平行六边形（精选四篇）
平行六边形 篇1
已知:图1中AB=CD,∠B=∠D。
求证:四边形ABCD是平行四边形。
证明:过A作AE⊥BC,过C作CF丄AD,垂足分别是E、F,连接AC,可证△ABE≌△CDF,得AE=CF,DF=BE,再可证Rt△ACE≌Rt△CAF(HL),可得AF=EC,由此可得AD=BC,因为AB=CD,所以四边形ABCD是平行四边形。
学生的回答出乎我的意料,由于课前的准备不充分,对学生的回应不及时,给学生的解答也不圆满,自己心中存有的疑惑也促使我进一步研究这个命题。
一、用反例法说明该命题不一定成立
我们可以从标准图形(平行四边形)的一部分进行运动得到反例图形:如图2,平行四边形ABCD,其中AB=CD,∠B=∠D,发现当∠ACB不为直角,我们可以在BC (或延长线)上取点C',使AC'=AC,将△ACD以A为中心旋转到AC'D',这样AB=C'D',∠:A=∠D',但四边形ABC'D'显然不是平行四边形。
这个问题学生举反例比较困难,原因可能如下:
一是缺少科学思维的一般步骤。这道题为判断题,从本质上讲,判断为错比判断为对要简单。判断为错只要举一个反例即可,而判断为对需要的是科学的证明,所以应通过训练要学生明白一般思维模式。
二是学生缺少举反例的一般方法。代数中的反例通常是将字母或者未知数赋予特殊值来实现。几何中的反例可通过将条件集合在某一特殊图形中,然后再将此特殊图形分割重组或者运动产生反例。
二、该命题成立的范围限定
以上的反例将一组对角相等限定成了一组“是锐角的”对角相等,根据角的分类,那么这个命题可延伸为:
1. 一组对边相等、一组对角相等,倘若相等的对角是直角,那么这个四边形是平行四边形。
2. 一组对边相等、一组对角相等,倘若相等的对角是钝角,那么这个四边形是平行四边形。
这两个命题是真是假呢?参照图2,如AB=CD,∠B=∠D'=90,则易证Rt△ABC'≌Rt△C'D'A(HL),可证四边形ABC'D'是平行四边形。若AB=C'D',∠B=∠D'且是钝角,在△ABC'中由正弦定理可得。在△C'AD'中由正弦定理可得,由于∠B=∠D'且是钝角,所以sin∠B=sin∠D',AB=C'D',所以可得sin∠BC'A=sin∠C'AD';由于∠B、∠D'是钝角,所以∠BC'A、∠C'AD'是锐角,所以sinz BC'A=sin∠C'AD',这样即可断定△BAC'≌△D'C'A(AAS),从而可以推断四边形ABC'D'是平行四边形。
由此可见,一组对边相等,一组对角相等,倘若相等的对角不是锐角的话,那么这个四边形是平行四边形。
平行六边形 篇2
----多边形与平行四边形
一、选择题
1.（2021•湖南省常德市）一个多边形的内角和是1800°，则这个多边形是（）边形．
A.9
B.10
C.11
D.12
【答案】D
【解析】
【分析】根据n边形的内角和是（n﹣2）×180，根据多边形的内角和为1800，就得到一个关于n的方程，从而求出边数．
【详解】根据题意得：（n﹣2）×180=1800，解得：n=12．
故选：D．
2.（2021•株洲市）如图所示，在正六边形内，以为边作正五边形，则（）
A.B.C.D.【答案】B
3.（2021•江苏省连云港）正五边形的内角和是（）
A.B.C.D.【答案】D
【解析】
【分析】n边形的内角和是，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
详解】（7﹣2）×180°=900°．
故选D．
4.（2021•江苏省南京市）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）
A.1，1，1
B.1，1，8
C.1，2，2
D.2，2，2
【答案】D
【解析】
【分析】若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，由此即可完成．
【详解】A、1+1+1<5，即这三条线段的和小于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；
B、1+1+5<8，即这三条线段的和小于8，根据两点间距离最短即知，此选项错误；
C、1+2+2=5，即这三条线段的和等于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；
D、2+2+2>5，即这三条线段的和大于5，根据两点间距离最短即知，此选项正确；
故选：D．
5.（2021•江苏省扬州）
如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接、、、、，若，则（）
A.B.C.D.【答案】D
【解析】
【分析】连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和，即可得到结果．
【详解】解：连接BD，∵∠BCD=100°，∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，故选D．
6.（2021•四川省眉山市）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（）
A．1：3
B．1：2
C．2：1
D．3：1
【分析】此题要结合多边形的内角与外角的关系来寻求等量关系，构建方程求出每个外角．多边形外角和是固定的360°．
【解答】解：这个八边形的内角和为：
（8﹣2）×180°＝1080°；
这个八边形的每个内角的度数为：
1080°÷8＝135°；
这个八边形的每个外角的度数为：
360°÷8＝45°；
∴这个八边形每个内角与每个外角的度数之比为：
135:45＝3:1．
故选：D．
7.(2021•四川省自贡市)
如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，的度数是（）
A.72°
B.36°
C.74°
D.88°
【答案】A
【解析】
【分析】根据正五边形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，利用角的和差即可求解．
【详解】解：∵ABCDE是正五边形，∴，∴,∴，故选：A．
8.（2021•北京市）下列多边形中，内角和最大的是（）D
A.B．
C．
D．
9.（2021•福建省）如图，点F在正ABCDE五边形的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于（）C
A．108°
B．120°
C．126°
D．132°
10.（2021•云南省）一个10边形的内角和等于（）C
A．1800°
B．1660°
C．1440°
D．1200°
11.（2021•山东省济宁市）如图，正五边形ABCDE中，∠CAD的度数为（）
A．72°
B．45°
C．36°
D．35°
【分析】首先可根据五边形内角和公式求出每个内角的度数，然后求出∠CAB和∠DAE，即可求出∠CAD．
【解答】解：根据正多边形内角和公式可得，正五边形ABCDE的内角和＝180°×（5﹣2）＝540°，则∠BAE＝∠B＝∠E＝＝108°，根据正五边形的性质，△ABC≌△AED，∴∠CAB＝∠DAE＝（180°﹣108°）＝36°，∴∠CAD＝108°﹣36°﹣36°＝36°，故选：C．
12.（2021•贵州省铜仁市）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（）
A.等边三角形
B.正方形
C.正五边形
D.正六边形
【答案】C
13.（2021•襄阳市）正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是（）
A.3
B.6
C.9
D.12
【答案】B
