中点四边形教学设计

中点四边形教学设计（精选6篇）

篇1：中点四边形教学设计

一、学习目标：

1、了解中点四边形的概念

2、灵活应用三角形的中位线性质研究中点四边形与原四边形的关系。

二、学习重点、难点

1、重点：研究中点四边形与原四边形的关系;

2、难点：找出中点四边形与原四边形的形状的变化规律。

三、学习过程：

(一)、复习：三角形的中位线性质：利用右图用几何语言表示

(二)、练习：

1.证明：顺次连结四边形的各边中点所组成的四边形(简称中点四边形)是平行四边形。

已知：求证：

2、与周围的同学交流一下证明方法。从以上的证明过程中可知：中点四边形的边与原四边形的对角线有密切关系。

3、通过画图猜想：顺次连结矩形的各边中点所组成的四边形是什么形状?请证明你的结论。

4、回味刚才的证明过程，想一想：要使中点四边形是菱形，原四边形一定要是矩形吗?

由此可得：只要原四边形的两条对角线，就能使中点四边形是菱形。

5、通过画图猜想：顺次连结菱形的各边中点所组成的四边形是什么形状?请证明你的结论。

6、回味刚才的证明过程，想一想：要使中点四边形是矩形，原四边形一定要是菱形吗?

由此可得：只要原四边形的两条对角线，就能使中点四边形是矩形。

7、讨论一下：要使中点四边形是正方形，原四边形要符合的条件是

8、小结：

(1)中点四边形最起码是一个;

(2)原四边形的对角线与中点四边形的边有密切关系：

原四边形的两条对角线相等中点四边形的邻边也中点四边形是形

原四边形的两条对角线垂直中点四边形的邻边也中点四边形是形

原四边形的两条对角线垂直且相等中点四边形的邻边也

中点四边形是形作业：

1、顺次连结等腰梯形的各边中点所组成的四边形是特殊的平行四边形吗?证明你的结论。

2、中点四边形的面积与原四边形的面积之比是。

篇2：中点四边形教学设计

————探究中点四边形

孟州市会昌中心学校

李培红

一、学习内容的分析

本节课中点四边形是在人教版八年级数学课本第68页习题第九题提出的，它是对三角形的中位线的直接应用，同时对四边形和平行四边形性质和判定应用的一个延伸。四边形是平面几何的一个重要内容，三角形中位线定理证明相关发现与平行四边形以及特殊的平行四边形的性质及判定紧密相关。

为了使学生顺利完成认知构建，本节课安排在本章内容结束之后进行，一方面可以让学生对学习过的三角形的中位线和特殊平行四边形的性质与判定进行一次系统的复习，另一方面也可以让学生将中点四边形与原四边形对角线的本质关系挖掘出来，从而完成本节课的教学。本节课的教学重点是各种四边形的中点四边形形状及其证明。难点有两个，一个是在学习中点四边形的概念后，运用已学的平行四边形和三角形中位线的相关知识多角度进行合情推理；另一个是逆向探究中点四边形的特殊性与原四边形（对角线）的本质关系。

二、教学目标设计 1.知识与技能：

(1)了解中点四边形的概念；

(2)会利用三角形中位线定理证明中点四边形是平行四边形；(3)理解并会证明特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）的中点四边形的特征；

(4)理解中点四边形的特殊性与原四边形的对角线有关，会画出满足特殊条件的中点四边形的原四边形。

2.过程与方法：

(1)通过复习学过的内容，单刀直入，提出问题，让学生带着问题学习；(2)经历观察、猜想、证明中点四边形是平行四边形；

(3)经历由一般到特殊的思维进程，发现并证明特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）的中点四边形的特征；

(4)根据逆向探究提出中点四边形的特殊性与原四边形的哪些元素（边、角、对角线）有关的问题，探索发现中点四边形的特殊性与原四边形的对角线有关；并体验画出原四边形真正有关的只有对角线；

3.情感态度与价值观：

(1)通过数学活动培养学生观察、归纳、猜想、证明的探索精神与实践能力；

(2)通过举一反三活跃学生思维，培养学生学会分析解决问题的能力；(3)通过组织课堂小组讨论活动，培养学生互助合作的意识。

三、教学问题诊断分析

本节课容易出现的问题有以下几个：第一，在第一部分，学生要自己讨论分析不同四边形的中点四边形的形状时候，会有对特殊平行四边形性质和判定不熟悉的情况，导致推断不出图形形状。针对这个问题，我在一开始设计了判断任意四边形的中点四边形是平行四边形的证明过程，这个过程让老师和学生一起做，但要求用不同的方法证明，这样就开阔了学生的视野，对知识应用起到一定的提示作用。第二，学生在讨论特殊平行四边形的中点四边形形状时候，我要求学生可以口述证明过程，可能会出现证明过程不够完整的情况，教师要及时进行更正和补充。第三，在利用逆向思维探究中点四边形与原来四边形的什么元素有关时候，学生估计有一定的困难，这时候教师要因势利导，引导学生认真观察图形，找出关键点所在，并进一步总结，形成新的认知结构。

四、教学支持条件分析

本节课使用的媒体资源主要是计算机。教师利用多媒体课件展示教学的各个环节，并且通过链接让学生可以比较直观的看到不同四边形的中点四边形的形状变化，然后再结合问题，通过图形的动态变化为学生的观察、猜想创造条件，使之成为学生感性发现到理性认知的工具。

五、教学过程设计

一、复习引入

1、什么是三角形的中位线？

2、三角形的中位线有什么性质？

3、用几何语言怎么表示？

学生仔细观察图形，迅速思维并回答:

1、三角形的中位线。

2、三角形中位线的性质。

3、中点四边形的概念。

【设计意图】：三角形中位线是学生刚学的知识，它是本课时探究学习的理论基础，同时又加深两条线段之间的数量和位置关系，为后边原四边形的对角线关系做铺垫。教师提出问题，并用多媒体展示，引导学生复习学过的知识，引出中点四边形的概念，突出概念形成过程，达到以旧引新的目的。

二、探究中点四边形的性质

探究一：猜想任意四边形的中点四边形是什么形状？ 教师活动：多媒体展示如图，提出问题，任意四边形的中点四边形是什么形状？可以从图形上先进行猜想。

学生活动：猜想：中点四边形是平行四边形。

教师引导学生写出已知，求证。让学生讨论如何证明，提示学生要用到平行四边形的判定。

已知：四边形ＡＢＣＤ中，点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别为ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ各边的中点。

求证：四边形ＥＦＧＨ是平行四边形。证明：

证法

（一）连结2条对角线，只利用三角形中位线定理中的位置关系，证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

证法

（二）连结2条对角线，只利用三角形中位线定理中的数量关系，证明两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

证法

（三）连结一条对角线，充分利用三角形中位线定理中的位置和数量关系，证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

教师引导：比较这三种证明途径，哪一种更简便？利用三角形中位线定理时注意使用的灵活性和充分性。

【设计意图】：通过图形的展示，给学生以直观感，让学生经历观察-猜想-论证的过程，符合对事物的认知规律，让学生掌握科学有效的探索步骤。在分析的基础上更清晰的从图形上找到自己想要的条件，以便于达到要证明的结果，与此同时，教师展示证明过程，可以更加规范几何证明题的写法，培养学生严谨的探究程序感。在分析过程中，教师引导学生用不同的方法来证明，不仅复习了平行四边形的几种判定方法，而且让学生明白几何题目在解题过程中的一题多解，同时认识到连接对角线是解决问题的关键，将四边形的问题转化为三角形的问题来解决，加深中点四边形的边与原对角线之间的位置和数量关系。

