分解因式法 教案

分解因式法 教案（共8篇）

篇1：分解因式法 教案

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§2．4 分解因式法

课时安排 1课时 从容说课

分解因式法是解某些一元二次方程较为简便且灵活的一种特殊方法．它是把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解．体现了一种“降次”的思想，这种思想在以后处理高次方程时非常重要．

这部分内容的基本要求是让学生学会方法．本节的重、难点是利用分解因式法来解某些一元二次方程．

由于《标准》中降低了分解因式的要求，根据学生已有的分解因式知识，学生仅能解决22形如“x(x-a)＝0”“x-a＝0”的特殊一元二次方程．所以在教学中，可以先出示一个较为简单的方程，让学生先各自求解，然后进行比较与评析，发现因式分解是解某些一元二次方程较为简便的方法，从而引出分解因式法．其基本思想和方法是：一个一元二次方程一边是零，而另一边易于分解成两个一次因式时，可以使每一个因式等于零，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解．这种思想和方法是用分解因式法解一元二次方程的重点．

通过方法的比较，力求让学生根据方程的具体特征，灵活选取适当的解法，从而让学生体会解决问题的多样性．

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解：这里a＝20，b＝23，c＝-7，b-4ac＝23-4×20×(-7)＝1089＞0，∴x＝2310892333.2204017 x2=-.54 ∴x1= [师]很好，由此我们知道：在已经学习的解一元二次方程的三种方法——直接开平方法、配方法、公式法中，直接开平方法只能解某些特殊形式的方程，配方法不如公式法简便．因此，大家选用的方法主要是直接开平方法和公式法．

公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的适用性，即可以解任何一个一元二次方程．

用公式法解一元二次方程，首先要把方程化为一般形式，从而正确地确定a、b、c的值；2其次，通常应先计算b-4ac的值，然后求解．

一元二次方程是不是只有这三种解法呢?有没有其他的方法?今天我们就来进一步探讨一元二次方程的解法．

Ⅱ．讲授新课

[师]下面我们来看一个题．(出示投影片§2．4 B)一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果相等，这个数是几?你是怎样求出来的? [师]大家先独自求解，然后分组进行讨论、交流．

[生甲]解这个题时，我先设这个数为x，根据题意，可得方程 x=3x．

然后我用公式法来求解的． 解：由方程x＝3x，得 x-3x=0．

这里a=1，b=-3，c＝0.22 b-4ac＝(-3)-4×1×0 ＝9>0．

所以x=39 2 即x1=3，x2＝0．

因此这个数是0或3． [生乙]我也设这个数为x，同样列出方程x＝3x．

解：把方程两边同时约去x，得x＝3．

所以这个数应该是3．

[生丙]乙同学做错了，因为0的平方是0，0的3倍也是0．根据题意可知，这个数也可以是0． [师]对，这说明乙同学在进行同解变形时，进行的是非同解变形，因此丢掉了一个根．大家在解方程的时候，需要注意：利用同解原理变形方程时，在方程两边同时乘以或除以的数，必须保证它不等于0，否则，变形就会错误．

这个方程还有没有其他的解法呢? [生丁]我把方程化为一般形式后，发现这个等式的左边有公因式x，这时可把x提 出来，左边即为两项的乘积．前面我们知道：两个因式的乘积等于0，则这两个因式为零，北京今日学易科技有限公司

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这样，就把一元二次方程降为一元一次方程，此时，方程即可解． 解：x-3x＝0，x(x-3)＝0，于是x＝0，x-3＝0．

∴x1=0，x2=3 因此这个数是0或3．

[师]噢，这样也可以解一元二次方程，同学们想一想，行吗? [生齐声]行．

[师]丁同学应用的是：如果a×b＝0，那么a=0，b＝0，大家想一想，议一议．(出示投影片§2．4 C)a×b＝0时，a=0和b=0可同时成立，那么x(x-3)=0时，x＝0和x-3＝0也能同时成立吗? [生齐声]不行．

„„

[师]那该如何表示呢? [师]好，这时我们可这样表示：

如果a×b=0，那么a＝0或b＝0 这就是说：当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次方程中间用的是“或”，而不用“且”．

所以由x(x-3)＝0得到x＝0和x-3＝0时，中间应写上“或”字.我们再来看丁同学解方程x＝3x的方法，他是把方程的一边变为0，而另一边可以分解成两个因式的乘积，然后利用a×b＝0，则a=0或b＝0，把一元二次方程变为一元一次方程，从而求出方程的解．我们把这种解一元二次方程的方法称为分解因式法，即当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就采用分解因式法来解一元二次方程．

因式分解法的理论根据是：如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零．如：若(x+2)(x-3)＝0，那么x+2＝0或．x-3＝0；反之，若x+2＝0或x-3＝0，则一定有(x+2)(x-3)＝0．这就是说，解方程(x+2)(x-3)=0就相当于解方程x+2＝0或x-3=0．