14.（2021•绥化市）已知一个多边形内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（）
A.八边形
B.九边形
C.十边形
D.十二边形
【答案】C
【解析】
【分析】设这个多边形的边数为n，然后根据内角和与外角和公式列方程求解即可.【详解】设这个多边形的边数为n，则（n－2）×180°＝4×360°，解得：n＝10，故选C.15.（2021•河北省）如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，S△AFO＝8，S△CDO＝2，则S正六边边ABCDEF的值是（）
A．20
B．30
C．40
D．随点O位置而变化
【分析】正六边形ABCDEF的面积＝S矩形AFDC+S△EFD+S△ABC，由正六边形每个边相等，每个角相等可得FD＝AF，过E作FD垂线，垂足为M，利用解直角三角形可得△FED的高，即可求出正六边形的面积．
【解答】解：设正六边形ABCDEF的边长为x，过E作FD的垂线，垂足为M，连接AC，∵∠FED＝120°，FE＝ED，∴∠EFD＝∠FDE，∴∠EDF＝（180°﹣∠FED）
＝30°，∵正六边形ABCDEF的每个角为120°．
∴∠CDF＝120°﹣∠EDF＝90°．
同理∠AFD＝∠FAC＝∠ACD＝90°，∴四边形AFDC为矩形，∵S△AFO＝FO×AF，S△CDO＝OD×CD，在正六边形ABCDEF中，AF＝CD，∴S△AFO+S△CDO＝FO×AF+OD×CD
＝（FO+OD）×AF
＝FD×AF
＝10，∴FD×AF＝20，DM＝cos30°DE＝x，DF＝2DM＝x，EM＝sin30°DE＝，∴S正六边形ABCDEF＝S矩形AFDC+S△EFD+S△ABC
＝AF×FD+2S△EFD
＝x•x+2×x•x
＝x2+x2
＝20+10
＝30，故选：B．
16.（2021•株洲市）
如图所示，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，若，则（）
A.B.C.D.【答案】B
17.（2021•山东省泰安市）如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：
①AM＝CN；
②若MD＝AM，∠A＝90°，则BM＝CM；
③若MD＝2AM，则S△MNC＝S△BNE；
④若AB＝MN，则△MFN与△DFC全等．
其中正确结论的个数为（）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据平行四边形的性质，证明△MDB≌△NBD，从而判断①正确；若MD＝AM，∠A＝90°，则平行四边形ABCD为矩形，通过证明△BAM≌△CDM可以判断②；过点M作MG⊥BC，交BC于G，过点E作EH⊥BC，交BC于H，通过三角形面积公式可以判断③；若AB＝MN则四边形MNCD是等腰梯形，通过证明△MNC≌△DCN和△MFN≌△DFC即可判断④．
【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵E是BD的中点，∴BE＝DE，在△MDB和△NBD中，∴△MDB≌△NBD（ASA），∴DM＝BN，∴AM＝CN，故①正确；
②若MD＝AM，∠A＝90°，则平行四边形ABCD为矩形，∴∠D＝∠A＝90°，在△BAM和△CDM中，∴△BAM≌△CDM（SAS），∴BM＝CM，故②正确；
③过点M作MG⊥BC，交BC于G，过点E作EH⊥BC，交BC于H，由①可知四边形MBCD是平行四边形，E为BD中点，∴MG＝2EH，又∵MD＝2AM，BN＝MD，AM＝NC，∴S△ANC＝NC•MG＝•BN•2EH＝BN•EH＝S△BNE，故③正确；
④∵AB＝MN，AB＝DC，∴MN＝DC，∴四边形MNCD是等腰梯形，∴∠MNC＝∠DCN，在△MNC和△DCN中，∴△MNC≌△DCN（SAS），∴∠NMC＝∠CDN，在△MFN和△DFC中，∴△MFN≌△DFC（AAS），故④正确．
∴正确的个数是4个，故选：D．
18.（2021•陕西省）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则（）
A．
B．
C．
D．
【分析】由菱形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝∠ABC＝30°，由锐角三角函数可求解．
【解答】解：设AC与BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，∠ABD＝，∵tan∠ABD＝，∴，故选：D．
19.（2021•河北省）如图1，▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（）
A．甲、乙、丙都是
B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是
D．只有乙、丙才是
【分析】方案甲，连接AC，由平行四边形的性质得OB＝OD，OA＝OC，则NO＝OM，得四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；
方案乙：证△ABN≌△CDM（AAS），得AN＝CM，再由AN∥CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；
方案丙：证△ABN≌△CDM（ASA），得AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，则∠ANM＝∠CMN，证出AN∥CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确．
【解答】解：方案甲中，连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，∴OB＝OD，OA＝OC，∵BN＝NO，OM＝MD，∴NO＝OM，∴四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；
方案乙中：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM，∵AN⊥B，CM⊥BD，∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD，在△ABN和△CDM中，∴△ABN≌△CDM（AAS），∴AN＝CM，又∵AN∥CM，∴四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；
方案丙中：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM，∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，∴∠BAN＝∠DCM，在△ABN和△CDM中，∴△ABN≌△CDM（ASA），∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，∴∠ANM＝∠CMN，∴AN∥CM，∴四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确；
故选：A．
20.（2021•泸州市）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D=58°，则∠AEC的大小是（）
A.61°
B.109°
C.119°
D.122°
【答案】C
【解析】
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得到对边平行，再利用平行的性质求出，根据角平分线的性质得：AE平分∠BAD求，再根据平行线的性质得，即可得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴，∴