三、探索特殊四边形的中点四边形

探究二：当原四边形是下列图形时，中点四边形是什么四边形？

1、平行四边形，2、矩形，3、菱形，4、正方形。以小组为单位讨论，提出猜想并陈述理由。学生充分讨论。

猜想1：平行四边形的中点四边形是平行四边形。猜想2：矩形的中点四边形是菱形。猜想3：菱形的中点四边形是矩形。猜想4：正方形的中点四边形是正方形。学生展示证明思路与过程。得到结论：

1、平行四边形的中点四边形是平行四边形。

2、矩形的中点四边形是菱形。

3、菱形的中点四边形是矩形。

4、正方形的中点四边形是正方形。

【设计意图】：观察当原四边形是特殊的四边形时，它们的中点四边形有没有变化？变化如何？设计由一般到特殊的探究过程，渗透给学生逐步加深探究的途径。在探究过程中，一方面让学生对原图形的性质加以回顾，另一方面也对特殊平行四边形的判定方法加以复习巩固，同时对已知，求证，证明过程更为熟悉。在学生讨论后，教师让学生单独口述证明过程，能够更好的培养学生的思维能力和空间想象能力。通过学生亲自参与、发现和证明，培养学生的参与意识及合作精神，激发学生探索数学的兴趣，体验数学学习的过程与探索成功后的喜悦。

四、探索中点四边形与原四边形的哪些元素有关

探究三：通过上述思考，你知道中点四边形的形状与原四边形的什么有着密切的联系？

教师引导：下面让我们把特殊性转移到中点四边形和原四边形的关系上： 当中点四边形是一些特殊的平行四边形时，观察原四边形的变化，从边、角、对角线的角度考虑，你有什么发现？

【设计意图】：本环节设计了逆向思维的探究过程，将探究活动的难度提升。让学生充分的考虑到四边形的因素：边，角，对角线。从这几种元素分别讨论，其实这个过程学生一看图像就很清楚了，教师只是起到引导作用，但是如果让学生自己考虑的话，难度还是比较大的。

学生在教师的引导下讨论并回答：中点四边形只与对角线有关，取决于原四边形的两条对角线的位置与长短。

然后教师按照位置和长短将对角线分类：

1、对角线既不相等也不垂直的四边形，2、对角线相等的四边形，3、对角线互相垂直的四边形，4、对角线相等且互相垂直的四边形。

让学生观看展示的图形后，得出结论：

1、对角线既不相等也不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形，2、对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，3、对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形，4、对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形。

教师进一步引导：如果知道中点四边形的形状，原四边形对角线应该有什么性质？

在进行表格归纳之后，学生会发现：

1、中点四边形是平行四边形的对原图形没有要求；

2、中点四边形是矩形只需原四边形的对角线互相垂直；

3、中点四边形是菱形只需原四边形的对角线相等；

4、中点四边形是正方形只需原四边形的对角线互相垂直且相等。

【设计意图】通过探究，让学生感受到研究中点四边形就是研究原图形对角线的位置和数量关系，从对角线的没关系到相等，到垂直，到相等且垂直，是从一般到特殊的思想方法，在认识上循序渐进，学生较好理解。在得出一般结论后，再回答几种特殊四边形的中点四边形，就只要考虑对角线的关系了。

五、课堂小结

至此，本节课的重点内容全部结束，教师要引导学生进行课堂小结：

1、你学会了什么？

2、本节课的体会和感受是什么？ 结合学生的见解归纳：

１．利用三角形中位线定理，可以判定中点四边形的形状。２．中点四边形的形状都是平行四边形。

３．中点四边形的形状取决于原四边形的两条对角线的位置与长短

【设计意图】：本环节主要是对整节课做个总结，包括知识点，几何题目的分析方法，以及重要的结论，方便学生以后的应用。同时让学生养成良好的学习习惯，勤学习，勤总结。培养学生的归纳能力，使学生形成完整的知识结构和研究数学问题的一般方法。

六、目标检测设计

（1）中点四边形的形状与原四边形的（）有密切关系；

（2）只要原四边形的两条对角线（），就能使中点四边形是菱形；（3）只要原四边形的两条对角线（），就能使中点四边形是矩形；（4）要使中点四边形是正方形，原四边形要符合的条件是（）。（5）如图,四边形ABCD中,AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD 各边中点,得四边形A1B1C1D1;再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点, 得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn.四边形A1B1C1D1是_ __，四边形A2B2C2D2是，四边形A11B11C11D11是____；

【设计意图】：高效课堂提倡向课堂要质量，所以在学完本节内容之后要让学生进行练习，让学生对本节课的内容加以巩固。

篇3：“中点四边形”教学设计

关键词：中点四边形,对角线,数量与位置关系,转化,一般到特殊

1 教学内容

苏科版数学八年级上册第三章“中心对称图形”小结与思考。

2 教材及学情分析

本课是在学生学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定及三角形中位线的性质后设置的一节探究专题课。由于这些特殊四边形的性质和判定比较多, 既有“共性”又有“个性”, 所以同学们在具体运用时存在一定混淆, 对利用中点添加辅助线构造中位线已有初步经验, 但还未能运用自如。本课的教学内容不仅复习了这些内容, 而且也是对这部分内容的再应用与整合提高, 可进一步理清这些知识点间的内在联系。在提高学生思维水平的同时培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

3 教学目标

3.1 知识目标

理解中点四边形的概念和决定中点四边形形状的因素, 体会中点四边形的周长、面积与原四边形的关系。

3.2 能力目标

通过对中点四边形的探究, 渗透从“一般—特殊—一般”的问题研究方法, 感受探究过程中所体现的转化、类比的数学思想, 提高学生探究能力。

3.3 情感目标

通过情境设置、动手操作、观察猜想, 学会自主探索、多角度地考虑问题, 培养积极探索、勇于创新的精神。

4 教学重点、难点

(1) 教学重点:根据原四边形对角线的关系探究中点四边形的形状。 (2) 教学难点:确定中点四边形形状的因素。

5 教学过程设计

5.1 温故知新

(1) 复习提问:三角形的中位线有哪些性质?

(设计意图:三角形中位线的性质是学生新学的知识, 它是本课时探究学习的理论基础, 同时又加深两条线段间的关系包含数量关系与位置关系, 为寻找原四边形的对角线的特殊关系作铺垫。)

(2) 探索1:中点四边形的形状。

问题:如图1, 某老新村的改造中需提高绿化率, 现有一块四边形的空地, 分别取各边的中点并依次连接, 在所得到的新四边形空地上进行绿化改造, 这块新的四边形空地的形状有什么特征?你能证明你的结论吗?