接下来我们看一例题．(出示投影片§2．4 D)[例题]解下列方程：

2(1)5x=4x；(2)x-2＝x(x-2)． [师]同学们能独自做出来吗? [生]能．

[师]好，开始．

[生甲]解方程(1)时，先把它化为一般形式，然后再分解因式求解．

解：原方程可变形为 5x-4x＝0，x(5x-4)=0，x＝0或5x-4＝0．

∴x1=0，x2=4． 5 [生乙]解方程(2)时，因为方程的左、右两边都有(x-2)，所以可把(x-2)看作整体，然后移项，再分解因式求解．

解：原方程可变形为

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x-2-x(x-2)＝0，(x-2)(1-x)＝0，x-2＝0或1-x=0．

∴x1＝2，x2=1．

[生丙]老师，解方程(2)时，能否将原方程展开后，再求解呢? [师]能呀，只不过这样的话会复杂一些，不如把(x-2)当作整体简便．

下面同学们来想一想，做一做．(出示投影片§ 2．4 E)

22你能用分解因式法解方程x-4＝0，(x+1)-25=0吗? 222 [生丁]方程x-4=0的右边是0，左边x-4可分解因式，即x-4=(x-2)(x+2)．这样，方2程x-4＝0就可以用分解因式法来解，即 解：x-4=0，(x+2)(x-2)＝0，∴x+2＝0或x-2=0．

∴x1=-2，x2=2． [生戊]方程(x+1)-25＝0的右边是0，左边(x+1)-25，可以把(x+1)看作整体，这样左边就是一个平方差，利用平方差公式即可分解因式，从而求出方程的解，即 解：(x+1)-25＝0，[(x+1)+5][(x+1)-5]＝0．

∴(x+1)+5＝0，或(x+1)-5＝0．

∴x1=-6，x2=4．

[师]好，这两个题实际上我们在刚上课时解过，当时我们用的是开平方法，现在用的是因式分解法．由此可知：一个一元二次方程的解法可能有多种，我们在选用时，以简便为主．

好，下面我们通过练习来巩固一元二次方程的解法．

Ⅲ．课堂练习

(一)课本P61随堂练习1、2 1．解下列方程：(1)(x+2)(x-4)＝0；(2)4x(2x+1)=3(2x+1)．

解：(1)由(x+2)(x-4)=0得 x+2＝0或x-4＝0。

∴x1=-2，x2=4．(2)原方程可变形为 4x(2x+1)-3(2x+1)＝0，(2x+1)(4x-3)＝0，∴2x+1＝0或4x-3＝0．

∴x1=-13,x2=.24 2．一个数的平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数．

解：设这个数为x，根据题意，得 2x＝7x，2x-7x＝0，x(2x-7)=0．

∴x＝0或2x-7＝0．

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∴x1=0，x2＝7． 27． 2 因此这个数等于0或(二)阅读课本P59～P61，然后小结．

Ⅳ．课时小结

我们这节课又学习了一元二次方程的解法——因式分解法．它是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法．

Ⅴ．课后作业

(一)课本P61习题2．7 1(二)1.预习内容：P62～P64 2．预习提纲

如何列方程解应用题．

Ⅵ．活动与探究

1．用分解因式法解：(x-1)(x+3)＝12． [过程]通过学生对这个题的探讨、研究来提高学生的解题能力，养成良好的思考问题的习惯． [结果] 1．解：(x-1)(x+3)=12． x+2x-3＝12，x+2x-15＝0，(x+5)(x-3)＝0．

∴x+5＝0或x-3=0．

∴x1=-5，x2=3． 板书设计 2．4 分解因式法

2一、解方程x＝3x．

2解：由方程x＝3x得 2x-3x=0，即x(x-3)＝0．

于是x＝0或x-3＝0． 因此，x1＝0，x2＝3． 所以这个数是0或3．

二、例题

例：解下列方程；

2(1)5x＝4x；

(2)x-2＝x(x-2)．

三、想一想

四、课堂练习

五、课时小结

六、课后作业 备课资料

参考例题

例1：用分解因式法解下列方程：

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(1)(2x-5)-2x+5=0；(2)4(2x-1)＝9(x+4)．

分析：方程(1)的左边化为以(2x-5)为整体的形式，然后利用提取公因式来分解因式；方程(2)先移项，然后将(2x-1)和(x+4)看作整体，利用平方差公式分解因式． 解：(1)方程化为(2x-5)-(2x-5)＝0，(2x-5)[(2x-5)-1]＝0．

∴2x-5＝0或(2x-5)-1＝0．

∴x1＝25，x2＝3． 2(2)方程化为 4(2x-1)-9(x+4)＝0，[2(2x-1)+3(x+4)][2(2x-1)-3(x+4)]=0．

∴2(2x-1)+3(x+4)＝0，2(2x-1)-3(x+4)＝0．

∴x1＝-10，x2=14． 7北京今日学易科技有限公司

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篇2：分解因式法 教案

（一）教学目标

（一）教学知识点

运用平方差公式分解因式．

（二）能力训练要求

1．能说出平方差公式的特点．

2．能较熟练地应用平方差公式分解因式．

3．初步会用提公因式法与公式法分解因式．•并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．

4．知道因式分解的要求：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解．

（三）情感与价值观要求

培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法．

教学重点

应用平方差公式分解因式．

教学难点

灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．

教学方法

自主探索法．

教具准备

投影片．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

出示投影片，让学生思考下列问题．

问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？

问题2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？

问题3：你能将a2-b2分解因式吗？你是如何思考的？

[生]1．多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用，•也就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式．