∵AE平分∠BAD
∴
∵
∴
故选C．
21.（2021•四川省南充市）如图，点O是▱ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论成立的是（）
A．OE＝OF
B．AE＝BF
C．∠DOC＝∠OCD
D．∠CFE＝∠DEF
【分析】证△AOE≌△COF（ASA），得OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，进而得出结论．
【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，又∵∠DOC＝∠BOA，∴选项A正确，选项B、C、D不正确，故选：A．
22.（2021•天津市）如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是（）
A.B.C.D.【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形性质以及点的平移性质计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD平行四边形，点B的坐标为(-2，-2)，点C的坐标为(2，-2)，∴点B到点C为水平向右移动4个单位长度，∴A到D也应向右移动4个单位长度，∵点A的坐标为(0，1)，则点D的坐标为(4，1)，故选:C．
23.（2021•湖北省恩施州）如图，在▱ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，则▱ABCD的面积为（）
A．30
B．60
C．65
D．
【分析】根据平行四边形的性质以及勾股定理求出四边形ABCD的底边BC和其对角线AC的值，然后根据平行四边形的面积计算公式求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD＝5．
∵AC⊥BC，∴△ACB是直角三角形．
∴AC＝＝＝12．
∴S▱ABCD＝BC•AC＝5×12＝60．
故选：B．
24.（2021•湖北省荆门市）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设
∠1＝30°，那么∠2＝（）
A．55°
B．65°
C．75°
D．85°
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出∠FHE＝45°，求出∠NHB＝∠FHE＝45°，根据三角形内角和定理求出∠HNB＝105°，根据平行四边形的性质得出CD∥AB，根据平行线的性质得出∠2+∠HNB＝180°，带哦求出答案即可．
【解答】解：延长EH交AB于N，∵△EFH是等腰直角三角形，∴∠FHE＝45°，∴∠NHB＝∠FHE＝45°，∵∠1＝30°，∴∠HNB＝180°﹣∠1﹣∠NHB＝105°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠2+∠HNB＝180°，∴∠2＝75°，故选：C．
25.（2021•山东省威海市）
如图，在平行四边形ABCD中，AD-3，CD=2．连接AC，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F．若∠AFC=2∠D，则四边形ABEC的面积为（）
A.B.C.6
D.【答案】B
【解析】
【分析】先证明四边形ABEC为矩形，再求出AC，即可求出四边形ABEC的面积．
【详解】解：∵四边形ABCD平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=∠ABC，∵，∴四边形ABEC为平行四边形，∵，∴，∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF，∴AF=BF，∴2AF=2BF，即BC=AE，∴平行四边形ABEC是矩形，∴∠BAC=90°，∴,∴矩形ABEC的面积为．
故选：B
26.（2021•浙江省衢州卷）如图，在中，，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，则四边形ADEF的周长为（）
A.6
B.9
C.12
D.15
【答案】B
27.（2021•贵州省贵阳市）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是（）
A．1
B．2
C．2.5
D．3
【分析】根据平行四边形的性质证明DF＝CD，AE＝AB，进而可得AF和ED的长，然后可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，∴∠DFC＝∠FCB，又∵CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠FCB，∴∠DFC＝∠DCF，∴DF＝DC＝3，同理可证：AE＝AB＝3，∵AD＝4，∴AF＝5﹣4＝1，DE＝4﹣3＝1，∴EF＝4﹣1﹣1＝2．
故选：B．
28.（2021•湖南省娄底市）如图，点在矩形的对角线所在的直线上，则四边形是（）
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角形全等的性质得，对应边相等及对应角相等，得出一组对边平行且相等，即可判断出形状．
【详解】解：由题意：，又，，四边形为平行四边形，故选：A．
二．填空题
1.（2021•湖北省黄冈市）正五边形的一个内角是
108 度．
【分析】因为n边形的内角和是（n﹣2）•180°，因而代入公式就可以求出内角和，再用内角和除以内角的个数就是一个内角的度数．
【解答】解：（5﹣2）•180＝540°，540÷4＝108°．
2.（2021•陕西省）正九边形一个内角的度数为
140° ．
【分析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．
【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，则每个内角的度数＝＝140°．
故答案为：140°．
3.（2021•上海市）六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________．
【答案】．
【解析】
【分析】由六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，可以得到中间正六边形的边长为1，做辅助线以后，得到△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，再根据等腰三角形与等边三角形的性质求出边长，求出面积之和即可．
【详解】解：如图所示，连接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，在正六边形ABCDEF中，∵直角三角板的最短边为1，∴正六边形ABCDEF为1，∴△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，∵∠ABC=∠CDE
=∠EFA
=120︒，AB=BC=
CD=DE=
EF=FA=1，∴∠BAG=∠BCG
=∠DCE=∠DEC=∠FAE
=∠FEA=30︒，∴BG=DI=
FH=，∴由勾股定理得：AG
=CG
=
CI
=
EI
=
EH
=
AH
=，∴AC
=AE
=
CE
=，∴由勾股定理得：AI=，∴S=，故答案为：．
4.（2021•新疆）
四边形的外角和等于_______.【答案】360°．
