元所乘的系数），条件有3，一是矩阵A必须为方阵，A如果不是方阵，就不要想着对它做LU分解啦，这是基本条件，牢记啊！二是矩阵A必须可逆，换种说法就是A必须为非奇异矩阵，这两种说法是等价的，而这又等价于A是满秩的，A是满秩又等价于A的行列式值非0，好绕，矩阵就是这样，很多定理其实是等价的，但是你得记住，不然在推导一些定理或公式的时候会犯一些基本的常识性错误。三是矩阵A在高斯消元过程中必须没有出现0主元，也就是说只有在对A进行高斯消元过程中没有出现进行交换这种情况下，A才能分解成L*U这种形式，如果对A进行高斯消元，中间某一步出现0主元，需要进行行交换了，这种情况下就不要想对A进行LU分解啦，因为不满足条件3啊！那么问题来了，假如出现了有0主元这种情况，我又想对A进行LU分解，那应该怎么办？

这就引出了带行变换的LU分解，也就是本文的主题。根据书上的定理，对任意一个非奇异矩阵（等价于可逆矩阵）都存在一个置换矩阵P使得P*A可以分解成L*U这种形式，即PA=LU。想想其实这定理也是不言自明的，刚才A不是要进行行变换才能继续高斯消元吗？而LU分解前提又是高斯消元过程中不能出现行交换，那好，我事先对A矩阵在高斯消元过程中需要交换的行给交换掉，形成一个新的矩阵B，那我对B高斯消元那肯定就不会出现需要行交换的情况，这就满足了LU分解第三个条件了，这样B不就可以进行LU分解了吗？是的，PA=LU这种形式的LU分解采用的就是这种思想。那么现在的问题是，怎么在代码中实现对A矩阵的LU分解，并输出P，L，U矩阵呢？我在网上搜了一下，发现结果大都不尽如人意，大多数程序吧只能说做A=LU这种形式的分解，一旦说A不满足条件3，那就死翘翘了，这种程序先不论其能否运行成功，结果是否正确，其鲁棒性也太差了！用个时髦点的词来说就是太low了！通用性太差了！不光如此，代码也没什么注释，可读性很差，让人怀疑是不是写给别人看的，尤其像我这种编程渣渣，看个代码费老半天劲都看不懂说什么。于是，我决定按自己的想法来走。

首先从最简单的情况考虑，这也是我们做研究、做学术、做工程必须要时刻牢记心中的一点，很多人喜欢一上来就把所有问题、把最复杂的情况、把方方面面都给考虑到，然后再开始实现他的想法，我自己也有这个习惯，但是，这并不是一个好习惯，一上来就好高骛远、就想着高大上这本质上是一种急功近利的表现，那样的话你会陷入到各种各样的技术细节当中，你会想半天却仍然写不出半点实质性的东西出来，所以最好的办法是，先考虑最简单、最核心的情况，这样不仅大大降低问题的复杂度，同时也为将来进一步扩展程序、解决更复杂的情况打下了一个坚实的基础。

在这个例子中，最简单的情况就是矩阵A在高斯消元过程中不需要进行行交换，也就是说A可以分解成A=L*U这种形式。这种情况下，代码如下。

function LUDecomposition(A,n)%A is the square matrix,n is the order of A

L=eye(n);%Let the L matrix be an identity matrix at first for i=1:n-1

for j=i+1:n

L(j,i)=A(j,i)/A(i,i);

A(j,:)=A(j,:)-(A(j,i)/A(i,i))*A(i,:);end end

U=A %A becomes U matrix after Gauss elimination L

可以试着令A=[2 2 2;4 7 7;6 18 22]，调用函数获得L矩阵为[1 0 0;2 1 0;3 4 1]，U矩阵为[2 2 2;0 3 3;0 4 4]，用笔验算下，这个结果是正确的。代码运行结果如图所示：

这部分代码的主要思想是这样的，矩阵A的阶次为n的话，A在高斯消元后有n个非零主元。在消元过程中，A共需要消掉n-1个主元下面所有的元素，注意，第n个主元已经是矩阵的最后一个元素了，它的下面和右边都没有其他元素了，所以不存在说对第n个主元下面所有元素消去的情况。这就获得了我们代码的第一个for循环，从第1行主元开始消元，一直到第n-1行主元。而在获得每一行主元过程中，需要对该行主元下面所有元素都消去，假如现在要获得第i行主元的话，就是说要对该主元所在列的第i+1行到第n行元素都消掉，那么这就获得了我们代码的第二个for循环，从消去第i+1个元素开始一直到第n个元素。前文说过，消掉第（j，i）个位置元素过程中，主元所乘系数就是L矩阵第（j，i）位置的元素，所以有L(j,i)=A(j,i)/A(i,i)。然后的话，就是把A矩阵第j行减去第j行乘以L（j，i），这样就可以消掉第（j，i）个元素了，就是这行代码A(j,:)=A(j,:)-(A(j,i)/A(i,i))*A(i,:)。最后，执行完两层for循环后，A矩阵就成为了U矩阵，L矩阵也从最初的单位阵成了L矩阵。