2．提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式，如果没有公因式，•就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解．

3．对不能使用提公因式法分解因式的多项式，不能说不能进行因式分解．

[生]要将a2-b2进行因式分解，可以发现它没有公因式，•不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的平方差形式，所以用平方差公式可以写成如下形式：

a2-b2=（a+b）（a-b）．

[师]多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法．今天我们就来学习利用平方差公式分解因式．

Ⅱ．导入新课

[师]观察平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）的项、指数、符号有什么特点？

（让学生分析、讨论、总结，最后得出下列结论）

（1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反．

（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差．

（3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式，•“平方差”是得分解因

式的多项式．

由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．

出示投影片

[做下列填空题的作用在于训练学生迅速地把一个单项式写成平方的形式．•也可以对积的乘方、幂的乘方运算法则给予一定时间的复习，避免出现4a2=（4a）2•这一类错误]

填空：

（1）4a2=（）2；

（2）42b=（）2； 9

（3）0.16a4=（）2；

（4）1.21a2b2=（）2；

14x=（）2； 4

4（6）5x4y2=（）2．

9（5）

2例题解析：

出示投影片：

[例1]分解因式

（1）4x2-9

（2）（x+p）2-（x+q）

[例2]分解因式

（1）x4-y4

（2）a3b-ab

可放手让学生独立思考求解，然后师生共同讨论，纠正学生解题中可能发生的错误，并对各种错误进行评析．

[师生共析]

[例1]（1）

（教师可以通过多媒体课件演示（1）中的2x，（2）中的x+p•相当于平方差公式中的a；（1）中的3，（2）中的x+q相当于平方差中的b，进而说明公式中的a与b•可以表示一个数，也可以表示一个单项式，甚至是多项式，渗透换元的思想方法）

[例2]（1）x4-y4可以写成（x2）2-（y2）2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了．但分解到（x2+y2）（x2-y2）后，部分学生会不继续分解因式，针对这种情况，可以回顾因式分解定义后，•让学生理解因式分解的要求是必须进行到多项式的每一个因式都不能再分解为止．

（2）不能直接利用平方差公式分解因式，但通过观察可以发现a3b-ab•有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解．

解：（1）x4-y4

=（x2+y2）（x2-y2）

=（x2+y2）（x+y）（x-y）．

（2）a3b-ab=ab（a2-1）=ab（a+1）（a-1）．

学生解题中可能发生如下错误：

（1）系数变形时计算错误；

（2）结果不化简；

（3）化简时去括号发生符号错误．

最后教师提出：

（1）多项式分解因式的结果要化简：

（2）在化简过程中要正确应用去括号法则，并注意合并同类项．

练一练：

（出示投影片）

把下列各式分解因式

（1）36（x+y）2-49（x-y）2

（2）（x-1）+b2（1-x）

（3）（x2+x+1）2-1(xy)2(xy)2（4）-．

Ⅲ．随堂练习

1．课本P196练习1、2．

Ⅳ．课时小结

1．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式．

2．如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式．

3．第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，•则需要进一步分解因式．直到每个多项式因式都不能分解为止．

§15．5．3．2 公式法

（二）教学目标

（一）教学知识点

用完全平方公式分解因式

（二）能力训练要求

1．理解完全平方公式的特点．

2．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．

3．会用提公因式、完全平方公式分解因式，•并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．

4．能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．

（三）情感与价值观要求

通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力．

教学重点

用完全平方公式分解因式．

教学难点

灵活应用公式分解因式．

教学方法

探究与讲练相结合的方法．

教具准备

投影片．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

问题1：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，•分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？

问题2：把下列各式分解因式．

（1）a2+2ab+b2

（2）a2-2ab+b2

[生]将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．

[师]能不能用语言叙述呢？

[生]能．两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，•等于这两个数的和（或差）的平方．

问题2其实就是完全平方公式的符号表示．即：a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2（a-b）2．

[师]今天我们就来研究用完全平方公式分解因式．

Ⅱ．导入新课

出示投影片

下列各式是不是完全平方式？

（1）a2-4a+4

（2）x2+4x+4y2

（3）4a2+2ab+12 b

4（4）a2-ab+b2

（5）x2-6x-9

（6）a2+a+0.25

（放手让学生讨论，达到熟悉公式结构特征的目的）．

2222

结果：（1）a-4a+4=a-2×2·a+2=（a-2）

（3）4a2+2ab+12111b=（2a）2+2×2a·b+（b）2=（2a+b）2 422

2（6）a2+a+0.25=a2+2·a·0.5+0.52=（a+0.5）2

（2）、（4）、（5）都不是．

方法总结：分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边 的两数和（或差）的平方．从而达到因式分解的目的．

