正多边形和圆的教案

2022-09-07

教案是从教师教的角度对教学的设计；学案是从学生学的角度对教学的设计。教案是教育科学领域的一个基本概念，也叫课时计划。今天小编为大家精心挑选了关于《正多边形和圆的教案》相关资料，欢迎阅读！

第一篇：正多边形和圆的教案

24.3 正多边形和圆(教案)

24.3正多边形和圆

【知识与技能】

了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角等概念.会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题.会用圆规、量角器和直尺来作圆内接正多边形. 【过程与方法】

结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，然后学会用圆的有关知识，解决正多边形的问题. 【情感态度】

学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活、又服务于生活，体现事物之间是相互联系，相互作用的. 【教学重点】

正多边形与圆的相关概念及其之间的运算. 【教学难点】

探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关系.

一、情境导入，初步认识

观察这些美丽的图案，都是在日常生活中，我们经常能看到的利用正多边形得到的物体.

(1)你能从图案中找出多边形吗?

(2)你知道正多边形和圆有什么关系吗?怎样就能作出一个正多边形来? 【教学说明】学生通过观察美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体.让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美.问题(2)的提出是为了创设一个问题情境，激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来，激发学生积极探索、研究的热情，并有意将注意力集中在正多边形和圆的关系上.

二、思考探究，获取新知 1.正多边形和圆的关系

问题1将一个圆分成5等份，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗?如果是，请你证明这个结论. 教师引导学生根据题意画图，并写出已知和求证. 已知：如图，在⊙O中，A、B、C、D、E是⊙O的五等分点.依次连接ABCDE形成五边形. 问：五边形ABCDE是正五边形吗?如果是，请证明你的结论. 答案：五边形ABCDE是正五边形.

证明：在⊙O中，∵ABBCCDDEEA，∴AB=BC=CD=DE=EA，CDA3BCEAB ，∴∠A=∠B;同理∠B=∠C=∠D=∠E，∴五边形ABCDE是正五边形. 【教学说明】教师引导学生从正多边形的定义入手证明，即证明多边形各边都相等，各角都相等;引导学生观察、分析，教师带领学生完成证明过程. 问题2如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗?

答案：这个n边形一定是正n边形. 【教学说明】在这个问题中，教师重点关注学生是否会仿照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形.从问题1到问题2是将结论由特殊推广到一般，这符合学生的认知规律，并教导学生一种研究问题的方法，由特殊到一般. 问题3各边相等的圆内接多边形是正多边形吗?各角相等的圆内接多边形是正多边形吗?如果是，说明理由;如果不是，举出反例. 答案：各边相等的圆内接多边形是正多边形.因为：各边相等的圆内接多边形的各角也相等.各角相等的圆内接多边形不是正多边形.如：矩形. 【教学说明】问题3的提出是为了巩固所学知识，使学生明确判定圆内接多边形是正多边形，必须满足各边都相等，各内角也都相等，这两个条件缺一不可.同时教会学生学会举反例.培养学生思维的批判性. 2.正多边形的有关概念

综合图形，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念. 正n边形：中心角为：

360°n;内角的度数为：180°(n-2)n 3.正多边形和圆有关的计算问题

例1(课本106页例题)有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积(结果保留小数点后一位). 分析：根据题意作图，将实际问题转化为数学问题. 解：如图.∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC=360°/6=60°. ∴△BOC是等边三角形.∴R=BC=4m，

∴这个亭子地基的周长为:4×6=24(m). 过O点作OP⊥BC，垂足为P.在Rt△OCP中，OC=R=4，CP=1/2BC=2.

. 例2填空.

【教学说明】例1是让学生了解有关正多边形的概念后，掌握正多边形的计算.同时，通过例1引导学生将实际问题转化为数学问题，将多边形化归为三角形来解决.例2通过网格来呈现问题，在解决例2时，教师指导学生用数形结合的方法来解决问题，加深对有关概念的理解. 4.画正多边形

画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的.等分圆周有两种方式： (1)用量角器等分圆周.