好了，我们已经实现了最简单的情况了，下面考虑复杂点的情况，就是说对A进行PA=LU这种形式的分解。假如A在消元过程中出现0主元了，那么怎么办？很简单，只需要从该0主元下面所有元素中找到一个非0元素，然后将其所在的行与该0主元所在的行进行交换就行了，不要忘了，对A矩阵两行进行了交换，对应到P矩阵中的操作是相应的两行也要进行交换，因为我们是通过P矩阵两行交换后然后左乘A矩阵使得A矩阵两行进行交换的。A矩阵交换第i行和第k行元素对应到L矩阵中相应两行的消元系数也应该交换位置，就是说L矩阵的第i行和第k行元素也要交换位置，当然，主对角线上的1是不需要交换的，因为他们并不是消元系数。交换完成后，继续执行消元操作，其步骤和上面考虑的最简单的情况就是一样的了。就这样，我们就实现了PA=LU这种形式的分解。令A=[1 2-3 4;4 8 12-8;2 3 2 1;-3-1 1-4]，代入函数运算得L矩阵为[1 0 0 0;-3 1 0 0;2-0.2 1 0;2-0.2 1 0;4 0 3.75 1],U矩阵为[1 2-3 4;0 5-8 8;0 0 6.4-5.4;0 0 0-3.75]，P矩阵为[1 0 0 0;0 0 0 1;0 0 1 0;0 1 0 0]，用笔验算下，结果与函数运行结果是一致的，当然了，这个函数我只是代了3，4个不同的A矩阵进去而已，可能样本数量不够多，但目前来说我觉得应该没什么问题了，如果有问题欢迎反馈给我。这部分代码如下：

function AdvanceLUDecomposition(A,n)%A is the square matrix,n is the order of A,A must be invertible

D=A;%Store matrix A in D,for later use

L=zeros(n);%Let the L matrix be an zero matrix at first

P=eye(n);%Let the permutation matrix be a identity matrix at first for i=1:n-1 for j=i+1:n

if A(i,i)==0 %A zero pivot appears on(i,i)position,we need to find a nonzero entry below it to be the new pivot,with row exchange for k=n:-1:i+1 %find a nonzero entry below the(i,i)entry in the i column,start from the last row

if A(k,i)~=0 %We have found a nonzero entry,to choose it as the new pivot,we need row exchange k<-->i

L([i k],:)=L([k i],:);%Permute i and k row in L matrix A([i k],:)=A([k i],:);%Permute i and k row in A matrix P([i k],:)=P([k i],:);%Permute i and k row in P matrix break;end end end

L(j,i)=A(j,i)/A(i,i);

A(j,:)=A(j,:)-(A(j,i)/A(i,i))*A(i,:);end end

U=A %A becomes U matrix after Gauss elimination

L=L+eye(n)%All entries on the diagonal of L matrix must be 1 P %output the permutation matrix

B=L*U %verify if the product of L and U equals to P*A

C=P*D %D is the original A matrix,check it out in row 2 %If B equals C,then it means the algorithm works correctly

%some key points and theroms about LU factorization

%Theorem 1 A nonsigular matrix Anxn possesses an LU factorization if and %only if a nonzero pivot does not emerge during row reduction to upper %triangular form with type III operations.%Theorem 2 For each nonsigular matrix A,there exist a permutation matrix P

%such that PA possesses an LU factorization PA=LU

%Remember,the concept of nonsingular matrix is for square matrix,it means %that the determinant is nonzero,and this is equivalent that the matrix has %full-rank

%Based on these conditions,the first thing about the matrix A on which we

%conduct LU factorization is that A must be a square matrix.The second %thing is A must be invertible,which is equal to the statement that A is %non-singular

代码运行结果如图所示：

最后补充一点，为什么要进行LU分解呢？这个问题很关键，很多人也许并不关注这个问题，我们学习很多时候都是只关注实现方法，却并不关心它存在的意义，这种学习是永远无法深入的，只能是停留在表面上，学习就应该多问为什么，多质疑这个东西存在的价值，存在的意义有多大，这样才能促使你去深入了解这个方法的优点和缺点，从而改进、完善它。简单点来说就是LU分解大大降低了算法复杂度，我们求解一个方程组Ax=b的时候，一般来说无非就两种方法，要么是高斯消元法，要么是先求A的逆矩阵，然后再乘以b获得x，而第二种方法比第一种方法要复杂并且限制更多，所以一般是用高斯消元法。高斯消元法解一个方程组算法复杂度是(n^3)/3，并且每获得一个新的b，要接x，都得执行复杂度为(n^3)/3的操作。而LU分解有什么好处呢？在第一次LU分解的时候，也就是说获得L和U的时候，其算法复杂度其实也是n^3,但是，一旦我们获得了L和U矩阵后，每次我们获得一个新的b要求对应的解x，算法复杂度就会大大降低，粗略来说就是n^2，把复杂度降低了一个级别，对于大型系统来说，这是非常了不起的一个改进，运算性能会大大提升。而实际应用中，这样的方法也是非常有意义的，实际系统中，A矩阵相当于系统里的各种滤波和变换操作，x相当于系统的输入，b相当与系统的输出，我们一般是获得了输出b，然后想求得输入x，只要系统不变，那么知道b，又知道了L和U矩阵，我们只需要对每一个新的b执行n^2次乘法/除法和n^2-n次加法/减法就可以获得b对应的输入x了，这是多么了不起的一个性能改进！正因为这样，LU分解在实际应用中用的也是非常广泛。