5.（2021•浙江省湖州市）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五边形的五个顶点），则图中∠A的度数是
度．
【答案】36
【解析】首先根据正五边形的内角和计算公式，求出每个内角的度数为108°，即∠ABC＝∠BAE＝108°，那么等腰△ABC的底角∠BAC＝36°，同理可求得∠DAE＝36°，故∠CAD＝∠BAE﹣∠BAC﹣∠EAD＝108°﹣36°﹣36°＝36°．其实正五角星的五个角是36°，可以作为一个常识直接记住．
6.（2021•江苏省盐城市）若一个多边形的每个外角均为40°，则这个多边形的边数为
9 ．
【分析】一个多边形的外角和为360°，而每个外角为40°，进而求出外角的个数，即为多边形的边数．
【解答】解：360°÷40°＝9，故答案为：9．
7.（2021•广西玉林市）如图、在正六边形中，连接线，，，与交于点，与交于点为，与交于点，分别延长，于点，设．有以下结论：①；②；③重心、内心及外心均是点；④四边形绕点逆时针旋转与四边形重合．则所有正确结论的序号是______．
【答案】①②③
8.（2021•浙江省衢州卷）如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，BD交于点F，则的度数为________．
【答案】
9.（2021•江苏省扬州）如图，在中，点E在上，且平分，若，则的面积为________．
【答案】50
【解析】
【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质求出EF，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE=∠BEC，可得BE=BC=10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．
【详解】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，∵∠EBC=30°，BE=10，∴EF=BE=5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DEC=∠BCE，又EC平分∠BED，即∠BEC=∠DEC，∴∠BCE=∠BEC，∴BE=BC=10，∴四边形ABCD的面积===50，故答案为：50．
10.（2021•山东省临沂市）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A、B的坐标分别是（﹣1，1）、（2，1），将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的对应点C1的坐标是
（4，﹣1）．
【分析】由题意A,C关于原点对称，求出点C的坐标，再利用平移的性质求出点C1的坐标可得结论．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，∴点A,点C关于原点对称，∵A(﹣1,1),∴C(1,﹣1),∴将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的对应点C1的坐标是(4,﹣1),故答案为：（4，﹣1）．
11.（2021•山东省菏泽市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D、E分别为AC、BC的中点，DE＝2，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于点F，则四边形ABFD的面积为
8 ．
【分析】由三角形的中位线定理证得DE∥AB，AB＝2DE＝4，进而证得四边形ABFD是平行四边形，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出BC＝4，得到BE＝2，根据平行四边形的面积公式即可求出四边形ABFD的面积．
【解答】解：∵D、E分别为AC、BC的中点，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE＝AB，∴AB＝2DE，DF∥AB，又∵BF∥AC，∴BF∥AD，∴四边形ABFD是平行四边形，∵AB⊥BE，∴S平行四边形ABFD＝AB•BE，∵DE＝2，∴AB＝2×2＝4，在Rt△ABC中，∵∠C＝30°，∴AC＝2AB＝2×4＝8，∴BC＝＝＝4，∴BE＝BC＝2，∴S平行四边形ABFD＝4×2＝8，故答案为8．
12.6.（2021•浙江省丽水市）
一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是__________．
【答案】6或7
【解析】
【分析】求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．
【详解】解：由多边形内角和，可得
（n-2）×180°=720°，∴n=6，∴新的多边形为6边形，∵过顶点剪去一个角，∴原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，故答案为6或7．
13.（2021•青海省）如图，在▱ABCD中，对角线BD＝8cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE＝3cm，BC＝4cm，则AD与BC之间的距离为 6cm ．
【分析】设AB与CD之间的距离为h，由条件可知▱ABCD的面积是△ABD的面积的2倍，可求得▱ABCD的面积，再S四边形ABCD＝BC•h，可求得h的长．
【解答】解：
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，在△ABD和△BCD中
∴△ABD≌△BCD（SSS），∵AE⊥BD，AE＝3cm，BD＝8cm，∴S△ABD＝BD•AE＝×8×3＝12（cm2），∴S四边形ABCD＝2S△ABD＝24cm2，设AD与BC之间的距离为h，∵BC＝4cm，∴S四边形ABCD＝AD•h＝4h，∴4h＝24，解得h＝6cm，故答案为：6cm．
14.（2021•浙江省嘉兴市）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2，则AH的长为
．
【分析】在Rt△ABC和Rt△OAB中，分别利用勾股定理可求出BC和OB的长，又AH⊥OB，可利用等面积法求出AH的长．
【解答】解：如图，∵AB⊥AC，AB＝2，BC＝2，∴AC＝＝2，在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∴OA＝OC＝，在Rt△OAB中，OB＝＝，又AH⊥BD，∴OB•AH＝OA•AB，即＝，解得AH＝．
故答案为：．
15.（2021•黑龙江省龙东地区）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______________，使平行四边形是矩形．．
【答案】
【解析】
【分析】根据矩形的判定方法即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴当时，四边形ABCD为矩形．
故答案为：．
三、解答题
1.（2021•湖北省武汉市）如图，AB∥CD，∠B＝∠D，BC的延长线分别交于点E，F，求证：∠DEF＝∠F．
【分析】由平行线的性质得到∠DCF＝∠B，进而推出∠DCF＝∠D，根据平行线的判定得到AD∥BC，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠DCF＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠DCF＝∠D，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠F．