方法一：由于在同圆或等圆中相等的圆心角所对弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆. 方法二：先用量角器画一个等于360°/n的圆心角，这个圆心角所对的弧就是圆的1/n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的几等分点. 【教学说明】这两种方法可以任意等分圆，但不可避免地存在误差. (2)用尺规等分圆

正方形的作法:如图(1)在⊙O中，尺规作两条垂直的直径，把⊙O四等分，从而作出正方形ABCD.再逐次平分各边所对弧，则可作正八边形、正十六边形等边数逐次倍增的正多边形. 正六边形的作法：方法一：如图(2)任意作一条直径AB，再分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径作弧，与⊙O交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D为⊙O的六等分点，顺次连接各等分点，得到正六边形ACEBFD. 方法二：如图(3)由于正六边形的半径等于边长.所以在圆上依次截取等于半径的弦，就将圆六等分，顺次连接各等分点即可得到正六边形. 【教学说明】尺规作图法是一种比较准确的等分圆的方法，但有较大的局限性，它不能将圆任意等分.

三、运用新知，深化理解

1.如图，圆内接正五边形ABCDE，对角线AC与BD相交于点P，则∠APB的度数为_______.

2.边长为2/π的正方形的内切圆与外接圆所组成的圆环的面积为_____. 3.如果一个正六边形的面积与一个正三角形的面积相等，求正六边形与正三角形的内切圆的半径之比. 4.如图，点M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，„„正n边形的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON.

(1)求图1中的∠MON的度数;

(2)在图2中，∠MON的度数为_____，在图3中，∠MON的度数为_____; (3)试探索∠MON的度数与正n边形边数n之间的关系.(直接写出答案) 【教学说明】题

1、2可由学生自主探索完成，题

3、4可先让学生思考，然后教师加以提示，最后共同解答.完成教材第106页、108页的练习. 【答案】1.72°

4.解：(1)连接OB、OC.∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°.又∵BM=CN，OB=OC，∴△BOM≌△CON，∠BOM=∠CON，∴∠MON=∠BOC=120°.(2)90°72°(解法与(1)相同) (3)∠MON=360°/n.

四、师生互动，课堂小结

通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗?你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等概念吗?你能画出正多边形吗?

【教学说明】教师先提出问题，然后让学生自主思考并回顾，教师再予以补充和点评.

1.布置作业：从教材“习题24.3”中选取. 2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.

1.本节课首先从复习正多边形的定义入手，通过创设问题情境，将正多边形与圆紧密联系，让学生发现它们之间的密切关系，并将结论由特殊推广到一般，符合学生的认识规律，通过学习正多边形中的一些基本概念，引导学生将实际问题转化为数学问题，体现了化归的思想.其次，在这一基础上，又教给学生用等分圆周的方法作正多边形，这可以发展学生的作图能力. 2.等分圆周法是一种作正多边形的常见方法，通过作简单的正三角形、正方形、正六边形，一直推广到作正八边形的情况，可以向学生灌输极限的思想，极限是微积分中最主要、最基本的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，在高中数学中，极限思想渗透到函数、数列等章节，又衔接高等数学，起着承上启下的作用.

第二篇：[初中数学]正多边形和圆教案2 人教版

《正多边形和圆》教案2 教学目标：

(1)使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理;

(2)通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力;通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力;

(3)进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想.

教学重点：

正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一个定理.

教学难点：

对定理的理解以及定理的证明方法.

教学活动设计：

(一)观察、分析、归纳：

观察、分析：1.等边三角形的边、角各有什么性质?

2.正方形的边、角各有什么性质?

归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点.

教师组织学生进行，并可以提问学生问题.

(二)正多边形的概念：

(1)概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形.等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形.

(2)概念理解：

①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形.(正三角形、正方形、正六边形，…….)

②矩形是正多边形吗?为什么?菱形是正多边形吗?为什么?

矩形不是正多边形，因为边不一定相等.菱形不是正多边形，因为角不一定相等.

(三)分析、发现：

问题：正多边形与圆有什么关系呢?

发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆.

分析：正三角形三个顶点把圆三等分;正方形的四个顶点把圆四等分.要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形.要将圆六等分呢?

(四)多边形和圆的关系的定理

定理：把圆分成n(n≥3)等份：

(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形;

(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.

我们以n=5的情况进行证明.

已知：⊙O中， = = = = ，TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的⊙O的切线.

求证：(1)五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形;

(2)五边形PQRST是⊙O的外切正五边形.