已知:如图2, 在四边形ABCD中, 点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点。

求证:四边形EFGH为平行四边形。

证明: (法一) 连接AC

(法二) 连接AC、BD

板书:中点四边形

定义:顺次连接四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形。

利用“几何画板”改变原四边形的形状

观察图3并结合问题1, 得:

结论1:任意一个四边形的中点四边形都是平行四边形。

(设计意图:从“绿化改造”的实际问题引入, 让学生感受到数学来源于生活, 又服务于生活, 提高了学生的学习兴趣与学习主动性。将实际问题转化为数学问题, 并经历了观察、猜想、论证的过程, 符合对事物的认知规律, 让学生掌握科学探索的有效步骤。在论证过程中, 教师鼓励学生用多种方法进行证明, 并进行类比, 让学生认识到连接对角线是解决这个问题的关键, 将四边形的问题转化为三角形的问题来考虑, 可以利用中位线的性质来解决问题, 加深中点四边形的边与原四边形的对角线存在的数量与位置关系。)

5.2 探索创新

利用“几何画板”再展示一些中点四边形, 如图4, 观察它们的形状。

问题:中点四边形的形状如果能够从一般平行四边形变化为特殊的平行四边形, 例如同学们猜测的矩形等, 引起变化的因素可能是什么呢?

探索2:中点四边形形状的决定因素。

问题1:从探究1同学们发现中点四边形的形状与原四边形的哪个元素密切相关?边?角?对角线?

问题2:如果当原四边形的两条对角线发生一些特殊变化时, 中点四边形的形状是否也会发生特殊变化呢?我们可以从哪几个角度来考虑? (四边形的对角线是线段, 可以考虑它们特殊的数量或位置关系, 如相等或互相垂直等。)

对以下三种情况进行说理、证明: (1) 当AC=BD时, 四边形EFGH是菱形; (2) 当AC⊥BD时, 四边形EFGH是矩形; (3) 当AC、BD互相垂直且相等时, 四边形EFGH是正方形。

引导学生进行归纳:中点四边形的形状只取决于原四边形对角线的相等或垂直, 与原四边形的形状无关。

结论2:中点四边形的形状由原四边形的两条对角线的数量与位置关系所决定, 表1。

问题:平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形的中点四边形分别是什么形状? (设计意图:通过探究1已让学生感受到研究中点四边形的问题实际就是研究原四边形对角线的问题, 故在探究2中直接引导学生研究原四边形对角线的特殊情况, 即当两条对角线相等和互相垂直时, 中点四边形的形状是否变得更特殊了。这种由“一般”到“特殊”的思想方法, 在认识上循序渐进, 容易为学生所接受。在得出一般结论后, 再回答几种特殊四边形的中点四边形的形状就只需考虑这些四边形的对角线的关系, 加深了对这些四边形的对角线的理解, 并让学生再一次体会了“一般”到“特殊”的思想方法。)

探索3:中点四边形与原四边形周长、面积的关系。

问题:中点四边形作为一个封闭图形, 我们还可以研究它哪些方面的问题? (周长与面积。)

问题1:已知, 如图5, 在矩形ABCD中, 点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点, 若BD=5, 则四边形EFGH的周长为____________________。

问题2:求矩形的中点四边形的周长只需已知哪个量?

问题3:求一般四边形的中点四边形的周长需已知什么量?为什么?

结论3:中点四边形的周长等于原四边形的两条对角线长的和。

问题4:在问题1中, 若矩形ABCD的面积为1 2, 则四边形E F G H的面积为_______________。

问题5:如果问题4中的“矩形ABCD”改为“四边形ABCD”, 其余条件不变, 那么四边形EFGH的面积还是原来的答案吗?

问题6:中点四边形与原四边形的面积有什么关系呢?为什么?

结论4:中点四边形的面积等于原四边形面积的一半。

(设计意图:通过一系列问题的解决让学生经历从“特殊”到“一般”的思维过程, 在感性认识上找共同点, 找关键量, 上升为理性认识, 总结规律, 归纳结论, 在探索中学会合作与交流, 既培养了动手操作能力和语言表达能力, 更发展了理性思维能力和归纳创新能力。)

5.3 解决问题

(1) 请对探索1的“改造空地, 提高绿化率”问题再设计几个相关问题并解答, 并请互相交流。

(2) 已知四边形ABCD的中点四边形为矩形, 则四边形ABCD可能是下列图形中的哪一种 () 。

A.等腰梯形B.平行四边形

C.菱形D.对角线相等的四边形

(3) 已知:如图6, 分别以△BMC的BM、C M为边, 向△B M C形外作等边三角形ABM、CDM, 点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA中点。

(1) 请判断四边形EFGH的形状, 并证明;

(2) △BMC形状的改变对 (1) 的结论是否有影响?

(4) 已知, 如图7, 在四边形A B C D中, AC=6, BD=8且AC⊥BD, 顺次连接四边形ABCD各边中点, 得到四边形A1B1C1D1;再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点, 得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去得到四边形AnBnCnDn。

(1) 证明:四边形A1B1C1D1是矩形;

(2) 写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积;

(3) 写出四边形AnBnCnDn的面积;

(4) 求四边形A5B5C5D5的周长。

(设计意图:本着“因材施教”的教育理念, 在应用中分层设置练习, 由易到难, 让所有的学生都能体验到成功的快乐, 提高学习积极性。这些问题既考察了一些重要结论的基本掌握情况, 又考察了学生的发散思维, 对学生掌握知识应用的灵活性、综合性都有一定要求。)

5.4 归纳小结

(1) 这节课你主要学到了什么知识?应用了哪些数学方法? (2) 这节课对你今后的学习有何启发? (设计意图:让学生用自己的语言来归纳上课内容和思想方法, 不仅培养了学生的数学语言表达能力和归纳总结能力, 而且加深了对知识的理解, 易于找出相关知识点间的内在联系, 理清知识脉络。) 5.5布置作业

(1) 《学与练》习题。 (2) 研究中点三角形有哪些特点?查阅关于中点n边形的有关资料。 (设计意图:培养独立思考能力, 培养“会自学”的学生。)

6 教学反思

本节课的设计力图体现《新课程标准》的教学理念, 学习有价值的数学, 从学生熟悉的改造空地问题到探索中点四边形的形状、周长、面积等问题, 让学生感受到学习数学的一个很重要的目的就是解决实际生活中的问题。

转变课堂教学中的师生地位, 突出学生的主体地位和教师的主导地位, 把展示的舞台让给学生, 教师当好组织者、引导者和参与者, 精心准备, 让学生在教师的引导下逐步走向成功, 感受到成功的喜悦, 提高学习的信心与兴趣。

转变课堂教学模式, 不再单纯依靠教师的讲解与学生的摩仿练习完成教学任务, 加强学生的观察、猜想、论证等综合能力的培养, 学会合作与交流, 善于倾听别人的意见, 修正自己的观点, 提高思维的严密性与合理性。渗透“一般”与“特殊”的互相转化的思想方法, 有助于提高思维水平, 能有策略地思考问题, 达到自主学习的目的。

平时的教学渗透也起到了一定作用, 因平时经常会强调线段的关系不能只求数量关系, 还应考虑位置关系, 所以学生在回答对角线的特殊关系时很快就想到数量和位置两种关系, 这也要求我们教师在平时的教学中要注意为后续学习的顺利进行早做准备。

篇4：中点四边形教学设计

“中点四边形”是初中数学课堂教学中的经典课例，但传统教学更多关注的是学生的“学”，其目标定位是对现成问题的分析和解决. 而中点四边形是如何产生的？又是如何变化和发展的？又该如何通过“中点四边形”这个知识载体，让学生体会和了解研究几何图形一般的方法和策略？这些内隐在学生数学学习中更为重要的方法和经验，在传统教学中并不能得以足够地体现.

