正多边形和圆反思

正多边形和圆反思（精选8篇）

篇1：正多边形和圆反思

正多边形和圆教学反思

孙叶

这一节课，我花了十分钟的时间已经让学生通过看书感知了中心、中心角、半径、边心距的定义，这节的教学重点是特殊的正多边形和圆中边心距、边长、半径的关系。

我先给了学生五分钟看书上正六边形的例题，在黑板上画了半径为R的正四边形、正六边形、正三角形及其外接圆，点拨例题后我以表格的形式给出学生的第一个问题是：分别用R表示正四边形、正六边形、正三角形的边长、周长、边心距和面积。以前一直习惯于我讲学生听，这节我试着让学生讲，学生在黑边前的讲解的时候我发现其他学生听的更认真，虽然讲解的学生还存在着声音小、讲解不是太透彻等缺点，但整体还可以，多给学生机会肯定会有提高。整节课我围绕这个问题花了很长的时间，目的是让更多的学生体会并且学会这种构造直角三角形的思想。其中我给学生补充的知识有：有一个角是30度的直角三角形的三边比和等腰直角三角形的三边比的推导及结论，我觉得这样可以为学生的运算节省时间。

这节课的第二个问题是：探究正三角形的外接圆半径R和内切圆的半径r的数量关系，以及它们与正三角形的高之间的数量关系。在这个过程由两个同学去讲解，田礼厚同学通过连接半径转化R构造直角三角形，而郑文豪同学通过构造弦心距转化r构造直角三角形，同样都是转化，但转化的不一样，我觉得学生的思维表现的很活跃。

整节课设计的问题较少，重点在于让学生体会构造思想和转化思想，学生表现很积极，但是没有练习以及反馈的时间，在接下来的练习课上我觉得困扰学生的不是构造直角三角形的思想而是计算的速度及准确性，但快速准确运算又不是一天两天的功夫，我认为对于我的学生而言，每节课还得给适当的运算来锻炼学生。

篇2：正多边形和圆反思

课前先让学生预习学案，对于课本上正五边形的证明结合图形，明确了证明思路，然后让学生明确，这个结论对于任意的正多边形都成立。再一个通过了解正多边形的有关概念，让学生会求一些量，比如给你一个正多边形，已知它的边长、周长、半径、边心距、面积中的任意一项，都可以熟练求出其他各项。

这节课大部分学生掌握还好，但对于基础差的学生来说，只是背过了一些概念，运用解题时有些吃力，针对这种情况，学案设计了一些简单的适合他们的题，让他们从做题中得到一些成就感，培养对数学的兴趣。另外小组分工合作讨论，但是不够积极，只有少部分学生能做到，以后应多加训练。

篇3：“四边形的认识”教学设计与反思

[课前准备]

1.教材分析

四边形的认识是人教版课标教材三年级上册的内容。从教材编排体系看, 学生在一、二年级已经有了一些与图形有关的知识学习, 即第一册认识了“长方体、正方体、圆柱、球、长方形、正方形、三角形、圆”, 第二册体会了“长方形对边相等、正方形四条边相等”, 第三册认识了“角与直角”, 第四册认识了“钝角、锐角”。本节课的学习是对看似熟悉又并不深刻理解的平面图形中四边形概念的归类整理。同时, 教材其他地方没有单独安排长方形、正方形特征的教学, 应当在本课中安排教学。从本单元的教学内容看, 本课应该能为后面平行四边形的认识及周长的计算起到一定的铺垫作用。

2.学情分析

因为跨年度上课, 所以三上的内容在二年级下学期的班级进行试教。课前对杭州市长青小学二年级的一个班 (32位学生) 进行了学前调查与测试, 100%的学生都听说过四边形, 有31人知道长方形和正方形都是四边形, 其中有13人还知道除长方形、正方形以外的其他图形 (4人画出了梯形, 12人画出了菱形) ;在回答“怎样的图形是四边形”时, 有23人只知道有4条边, 4人写了4个角, 只有1人知道有4条边和4个角。

调查结果分析:

(1) 96.9%的学生对四边形的认知起点只停留在长方形和正方形的基础。

(2) 71.9%的学生认为四边形只有4条边, 12.5%的学生认为只有4个角。96.9%的学生不能综合两个角度来描述四边形的特征。

(3) 对四边形的一般性和特殊性与概念之间的类属关系比较模糊, 如何实现从特殊到一般的比较、归纳, 得出四边形概念的本质属性 (四条边和四个角) , 然后又从本质属性进行深入研究, 通过演绎得出特殊四边形的4个角和4条边的特殊性, 成为本节课知识教学上的难点。

(4) 能从两个维度 (边和角) 来把握四边形的特征, 从而丰富学生对平面图形的认知方式, 培养学生的空间观念, 这是作为几何图形课所要追求的重要目标。

3.教学目标

基于以上综合分析, 确定如下教学目标:

(1) 经历概念形成的学习过程, 能区分、辨认四边形, 掌握它们的特征;进一步认识长方形和正方形, 知道它们的特征;

(2) 通过选一选、分一分、辨一辨、找一找等活动, 培养观察、比较和概括、抽象的能力;

(3) 通过多种活动, 使学生逐步形成空间观念, 并感受数学与生活的联系。

教学重点:掌握四边形的特征。

教学难点:通过分类、比较等活动加深对四边形概念的类属关系的理解。

[教学设计]

一、揭示课题, 了解起点

1.今天我们一起来认识四边形。 (板书:“四边形的认识”)

2.在你的头脑中四边形是怎样的图形?

预设:有4条边, 有4个角, 长方形、正方形是四边形……

看来小朋友对四边形已经有了一些认识, 但是不是就像同学们所说的那样, 到底怎样的图形是四边形?我们认识的长方形、正方形与四边形有怎样的关系呢?就让我们带着这些问题一起来学习。

[设计意图:通过谈话唤醒学生头脑中已有的知识经验, 并在此基础上通过问题引领激发学生对本课内容学习的兴趣和欲望。]

二、初步分类, 归纳四边形的特征

1.学生独立尝试辨认四边形。

在你认为是四边形的图形下面打上“√”。

2.反馈交流。

(1) 找出了几个四边形?其他的为什么不是?

(2) 少选了哪几个?现在你认为这几个是四边形了吗?为什么?看上去它们的形状都不相同, 为什么都可以叫四边形呢?

(3) 现在再让你去辨别哪些图形是四边形, 你会了吗?怎么辨认?

3.归纳提升。

(1) 这8个图形都有四条直的边和四个角, 所以它们都是四边形。

(2) 这些四边形中哪些你已经认识了?

(根据学生的回答贴出纸片:长方形、正方形、梯形、菱形、平行四边形、四边形)

其实在这么多的四边形中, 像这些“长方形、正方形、梯形、菱形、平行四边形”都有自己另外的名称, 都是一些特殊的四边形, 而像6号这样的四边形称为一般的四边形。

(3) 那这7个四边形特殊在哪儿呢?

反馈:对边相等, 四条边都相等, 对角相等, 有直角、钝角、锐角等等。

尽管这些都是四边形, 都有四条直的边和四个角, 但是它们的边和角都有不同的特点, 因此它们的形状也就千姿百态。

[设计意图:在初步分类过程中, 通过对不是四边形的图形的分析, 得出四边形的本质特征:4条直的边和4个角, 完善了学生对四边形的认识。又通过对不同形状的四边形的一般性和特殊性的研究, 让学生经历了归纳、演绎的推理过程, 并且在此过程中, 通过观察、测量等活动, 对图形进行刻画和描述, 体现了数形结合的思想, 帮助学生更好地认识和把握平面图形。同时让学生深刻地认识到形变而本质不变, 进一步加深对四边形概念的理解。]

三、再次分类, 归纳特殊四边形的特征

1.这么多各种各样的四边形, 你能把它们分分类吗?你打算怎么分?

2.四人小组合作学习。 (学具袋:8个四边形)

3.反馈。

按角分:按边分:

四个角都是直角对边相等

不一定不一定

也可能出现这样的分法:对边相等、四边相等、四边都不相等。

(对学生不同的分类进行肯定和鼓励, 重点突出两种分法:一是按对边相等与否来分, 二是按四个角都是直角与否来分)

4.通过分类我们进一步了解了这些四边形的特点:

长方形是对边相等、四个角都是直角的四边形。

正方形是四条边都相等、四个角都是直角的四边形。

菱形是四条边相等的四边形。

[设计意图:通过再次分类, 让学生深入观察四边形边和角的特点, 进一步加深对四边形的认识, 体会到特殊四边形就在于角和边的特殊性, 也凸显了综合两个维度来描述四边形特征的重要性和必要性。]

四、巩固练习

1.判断题。

(1) 长方形、正方形、梯形、平行四边形、菱形都是四边形。 ()

(2) 正方形的对边相等, 四个角都是直角。 ()

(3) 有直角的四边形不是长方形就是正方形。 ()

(4) 四条边相等的四边形就是正方形。 ()

(5) 四边形的四条边不一定相等, 四个角也不一定相等。 ()

2.找生活中的四边形。

请你想一想我们身边哪些物体的表面是四边形的?跟几号四边形比较像?为什么?

[设计意图:一是让学生在生活中找一找四边形的生活原型, 体会数学与生活的联系, 另外通过问题引导学生对生活原型与抽象的图形之间建立联系, 让学生在具象与图形之间回返, 有助于学生空间观念的形成。]

3.拓展。

(1) 刚才我们按边的长短来给四边形分类, 以后还可以根据边的位置关系来分类。

(2) 我们刚才把这些四边形按角分, 发现四边形中有1个直角、2个直角、4个直角, 那么四边形里会不会出现3个直角呢?会不会四个角都是锐角呢?或者都是钝角呢?

[设计意图:让学生明白尽管今天分类的标准不同结果也不同, 但都是基于现有的知识基础上的分类, 以后随着知识的增多, 对四边形的分类也有所不同, 不给学生一种思维的定势。还有引导学生通过分类引发思考和探究:为什么不会有3个直角?会不会出现都是锐角或都是钝角?借助问题进行想象和思考, 可以进一步培养学生的空间观念, 同时渗透四边形的内角和是一个固定不变的值。]

五、课堂总结

今天我们学习了四边形, 你对四边形有什么新的认识?还有什么问题吗?

[课后反思]

学生学习数学概念的心理建构要经历四个阶段:操作——过程——对象——概型。这四个阶段反映了学生学习数学概念真实的思维活动:通过操作活动亲身体验、感受概念的直观背景和概念间的关系;过程是对活动进行思考, 经历思维内化、压缩的过程, 学生在头脑中对活动进行描述、比较;对象——概型 (经过学习建立起与其他概念、规则、图形等的联系, 在头脑中形成综合的心理图式) 。作为一节空间与图形领域的概念课, 既要遵循学生学习概念的一般规律, 也要注重在概念教学过程中思维以及空间观念的培养。从课前的调查分析到几次课堂实践的不同感受到课后的反思, 从课时目标定位的基点、课堂提问的有效性、教师的追问艺术到如何有效应对学生的回答等等, 针对如何把握空间与图形的概念课, 笔者有以下几点体会:

1.基于“共性”凸显“个性”, 注重概念外延的拓展

本节课的意义在于让学生在学习各种不同的四边形之前先给学生们建立一种知识体系和方法上的提示, 即通过这节课的认识, 学生不但要懂得判断哪些是四边形, 还要知道四边形一共有哪些, 研究四边形的方法可以从哪些方面入手 (所有的四边形都可以从边和角两个不同的角度来把握特征) 。

因此, 这节课教给学生的应该是网状的知识, 而不是零散和孤立的。所有的个性 (特殊性) 都要基于一个“共性” (四条边和四个角) , 只是四条边和四个角的特殊性决定了四边形形状的特殊性。本节课应该以认识四边形的一般性为主, 而不是一味强调不同四边形的特殊性。在教学中应以“联”显“异”, 基于“共性”的背景下研究“个性”, 进一步拓宽“四边形”这一概念的外延。

2.基于“起点”正视“问题”, 注重经验的引导和提升

在第一次分类之后, 学生凭借已有的生活经验和知识基础进行辨别, 出现了一些问题, 如多数学生不能综合两个维度去判别四边形, 教师课前能够充分预设, 教学中正视学生的错误和问题, 教师在让学生进行辨析与讨论的基础上进行了有效的引导和提炼, 通过一系列的提问:“你少选了哪几个?现在你认为这几个是四边形了吗, 为什么?为什么它们的形状都不同却都可以叫四边形呢?现在再让你去辨别哪些图形是四边形, 你会了吗?怎么辨认?”最终提炼出辨别四边形的依据 (即有四条边和四个角的图形) , 充分尊重学生已有经验并加以引导和提升, 体现了教学的有效性。

3.基于“观察”促进“思考”, 注重概念的理解和把握

当分出四边形之后, 再让学生从一般的四边形入手, 观察到四边形的形状跟边和角有关, 从而引导学生从边和角来观察和描述一些特殊的四边形。学生通过观察与操作, 发现了特殊四边形的特性, 如对边相等、对角相等、有两个钝角和两个锐角、有四个直角、四条边都相等等等。基于学生对图形的观察进一步启发学生思考:对边相等的四边形有哪几个? (平行四边形、长方形、正方形、菱形等) 四条边相等的四边形有几个? (正方形、菱形) 基于观察和思考, 有利于学生对各种四边形类属关系的理解和把握, 形象而直观地理解概念之间一般与特殊的关系。

4.基于“数量”刻画“图形”, 注重空间观念的培养

篇4：正多边形和圆反思

“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”。思维往往是从人的动作开始的，切断了活动与思维的联系，思维就不能得到发展。而动手实践则最易于激发学生的思维和想象。在本节课中，董老师十分关注学生的直接经验，让学生在一系列的亲身经验中认识、体验、理解数学知识：

1.认一认：课始，董老师从积木说起：今天老师给大家带了一份礼物，你们想知道是什么吗？（出示积木）这些积木的形状都不一样，你们认识吗？让学生从生活的经验中说出长方体、正方体、圆柱体等，为学习长方形、正方形和圆打下基础，同时蕴育面离不开题的数学思想。

2.摸一摸：在学生指认出长方体、正方体和圆柱体积木后，董老师组织学生摸积木的一个面：在我们的学具盆里老师喂你们都准备了长方体，正方体和圆柱这三种积木。请同学们拿出一个圆柱，像老师这样（示范摸圆柱的底面）摸一摸（生活动），现在大家摸的这个面就是圆柱的底面。然后董老师请同学们分别拿出这三种积木中的一种摸一摸，看一看，并说一说长方体、正方体的每一个面和圆柱的底面分别是什么样子的。我想“摸一摸”这一活动既为学生创造力操作的空间，让学生初步感悟长方形、正方形和圆形，也为下一活动“说一说”准备了素材。

3.说一说：在学生充分摸一摸的基础上，董老师放手让学生说出自己的感觉，指名多名学生说出自己对长方形、正方形和圆的初步感觉，促使学生从动作操作向言语描述过渡，提升小朋友的形象感知。

4.画一画：在学生的语言描述中学生已经涌动起进一步操作的想法，董老师适时的站出来：小朋友们想把它们画出来吗？你有什么好办法把它画在纸上呢？几个学生立即举手发言：印在上面画；看着花！学生想动手的愿望更加强烈，董老师立即组织学生选一个自己喜欢的积木在纸上画出一个图形，并适时指导少数还不会的同学：不会的没关系，可以看课本16页，仿照书上的样子自己画一个。

5.贴一贴：学生积极画图后，董老师有选择且有序地展示学生的作品，将学生的作品按照形状分成3排粘贴在黑板上（其中包括同一图形不同方位），为学生发现长方形、正方形和圆各自的特征做了自然的铺垫。

6.围一围：在学生自主说出长方形、正方形和圆的一些特征并进行图形的辨认后，董老师有组织学生“围一围”活动：“小白兔家门前有一块空地，它想围出一块地种萝卜。小朋友，你能不能用上刚才学的本领，帮小白兔围一围呢？谁来帮小白兔围一块长方形的菜地？你们会帮它围一块正方形的菜地吗？”

在学生围出长方形和正方形后，董老师又抛出话题：“能不能围出一个圆形的菜地呢？”班上学生自然分成两派，董老师指名赞成派中选派2人到黑板前进行了演示，学生都没有成功，对结果的探究赞成派中学生更加迫切，但董老师却不再让学生争辩：“到底能不能围成呢，欢迎同学们下课后继续辩论，这个问题我们下节课再来研究。”自然地将学生探究的越往延伸到课后，也为下节课的学习打下了伏笔。

7.涂一涂：“用钉子板围圆形”许多学生探究的欲望正高，董老师又适时的组织学生“涂一涂”：“现在许多图形都赶来开会了，我们来帮他们分一分。这里面有哪些图形呢？（指导学生看课本“想想做做”第3题）你会用水彩笔给这些图形分别涂上颜色吗？想一想怎么涂？涂好后统计好个数，填在表格里，比一比，看谁先涂完”。在轻松地音乐声中，全体学生个个积极动手，从原来的争辩情绪立即转向“涂一涂“的活动中去。

苏霍姆林斯基说过：“手和脑之间有着千丝万缕的联系，手使脑得到发展，使它更明智；脑使手得到发展，使它变成思维的工具和镜子”。董老师设计的这一系列数学活动就是把学生动手、动口和动脑结合起来，以具体的操作活动促思维，调动学生各种感官参与学习活动，取得了理想的教学效果。

二、给学生大胆表现的机会

苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、成功者，而在儿童的精神世界中，这种需要特别强烈”。学生是课堂的主人，一切的活动是为了学生的发展，为了学生的自主发展。为了给学生自主发展的机会，本节课董老师放手让学生大胆发言、积极动手、勇敢展示，提升了学生的学习自信心，促进了思维能力的发展：

1.大胆发言：在学生充分操作的基础上，学生的发言精彩纷呈，虽然有些幼稚，但并不缺少学生积极的数学思维火花：

课堂片段1（在学生充分摸一摸的基础上，董老师让学生说出自己的感觉）：

生1：圆柱的底面是圆圆的，滑滑的……

生2：正方体的底面是正正的，平平的……

生3：（接着上面同学的话）是方方的……

生4：长方体的底面是大大的，平平的……（学生将自己画的长方形比正方形大理解为大大的呢）

师：　　还有跟它一样的吗？

生4：在它的后面和它一样，也是大大的，平平的……

生1：圆柱的底面是圆圆的，滑滑的……

生1：圆柱的底面是圆圆的，滑滑的……

课堂片段2（如何区分长方形与正方形）

师：我感觉正方形和长方形长得一样，你们同意吗？（老师过意挑起话题）

生（齐）：不同意！

师：你们是怎么区分的呢？（充分利用儿童想表现自己的欲望）

生1：长方形是长的，正方形是正的……

生2：长方形它有点长，正方形它有点方……

师：对，正方形是方的。

生3：长方形比正方形多半个

……

在学生的自由发言中，学生对长方形、正方形、圆的初　步认识就基本达到了目标。

2.积极动手：整节课，小朋友们一直处于各种动手操作的活动中，通过“摸一摸”、“画一画”、“围一围”、“涂一涂”等学生喜爱的操作活动，加深了学生对长方形、正方形和圆的直观感知，也为简单描述特征和后续的学习打下了坚实的基础。

3.勇敢展示：在学生围出长方形和正方形并进行多次展示后，对能否围成圆董老师2次让赞成围成圆形的同学演示，为学生勇敢表现自己提供了极好的机会，并将此项活动自然地引入课后，激发学生更积极地去探究数学的王国。

篇5：正多边形和圆教学反思

儋州市西联中学 邓高春

正多边形和圆，下面对这节课教学进行如下反思：

一、成功之处：

1、本节课的教学从生活实际出发（观看美丽图案），引导学生得出定义。这一做法渗透了数学来源于实践，反过来又作用于实践的辨证唯物主义思想。对定义的教学，不是简单地由教师告诉学生，而是由学生自己观察、猜想、探究得出结论，让学生体验知识的产生过程。

2、学生走上讲台，拉近了师生之间的距离。教师不是高高在上，而是与学生处在同等位置上，培养了学生能力。

3、备课仔细，对课堂上可能出现的问题作了充分地考虑。如在探究正多边形的定义的时候，对学生可能得出的结论作了充分的准备。反映了教师的基本功扎实。

4、整堂课都体现了对学生动手能力的培养。在探究正多边形和圆的关系时，让学生自己动手操作，画圆，实验并进行猜想，这正是新大纲教改思路的体现。

5、注重学生间的合作交流。表现形式有同位或小组讨论。实验表明学生之间的知识交流比师生间交流更利于学生的知识掌握。同时，这种形式也培养了学生将来走向社会后能够充分地表达自己的见解，听取别人的意见。

6、注重学法指导。在进行正多边形和圆关系的第二个结论时，指导学生自学，教给学生学习的方法，“授学生以渔”，为学生将来的终身教育打下基础。

7、小结的形式。

8、本节课一个突破性的地方就是在课堂上让学生质疑，让学生对本节课不明白的地方或是与老师意见不一致的地方敢于提出自己的见解。尽管在这方面做得不是很到位，但是已跨出大胆的一步。

二、不足之处：

1、在讨论时应该放得更开一些，可以采用多种形式，如：下位找自己熟悉的同学讨论，或是不局限有于一个小组，而进行多组合作，或是与老师（甚至是听课老师）讨论。

篇6：正多边形和圆反思

第二课时

教学目标：

1、使学生了解用量角器等分圆心角来等分圆，从而可以作出圆内接或圆外切正多边形．

2、使学生会用尺规作圆内接正方形和正六边形，在这个基础上能作圆内接正八边形、正三角形、正十二边形．

3、通过画图培养学生的画图能力；

4、通过画正方形到会画正八边形，通过画六边形到画三角形、正十二边形，培养学生观察、抽象、迁移能力．

5、通过画图中需减小积累误差的思考与操作，培养学生解决实际问题的能力． 教学重点：

(1)用量角器等分圆心角来等分圆，然后作出圆内接或圆外切正多边形；(2)用尺规作圆内接正方形和正六边形． 教学难点：

准确作图． 教学过程：

一、新课引入：

前几课我们学习了正多边形的定义、概念、性质、判定，尤其学习了正多边形与圆关系的两个定理，而后我们又学习了正多边形的有关计算，本堂课我们一起学习画正多边形．

二、新课讲解：

由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一，前面已学习了正多边形和圆的关系的第一个定理，即把圆分成n(n≥3)等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形，所以想到只要知道外接圆半径R或内切圆半径rn，画出圆来，然后n等分圆周就能画出所需的正n边形．

n等分圆周的方法有两种，一种是量角器法，这一种方法简单易学，它是一种常用的方法．其根据是因为相等的圆心角所对弧相等，所以使用量角器等分圆心角，可以达到把圆任意等分的目的，由于学生已具备使用量角器的能力，所以只要讲明根据，让学生动手操作即可．

另一种方法是用尺规等分圆周法，其实质也是等分圆心角，但尺规不能任意等分圆，只适用于一些特殊情况，其中重点是正方形和正六边形的作法，这是因为正八边形、正三角形、正十二边形都是由此作基础而画出来的．

由于尺规作图在理论上准确，但在实际操作中有误差积累，如何减少误差使图形趋于准确？这是一个锻炼学生解决问题的好时机，应让学生亲手实验、观察对比，从而得出结论．

(三)重点、难点的学习与目标完成过程

复习提问：1．哪位同学记得正多边形与圆关系的第一个定理？(安排中下生回答)2．哪位同学记得在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧有什么性质？(安排中下生回答：相等的圆心角所对的弧相等)现在我们要画半径为R的正n边形，从正多边形与圆关系的第一个定理中，你有什么启发？(安排学生相互讨论后，让中等生回答：只要把半径为R的圆n等分，依次连结n个等分点就得正n边形)那么怎样把半径为R的圆n等分呢？从刚才复习的第二问题中，你又受到什么启发？大家相互间讨论．(安排中等生回答：把360°的圆心角n等分)如果要作半径2cm的正九边形，你打算如何作呢？大家互相讨论看看．(安排中等生回答：先画半径2cm的圆，然后把360°的圆心角9等份，每一份40°)，用什么工具可得到40°角呢？(安排中下生回答：量角器)我们本堂课所讲画正多边形的第一种方法就是用量角器等分圆，大家用量角器画出半径为2的内接正九边形．

学生在画图实践中必然出现两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个40°的圆心角，然后在圆上依次截取40°圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的9等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正九边形的边长误差较大．对此学生必然迷惑不解，在此教师应肯定作法理论上的正确性，然后讲出图形不够准确的原因是由于误差积累的结果，然后引导学生讨论，研究减小误差积累的二个途径：其一，调整圆规两脚间的距离，使之尽可能准确的等于所画正九边形的边长．其二，若有可能，尽可能减少操作次数，减少产生误差的机会．

大家想想如何画一个半径为2cm的正方形呢？(安排中下生回答：先画半径2cm的圆，用量角器作90°的圆心角．)画出∠AOB=90°后，方法1，可依次作90°圆心角；方法2，用圆规依次截取等于AB的弧，大家观察有没有更好的方法？(安排中等生回答：将AO与BO边延长交⊙O于C、D)．正方形一边所对的圆心角是90°角，不用量角器用尺规能不能做出90°的圆心角呢？用尺规如何作半径为2cm的正方形？(安排中上等生回答，先作半径2cm的圆，然后画两条互相垂直的直径)

请同学们用尺规画出半径为2cm的正方形．

大家想想看，借助这个图形，能否作出⊙O的内接正八边形？同学们互相研究研究，(安排中上生回答：能，过圆心O作正方形各边的垂线与圆相交即得⊙O的八等分点)为什么？根据什么定理？(安排中上等生回答：垂径定理)还有什么方法？(安排中上等生作各直角的角平分线．)请同学们用此二法在图上画出正八边形．

照此方法，同学们想想看，你还能画出边数为几的正多边形？(安排中下生回答：16边形等)综上所述及同学们的画图实践可知：只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……

大家再思考一个问题：如何画半径为2cm的正六边形呢？你都有哪些方法？大家讨论．

方法1．画半径2cm的⊙O，然后用量角器画60°的圆心角，依次画下去即六等分圆周．

方法2．画半径2cm的⊙O，然后用量角器画出60°的圆心角，如果有同学想到方法3更好，若无则提示学生：前面在研究正多边形的有关计算时，得到正六边形的半径与边长有一种什么样的数量关系？(安排中下生回答：相等)那么哪位同学可不用量角器，仅用尺规作出半径2cm的圆内接正六边形？(安排一名中等生到黑板画图，其余在下面画图)

在学生画图完毕后展示两种不同的画法：其一，在⊙O上依次截取AB=BC=CD=DE=EF，由于误差积累AB≠FA，其二，首先画出⊙O的直径AD，然后分别以A、D为圆心，2cm长为半径画弧交⊙O于B、F、C、E．画出图形比较准确．

请同学们用第二种方法画半径3cm的圆内接正六边形(安排学生在练习本上画)如果我们沿用由正方形画正八边形的思路同学们想想看，会画正六边形就应会画正多少边形？(安排中下生回答：正十二边形，正二十四边形…)理论上我们可以一直画下去，但大家不难发现，随着边数的增加，正多边形越来越接近于圆，正多边形将越来越难画．

大家再观察，会画正六边形，除上述正多边形外，还可得到正几边形？(安排中等生回答：正三角形)画半径为2cm的正三角形，尺规作图时必得先画出正六边形吗？哪位同学有好方法？(安排举手同学回答：画出⊙O直径AB，以A为圆心，2cm为半径画弧交⊙O于C、D，连结B、D、C即可)请同学们按此法画半径为2cm的正三角形．

请同学们思考一下如何用尺规画半径为2cm的正十二边形？

在学生充分讨论研究的多种方案中送出：先作互相垂直的直径，然后分别以直径的四个端点为圆心2cm长为半径画弧，交⊙O的各点即得⊙O的12等分点．引导学生观察∠DOE=∠DOB-∠EOB ∠DOB=90°，∠EOB=60°∴∠DOE=30°． ∴ DE是⊙O内接正12边形一边．

三、课堂小结：

这堂课你学了哪些知识？(安排中等生回答：1．用量角器等分圆周作正n边形；2．用尺规作正方形及由此扩展作正八边形、用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形)

篇7：正多边形和圆反思

（1）使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理；

（2）通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力；

（3）进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想．

教学重点：

正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一个定理．

教学难点 ：

对定理的理解以及定理的证明方法．

教学活动设计：

（一）观察、分析、归纳：

观察、分析：1．等边三角形的边、角各有什么性质？

2．正方形的边、角各有什么性质？

归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点．

教师组织学生进行，并可以提问学生问题．

（二）正多边形的概念：

（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．

（2）概念理解：

①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….）

②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？

矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等．

（三）分析、发现：

问题：正多边形与圆有什么关系呢？

发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．

分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？

（四）多边形和圆的关系的定理

定理：把圆分成n(n≥3)等份：

(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；

(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．

我们以n=5的情况进行证明．

已知：⊙O中，= = = =，TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的⊙O的切线．

求证：（1）五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形；

（2）五边形PQRST是⊙O的外切正五边形．

证明：（略）

引导学生分析、归纳证明思路：

弧相等

说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n(n≥3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形．

(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．

(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形．

（五）初步应用

P157练习

1、(口答)矩形是正多边形吗?菱形是正多边形吗?为什么? 2．求证：正五边形的对角线相等．

3．如图，已知点A、B、C、D、E是⊙O的5等分点，画出⊙O的内接和外切正五边形．

（六）小结：

知识：（1）正多边形的概念．（2）n等分圆周(n≥3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．

能力和方法：正多边形的证明方法和思路，正多边形判断能力

（七）作业 教材P172习题A组2、3． 教学设计示例2 教学目标 ：

（1）理解正多边形与圆的关系定理；

（2）理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质；

（3）理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；

（4）通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力；

教学重点：

理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理．

教学难点 ：

对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解．

教学活动设计：

（一）提出问题：

问题：上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分(n≥3)圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．反过来，是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢？

（二）实践与探究：

组织学生自己完成以下活动．

实践：

1、作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？

2、作已知三角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？

探究1：当三角形为正三角形时，它的外接圆和内切圆有什么关系？

探究2：（1）正方形有外接圆吗？若有外接圆的圆心在哪？(正方形对角线的交点．)（2）根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？

（3）正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？

（三）拓展、推理、归纳：

（1）拓展、推理：

过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作⊙O连结OA、OB、OC、OD．

同理，点E在⊙O上．

所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O．

因为正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以点O为圆心，以弦心距(OH)为半径的圆与正五边形的各边都相切．可见正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆．

（2）归纳：

正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上

它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径．

其他两个顶点到圆心的距离都等于半径．

正五边形的各顶点共圆．

正五边形有外接圆．

圆心到各边的距离相等．

正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到任意一边的距离．

照此法证明，正六边形、正七边形、…正n边形都有一个外接圆和内切圆．

定理： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．

正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．正n边形的每个中心角都等于 ．

（3）巩固练习：

1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．

2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．

3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．

4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．

（四）正多边形的性质：

1、各边都相等．

2、各角都相等．

观察正三角形、正方形、正五边形、正六边形是不是轴对称图形？如果是，它们又各应有几条对称轴？

3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心．

4、边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．

5、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．

以上性质，教师引导学生自主探究和归纳，可以以小组的形式研究，这样既培养学生的探究问题的能力、培养学生的研究意识，也培养学生的协作学习精神．

（五）总结

知识：（1）正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；

（2）正多边形与圆的关系定理、正多边形的性质．

能力：探索、推理、归纳等能力．

方法：证明点共圆的方法．

（六）作业 P159中练习1、2、3．

教学设计示例3 教学目标 ：

（1）巩固正多边形的有关概念、性质和定理；

（2）通过证明和画图提高学生综合运用分析问题和解决问题的能力；

（3）通过例题的研究，培养学生的探索精神和不断更新的创新意识及选优意识．

教学重点：

综合运用正多边形的有关概念和正多边形与圆关系的有关定理来解决问题，要理解通过对具体图形的证明所给出的一般的证明方法，还要注意与前面所学知识的联想和化归．

教学难点 ：综合运用知识证题．

教学活动设计：

（一）知识回顾

1．什么叫做正多边形？

2．什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？

3．正多边形有哪些性质？(边、角、对称性、相似性、有两圆且同心)4．正n边形的每个中心角都等于 ．

5．正多边形的有关的定理．

（二）例题研究：

例

1、求证：各角相等的圆外切五边形是正五边形．

已知：如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，边AB、BC、CD、DE、EA与⊙O分别相切于A’、B’、C’、D’、E’．

求证：五边形ABCDE是正五边形．

分析：要证五边形ABCDE是正五边形，已知已具备了五个角相等，显然证五条边相等即可．

教师引导学生分析，学生动手证明．

证法1：连结OA、OB、OC，∵五边形ABCDE外切于⊙O．

∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD．

∴∠BAO=∠OCB．

又∵OB=OB

∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理 BC=CD=DE=EA．

∴五边形ABCDE是正五边形．

证法2：作⊙O的半径OA’、OB’、OC’，则

OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD．

∠B=∠C ∠1=∠2 = ．

同理 = = =，即切点A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分点．所以五边形ABCDE是正五边形．

反思：判定正多边形除了用定义外，还常常用正多边形与圆的关系定理1来判定，证明关键是证出各切点为圆的等分点．由同样的方法还可以证明“各角相等的圆外切n边形是正边形”．

此外，用正多边形与圆的关系定理1中“把圆n等分，依次连结各分点，所得的多边形是圆内接正多边形”还可以证明“各边相等的圆内接n边形是正n边形”，证明关键是证出各接点是圆的等分点。

拓展1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．

求证：五边形ABCDE是正五边形．（证明略）

分小组进行证明竞赛，并归纳学生的证明方法．

拓展2：已知：如图，同心圆⊙O分别为五边形ABCDE内切圆和外接圆，切点分别为F、G、H、M、N．

求证：五边形ABCDE是正五边形．（证明略）

学生独立完成证明过程，对B、C层学生教师给予及时指导，最后可以应用实物投影展示学生的证明成果，特别是对证明方法好，步骤推理严密的学生给予表扬．

例

2、已知：正六边形ABCDEF．

求作：正六边形ABCDEF的外接圆和内切圆．

作法：1过A、B、C三点作⊙O．⊙O就是所求作的正六边形的外接圆．

2、以O为圆心，以O到AB的距离(OH)为半径作圆，所作的圆就是正六边形的内切圆．

用同样的方法，我们可以作正n边形的外接圆与内切圆．

练习：P161

1、求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形．

2、(口答)下列命题是真命题吗?如果不是，举出一个反例．

(1)各边相等的圆外切多边形是正多边形；

(2)各角相等的圆内接多边形是正多边形．

3、已知：正方形ABCD．求作：正方形ABCD的外接圆与内切圆．

（三）小结

知识：复习了正多边形的定义、概念、性质和判定方法．

能力与方法：重点复习了正多边形的判定．正多边形的外接圆与内切圆的画法．

（四）作业

教材P172习题4、5；另A层学生：P174B组3、4．

探究活动

折叠问题：（1）想一想：怎样把一个正三角形纸片折叠一个最大的正六边形．

（提示：①对折；②再折使A、B、C分别与O点重合即可）

（2）想一想：能否把一个边长为8正方形纸片折叠一个边长为4的正六边形．

（提示：可以．主要应用把一个直角三等分的原理．参考图形如下：

①对折成小正方形ABCD；

②对折小正方形ABCD的中线；

③对折使点B在小正方形ABCD的中线上（即B’）；

④则B、B’为正六边形的两个顶点，这样可得满足条件的正六边形．）

探究问题：

（安徽省2002）某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：

甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；

乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形．如图一，△ABC是正三角形, 形，= =，可以证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形；

丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形．我想，边数是7时，它可能也 是正多边形．

(1)请你说明乙同学构造的六边形各内角相等．

(2)请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(如图二)是正七边形(不必写已知、求证)．

(3)根据以上探索过程，提出你的猜想(不必证明)．

（1）[说明]（2）[证明]（3）[猜想]

解：（1）由图知∠AFC对 ．因为 =，而∠DAF对的 = + = + = ．所以∠AFC=∠DAF．

同理可证，其余各角都等于∠AFC．所以，图1中六边形各内角相．

（2）因为∠A对，∠B对，又因为∠A=∠B，所以 = ．所以 = ．

同理 = = = = = = ．所以 七边形ABCDEFG是正七边形．

篇8：正多边形和圆反思

一、收获经验:让教师的智慧“最大化的艺术”

●“收获经验”的含义与意义

“收获经验”即说优点、看优势, 主要是引导教师用欣赏和学习的眼光看待他人或自己的教育经验和实践智慧, 并能有意识、最大化地运用这种智慧, 指导自己的教育实践活动。它能够促进教师之间建设积极的互动关系, 让教师产生自我效能感, 在同伴的赏识中感受自己的价值和工作的意义。

例:在观摩了主题活动“班里来了蛋宝宝”之后, ××教师在笔记中写道:在该主题活动中, 蔡老师先通过各种途径引导幼儿猜测老师带来的是什么蛋宝宝, 并记录幼儿的猜测结果, 然后寻找关于胎生和卵生的资料, 等等。这一系列过程都可以看到蔡老师是根据幼儿的兴趣而逐步推动主题活动的进行, 这既离不开幼儿的探索精神, 也离不开教师善于捕捉教育契机的敏锐性。

●“收获经验”表述主题举例

1.“该幼儿园阅读角的创设, 让您收获最大的是哪一些?请举例说明。”

2.“本次讲座, 让您收获了哪些经验?”

3.“本次教研活动中, 使您收获最大的是什么?请用一个例子加以说明。”

二、反思问题:在实践中避免“最小化的缺陷”

●“反思问题”的含义与意义

“反思问题”即说不足、找缺陷, 主要是指教师以自己理想的教育或他人优秀的经验为参照, 找出教育情境中存在的不足或缺陷, 思考“为什么会出现这样或那样问题”的原因。它有助于引导教师以批判性思维的方式寻找教育应然和实然的差距, 学会质疑和提问题, 并对教师的教育教学行为起到“预警”作用, 使教师避免在类似教育情境下出现类似的不当行为。另外, 对教研组织者来说, 通过阅读教师反思的“存在问题”, 可以了解教师对问题的看法、感受教师对问题的敏感度等, 从而对教师进行针对性的指导。

●“反思问题”表述主题举例

1.“你认为在该教学活动中存在的主要问题是什么?请举例说明。”

2.“你认为在本次区域交流中主要存在什么问题, 请以图文并茂的形式举例说明。”

三、良好建议:在贡献思想中感受问题的解决过程

●“良好建议”的含义与意义

“良好建议”即针对教育情境中的“存在问题”, 教师在分析原因的基础上, 相关理论或自己的教育经验, 提出具有操作性的对策。它有助于引导教师树立一定的主体意识, 展现教师的创意。它有助于激发教师进行深层次的思考以及尝试深入解决问题的策略, 感受问题解决的过程。

●“良好建议”表述主题举例

1.“针对存在问题, 您有什么良好建议吗?”

2.“根据您观察到的问题和不足, 您的良好建议是……”

四、遗留疑惑:让“困境”展现教师的思考点

●“遗留疑惑”的含义与意义

“遗留疑惑”即提困惑、提“疑问”, 这是对教师教育情境中的“困境”的展现。教师提出的“遗留疑惑”有两种:一种是在“反思问题”环节中, 教师自己不能解决的一部分“问题”;另一种是在教师提出“良好建议”之后, 由自己的建议新生发的问题。它有助于引导教师承认自己在教育中的困境, 明晰、梳理自己的困惑, 形成问题意识。

●“遗留疑惑”表述主题举例

1.“你最疑惑的是什么?”

2.“你还有什么疑问吗?”

五、观点感受:从主观体验到理性梳理的提升

●“观点感受”的含义与意义

“观点感受”是指教师面对教育情境产生的一种情绪情感上的主观体验以及对教育情境的一种理性的梳理和总结, 从而提升自己的思考水平和反思质量。它有助于引导教师对教学活动进行概括和提升, 进行个性化的自我建构;也有助于展现教师的需要和能力, 考察教师的思考深度。

●“观点感受”表述主题举例

1.针对本次讨论的主题, 你有什么样的观点?

2.本次观摩活动, 你有什么样的感受?