证明：(略)

引导学生分析、归纳证明思路：

弧相等

说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形;②经过圆的n(n≥3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形.

(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件.

(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形.

(五)初步应用

P157练习

1、(口答)矩形是正多边形吗?菱形是正多边形吗?为什么? 2.求证：正五边形的对角线相等.

3.如图，已知点A、B、C、D、E是⊙O的5等分点，画出⊙O的内接和外切正五边形.

(六)小结：

知识：(1)正多边形的概念.(2)n等分圆周(n≥3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形.

能力和方法：正多边形的证明方法和思路，正多边形判断能力

(七)作业教材P172习题A组

2、3. 教学设计示例2 教学目标：

(1)理解正多边形与圆的关系定理;

(2)理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质;

(3)理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念;

(4)通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力;

教学重点：

理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理.

教学难点：

对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解.

教学活动设计：

(一)提出问题：

问题：上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分(n≥3)圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形.反过来，是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢?

(二)实践与探究：

组织学生自己完成以下活动.

实践：

1、作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点?半径是什么?

2、作已知三角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点?半径是什么?

探究1：当三角形为正三角形时，它的外接圆和内切圆有什么关系?

探究2：(1)正方形有外接圆吗?若有外接圆的圆心在哪?(正方形对角线的交点.) (2)根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心?

(3)正方形有内切圆吗?圆心在哪?半径是谁?

(三)拓展、推理、归纳：

(1)拓展、推理：

过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作⊙O连结OA、OB、OC、OD.

同理，点E在⊙O上.

所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O.

因为正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等.因此，以点O为圆心，以弦心距(OH)为半径的圆与正五边形的各边都相切.可见正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆.

(2)归纳：

正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上

它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径.

其他两个顶点到圆心的距离都等于半径.

正五边形的各顶点共圆.

正五边形有外接圆.

圆心到各边的距离相等.

正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到任意一边的距离.

照此法证明，正六边形、正七边形、…正n边形都有一个外接圆和内切圆.

定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距.正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等.正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角.正n边形的每个中心角都等于 .

(3)巩固练习：

1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______.

2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______.

3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______.

4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等.

(四)正多边形的性质：

1、各边都相等.

2、各角都相等.

观察正三角形、正方形、正五边形、正六边形是不是轴对称图形?如果是，它们又各应有几条对称轴?

3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心.边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

4、边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方.

5、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

以上性质，教师引导学生自主探究和归纳，可以以小组的形式研究，这样既培养学生的探究问题的能力、培养学生的研究意识，也培养学生的协作学习精神.

(五)总结

知识：(1)正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念;

(2)正多边形与圆的关系定理、正多边形的性质.

能力：探索、推理、归纳等能力.

方法：证明点共圆的方法.

(六)作业 P159中练习

1、

2、3.

教学设计示例3 教学目标：

(1)巩固正多边形的有关概念、性质和定理;

(2)通过证明和画图提高学生综合运用分析问题和解决问题的能力;

(3)通过例题的研究，培养学生的探索精神和不断更新的创新意识及选优意识.

教学重点：

综合运用正多边形的有关概念和正多边形与圆关系的有关定理来解决问题，要理解通过对具体图形的证明所给出的一般的证明方法，还要注意与前面所学知识的联想和化归.

教学难点：综合运用知识证题.

教学活动设计：

(一)知识回顾

1.什么叫做正多边形?

2.什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角?

3.正多边形有哪些性质?(边、角、对称性、相似性、有两圆且同心) 4.正n边形的每个中心角都等于 .

5.正多边形的有关的定理.

(二)例题研究：

例

1、求证：各角相等的圆外切五边形是正五边形.

已知：如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，边AB、BC、CD、DE、EA与⊙O分别相切于A’、B’、C’、D’、E’.

求证：五边形ABCDE是正五边形.

分析：要证五边形ABCDE是正五边形，已知已具备了五个角相等，显然证五条边相等即可.

教师引导学生分析，学生动手证明.

证法1：连结OA、OB、OC，

∵五边形ABCDE外切于⊙O.

∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，

又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD.

∴∠BAO=∠OCB.

又∵OB=OB

∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理 BC=CD=DE=EA.