2.（2021•怀化市）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，AE＝CF．
求证：（1）△ADE≌△CBF；
（2）ED∥BF．
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可以得到DA＝BC，DA∥BC，然后即可得到∠EAD＝∠FCB，再根据SAS即可证明△ADE≌△CBF；
（2）根据（1）中的结论和全等三角形的性质，可以得到∠E＝∠F，从而可以得到ED∥BF．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴DA＝BC，DA∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵∠DAC+∠EAD＝180°，∠BCA+∠FCB＝180°，∴∠EAD＝∠FCB，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）由（1）知，△ADE≌△CBF，∴∠E＝∠F，∴ED∥BF．
3.如（2021•岳阳市）图，在四边形中，，垂足分别为点，．
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是________；
（2）添加了条件后，证明四边形为平行四边形．
【答案】（1）（答案不唯一，符合题意即可）；（2）见解析
4.（2021•宿迁市）在①AE=CF；②OE=OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．
已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，(填写序号)．
求证：BE=DF．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】见解析
【解析】
【分析】若选②，即OE=OF；根据平行四边形的性质可得BO=DO，然后即可根据SAS证明△BOE≌△DOF，进而可得结论；若选①，即AE=CF；根据平行四边形的性质得出OE=OF后，同上面的思路解答即可；若选③，即BE∥DF，则∠BEO=∠DFO，再根据平行四边形的性质可证△BOE≌△DOF，于是可得结论．
【详解】解：若选②，即OE=OF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO，∵OE=OF，∠BOE=∠DOF，∴△BOE≌△DOF（SAS），∴BE=DF；
若选①，即AE=CF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO，AO=CO，∵AE=CF，∴OE=OF，又∠BOE=∠DOF，∴△BOE≌△DOF（SAS），∴BE=DF；
若选③，即BE∥DF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO，∵BE∥DF；
∴∠BEO=∠DFO，又∠BOE=∠DOF，∴△BOE≌△DOF（AAS），∴BE=DF；
5.（2021•山东省聊城市）
如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
【答案】（1）见解析；（2）24
【解析】
【分析】（1）根据题意可证明，得到OD＝OE，从而根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”证明即可；
（2）根据AB=BC，AO=CO，可证明BD为AC的中垂线，从而推出四边形AECD为菱形，然后根据条件求出DE的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：在△AOE
和△COD中，∴．
∴OD＝OE．
又∵AO＝CO，∴四边形AECD
是平行四边形．
（2）∵AB＝BC，AO＝CO，∴BO为AC的垂直平分线，．
∴平行四边形
AECD是菱形．
∵AC＝8，．
在Rt△COD
中，CD＝5，∴，∴四边形
AECD的面积为24．
6.（2021•湖南省永州市）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，AE∥BF．
（1）求证：△AEC≌△BFD．
（2）判断四边形DECF的形状，并证明．
7.（2021•四川省广元市）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于点F．
（1）求证：BC=CF；
（2）连接AC和相交于点为G，若△GEC的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）24．
【解析】
【分析】（1）根据E是边DC的中点，可以得到，再根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到，再根据，即可得到，则答案可证；
（2）先证明，根据相似三角形的性质得出，进而得出，由得，则答案可解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴，∵点E为DC的中点，∴，在和中
∴，∴，∴；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，∴，∴，∴，∵的面积为2，∴，即，∵
∴，∴，∴，∴．
8.（2021•新疆）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且．
求证：（1）；
（2）四边形AEFD是平行四边形．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析．
9.（2021•浙江省绍兴市）问题：如图，在▱ABCD中，AB＝8，∠DAB，∠ABC的平分线AE，F，求EF的长．
答案：EF＝2．
探究：（1）把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
（2）把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
【分析】（1）①证∠DEA＝∠DAE，得DE＝AD＝5，同理BC＝CF＝5，即可求解；
②由题意得DE＝DC＝5，再由CF＝BC＝5，即可求解；
（2）分三种情况，由（1）的结果结合点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，分别求解即可．
【解答】解：（1）①如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8，BC＝AD＝5，∴∠DEA＝∠BAE，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠DEA＝∠DAE，∴DE＝AD＝5，同理：BC＝CF＝5，∵点E与点F重合，∴AB＝CD＝DE+CF＝10；
②如图3所示：
∵点E与点C重合，∴DE＝DC＝5，∵CF＝BC＝5，∴点F与点D重合，∴EF＝DC＝5；
（2）分三种情况：
①如图3所示：
同（1）得：AD＝DE，∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，∴AD＝DE＝EF＝CF，∴＝；
②如图4所示：
同（1）得：AD＝DE＝CF，∵DF＝FE＝CE，∴＝；
③如图5所示：
同（1）得：AD＝DE＝CF，∵DF＝DC＝CE，∴＝2；
平行六边形 篇3
学生在经历探索平行四边形的特征后。
师:你们能用自己的语言说一说什么样的图形叫做平行四边形吗?