例题解析

出示投影片

[例1]分解因式：

（1）16x2+24x+9

（2）-x2+4xy-4y2

[例2]分解因式：

（1）3ax2+6axy+3ay（2）（a+b）2-12（a+b）+36

学生有前一节学习公式法的经验，可以让学生尝试独立完成，然后与同伴交流、总结解题经验．

[例1]（1）分析：在（1）中，16x2=（4x）2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+14x+9是一个完全平方式，即

解：（1）16x2+24x+9

=（4x）2+2·4x·3+32

=（4x+3）2．

（2）分析：在（2）中两个平方项前有负号，所以应考虑添括号法则将负号提出，然后再考虑完全平方公式，因为4y2=（2y）2，4xy=2·x·2y．

所以：

解：-x+4xy-4y=-（x-4xy+4y）

=-[x2-2·x·2y+（2y）]2

=-（x-2y）2．

练一练：

出示投影片

把下列多项式分解因式：

（1）6a-a2-9；

（2）-8ab-16a2-b2；

（3）2a2-a3-a；

（4）4x2+20（x-x2）+25（1-x）2

Ⅲ．随堂练习

课本P198练习1、2．

Ⅳ．课时小结

学习因式分解内容后，你有什么收获，能将前后知识联系，做个总结吗？

（引导学生回顾本大节内容，梳理知识，培养学生的总结归纳能力，最后出示投影片，给出分解因式的知识框架图，使学生对这部分知识有一个清晰的了解）2

222

Ⅴ．课后作业

课本P198练习15．5─3、5、8、9、10题． 《三级训练》

板书设计

15.5.2 公式法

知识要点

1．把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．常用公式有：

①两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即a2-b2=（a+b）（a-•b）．

②两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．即a2±2ab+b2=（a±b）2．

2．分解因式时首先观察有无公因式可提，再考虑能否运用公式法．

典型例题

例．一个正方形的面积是（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1，你知道这个正方形的边长是多少吗？（x>0）

分析：本题的实质是把多项式（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1化成完全平方式的形式，可以运用分解因式的方法．

解：∵（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1=[（x+1）（x+4）][（x+2）（x+3）]+1 =（x2+5x+4）（x2+5x+6）+1 =（x2+5x）2+10（x2+5x）+24+1 =（x2+5x+5）2 ∴这个正方形的边形是x2+5x+5．

练习题

第一课时

一、选择题：

1．下列代数式中能用平方差公式分解因式的是（）

A．a2+b2 B．-a2-b2 C．a2-c2-2ac D．-4a2+b22．-4+0.09x2分解因式的结果是（）

A．（0.3x+2）（0.3x-2）B．（2+0.3x）（2-0.3x）C．（0.03x+2）（0.03x-2）D．（2+0.03x）（2-0.03x）3．已知多项式x+81b4可以分解为（4a2+9b2）（2a+3b）（3b-2a），则x的值是（）

A．16a4 B．-16a4 C．4a2 D．-4a24．分解因式2x2-32的结果是（）A．2（x2-16）B．2（x+8）（x-8）C．2（x+4）（x-4）D．（2x+8（x-8）

二、填空题：

5．已知一个长方形的面积是a2-b2（a>b），其中长边为a+b，则短边长是_______． 6．代数式-9m2+4n2分解因式的结果是_________． 7．25a2-__________=（-5a+3b）（-5a-3b）．

228．已知a+b=8，且a-b=48，则式子a-3b的值是__________．

三、解答题

9．把下列各式分解因式：

①a2-144b2 ②R2-r2 ③-x4+x2y2

10．把下列各式分解因式：

①3（a+b）2-27c2 ②16（x+y）2-25（x-y）2

③a2（a-b）+b2（b-a）④（5m2+3n2）2-（3m2+5n2）

2四、探究题

11．你能想办法把下列式子分解因式吗？

①3a2-

12b ②（a2-b2）+（3a-3b）3

答案: 1．D 2．A 3．B 4．C 5．a-b 6．（2n+3m）（2n-3m）7．9b2 8．4 9．①（a+12b）（a-12b）；②（R+r）（R-r）；③-x2（x+y）（x-y）10．①3（a+b+3c）（a+b-3c）；②（9x-y）（9y-x）；

③（a+b）（a-b）2；④16（m2+n2）（m+n）（m+n）11．① 1（3a+b）·（3a-b）；②（a-b）（a+b+3）3第二课时

一、选择题

1．已知y2+my+16是完全平方式，则m的值是（）A．8 B．4 C．±8 D．±4 2．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（）

A．x2-6x-9 B．a2-16a+32 C．x2-2xy+4y2 D．4a2-4a+1 3．下列各式属于正确分解因式的是（）

A．1+4x2=（1+2x）2 B．6a-9-a2=-（a-3）C．1+4m-4m2=（1-2m）2 D．x2+xy+y2=（x+y）24．把x4-2x2y2+y4分解因式，结果是（）