∴五边形ABCDE是正五边形.

证法2：作⊙O的半径OA’、OB’、OC’，则

OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD.

∠B=∠C ∠1=∠2 = .

同理 = = = ，

即切点A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分点.所以五边形ABCDE是正五边形.

反思：判定正多边形除了用定义外，还常常用正多边形与圆的关系定理1来判定，证明关键是证出各切点为圆的等分点.由同样的方法还可以证明“各角相等的圆外切n边形是正边形”.

此外，用正多边形与圆的关系定理1中“把圆n等分，依次连结各分点，所得的多边形是圆内接正多边形”还可以证明“各边相等的圆内接n边形是正n边形”，证明关键是证出各接点是圆的等分点。

拓展1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA.

求证：五边形ABCDE是正五边形.(证明略)

分小组进行证明竞赛，并归纳学生的证明方法.

拓展2：已知：如图，同心圆⊙O分别为五边形ABCDE内切圆和外接圆，切点分别为F、G、H、M、N.

求证：五边形ABCDE是正五边形.(证明略)

学生独立完成证明过程，对B、C层学生教师给予及时指导，最后可以应用实物投影展示学生的证明成果，特别是对证明方法好，步骤推理严密的学生给予表扬.

例

2、已知：正六边形ABCDEF.

求作：正六边形ABCDEF的外接圆和内切圆.

作法：1过A、B、C三点作⊙O.⊙O就是所求作的正六边形的外接圆.

2、以O为圆心，以O到AB的距离(OH)为半径作圆，所作的圆就是正六边形的内切圆.

用同样的方法，我们可以作正n边形的外接圆与内切圆.

练习：P161

1、求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形.

2、(口答)下列命题是真命题吗?如果不是，举出一个反例.

(1)各边相等的圆外切多边形是正多边形;

(2)各角相等的圆内接多边形是正多边形.

3、已知：正方形ABCD.求作：正方形ABCD的外接圆与内切圆.

(三)小结

知识：复习了正多边形的定义、概念、性质和判定方法.

能力与方法：重点复习了正多边形的判定.正多边形的外接圆与内切圆的画法.

(四)作业

教材P172习题

4、5;另A层学生：P174B组

3、4.

探究活动

折叠问题：(1)想一想：怎样把一个正三角形纸片折叠一个最大的正六边形.

(提示：①对折;②再折使A、B、C分别与O点重合即可)

(2)想一想：能否把一个边长为8正方形纸片折叠一个边长为4的正六边形.

(提示：可以.主要应用把一个直角三等分的原理.参考图形如下：

①对折成小正方形ABCD;

②对折小正方形ABCD的中线;

③对折使点B在小正方形ABCD的中线上(即B’);

④则B、B’为正六边形的两个顶点，这样可得满足条件的正六边形.)

探究问题：

(安徽省2002)某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：

甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形;

乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形.如图一，△ABC是正三角形, 形， = = ，可以证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形;

丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形.我想，边数是7时，它可能也是正多边形.

(1)请你说明乙同学构造的六边形各内角相等.

(2)请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(如图二)是正七边形(不必写已知、求证).

(3)根据以上探索过程，提出你的猜想(不必证明).

(1)[说明] (2)[证明] (3)[猜想]

解：(1)由图知∠AFC对 .因为 = ，而∠DAF对的 = + = + = .所以∠AFC=∠DAF.

同理可证，其余各角都等于∠AFC.所以，图1中六边形各内角相.

(2)因为∠A对，∠B对，又因为∠A=∠B，所以 = .所以 = .

同理 = = = = = = .所以七边形ABCDEFG是正七边形.

猜想：当边数是奇数时(或当边数是3，5，7，9，……时)，各内角相等的圆内接多边形是正多边形

第三篇：圆和圆的位置关系教案

初探圆和圆的位置关系

教学目标：

1.掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法;两圆连心线的性质;

2.通过两圆的位置关系，培养学生的分类能力和数形结合能力;

3.通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力.

教学重点：

两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系.

教学难点：

两圆位置关系及判定.

(一)复习、引出问题

1.复习：直线和圆有几种位置关系?各是怎样定义的?

(教师主导，学生回忆、回答)直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交.各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的

2.引出问题：平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢?