生1:两个角都是一样的度数。
师:找两个角就行了吗?
生1:两个对角都一样的度数的四边形叫平行四边形。
师:你想把这样的四边形称为平行四边形, 是吗?
生1沉默一会儿后。
师:请坐, 你来说一说。
生2:两个对角的度数一样、两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。
师:这是你的意思, 请坐, 你说。
生3:平行四边形中有两组对角, 每组对角的度数都一样。一组对角的度数一样, 另外那组对角的度数也一样, 但两组对角的度数不一样。
师:这个同学回答的平行四边形概念, 好长好长, 如果让你们去记忆, 是不是很辛苦?同学们, 刚才大家发现了许多平行四边形的特征, 比如:对角相等、对边相等、对边平行, 但我们只要抓住其中的一点——对边分别平行, 就能判断是不是平行四边形。我们可以利用这个关键点来给它们下定义。
老师在原有的板书 (两组对边分别平行) 加上了“的四边形叫做平行四边形”。
这个片段引发了我们的争论和思考:
一、小学阶段是否要优化学生对概念特征的理解
上述的定义与性质基本是初中之后才会接触到的表述方式, 这样的观点很严谨, 但又好象在玩文字游戏一样, 小学阶段是否有必要给学生建立严谨的数学概念?是否要优化学生对概念特征的理解?
观点一:数学的抽象、协调与精确显示了数学的无穷魅力, 虽然她是“冰冷的美丽”, 但她却拥有火热的思想。在数学教育上, 应确保数学知识的规范, 一堂数学课是否成功, 首先要看学生是否理解和掌握了数学 (数学的科学性) , 包括准确理解数学本质。
观点二:我们常常以成人的眼光审视严谨系统的数学, 课堂上老师们经常修正孩子们自己理解的数学——有些是缺少严密逻辑表述的数学、有些是表象中的数学、有些是离散的数学思维, 这样的修正常常让学生感到数学的死板与枯燥, 减弱了他们成功的精神体验。我们更该从学生实际水平出发, 先热情地保护好奇心这颗“火种”, 鼓励学生用自己的方法诠释数学意义, 不一定要优化出最好的概念定义。
笔者认为优化学生对概念特征的理解, 必须在充分关怀学生的情感态度及其发展可能性的基础上进行。学生对概念的理解, 不是一次完成的, 要有一个长期的、反复的认识过程。我们要先根据学生的认识能力和知识水平, 体现概念发展的不同阶段, 做出恰如其分的引导。教学中, 我们先让学生自己尝试着描述平行四边形, 而且开始时, 只要求学生用比较具体的、展开的、不太精确的语言进行描述, 接着我们就要逐步过渡到用压缩的、精确的语言揭示概念的本质特征, 用定义的方式固定下来。但是优化学生对概念的理解, 一定要整体关怀学生的生命存在及其发展。传统课堂教学过分强调认知性目标, 知识与技能成为课堂教学关注的中心, 知识的价值是本位的。改革课堂教学应从知识本位转向发展为本位, 在过程中强调学生探索新知的经历和获得新知的体验, 保证学生的积极情感, 帮助学生把印象中的数学模型进一步发展为更完善、合理的概念, 使我们的教学摆脱唯知主义的框框, 进入认知与情意和谐统一的轨道。
二、课堂教学遇到类似的问题, 老师该怎么办
从老师处理这个问题所花费的时间和态度粗略地可以分为:忽略;回避;简单引导;充分利用。
第一种教师是假装没有听到, 不予理会;第二种大约要用五秒钟, 教师可能是只肯定学生的态度, 但不予评价;第三种估计会用15秒, 教师可能会采用简短的语言进行解释性评价, 随即转入另一个教学活动;第四种大约用三分钟, 教师可能把它当作课堂生成的素材, 引导学生进一步认识。
在新课程改革进行了八年的当今数学课堂, 一般情况下老师都不会采用前两种方式。但对于选择第三, 还是第四种处理方式, 却争论激烈。
有些老师认为, 深入探讨这句话是没有价值的, 应该采用第三种形式。因为这节课让学生知道两组对边分别平行是重点, 其他的可以在课后和学生一起通过测量, 进行归纳后加以证明。
有些老师认为, 应该先把老师自己潜意识里想要的答案拿开, 引导全班学生思辨可以用“两组对角分别相等”判定是不是平行四边形, 再组织学生思考除了从角去判断, 还可以从哪些方面去判断, 甚至可以给学生讲讲平行线间两内角互补这一知识点。课堂上遇到类似的问题, 我们该怎么处理呢?我们采取什么样的方法应该取决于问题与学习目标的直接相关程度、问题对学生的影响程度。
先判断这句话离这节课的目标是近, 还是远了?分析人教版教材这节课的目标, 重在使学生构建平行四边形和梯形的概念特征, 而不是给平行四边形下定义。组织学生对平行四边形下定义不是目的, 而是想通过下定义的活动加深学生对平行四边形特征的认识, 促进学生对平行四边形概念特征的内化。教材鼓励学生通过自己的观察、实验、猜测、推理与交流, 真正获得平行四边形的相关特征的认识, 当学生利用平形四边形的特征来表达自己对概念的理解时, 是贴近了教学的目标。那我们要做哪些引导?要引导到什么程度呢?从课堂实录发现, 连续发言的三个学生都围绕着角来表达自己对概念的理解, 究其原因, 是因为之前花了6分钟的时间在观察、测量、讨论平行四边形的角的特征, 才引发了学生这样的思维。这时, 我们就不能再把过多的时间放在讨论与角相关的特征上了, 在肯定学生理解之后, 应该转向组织学生去关注平行四边形的本质属性两组对边分别平行, 优化对平行四边形概念特征的构建。
三、概念教学, 不应该是定义教学
在小学数学教材中, 用下定义的方式揭示了许多概念, 但也有些在教材中没有下定义。翻开北师大版、苏教版同类知识内容的教科书时, 我们发现教科书上没有对平行四边形下定义, 这留给我们几点思考。
1. 概念教学不应该是定义教学
数学概念是现实世界中数量关系和空间形式的本质属性在人的头脑中的反映, 它是数学知识的基础。数学概念教学是在教学中使学生对概念的本质属性达到“守恒”, 也就是当概念的非本质属性被改变或本质属性被隐藏起来时, 学生始终能掌握它而不被干扰。儿童对现实的把握并不是通过概念获得的, 而是通过思维操作把思维对象结构化的过程。可见, 小学数学教学中的概念教学主要是让学生掌握概念的关键特征, 让学生在获得有关概念的过程中, 体会多方面的意义和作用, 不必要掌握严格的概念定义。小学数学教育过早地形式化会扼杀儿童学习数学的兴趣, 也会扼杀他们本能的创造性。
2. 正确对待教材中的原始概念和可定义概念
原始概念又称无定义概念, 是指没有属概念的概念, 比如:自然数、平面、曲面、线段、直线等。这样一些概念, 是最先从客观对象中归纳、抽象、提炼出来的理想存在, 是最初用它们来定义其它未知概念的属概念, 是最基本的数学概念。原始概念无定义, 但却有意义, 否则, 就不能使用它们来解释在它们之后的所有未知概念了。遇到这类概念时, 可以采用描述举例、循环解释等方法要让学生明确其意义。比如:认识自然数时, 我们可以借用日常概念或其它已知概念, 形象地描述其特征, 举例说明其存在。
可定义概念是全部小学数学概念的绝大多数, 但在小学教材中却很少出现把某个概念用语词定义化。其一是因为在许多数学概念中除去原始概念和真实定义的概念用词外, 还经常出现一些貌似真实定义或原始概念用语的语词或词组, 大量的数学名词不利于小学生去理解。其二是概念学习过程的实质是现代思维和科学思维的学习与训练, 不给学生“标准”的数学概念有利于学生“再创造”。
平行六边形 篇4
【知识梳理】
1.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。2.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