出于上述思考，笔者在近期徐州市教育学会组织的一次活动中，特地选择了以“中点四边形”为上课课题. 活动结束后，笔者又对本课重新进行了整理与设计.

二、教学设计

1.教学目标

（1）巩固三角形中位线和特殊四边形的性质、判定方法，发展合情推理、演绎推理的能力；（2）在经历想象、画图、观察、实验、猜测、验证、归纳的探索过程中，体会和了解研究几何图形的一般方法，感悟联想、分类、类比、归纳等数学思想；（3）培养学生乐于实践、善于发现、勇于创新的学习品质，激发数学学习的兴趣.

2.教学过程

通过上节课的学习，我们知道了顺次连结三角形的各边中点所得到的三角形叫作“中点三角形”. 那么，“中点三角形”具有哪些特点呢？请结合图1中的△DEF说一说你对它的了解.

思考1：对于“中点三角形”，你是否还有其他的想法？请说一说.

学生可能引发的思考1：如图2、图3，再分别取DE，EF，FD的中点，连结后可得新的中点三角形；再分别取……，这些中点三角形在周长、面积、形状等方面与原△ABC又有怎样的联系？

学生可能引发的思考2：如图4、图5，当点D，E，F分别是AB，AC，BC的三等分点、四等分点、……时，△DEF在周长、面积、形状等方面与原△ABC又有怎样的联系？

学生可能引发的思考3：中点四边形.

今天，我们选取“中点四边形”这个问题进行研究，并通过这节课的学习，了解几何图形的一般研究方法. 呈现课题——“中点四边形”.

设计意图：在进行“三角形的中位线”的教学时，笔者有意避开了与四边形有关的中位线问题. 另外，还专门补充研究了“中点三角形”. 这样，就为本课的学习做好了铺垫.

学生通过联想产生出了若干种不同的思考，然后再在这几种思考中选取本节课的研究主题——“中点四边形”. 这样的设计突出了问题的自然生成，有利于培养学生发现和提出问题的意识和能力.

活动探究：在数学研究中，为明确研究的对象，避免产生歧义，应首先给出这个对象的定义. 与中点三角形相类似，我们可将顺次连结四边形的各边中点所得到的四边形叫作“中点四边形”.

【探究一】 提到一个几何图形，我们马上就会想到它的形状. 那么，你能否结合图6，想象出任意四边形的中点四边形会是怎样的四边形？

在想象困难的时候，我们可以怎么办？（画图） 请你结合图6，画出任意四边形ABCD的中点四边形EFGH，并观察它的形状（图7）.

问题1：如图6，任意四边形ABCD的中点四边形EFGH是怎样的四边形？为什么？

结论：任意四边形的中点四边形一定是平行四边形.

回顾： （1）中点四边形与原四边形是怎样建立联系的？（利用三角形的中位线，通过“对角线”建立相互之间的联系）（2）在研究这个问题的过程中，我们经历了怎样的探索过程？（想象→画图→观察→猜测→验证→归纳）

设计意图：探究一的设计因读者都比较熟悉，这里就不再解释. 需要指出的是，该环节的问题设计显性化的是知识的获取、数学本质的发现，但在研究问题的过程中还蕴含着重要的数学思想以及几何图形的一般研究方法，这种知识背后隐性化的东西，相比数学知识来讲其实更为重要. 因此，在探究一完成后有必要对知识和方法及时进行总结.

【探究二】 思考2：通过上面的研究，我们知道了任意四边形的中点四边形一定是平行四边形，那么对于“中点四边形”，你是否还有其他的想法？请说一说.

学生可能引发的思考1：由“中点三角形”、“中点四边形”，联想到“中点多边形”，研究中点多边形和原多边形的周长与周长、面积与和面积之间是否存在规律性的联系.

学生可能引发的思考2：当原四边形成为一种特殊形状的四边形时，它的中点四边形是否也会成为一种特殊形状的平行四边形？

学生可能引发的思考3：当中点四边形成为一种特殊形状的四边形时，原四边形会是怎样的四边形？

预设1：思考2→思考3.

我们已经知道，对于任意一个四边形，它的中点四边形必然是一个平行四边形. 按照从一般到特殊的几何问题的研究方法，我们可以继续考虑四边形的特殊性，从而引发我们进一步的思考——当原四边形成为一种特殊形状的四边形时，它的中点四边形是否也会成为一种特殊形状的平行四边形？

问题2：如图7，当原四边形ABCD分别是平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形时，中点四边形EFGH会是怎样的四边形？请将你的发现填入下表：

经过上面的探索，我们发现，当原四边形是矩形和等腰梯形时，它们的中点四边形都是菱形. 而“反过来想”（逆向思维）也是数学学习和研究数学问题时常采用的一种思维方式，那么，依据这种方式，针对这个发现，是否引发了你新的思考？请说一说. （是否只有矩形和等腰梯形的中点四边形才能是菱形？是否只有菱形的中点四边形才能是矩形？）

请你继续探索上面这两个问题，并将你的发现填入下表：

预设2：思考3→思考2.

经过上面的探索，我们知道，对于任意一个四边形，它的中点四边形必然是一个平行四边形. 按照从一般到特殊的几何问题的研究方法，我们可以继续考虑平行四边形的特殊性，从而引发我们进一步的思考——当中点四边形成为一种特殊形状的四边形时，原四边形会是怎样的四边形？

问题2：如图7，当中点四边形EFGH分别是菱形、矩形时，原四边形ABCD必须满足怎样的条件？请将你的发现填入下表：

经过探索，我们发现了中点四边形为矩形和菱形时，原四边形必须满足的条件，请你根据这个发现，再将下面的表格填写完整：

总结上述对“中点四边形”的研究过程，我们可以知道：任意一个四边形的中点四边形必然是平行四边形，并且当原四边形的两条对角线构成相等或互相垂直的关系时，它的中点四边形就会成为菱形或矩形. 也就是说，决定中点四边形形状的关键不在于原四边形的形状，而是原四边形的两条对角线之间所具有的数量关系和位置关系. 这个发现也告诉了我们一个生活中的道理——不要被事物的表面现象所迷惑，而要透过现象看本质！

设计意图：由于不同的学生所关注的对象不同，从而造成引发的思考不同. 思考2、思考3都是学生有可能想到的，它们遵循的都是由一般到特殊的思路. 思考2中的“一般”是“原四边形”，思考3中的“一般”则是“中点四边形是平行四边形”. 思考2、思考3的产生，并没有先后之分. 笔者在实际教学中，就有学生先提出了思考3，并且通过问题1的解决，直接找到了原四边形必须满足的条件，水到渠成地解决了思考2，这显然要比传统教学中教师人为地让学生先解决思考2，再解决思考3要更利于学生对问题的认识. 因此，进行教学预设时，教师要关注问题的自然生成，不能强迫学生按照自己的方式去思考问题，要给于学生充分表达自己观点、思路的机会，让每一位学生都能主动地、富有个性地学习.