A．（x-y）4 B．（x2-y2）4 C．[（x+y）（x-y）]2 D．（x+y）2（x-y）2

二、填空题

5．已知9x2-6xy+k是完全平方式，则k的值是________．

6．9a2+（________）+25b2=（3a-5b）27．-4x2+4xy+（_______）=-（_______）．

8．已知a2+14a+49=25，则a的值是_________．

三、解答题

9．把下列各式分解因式：

①a2+10a+25 ②m2-12mn+36n2

③xy3-2x2y2+x3y ④（x2+4y2）2-16x2y2

10．已知x=-19，y=12，求代数式4x2+12xy+9y2的值．

11．已知│x-y+1│与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值．

四、探究题

12．你知道数学中的整体思想吗？解题中，•若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，•从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解．

你能用整体的思想方法把下列式子分解因式吗？

①（x+2y）2-2（x+2y）+1 ②（a+b）2-4（a+b-1）

答案: 1．C 2．D 3．B 4．D 5．y2 6．-30ab 7．-y2；2x-y 8．-2或-12 9．①（a+5）2；②（m-6n）2；③xy（x-y）2；④（x+2y）2（x-2y）2

篇3：巧用分组分解法,因式分解不用怕

一、忆公式

看到题目能联想到公式法中的公式,例:2ab-a2- b2+c2.

解:原式=c2-(a2+b2- 2ab)=c2(a-b)2=(c+a-b)(c-a+b).

此类题需先用加法交换律,一、三分组,再连续运用完全平方公式和平方差公式求解.

二、巧配方

将题中的单项式配方,之后用公式. 此类题多可配成完全平方公式,例:x2- y2+2x+4y- 3.

解:原式=(x2+2x+1)-(y2- 4y+4)=(x+1)2(y- 2)2=(x+y- 1)(x-y+3).

此类题需要在分组前,预见到分组后是否可用公式法和所用公式类型.

三、添拆项

在简单或复杂的因式中,添上或拆开某些式子,使其转变为能用公式法解决的问题,例:x4+4.

解:原式=x4+4x2- 4x2+4=(x4+4x2+4)- 4x2=(x2+2)2(2x)2=(x2+2x+2)(x2- 2x+2).

此类题的添拆需要我们做到熟能生巧.

篇4：提公因式法分解因式“五注意”

一、提公因式需完整

例1 分解因式8x3+4x2+4x。

分析 8x3+4x2+4x=2x（4x2+2x+2）是错误的，错解中只是找到了公约数2，但2不是最大公约数。

解 8x3+4x2+4x=4x（2x2+x+1）。

点评 确定公因式时要对系数和字母分别进行考虑，当各项系数都是整数时，把它们的最大公约数提出来，把各项都含有的字母的最低次幂的积提出来。

二、首项为负勿忘提

例2 把-4m3+16m2-26m分解因式。

分析 此多项式第一项的系数是负数，应先提负号转化，然后再提公因式，提负号时，注意添括号法则。

解 -4m3+16m2-26m＝-（4m3-16m2+26m）＝-2m（2m2-8m+13）。

点评 通过此例可以看出，应用提公因式法分解因式时，应先观察第一项系数的正负，如是负号时，运用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号，然后再提公因式。

三、提公因式后勿漏项

例3 把3x2-6xy+x分解因式。

分析 3x2-6xy+x=x（3x-6y）是错误的，当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉。

解 3x2-6xy+x=x·3x-x·6y+x·1＝x(3x-6y+1)。

点评 这类题可以利用恒等变形分析错误原因。还应提醒同学们注意：提公因式后，因式的项数应与原多项式的项数一样，这样可以检查是否漏项。

四、 整体代换可省力

例4 分解因式3（x－y）2－（y－x）3。

分析 3（x-y）2-（y-x）3=3（x2-2xy+y2）-（y3+3yx2-3y2x-x3），如果合并同类项再分解，由于代数式较为复杂，无法继续。观察多项式中的每一项都含有多项式（x－y），同时注意（y－x）3=－（x－y）3，且（x－y）的最低次数是2，所以多项式的公因式是（x－y）2。

解 3（x－y）2-（y－x）3=3（x－y）2+（x－y）3=（x－y）2·[3+（x－y）]=（x－y）2·（3+x－y）。

点评 当一个多项式的公因式是以多项式的形式出现时，可将多项式作为一个整体提出来。

五、括号里面要分到“底”

例5 把4x4y2-5x2y2-9y2分解因式。

分析 4x4y2-5x2y2-9y2=y2（4x4-5x2-9）=y2（x2+1）（4x2-9）是错误的，括号里面没有分解到“底”，因式（4x2-9）还可以用平方差公式分解。