3.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。4.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。5.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
6.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，或叫平面镶嵌。
7.平行四边形定义： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。8.平行四边形的性质：(1)平行四边形的对边相等；
(2)平行四边形的对角相等。(3)平行四边形的对角线互相平分。
9.平行四边形的判定：(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形；
(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。10.平行线间距离：
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间距离，两条平行线间距离处处相等
11.三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。【考点解析】
考点一：多边形的内角和与外角和
【例1】(2017湖北宜昌)如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的内角和定理即可判断．
【解答】解：∵①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，③剪开后的两个图形是三角形，它们的内角和都是180°； ∴①③剪开后的两个图形的内角和相等，故选B．
考点
二、平行四边形的性质
【例2】（2017.四川眉山）如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为（）
A．14 B．13 C．12 D．10 【考点】L5：平行四边形的性质．
【分析】先利用平行四边形的性质求出AB=CD，BC=AD，AD+CD=9，可利用全等的性质得到△AEO≌△CFO，求出OE=OF=3，即可求出四边形的周长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，周长为18，∴AB=CD，BC=AD，OA=OC，AD∥BC，∴CD+AD=9，∠OAE=∠OCF，在△AEO和△CFO中，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE=OF=1.5，AE=CF，则EFCD的周长=ED+CD+CF+EF=（DE+CF）+CD+EF=AD+CD+EF=9+3=12． 故选C．
考点
三、平行四边形的判定
【例3】（2017贵州安顺）如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，（1）求证：BC=DE；，2（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？
【考点】LC：矩形的判定；L7：平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形．通过给出的已知条件便可．（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决． 【解答】（1）证明：∵E是AC中点，∴EC=AC． ∵DB=AC，∴DB∥EC． 又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形． ∴BC=DE．
（2）添加AB=BC．（5分）理由：∵DBAE，∴四边形DBEA是平行四边形． ∵BC=DE，AB=BC，∴AB=DE． ∴▭ADBE是矩形．
【中考热点】
（2017•新疆）如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）连接DE，求证：四边形CBED是平行四边形．
【考点】L6：平行四边形的判定；KD：全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）由SSS证明证明△ADC≌△CEB即可；
（2）由全等三角形的性质得出得到∠ACD=∠CBE，证出CD∥BE，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵点C是AB的中点，∴AC=BC；在△ADC与△CEB中，∴△ADC≌△CEB（SSS），（2）证明：连接DE，如图所示： ∵△ADC≌△CEB，∴∠ACD=∠CBE，∴CD∥BE，又∵CD=BE，∴四边形CBED是平行四边形．，【点评】该题主要考查了平行四边形的判定、平行线的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解决问题的关键． 【达标检测】
一、选择题：
1.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（）
A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③ 【考点】平行四边形的判定．
【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题． 【解答】解：∵只有②③两块角的两边互相平行，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小． 故选D．
2.如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（）
A．8B．10C．12D．14 【考点】平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB，得出AF=AB=6，同理可证DE=DC=6，再由EF的长，即可求出BC的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC=AB=6，AD=BC，∴∠AFB=∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBC，则∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=6，同理可证：DE=DC=6，∵EF=AF+DE﹣AD=2，即6+6﹣AD=2，解得：AD=10； 故选：B．
3.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（）
A．10 B．14 C．20 D．22 【考点】平行四边形的性质．
【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，∵AC+BD=16，∴AO+BO=8，∴△ABO的周长是：14． 故选：B．
二、填空题：
4.（2017青海西宁）如图，将▱ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A=60°，AD=4，AB=8，则AE的长为
．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；L5：平行四边形的性质．