(二)观察、分类，得出概念

1、让学生观察、分析、比较，分别得出两圆：外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系，准确给出描述性定义：

(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.(图(1))

(2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(2))

(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交.(图(3))

(4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(4))

(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5)).两圆同心是两圆内含的一个特例. (图(6))

2、归纳：

(1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点.

(2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一

(3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离(外离和内含);相交;相切(外切和内切).

教师组织学生归纳，并进一步考虑：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离;有一个公共点则相切;有两个公共点则相交.除以上关系外，还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点?

结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系.

(三)分析、研究

1、相切两圆的性质.

让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质：

如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上.

这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明

2、两圆位置关系的数量特征.

设两圆半径分别为R和r.圆心距为d，组织学生研究两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系.(图形略)

两圆外切 d=R+r;

两圆相交 R-r

两圆内切两圆外离两圆内含

d=R-r (R>r); d>R+r; dr);

说明：注重“数形结合”思想的教学.

(四)应用、练习

例1：如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米

求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少?

(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少?

解：(1)设⊙P与⊙O外切与点A，则

PA=PO-OA

∴PA=3cm.

(2)设⊙P与⊙O内切与点B，则

PB=PO+OB

∴PB=1 3cm.

例2：已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=8，以AC为直径作⊙O，以B为圆心，4为半径作.

求证：⊙O与⊙B相外切.

证明：连结BO，∵AC为⊙O的直径，AC=12，

∴⊙O的半径，且O是AC的中点

∴ ，∵∠C=90°且BC=8，

∴ ，

∵⊙O的半径，⊙B的半径，

∴BO= ，∴⊙O与⊙B相外切.

练习(P138)

(五)小结

知识：①两圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含;

②以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系;

③两圆相切时切点在连心线上的性质.

能力：观察、分析、分类、数形结合等能力.

思想方法：分类思想、数形结合思想.

(六)作业

教材P151中习题A组2，3，4题.

第四篇：《圆和圆的位置关系》教案范文

教学目标

(一)教学知识点

1.了解圆与圆之间的几种位置关系.

2.了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系.

(二) 能力训练要求

1.经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力.

2.通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力.

(三)情感与价值观要求

1.通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.

2.经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维.

教学重点

探索圆与圆之间的几种位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系.

教学难点

探索两个圆之间的位置关系，以及外切、内切时两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的过程.

教学方法

教师讲解与学生合作交流探索法

教具准备

投影片三张

第一张：(记作3. 6A)

第二张：(记作3.6B)

第三张：(记作3.6C)

教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

[师]我们已经研究过点和圆的位置关系，分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种;还探究了直线和圆的位置关系，分别为相离、相切、相交.它们的位置关系都有三种.今天我们要学习的内容是圆和圆的位置关系，那么结果是不是也是三种呢?没有调查就没有发言权.下面我们就来进行有关探讨.

Ⅱ.新课讲解

一、想一想

[师]大家思考一下，在现实生活中你见过两个圆的哪些位置关系呢?

[生]如自行车的两个车轮间的位置关系;车轮轮胎的两个边界圆间的位置关系;用一只手拿住大小两个圆环时两个圆环间的位置关系等.

[师]很好，现实生活中我们见过的有关两个圆的位置很多.下面我们就来讨论这些位置关系分别是什么.

二、探索圆和圆的位置关系

在一张透明纸上作一个⊙O.再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2.把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系?

[师]请大家先自己动手操作，总结出不同的位置关系，然后互相交流.

[生]我总结出共有五种位置关系，如下图：

[师]大家的归纳、总结能力很强，能说出五种位置关系中各自有什么特点吗?从公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑.

[生]如图：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部;

(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部;

(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部;

(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部;

(5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部.

[师]总结得很出色，如果只从公共点的个数来考虑，上面的五种位置关系中有相同类型吗?

[生]外离和内含都没有公共点;外切和内切都有一个公共点;相交有两个公共点.

[师]因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种.

经过大家的讨论我们可知：

投影片(24.3A)

(1)如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含.

(2)如果只从公共点的个数来考虑分三种：相离、相切、相交，并且相离，相切

三、例题讲解

投影片(24.3B)

两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图所示(点O，O'是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求TPN的大小.

分析：因为两个圆大小相同，所以半径OP=O'P=OO'，又TP、NP分别为两圆的切线，所以PTOP，PNO'P，即OPT=O'PN=90，所以TPN等于36 0减去OPT+O'PN+OPO'即可.

解：∵OP=OO'=PO'，

△PO'O是一个等边三角形.

OPO'=60.

又∵TP与NP分别为两圆的切线，

TPO =NPO'=90.

TPN=360-290-60=120.

四、想一想

如图(1)，⊙O1与⊙O2外切，这个图是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?切点与对称轴有什么位置关系?如果⊙O1与⊙O2内切呢?〔如图(2 )〕

[师]我们知道圆是轴对称图形，对称轴是任一直径所在的直线，两个圆是否也组成一个轴对称图形呢?这就要看切点T是否在连接两个圆心的直线上，下面我们用反证法来证明.反证法的步骤有三步：第一步是假设结论不成立;第二步是根据假设推出和已知条件或定理相矛盾的结论;第三步是证明假设错误，则原来的结论成立.

证明：假设切点T不在O1O2上.

因为圆是轴对称图形，所以T关于O1O2的对称点T'也是两圆的公共点，这与已知条件⊙O1和⊙O2相切矛盾，因此假设不成立.

则T在O1O2上.

由此可知图(1)是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线，切点与对称轴的位置关系是切点在对称轴上.

在图(2)中应有同样的结论.

通过上面的讨论，我们可以得出结论：两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，图(1)和图(2)都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线.

五、议一议

投影片(24.3C)

设两圆的半径分别为R和r.

(1)当两圆外切时，两圆圆心之间的距离(简称圆心距)d与R和r具有怎样的关系?反之当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定外切吗?

(2)当两圆内切时(R>r)，圆心距d与R和r具有怎样的关系?反之，当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定内切吗?

[师]如图，请大家互相交流.

[生]在图(1)中，两圆相外切，切点是A.因为切点A在连心线 O1O2上，所以O1O2=O1A+O2A=R+r，即d=R+r;反之，当d=R+r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O

1、A、O2在一条直线上，所以⊙O1与⊙O2只有一个交点A，即⊙O1与⊙O2外切.

在图(2)中，⊙O1与⊙O2相内切，切点是 B.因为切点B在连心线O1O2上，所以 O1O2=O1B-O2B，即d=R-r;反之，当d=R-r时，圆心距等于两半径之差，即O1O2=O1B-O2B，说明O

1、O

2、B在一条直线上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1与⊙O2内切.

[师]由此可知，当两圆相外切时，有d=R+r，反过来，当d=R+r时，两圆相外切，即两圆相外切 d=R+r.

当两圆相内切时，有d=R-r，反过来，当d=R-r时，两圆相内切，即两圆相内切 d=R-r.

Ⅲ.课堂练习

随堂练习

Ⅳ.课时小结

本节课学习了如下内容：

1.探索圆和圆的五种位置关系;

2.讨论在两圆外切或内切情况下，图形的轴对称性及对称轴，以及切点和对称轴的位置关系;

3. 探讨在两圆外切或内切时，圆心距d与R和r之间的关系.

Ⅴ.课后作业习题24.

3Ⅵ.活动与探究

已知图中各圆两两相切，⊙O的半径为2R，⊙O

1、⊙O2的半径为R，求⊙O3的半径.

分析：根据两圆相外切连心线的长为两半径之和，如果设⊙O 3的半径为r，则O1O3=O2O3=R+r，连接OO3就有OO3O1O2，所以OO2O3构成了直角三角形，利用勾股定理可求得⊙O3的半径r.

解：连接O2O

3、OO3，

O2OO3=90，OO3=2R-r，

O2O3=R+r，OO2=R.

(R+r)2=(2R-r)2+R2.

r= R.

板书设计

24.3 圆和圆的位置关系

一、1.想一想

2.探索圆和圆的位置关系

3.例题讲解

4.想一想

5.议一议

二、课堂练习

三、课时小结

四、课后作业

第五篇：3.5 直线和圆的位置关系教案二

直线和圆的位置关系

教学目标 (一)教学知识点

1.能判定一条直线是否为圆的切线. 2.会过圆上一点画圆的切线. 3.会作三角形的内切圆. (二)能力训练要求

1.通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力. 2.会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力. (三)情感与价值观要求

经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.