解 4x4y2-5x2y2-9y2=y2（x2+1）（4x2-9）=y2（x2+1）（2x+3）（2x-3）。

篇5：运用公式法分解因式教案

因式分解

2)36a²81= m²-9² =(m + 9)(m25b²=(6a)²-(5b)²=(6a+5b)(6a-5b)2．填空：

（1）4a2=（）2（2）b2=（）2（3）0.16a4=（）2（4）1.21a2b2=（）2（5）2x4=（）2（6）5x4y2=（）2

3、下列多项式能转化成（）２－（）２的形式吗？如果能，请将其转化成（）２－（）２的形式。(1)m2 －1 =(2)4m2 －9=(3)4m2+9 =(4)x2 －25y 2(5)－x2 －25y2(6)－x2+25y2

例1.把下列各式分解因式

（1）16a²-1 =(2)4x²-m²n²= 2(3)–9x² + m 考考你

144949a  b (a  b)a  b)

(x+z)225(a4a 4)(x + y + z)²b² =(a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是数，也可以是单项式或多项式，要注意“整体”“换元”思想的运用。

3.当要分解的多项式是两个多项式的平方时，分解成的两个因式要进行去括号化简，若有同类项，要进行合并，直至分解到不能再分解为止。

（五）小结与评价

你的收获是什么？

你还有什么疑惑？

六、作业布置

练习P76 1、2习题8.4

第2题（3）题，第4题（2）（4）题

第5题（1）（2）题

七、板书设计：

运用公式法

——平方差公式分解因式 a2-b2＝(a＋b)(a-b)例1 练习1 练习3

例2 练习2 练习4

篇6：《用公式法进行因式分解》教案

教学目标：

• 1.理解整式乘法和因式分解是互逆的，培养逆向思维能力。

• 2.进一步理解因式分解的意义，掌握用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法。• 3.掌握提公因式法、公式法分解因式的综合运用。• 4.体会换元法、类比法、整体思想、转化思想。重点：用平方差公式和完全平方公式法进行因式分解.难点：把多项式进行必要变形，灵活运用平方差公式和完成平方公式分解因式 教学过程：

一、创设情境 明确目标

复习回顾

1.还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？

2.什么叫因式分解？我们学过的因式分解的方法是什么? 3.因式分解与整式乘法有什么关系？ 你能很快做出下面两道题吗？（1）200840162007200722（2）20082007

引出新课，确定学习目标

二、引导自学 初步达标

自主完成下面填空并思考：(4分钟，独立完成)

（一）根据乘法公式计算：

(ab)(ab)(m2)(m2)= = = =(m2)2(ab)

2（二）根据等式的对称性填空 2m4 = = a2b22m4m4= =

a22abb2

（三）思考： １、（二）中四个多项式的变形是因式分解吗？ ２、对比

（一）和

（二）你有什么发现？

我的发现：乘法公式反过来就是因式分解

把乘法公式反过来进行因式分解的方法称为公式法。ab(ab)(ab)

222 a2abb(ab)

你能用图形的面积说明这两个公式吗？

三、探究新知 达成目标

探究一 用平方差公式分解因式 思考：

1、因式分解时，平方差公式的左边和右边各有什么特征？

2、你能用语言叙述这个公式吗？

议一议：下列多项式可以用平方差公式分解吗？（1）x2－y2 ；（2）－x2+y2；（3）x2+y2 ；（4）－x2－y2；（5）16－b2 ；（6）(2a)2－(3b)2;(7)4a2－9b2;(8)(a+b)2－(a-b)2;(9)9(a+b)2－16(a-b)2

思考： 你是如何怎样判断一个多项式是否能用平方差公式分解？

归纳：平方差公式

公式： a2-b2=(a+b)(a-b)

（一）结构特点：

1、左边左边有二项，是两个数的平方差的形式

2、右边是右边是左边平方项的底数的和与差的积

（二）判断：看多项式是否能写成两个数的平方的差的形式

（三）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。

例1 把下列各式进行因式分解： 21、4x－252、-16x4+81y4

分析：比如在（1）中，可以把 4x2 看成是(2x)2，把25看成是52；2x相当于公式中的a,5相当于公式中的b 独立完成第2小题和议一议中能分解的

思考：利用平方差公式分解因式的步骤是什么？分解因式时应注意什么？ 归纳：利用平方差公式分解因式的步骤: • 1.变成a2-b2 的形式 • 2.确定公式中的a 和 b.• 3.根据a2-b2=(a+b)(a-b)写出结果即可.简单的记为: 1.变形式2.定a , b 3.写结果.●注意:最终结果要保证不能再分解为止,也就是说分解要彻底.探究二 用完全平方公式分解因式

思考：

1、因式分解时，完全平方公式的左边和右边各有什么特征？

2、你能用语言叙述这个公式吗？

归纳：完全平方公式 公式： a22abb2(ab)

2（一）结构特点：

1、公式左边是三项式，其中首尾两项都为正，且这两项可化为两个数的平方，中间一项可正可负，并且是这两个数的乘积的2倍；；（是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍）