【探究三】 相比较三角形，四边形除四条边外，还存在另外两条线段——对角线. 受到中点四边形是由顺次连结四边形各边中点所产生的启发，我们可以进一步将四边形的两条对角线的中点也纳入我们研究的范围，请你继续思考：

问题3：如图8，已知在四边形ABCD中，E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CD，DA，AC，BD的中点.

（1）请指出以其中的4个中点为顶点的平行四边形；（图9、图10、图11）

（2）如图10，

①请说明四边形EPGQ是平行四边形的理由；

②对于平行四边形EPGQ，你能提出怎样的问题？（当四边形ABCD满足怎样的条件时，四边形EPGQ分别是矩形、菱形？你能否设计出这样的四边形？）

③对于平行四边形EPGQ，你还有怎样的想法？（四边形EPGQ一定存在吗？当四边形ABCD满足怎样的条件时，四边形EPGQ不存在？）

（3）如图11，针对四边形QFPH，说说你的认识.

设计意图：探究三的设计是基于以下两个方面的考虑：一是渗透问题研究的理性思考方法. 对于几何图形的研究，我们要教会学生一般的研究方法，其中就有先研究构成图形的基本元素——边与角，再研究由边与角生成的新的元素，如三角形的“四线”（三条边的中线、三个内角的平分线、三条边的高线、三条边的垂直平分线）以及四边形的对角线等等. 因此，按照这样的方法，研究完“中点四边形”后，就应该研究“若再取两条对角线的中点，又会产生怎样的问题了？”二是虽然从知识掌握的角度来讲，“中点四边形”的性质已被学生发现和掌握，但教师还需要进一步创造尽可能多的落实“四基”、提高“两能”的机会，因此设计了探究三.

3.回顾总结

回顾本次学习的过程，请你谈一谈对“中点四边形”的认识，并总结几何图形一般的研究方法.

设计意图：通过回顾，归纳本课的学习内容，突出两个方面：一是知识总结；二是方法和经验总结，尤其是方法和经验. 知识只是数学学习的载体，从培养人的角度来说，方法和经验更为重要. 当然，限于课堂时间有限，笔者对这个环节进行了简化，但考虑到该环节也十分重要，因此设计成“数学日记”的形式，让学生在课后进行细致的回顾、思考和总结.

4.揭示联系

本节课我们接触到了几种与“三角形中位线”有关的图形，它们之间又有一定的联系吗？来看——在“几何画板”中分别按图12～图17的顺序拖动四边形的顶点P，动态地产生出了几个图形，其中图12、图13、图15就是我们这节课已经研究过的与“三角形中位线”有关的图形. 不仅如此，我们又有了新的发现，在拖动点P的过程中，还产生了另外三种新的图形，如图14、16、17，请你依据本次学习中获得的研究问题的方法和经验，课后继续研究这三个图形.

设计意图：让图形“动”起来，是研究图形、获得发现的一种重要方法. 通过在几何画板中对点的拖动，不仅产生了学生熟悉的图形，而且还产成了新的图形，这样不仅能够让学生直观地感受到这些图形之间的内在联系，还能够自然地引发学生对新的图形的新的思考.

5.拓展研究

（1）如图18、19、20，中点多边形和原多边形的周长与周长、面积与面积之间是否存在规律性的联系？提出你的猜想，并尝试用“几何画板”软件进行探索，再将你探索的结果用合适的形式表达出来.

（2）数学日记：

今天我们研究的是“中点四边形”，经过本节课的学习，我有如下的总结：

①我的收获有：

数学知识方面：

数学思想方面：

数学问题的研究方法方面：

②我在学习中还存在的疑惑：

③对于“中点四边形”，我还有以下的想法：

三、一些思考

研究性学习是由某个问题所引发的某个猜想或某个发现，通过在深度、广度上的研究，全面地认识这个猜想或这个发现. 而且，在研究的过程中，往往会生成新的问题、获得新的发现，从而带来新的思考，从而形成“思考→发现→研究→解决→新思考→新发现→再研究→再解决”这样一条研究之路.

研究性学习是以大脑思考为主的“想数学”的数学学习方式，也是最朴素、最常见、最主要的数学研究的方式. 而且，因为要进行一项研究，就必须具有一定的知识储备和研究能力，因此，研究性学习不仅有利于学生对基本知识和基本技能的进一步的理解与掌握，提高分析和解决问题的能力，还能够让学生在研究问题的过程中，突出培养学生发现和提出问题的能力，亲身体验知识的产生、形成和发展的过程，充分感悟数学思想方法，获得更为广泛的数学活动、学习和研究经验. 笔者以为，研究性学习或许更能体现教育的本质——为了人的发展.

问题2：如图7，当中点四边形EFGH分别是菱形、矩形时，原四边形ABCD必须满足怎样的条件？请将你的发现填入下表：

经过探索，我们发现了中点四边形为矩形和菱形时，原四边形必须满足的条件，请你根据这个发现，再将下面的表格填写完整：

总结上述对“中点四边形”的研究过程，我们可以知道：任意一个四边形的中点四边形必然是平行四边形，并且当原四边形的两条对角线构成相等或互相垂直的关系时，它的中点四边形就会成为菱形或矩形. 也就是说，决定中点四边形形状的关键不在于原四边形的形状，而是原四边形的两条对角线之间所具有的数量关系和位置关系. 这个发现也告诉了我们一个生活中的道理——不要被事物的表面现象所迷惑，而要透过现象看本质！

设计意图：由于不同的学生所关注的对象不同，从而造成引发的思考不同. 思考2、思考3都是学生有可能想到的，它们遵循的都是由一般到特殊的思路. 思考2中的“一般”是“原四边形”，思考3中的“一般”则是“中点四边形是平行四边形”. 思考2、思考3的产生，并没有先后之分. 笔者在实际教学中，就有学生先提出了思考3，并且通过问题1的解决，直接找到了原四边形必须满足的条件，水到渠成地解决了思考2，这显然要比传统教学中教师人为地让学生先解决思考2，再解决思考3要更利于学生对问题的认识. 因此，进行教学预设时，教师要关注问题的自然生成，不能强迫学生按照自己的方式去思考问题，要给于学生充分表达自己观点、思路的机会，让每一位学生都能主动地、富有个性地学习.

【探究三】 相比较三角形，四边形除四条边外，还存在另外两条线段——对角线. 受到中点四边形是由顺次连结四边形各边中点所产生的启发，我们可以进一步将四边形的两条对角线的中点也纳入我们研究的范围，请你继续思考：

问题3：如图8，已知在四边形ABCD中，E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CD，DA，AC，BD的中点.

（1）请指出以其中的4个中点为顶点的平行四边形；（图9、图10、图11）

（2）如图10，

①请说明四边形EPGQ是平行四边形的理由；

②对于平行四边形EPGQ，你能提出怎样的问题？（当四边形ABCD满足怎样的条件时，四边形EPGQ分别是矩形、菱形？你能否设计出这样的四边形？）

③对于平行四边形EPGQ，你还有怎样的想法？（四边形EPGQ一定存在吗？当四边形ABCD满足怎样的条件时，四边形EPGQ不存在？）

（3）如图11，针对四边形QFPH，说说你的认识.