【分析】过点C作CG⊥AB的延长线于点G，易证△D′CF≌△ECB（ASA），从而可知D′F=EB，CF=CE，设AE=x，在△CEG中，利用勾股定理列出方程即可求出x的值． 【解答】解：过点C作CG⊥AB的延长线于点G，在▱ABCD中，∠D=∠EBC，AD=BC，∠A=∠DCB，6 由于▱ABCD沿EF对折，∴∠D′=∠D=∠EBC，∠D′CE=∠A=∠DCB，D′C=AD=BC，∴∠D′CF+∠FCE=∠FCE+∠ECB，∴∠D′CF=∠ECB，在△D′CF与△ECB中，∴△D′CF≌△ECB（ASA）∴D′F=EB，CF=CE，∵DF=D′F，∴DF=EB，AE=CF 设AE=x，则EB=8﹣x，CF=x，∵BC=4，∠CBG=60°，∴BG=BC=2，由勾股定理可知：CG=
2，∴EG=EB+BG=8﹣x+2=10﹣x 在△CEG中，由勾股定理可知：（10﹣x）+（2解得：x=AE=故答案为：
2）=x，22
5.（2017 四川绵阳）如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（1，4），则点B的坐标是（7，4）．
【考点】L5：平行四边形的性质；D5：坐标与图形性质．
【分析】根据平行四边形的性质及A点和C的坐标求出点B的坐标即可．
【解答】解：∵四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（1，4），∴BC=OA=6，6+1=7，∴点B的坐标是（7，4）； 故答案为：（7，4）．
6.（2017青海西宁）若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是 9 ． 【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案． 【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得解得n=9． 故答案为9．
7.（2017.湖南怀化）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE=5cm，则AD的长是 10 cm． =40，【考点】L5：平行四边形的性质；KX：三角形中位线定理．
【分析】根据平行四边形的性质，可得出点O平分BD，则OE是三角形ABD的中位线，则AD=2OE，继而求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BO=DO，8 ∵点E是AB的中点，∴OE为△ABD的中位线，∴AD=2OE，∵OE=5cm，∴AD=10cm． 故答案为：10．
8.（2017山东临沂）在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=4，BD=10，sin∠BDC=，则▱ABCD的面积是 24 ．
【分析】作OE⊥CD于E，由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD=BD=5，CD=AB=4，由sin∠BDC=，证出AC⊥CD，OC=3，AC=2OC=6，得出▱ABCD的面积=CD•AC=24． 【解答】解：作OE⊥CD于E，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD=BD=5，CD=AB=4，∵sin∠BDC=∴OE=3，∴DE=∵CD=4，∴点E与点C重合，∴AC⊥CD，OC=3，∴AC=2OC=6，∴▱ABCD的面积=CD•AC=4×6=24； 故答案为：24． =4，=，【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角函数、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，得出AC⊥CD是关键
三、解答题
9.（2017•新疆）如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）连接DE，求证：四边形CBED是平行四边形．
【考点】L6：平行四边形的判定；KD：全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）由SSS证明证明△ADC≌△CEB即可；
（2）由全等三角形的性质得出得到∠ACD=∠CBE，证出CD∥BE，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵点C是AB的中点，∴AC=BC；在△ADC与△CEB中，∴△ADC≌△CEB（SSS），（2）证明：连接DE，如图所示： ∵△ADC≌△CEB，∴∠ACD=∠CBE，∴CD∥BE，又∵CD=BE，∴四边形CBED是平行四边形．，【点评】该题主要考查了平行四边形的判定、平行线的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解决问题的关键．
10.(2017湖北咸宁)如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DF，BE=FC．（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
【考点】L6：平行四边形的判定；KD：全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）由SSS证明△ABC≌△DFE即可；
（2）连接AF、BD，由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE，证出AB∥DF，即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵BE=FC，∴BC=EF，在△ABC和△DFE中，∴△ABC≌△DFE（SSS）；
（2）解：连接AF、BD，如图所示： 由（1）知△ABC≌△DFE，∴∠ABC=∠DFE，∴AB∥DF，∵AB=DF，∴四边形ABDF是平行四边形．，11.（2017山东泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；
（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）根据平行四边形的想知道的AD=AC，AD⊥AC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到CF=AD，等量代换得到AC=CF，于是得到CP=AB=AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；
（3）过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，证得△AME≌△CNE，△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：在▱ABCD中，∵AD=AC，AD⊥AC，∴AC=BC，AC⊥BC，连接CE，∵E是AB的中点，∴AE=EC，CE⊥AB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠ECF=∠EAD=135°，∵ED⊥EF，∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED，在△CEF和△AED中，∴△CEF≌△AED，∴ED=EF；