经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题.

教学重点

探索圆的切线的判定方法，并能运用. 作三角形内切圆的方法. 教学难点

探索圆的切线的判定方法. 教学方法师生共同探索法. 教具准备投影片三张

第一张：(记作§3.5.2A) 第二张：(记作§3.5.2B) 第三张：(记作§3.5.2C) 教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

[师]上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交.判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断，还掌握了圆的切线的性质、圆的切线垂直于过切点的直径.

由上可知，判断直线和圆相切的方法有两种，是否仅此两种呢?本节课我们就继续探索切线的判定条件.

Ⅱ.新课讲解

1.探索切线的判定条件投影片(§3.5.2A) 如下图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角∠α，当l绕点A旋转时，

(1)随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化?直线l与⊙O的位置关系如何变化?

(2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r?此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系?为什么?

[师]大家可以先画一个圆，并画出直径AB，拿直尺当直线，让直尺绕着点A移动.观察∠α发生变化时，点O到l的距离d如何变化，然后互相交流意见.

[生](1)如上图，直线l1与AB的夹角为α，点O到l的距离为d1，d1

[师]回答得非常精彩.通过旋转可知，随着∠α由小变大，点O到l的距离d也由小变大，当∠α=90°时，d达到最大.此时d=r;之后当∠α继续增大时，d逐渐变小.第(2)题就解决了.

[生](2)当∠α=90°时，点O到l的距离d等于半径.此时，直线l与⊙O的位置关系是相切，因为从上一节课可知，当圆心O到直线l的距离d=r时，直线与⊙O相切.

[师]从上面的分析中可知，当直线l与直径之间满足什么关系时，直线l就是⊙O的切线?请大家互相交流.

[生]直线l垂直于直径AB，并经过直径的一端A点.

[师]很好.这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.

2.做一做

已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线.

分析：根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：经过直径的一端，并且垂直于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心O和圆上一点A，那么过A点的直径就可以作出来，再作直径的垂线即可，请大家自己动手.

[生]如下图.

(1)连接OA.

(2)过点A作OA的垂线l，l即为所求的切线. 3.如何作三角形的内切圆. 投影片(§3.5.2B) 如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切.

分析：假设符号条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离相等.因此，圆心在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离.

解：(1)作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I(如下图). (2)过I作ID⊥BC，垂足为D. (3)以I为圆心，以ID为半径作⊙I. ⊙I就是所求的圆.

[师]由例题可知，BE和CF只有一个交点I，并且I到△ABC三边的距离相等，为什么?

[生]∵I在∠B的角平分线BE上，∴ID=IM，又∵I在∠C的平分线CF上，∴ID=IN，∴ID=IM=IN.这是根据角平分线的性质定理得出的.

[师]因此和三角形三边都相切的圆可以作出一个，因为三角形三个内角的平分线交于一点，这点为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的圆只有一个.并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆(inscribed circle of triangle)，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心(incenter).

4.例题讲解投影片(§3.5C) 如下图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB.

求证：AT是⊙O的切线.

分析：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT=AB，所以∠ABT=∠ATB，又由∠ABT=45°，所以∠ATB=45°.

由三角形内角和可证∠TAB=90°，即AT⊥AB. 请大家自己写步骤.

[生]证明：∵AB=AT，∠ABT=45°. ∴∠ATB=∠ABT=45°.

∴∠TAB=180°-∠ABT-∠ATB=90°. ∴AT⊥AB，即AT是⊙O的切线. Ⅲ.课堂练习随堂练习 Ⅳ.课时小结

本节课学习了以下内容： 1.探索切线的判定条件. 2.会经过圆上一点作圆的切线. 3.会作三角形的内切圆.

4.了解三角形的内切圆，三角形的内心概念. Ⅴ.课后作业习题3.8 Ⅵ.活动与探究

已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD.

求证：DC是⊙O的切线.

分析：要证DC是⊙O的切线，需证DC垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线半径OD，利用平行关系推出∠3=∠4，又因为OD=OB，OC为公共边，因此△CDO≌△CBO，所以∠ODC=∠OBC=90°.

证明：连结OD.