2、右边是两个数的平方的和（或差）的平方。（左边平方项底数的和或差的平方）右边是和的平方还是差的平方要看左边的乘积项。

（二）语言：两数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。

议一议；说出下列多项式哪些可用完全平方公式进行因式分解？（1）x2+2xy+y2

22（2）-x+2xy+y（3）x2+xy+y2（4）x2-xy+y2

（5）4x2-12xy+9y2（6）(a+b)2+2(a+b)+1

思考：你是怎样判断一个多项式是否能按完全平方公式分解？说说具体的步骤。结论：看多项式是否能写成两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍。方法一：先找两个平方项，再看第三项是否为两个平方项底数的积的2倍。

方法二：先找一个平方项，再把乘积项分为2乘以这个平方项底数再乘以另一个数，最后看这个数是否为另一个平方项的底数（或看这个数的平方是否为另一个平方项）。

22形如a±2ab+b的式子叫做完全平方式。

简记口诀:首平方，尾平方，首尾两倍在中央。例2 把下列各式进行因式分解：（1）25x2+20x+4（2）（x2+2x）2+2（x2+2x）+1（3）2a-a2-1

分析：比如在（1）中，可以把25x2 看成是(5x)2，把4看成是 22；5x相当于公式中的a，2相当于公式中的b 独立完成第2、3小题和议一议中能分解的题目

思考：利用完全平方公式分解因式的步骤是什么？分解因式时应注意什么？ 归纳：利用完全平方公式分解因式的步骤:

• 1.变成a2 ±2ab+b2 的形式 2.确定公式中的a 和 b.• 3.根据 a22abb2(ab)2写出结果即可.简单的记为: 1.变形式2.定a , b 3.写结果.●注意:（1）平方项是负数时，应先把负号提出来，再利用公式。

（2）最终结果要保证不能再分解为止,也就是说分解要彻底.三、拓展提高：（小组合作完成。8分钟）例3 把下列各式分解因式

42(1)x18x81（2）(x2＋y2)2-4x2y2（3）3x3-12xy2

(4)4a2-3b(4a-3b)（1、2、3、4组分别按顺序展示，4、3、2、1组分别按顺序点评）

四、达标检测（时间：5分钟，总分：共100分）

1、把下列各式分解因式（前4小题每小题10分，5、6题每小题20分）

22（3）x81（1）x14x49(2)9a30ab25b22（4）36a25b

(5)a4x2-a4y2(6)4x3y-4x2y2+xy3

2、利用因式分解计算（每小题10分）

22（1）2008401620072007

五、我们的收获……

结合本节课内容，请从知识、方法、数学思想、情感、经历等方面谈谈你的收获 注意：

1、分解因式的步骤是首先提公因式，然后考虑用公式。

2、因式分解进行到每一个多项式的因式不能再分解为止。

3、计算中运用因式分解，可使计算简便

4、公式中的字母可以是单项式，也可以是多项式，运用了整体思想、转化思想。

六、作业：

A:课本45面第1、3题

B:

22222（2）20082007因式分解：①2ab8ab②xy4xy1③xy4xy4xy④ 给4x2+1加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，这个单项式可以是 ___

篇7：因式分解法解一元二次方程教案

本课的教学目标是：

1、知识与技能目标 ：

1、会应用分解因式的方法求一元二次方程的解。

2、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择一元二次方程的解法。

1、方法与过程目标：

1、理解分解因式法的思想，掌握用因式分解法解一元二次方程;

2、能利用方程解决实际问题，并增强学生的数学应用意识和能力。通过利用因式分解法将一元二次方程变形的过程，体会“等价转化”“降次”的数学思想方法。

3、情感与态度目标： 通过学生探讨一元二次方程的解法，使他们知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度。再之，体会“降次”化归的思想。从而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。

教学重点与难点

教学重点：运用分解因式法解一些能分解因式的一元二次方程。教学难点：发现与理解分解因式的方法。1．复习提问

如果AB=0，那么这两个因式至少有一个等于零．反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零．

“至少”有下列三层含义

①A＝0且B≠0②A≠0且B＝0③A＝0且B＝0

三、教学过程设计

1：复习：将下列各式分解因式（为新知识学习做铺垫）将下列各式分解因式：(1)5X-4X(2)X-4X+4(3)4X(X-1)-2+2X 222(4)X-4(5)(2X-1)-X

理由是：通过复习相关知识，有利于学生熟练正确将多项式因式分解，从而有利降低本节的难度。

2．新课讲解 引例：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？板演小颖小明和小亮的三种解法引出分解因式的方法求一元二次方程