设计意图：探究三的设计是基于以下两个方面的考虑：一是渗透问题研究的理性思考方法. 对于几何图形的研究，我们要教会学生一般的研究方法，其中就有先研究构成图形的基本元素——边与角，再研究由边与角生成的新的元素，如三角形的“四线”（三条边的中线、三个内角的平分线、三条边的高线、三条边的垂直平分线）以及四边形的对角线等等. 因此，按照这样的方法，研究完“中点四边形”后，就应该研究“若再取两条对角线的中点，又会产生怎样的问题了？”二是虽然从知识掌握的角度来讲，“中点四边形”的性质已被学生发现和掌握，但教师还需要进一步创造尽可能多的落实“四基”、提高“两能”的机会，因此设计了探究三.

3.回顾总结

回顾本次学习的过程，请你谈一谈对“中点四边形”的认识，并总结几何图形一般的研究方法.

设计意图：通过回顾，归纳本课的学习内容，突出两个方面：一是知识总结；二是方法和经验总结，尤其是方法和经验. 知识只是数学学习的载体，从培养人的角度来说，方法和经验更为重要. 当然，限于课堂时间有限，笔者对这个环节进行了简化，但考虑到该环节也十分重要，因此设计成“数学日记”的形式，让学生在课后进行细致的回顾、思考和总结.

4.揭示联系

本节课我们接触到了几种与“三角形中位线”有关的图形，它们之间又有一定的联系吗？来看——在“几何画板”中分别按图12～图17的顺序拖动四边形的顶点P，动态地产生出了几个图形，其中图12、图13、图15就是我们这节课已经研究过的与“三角形中位线”有关的图形. 不仅如此，我们又有了新的发现，在拖动点P的过程中，还产生了另外三种新的图形，如图14、16、17，请你依据本次学习中获得的研究问题的方法和经验，课后继续研究这三个图形.

设计意图：让图形“动”起来，是研究图形、获得发现的一种重要方法. 通过在几何画板中对点的拖动，不仅产生了学生熟悉的图形，而且还产成了新的图形，这样不仅能够让学生直观地感受到这些图形之间的内在联系，还能够自然地引发学生对新的图形的新的思考.

5.拓展研究

（1）如图18、19、20，中点多边形和原多边形的周长与周长、面积与面积之间是否存在规律性的联系？提出你的猜想，并尝试用“几何画板”软件进行探索，再将你探索的结果用合适的形式表达出来.

（2）数学日记：

今天我们研究的是“中点四边形”，经过本节课的学习，我有如下的总结：

①我的收获有：

数学知识方面：

数学思想方面：

数学问题的研究方法方面：

②我在学习中还存在的疑惑：

③对于“中点四边形”，我还有以下的想法：

三、一些思考

研究性学习是由某个问题所引发的某个猜想或某个发现，通过在深度、广度上的研究，全面地认识这个猜想或这个发现. 而且，在研究的过程中，往往会生成新的问题、获得新的发现，从而带来新的思考，从而形成“思考→发现→研究→解决→新思考→新发现→再研究→再解决”这样一条研究之路.

研究性学习是以大脑思考为主的“想数学”的数学学习方式，也是最朴素、最常见、最主要的数学研究的方式. 而且，因为要进行一项研究，就必须具有一定的知识储备和研究能力，因此，研究性学习不仅有利于学生对基本知识和基本技能的进一步的理解与掌握，提高分析和解决问题的能力，还能够让学生在研究问题的过程中，突出培养学生发现和提出问题的能力，亲身体验知识的产生、形成和发展的过程，充分感悟数学思想方法，获得更为广泛的数学活动、学习和研究经验. 笔者以为，研究性学习或许更能体现教育的本质——为了人的发展.

问题2：如图7，当中点四边形EFGH分别是菱形、矩形时，原四边形ABCD必须满足怎样的条件？请将你的发现填入下表：

经过探索，我们发现了中点四边形为矩形和菱形时，原四边形必须满足的条件，请你根据这个发现，再将下面的表格填写完整：

总结上述对“中点四边形”的研究过程，我们可以知道：任意一个四边形的中点四边形必然是平行四边形，并且当原四边形的两条对角线构成相等或互相垂直的关系时，它的中点四边形就会成为菱形或矩形. 也就是说，决定中点四边形形状的关键不在于原四边形的形状，而是原四边形的两条对角线之间所具有的数量关系和位置关系. 这个发现也告诉了我们一个生活中的道理——不要被事物的表面现象所迷惑，而要透过现象看本质！

设计意图：由于不同的学生所关注的对象不同，从而造成引发的思考不同. 思考2、思考3都是学生有可能想到的，它们遵循的都是由一般到特殊的思路. 思考2中的“一般”是“原四边形”，思考3中的“一般”则是“中点四边形是平行四边形”. 思考2、思考3的产生，并没有先后之分. 笔者在实际教学中，就有学生先提出了思考3，并且通过问题1的解决，直接找到了原四边形必须满足的条件，水到渠成地解决了思考2，这显然要比传统教学中教师人为地让学生先解决思考2，再解决思考3要更利于学生对问题的认识. 因此，进行教学预设时，教师要关注问题的自然生成，不能强迫学生按照自己的方式去思考问题，要给于学生充分表达自己观点、思路的机会，让每一位学生都能主动地、富有个性地学习.

【探究三】 相比较三角形，四边形除四条边外，还存在另外两条线段——对角线. 受到中点四边形是由顺次连结四边形各边中点所产生的启发，我们可以进一步将四边形的两条对角线的中点也纳入我们研究的范围，请你继续思考：

问题3：如图8，已知在四边形ABCD中，E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CD，DA，AC，BD的中点.

（1）请指出以其中的4个中点为顶点的平行四边形；（图9、图10、图11）

（2）如图10，

①请说明四边形EPGQ是平行四边形的理由；

②对于平行四边形EPGQ，你能提出怎样的问题？（当四边形ABCD满足怎样的条件时，四边形EPGQ分别是矩形、菱形？你能否设计出这样的四边形？）

③对于平行四边形EPGQ，你还有怎样的想法？（四边形EPGQ一定存在吗？当四边形ABCD满足怎样的条件时，四边形EPGQ不存在？）

（3）如图11，针对四边形QFPH，说说你的认识.

设计意图：探究三的设计是基于以下两个方面的考虑：一是渗透问题研究的理性思考方法. 对于几何图形的研究，我们要教会学生一般的研究方法，其中就有先研究构成图形的基本元素——边与角，再研究由边与角生成的新的元素，如三角形的“四线”（三条边的中线、三个内角的平分线、三条边的高线、三条边的垂直平分线）以及四边形的对角线等等. 因此，按照这样的方法，研究完“中点四边形”后，就应该研究“若再取两条对角线的中点，又会产生怎样的问题了？”二是虽然从知识掌握的角度来讲，“中点四边形”的性质已被学生发现和掌握，但教师还需要进一步创造尽可能多的落实“四基”、提高“两能”的机会，因此设计了探究三.

3.回顾总结

回顾本次学习的过程，请你谈一谈对“中点四边形”的认识，并总结几何图形一般的研究方法.

设计意图：通过回顾，归纳本课的学习内容，突出两个方面：一是知识总结；二是方法和经验总结，尤其是方法和经验. 知识只是数学学习的载体，从培养人的角度来说，方法和经验更为重要. 当然，限于课堂时间有限，笔者对这个环节进行了简化，但考虑到该环节也十分重要，因此设计成“数学日记”的形式，让学生在课后进行细致的回顾、思考和总结.

4.揭示联系

本节课我们接触到了几种与“三角形中位线”有关的图形，它们之间又有一定的联系吗？来看——在“几何画板”中分别按图12～图17的顺序拖动四边形的顶点P，动态地产生出了几个图形，其中图12、图13、图15就是我们这节课已经研究过的与“三角形中位线”有关的图形. 不仅如此，我们又有了新的发现，在拖动点P的过程中，还产生了另外三种新的图形，如图14、16、17，请你依据本次学习中获得的研究问题的方法和经验，课后继续研究这三个图形.

设计意图：让图形“动”起来，是研究图形、获得发现的一种重要方法. 通过在几何画板中对点的拖动，不仅产生了学生熟悉的图形，而且还产成了新的图形，这样不仅能够让学生直观地感受到这些图形之间的内在联系，还能够自然地引发学生对新的图形的新的思考.

5.拓展研究

（1）如图18、19、20，中点多边形和原多边形的周长与周长、面积与面积之间是否存在规律性的联系？提出你的猜想，并尝试用“几何画板”软件进行探索，再将你探索的结果用合适的形式表达出来.

（2）数学日记：

今天我们研究的是“中点四边形”，经过本节课的学习，我有如下的总结：

①我的收获有：

数学知识方面：

数学思想方面：

数学问题的研究方法方面：

②我在学习中还存在的疑惑：

③对于“中点四边形”，我还有以下的想法：

三、一些思考

研究性学习是由某个问题所引发的某个猜想或某个发现，通过在深度、广度上的研究，全面地认识这个猜想或这个发现. 而且，在研究的过程中，往往会生成新的问题、获得新的发现，从而带来新的思考，从而形成“思考→发现→研究→解决→新思考→新发现→再研究→再解决”这样一条研究之路.

篇5：中点四边形教学设计

--------“中点四边形”的教学反思

广州市47中学汇景实验学校 刘莓

第Ⅰ部分 学案（第一稿）

课题:中点四边形

姓名 班级 学号

一、学习目标：

1、了解中点四边形的概念

2、灵活应用三角形的中位线性质研究中点四边形与原四边形的关系。

二、学习重点、难点

1、重点：研究中点四边形与原四边形的关系；

2、难点：找出中点四边形与原四边形的形状的变化规律。

三、学习过程：

（一）、复习：三角形的中位线性质：利用右图用几何语言表示

（二）、练习：

1．证明：顺次连结四边形的各边中点所组成的四边形（简称中点四边形）是平行四边形。

已知：

求证：

2、与周围的同学交流一下证明方法。

从以上的证明过程中可知：中点四边形的边与原四边形的对角线有密切关系。

3、通过画图猜想：顺次连结矩形的各边中点所组成的四边形是什么形状？

请证明你的结论。

4、回味刚才的证明过程，想一想：要使中点四边形是菱形，原四边形一定要是矩形吗？

由此可得：只要原四边形的两条对角线，就能使中点四边形是菱

形。

5、通过画图猜想：顺次连结菱形的各边中点所组成的四边形是什么形状？

请证明你的结论。

6、回味刚才的证明过程，想一想：要使中点四边形是矩形，原四边形一定要是菱形吗？

由此可得：只要原四边形的两条对角线，就能使中点四边形是矩形。

7、讨论一下：要使中点四边形是正方形，原四边形要符合的条件是

8、小结：

（1）中点四边形最起码是一个 ；

（2）原四边形的对角线与中点四边形的边有密切关系：

原四边形的两条对角线相等 中点四边形的邻边也 中点四边形是 形

原四边形的两条对角线垂直 中点四边形的邻边也 中点四边形是 形

原四边形的两条对角线垂直且相等 中点四边形的邻边也

中点四边形是 形

作业：

1、顺次连结等腰梯形的各边中点所组成的四边形是特殊的平行四边形吗？

证明你的结论。

2、中点四边形的面积与原四边形的面积之比是。

第Ⅱ部分 反思

一、教材地位与学案的设计思想

这节课的内容安排在华东师大版教材的九年级下册第27章«证明»一章后的课题学习，这样的安排很恰当，学生刚刚学完了用推理的方法研究三角形和四边形。这节课的内容是三角形中位线的应用，也是对特殊平行四边形性质、判定的巩固，还是对学生研究变式图形能力的训练--------这是一个动态图形的系列问题：无论原来的四边形的形状怎样改变，顺次连结它各边的中点所得的四边形最起码是平行四边形。而且平行四边形又包含了矩形、菱形、正方形，这时，原四边形要作怎样的变化呢？通过这节课的学习，使学生对中点四边形与原四边形的形状的变化规律有一个系统的认识。

学生往往不重视课题学习或找不到方法去研究这个课题。而这节课的学案设计就是为学生研究这个课题在方法上搭建了一个平台。

在使用旧人教版的时候，为使学生对中点四边形与原四边形的形状的变化规律有一个系统的认识，也曾这样设计：

在每个学生一台电脑的网络室利用《几何画板》教师先做两个页面，第一页原四边形设计为平行四边形，第二页原四边形设计为任意四边形。学生只需用鼠标拖动原四边形或中点四边形的一个顶点，就可实现动画。两页都有辅助线（原四边形的对角线）的显示/隐藏按钮。每个同学须填写一份实验报告。实验报告的问题设计如下：

在学生完成前12分钟的实验后，教师利用实物投影仪展示一些同学的证明过程、小结实验情况、对比证明方法，让学生明确“四边形EFGH的形状的变化与原四边形的两条对角线有着密切的关系”----为下一阶段的实验铺路。第二阶段的实验有足够的时间让学生操作，而且绝大多数同学能遵循题目的暗示将中点四边形EFGH进行动画，通过中点四边形EFGH形状的改变来观察原四边形ABCD的变化。所以第1题完成情况良好，又为第二题铺平了道路。最后由同学自荐所出题目，公认最好的作为作业布置。

二、课堂实施情况

对比两种设计方案的实施情况:

①实验报告的设计没有在文字上给学生具体方法的指导，普通班相当一部分学生在实验的第二阶段中不知怎样证明自己所得的结论，也正因为如此给成绩好的学生留下了较大的思维空间；学生不用自己画图节省了时间。但也留下了缺憾------怎样画出符合题意的示意图也是要训练的，而且在画图的过程中还能对题意有更深的理解。当时在重点班的实施效果较好，普通班的实施情况不理想------大约一半学生达不到实验的预期目的。

②学案（第一稿）的设计弥补了实验报告的不足，由于设计时多种情况都让学生从熟悉的图形：矩形、菱形入手，证明它们的中点四边形分别是菱形、矩形。然后通过“回味刚才的证明过程，”让学生注意到在证明过程中运用了矩形、菱形的对角线相等、对角线互相垂直的性质，而没有用对角线互相平分的性质，从而把图形变式，将特殊情况予以推广。这种过渡层层递进，分散了难点，课堂上进行的较为顺利。而且学案的设计由始至终在研究方法上贯穿一条主线：原四边形的对角线与中点四边形的边有密切关系------原四边形的两条对角线若垂直、相等，中点四边形的相邻边也垂直、相等。课堂上，学生的证明方法较为多样，如下图，学生通过证明图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ全等来证明中点四边形是菱形，但大多数学生遵从学案中的“暗示”，连结两条对角线，利用中位线证明。通过讨论和展示多种证明方法既开拓了学生的思路又始终引导学生沿主线展开研究。

在实施过程中，由于要落实画图、写已知、求证及证明，普通班两节连堂方可完成，重点班一节课可完成。

三、课后作业反馈

第1题：

①有少部分学生把课堂小结的图形变化规律当作定理直接应用于证明过程中；

②有少部分学生没有写已知、求证；

③有少部分学生的图形太特殊导致中点四边形是正方形，而在证明时又把菱形的识别当作正方形的识别；

第2题：在课间与学生的口头交流得知，大部分学生知道可用特殊值法并求

出了正确结果，但其中有些学生对于一般情形下的解法是没掌握的。

四、学案改进

给出学案中1、3、5、中的示意图并将写“已知、求证”删去以免冲淡主题；改为要求学生画4、6、的示意图，让学生更好地理解4、6、是3、5、的深入与推广（教师注意巡堂，发现学生画出的是3、5、条件下的图形应予以纠正）。

作业的第2题要求学生交流解法。

第Ⅲ部分 学案（改进稿）

课题:中点四边形

姓名 班级 学号

一、学习目标：

1、了解中点四边形的概念

2、灵活应用三角形的中位线性质研究中点四边形与原四边形的关系。

二、学习重点、难点

1、重点：研究中点四边形与原四边形的关系；

2、难点：找出中点四边形与原四边形的形状的变化规律。

三、学习过程：

（一）、复习：三角形的中位线性质：利用右图用几何语言表示

（二）、练习：

1、已知：如图，四边形ABCD为任意四边形，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点。

求证：四边形EFGH是平行四边形

2、与周围的同学交流一下证明方法。

我们把顺次连结四边形各边中点所成的四边形叫中点四边形

从以上的证明过程中可知：中点四边形的边与原四边形的对角线有密切关系。

3、已知：如图，四边形ABCD为矩形，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点。顺次连结EF、FG、GH、HE，猜想四边形EFGH是什么形状的四边形。

并证明你的结论。

4、回味刚才的证明过程，想一想：要使中点四边形是菱形，原四边形一定要是

矩形吗？

由此可得：只要原四边形的两条对角线，就能使中点四边形是菱形。请画出符合此命题的示意图。

5、已知：如图，四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点。猜想四边形EFGH是什么形状的四边形。并证明你的结论。

6、回味刚才的证明过程，想一想：要使中点四边形是矩形，原四边形一定要是

菱形吗？

由此可得：只要原四边形的两条对角线，就能使中点四边形是矩形。

请画出符合此命题的示意图。

7、讨论一下：要使中点四边形是正方形，原四边形要符合的条件是

8、小结：

（1）中点四边形最起码是一个 ；

（2）原四边形的对角线与中点四边形的边有密切关系：

原四边形的两条对角线相等 中点四边形的邻边也

中点四边形是 形

原四边形的两条对角线垂直 中点四边形的邻边也

中点四边形是 形

原四边形的两条对角线垂直且相等 中点四边形的邻边也

中点四边形是 形

（看屏幕上的动画演示）

作业：

1、顺次连结等腰梯形的各边中点所组成的四边形是特殊的平行四边形吗？

证明你的结论。

2、中点四边形的面积与原四边形的面积之比是。与其他

篇6：中点四边形猜想与证明

大连市第四十四中学初二八班***

猜想：四边形中点连线为平行四边形

即：如图1-1，在四边形ABCD中，E、F、G、H为四边中点

求证：四边形EFGH为平行四边形

证明：如图∵E、F为AD、AB的中点

∴EF//BD（三角形的中位线平行于第三边）

同理：HG//BD

∴HG//EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）

同理：EH//FG

∴四边形EFGH是平行四边形

（两组对边分别平行的四边形是平行

四边形）

FH

图1-1图1-2 B

那么：由已知条件：EF=HG=1/2BDFG=EH=1/2AC(三角形中位线定理)因为“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，所以当EF=GF时，即1/2BD=1/2AC，即BD=AC时，平行四边形EFGH是菱形

猜想：当一个四边形的两条对角线相等时，其中点四边形是菱形。

例如：矩形的对角线相等

则：如图1-2，在矩形ABCD中，E、F、G、H为四边中点。

求证：四边形EFGH是菱形

证明：∵E、F为AD、AB的中点

∴EF=1/2BD（三角形的中位线等于第三边的一半）

同理：HG=1/2BD

∴HG=EF=1/2BD（等量代换）

同理：EH=FG=1/2AC

∴四边形EFGH是平行四边形

（两组对边分别相等的四边形是平行

四边形）

∵AC=BD

∴1/2AC=1/2BD

即：EF=GF

∴平行四边形EFGH是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）

同理上结论思路：

由已知条件：EF//HGFG//EH(三角形中位线定理)

因为“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，所以当∠EFG=90°时，即∠1=90°，即∠AOB=90°时，平行四边形EFGH是矩形。

猜想：当一个四边形两对角线互相垂直时，其中点四边形为矩形。

例如：菱形的对角线互相垂直。

则：如图1-3，在菱形ABCD中，E、F、G、H为四边中点。

求证：四边形EFGH是矩形

证明：∵E、F为AD、AB的中点

∴EF//BD（三角形的中位线平行于第三边）

同理：HG//BD

∴HG//EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）

同理：FG//AC；EH//FG

∴四边形EFGH是平行四边形

（两组对边分别平行的四边形是平行

四边形）

∵四边形ABCD是菱形

∴∠AOB=90°（菱形的对角线互相垂直）

∴∠FNO=∠AOB=90°（两直线平行，内错角相等）

∴∠EFG=∠FNO =90°（两直线平行，同位角相等）

∴平行四边形EFGH是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）

BF

H

图1-3图1-

4那么：因为正方形同时是矩形和菱形，所以满足同时使中点四边形为矩形和菱形的四边形，其中点四边形则可能是正方形。

猜想：当一个四边形的两对角线相等且互相垂直时，其中点四边形是正方形。

例如：正方形的对角线相等且互相垂直。

则：如图1-4，在正方形ABCD中，E、F、G、H为四边中点。

求证：四边形EFGH是正方形

证明：∵E、F为AD、AB的中点

∴EF//BD；EF=1/2BD（三角形的中位线平行于

第三边且等于第三边的一半）

同理：HG//BD；HG=1/2BD

∴HG//EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）

HG=EF=1/2BD（等量代换）

同理：EH//AC//FG；EH=FG=1/2AC

∴四边形EFGH是平行四边形

（两组对边分别平行的四边形是平行

四边形）

∵四边形ABCD是正方形

∴∠AOB=90°（正方形两对角线互相垂直）

AC=BD（正方形两对角线相等）

∴∠FNO=∠AOB=∠FNO =90°

（两直线平行，内错角相等；

两直线平行，同位角相等）

1/2AC=1/2BD

即：EF=GF

∴平行四边形EFGH是正方形

（有一个角是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形）