当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法求解，这种方法解一元二次方程的方法称为分解因式法

2例1 解方程5x＝4x．

解：原方程可变形x（5x-4）＝0„„第一步 ∴

x＝0或5x-4＝0„„第二步 ∴

x1=0，x2=-4/5．

教师提问、板书，学生回答．

分析步骤

（一）第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”．分析步骤

（二）对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法．

例2 用分解因式法解方程解方程x-2＝x（x-2）解：原方程可变形为x-2-x（x-2）＝0．

（x-2）（1-x）＝0 得，∴

x-2＝0或1-x＝0． ∴

x1＝2，x2＝1．

教师板演，学生回答，总结分解因式的步骤：

（一）方程化为一般形式；

（二）方程左边因式分解；

（三）至少一个一次因式等于零得到两个一元一次方程；

（四）两个一元一次方程的解就是原方程的解．

练习：P．69想一想

22你能用分解因式法解方程(1)x-4=0（x＋1）-25＝0．吗？ 练习P．69T1．T2 学生练习、板演、评价．教师引导，强化． 当堂演练P42 例

3、解下列方程

222

1、(x-4)=(5-2x)

2、x－6x+9=0

3、(x+3)(x+1)=-1

（四）总结、扩展

引导学生从以下2个方面进行小结，（1）本节课我们学习了哪些知识？（2）因式分解法解一元二次方程的步骤是（3）学习过程中用了哪些数学方法？ 整个过程让学生自己进行，以培养学生的归纳、概括的能力。

1．分解因式法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握分解因式的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零．” 2．因式分解法解一元二次方程的步骤是：（1）化方程为一般形式；（2）将方程左边因式分解；

（3）至少有一个因式为零，得到两个一元二次方程；（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解． 但要具体情况具体分析．

3．分解因式的方法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程．

篇8：分解因式法 教案

分组分解法是因式分解的重要方法,许多多项式经过适当的分组后,便可用提公因式法或公式法进行进一步分解.

探究活动:

【活动一】

分解因式:

(1)x+y+xy+1;

(2)x2- xy+xz-yz.

活动指导:

这两题从整体上看都无法用提公因式法或公式法来分解. 如果用加法的交换律和结合律给它们重新进行分组,就可以用提公因式法来解题了.

(1)x+y+xy+1

解:原式=(x+xy)+(y+1)=x(1+y)+(1+y)=(x+1)(y+1).

(2)x2- xy+xz-yz

解:原式=(x2- xy)+(xz-yz)=x(x-y)+z(x-y)=(x-y)(x+z).

上述两道题还有其他方法分组吗?请同学们继续探究.

活动小结:

先将多项式按字母特征分组,再用已学过的方法进行因式分解.

【活动二】

分解因式:

(1)7a2+2b+ab+14a;

(2)2ac- 6ad+bc- 3bd.

活动指导:

这两题若按字母特征分组并不能解决问题,观察系数发现(1)7×2=14;(2)2×(- 3)=- 6. 因此,可以按系数特征分组.

根据系数特征,采用“二、二”分组的方式.

(1)7a2+2b+ab+14a

解:原式=(7a2+14a)+(2b+ab)=7a(a+2)+b(a+2)=(a+2)(7a+b).

(2)2ac- 6ad+bc- 3bd

解:原式=(2ac- 6ad)+(bc- 3bd)=2a(c- 3d)+b(c- 3d)=(2a+b)(c- 3d).

上述两道题还有其他方法分组吗?请同学们继续探究.

活动小结:

先将多项式按系数特征分组,再用已学过的方法进行因式分解.

【活动三】

分解因式:

(1)m2- 9n2+2m- 6n;

(2)m2+m- 4n2- 2n.

活动指导:

若按前面两种方法进行分组是无法解决这两题的,观察指数发现有二次项和一次项,且二次项可以用平方差公式分解.这类四项式,经“二、二”分组后,其中两项符合平方差公式的特点,需用平方差公式进行分解,另两项需用提公因式法进行分解,各自分解后再用提公因式法继续分解.

(1)m2- 9n2+2m- 6n

解:原式=(m2- 9n2)+(2m- 6n)=(m+3n)(m- 3n)+2(m- 3n)=(m+3n+2)(m- 3n).

(2)m2+m- 4n2- 2n

解:原式=(m2- 4n2)+(m- 2n)=(m+2n)(m- 2n)+(m- 2n)=(m+2n+1)(m- 2n).

活动小结:

先将多项式按指数特征分组,再用已学过的方法进行因式分解.

【活动四】

分解因式:

(1)p2- 2pq+q2- k2;

(2)k2- 4p2+12pq- 9q2.

活动指导:

观察这两题的结构特征,其中有三项可以用完全平方公式分解,可进行“一、三”分组. 如果四项式中有三个平方项且符号不全相同,试着把其中同号的两项与第四项括在一起,看能不能应用公式“a2±2ab+b2=(a±b)2”,若能,再应用平方差公式分解.

(1)p2- 2pq+q2- k2

解:原式=(p2- 2pq+q2)- k2=(p-q)2- k2=(p-q+k)(p-q-k).

(2)k2- 4p2+12pq- 9q2

解:原式=k2(4p2- 12pq+9q2)=k2(2p- 3q)2=(k+2p- 3q)(k- 2p+3q).

活动小结:

先将多项式按公式特征分组(平方差公式是两项,完全平方公式是三项),再用已学过的方法进行因式分解.

活动总结: