如何在初中数学竞赛教学中培养学生思维的灵活性

2022-09-11

思维是人脑反映事物的一般特性和事物之间规律性的联系, 同时还是以已有知识为依据进行推断和解决问题的过程。任一思维现象均是多种思维形态的综合。思维是能力的核心, 思维的灵活性是检验一个人创造才能强弱的重要标志。所谓思维的灵活性是指:思维能迅速、轻易地从一类对象转变到另一类对象的能力, 当思维缺乏灵活性时, 就表现为思维刻板、僵化或呆滞。灵活的思维能力, 有许多培养途径, 也可以通过数学竞赛的解题教学中培养。现谈谈在解题教学中的一些浅见。

1 变换研究对象, 引导学生侧面求解

在分析诸多数学问题时, 选择研究对象是首要环节, 也是重要环节。对于复杂的问题, 选择研究对象时要进行多种可能方案的比较、判断。在采取常规方案分析问题时, 如果求解遇到不可逾越的障碍, 应指导学生及时地变换研究对象。化正面突破为侧面突破。

【例1】有一片牧场, 草每天都在匀速地生长 (即草每天增长的量相等) , 如果牧24头牛, 则6天吃完牧草;如果放牧2 1头牛, 则8天吃完牧草.设每头牛每天吃草的量是相等的, 问:如果放牧1 6头牛, 几天可以吃完牧草? (全国通讯赛试题)

应用数学知识和方法解决实际问题是学习数学的重要目的之一.而列方程解应用题对初中同学来说是一个困难所在, 学习列方程解应用题应注重两个方面: (1) 促使综合型思维向分析型思维的转轨.从各个侧面分析列方程的来龙去脉, 突破小学形成的固有的综合思维模式 (从已知出发列综合算式求未知数, 形成分析思维模式。 (2) 善于把应用题中的生活语言转换成数学语言.有些应用题, 它所涉及到的量比较多, 量与量之间的关系也不明显, 需变换研究对象或增设一些表知辅助建立方程, 辅助表知数的引入, 在已知条件与所求结论之间架起了一座“桥梁”, 对这种辅助未知量, 并不能或不需求出, 可以在解题中相消或相约。

思路点拨:需要考虑草每天的增长量、每头牛每天的吃草量及牧场原有的草量之间的关系, 故需增设一些辅助未知数, 便于把这些关系表示出来.

解:设牧场原有草量为a, 每天生长出的草量为b, 每头牛每天吃草量为c, 1 6头牛x, 天吃完草, 由题意得:

由 (2) - (1) 得b=12c (4)

(3) - (2) 得 (x-8) b= (16x-168) c (5)

将 (4) 代人 (5) , 得 (x-8) ·12c= (16x-168) c, 解得x=18ㄢ

答:略。

2 探求规律, 迂回求解

抽象出正确的数学模型是解题的关键, 根据数学模型选取相关规律是解题的钥匙。很多问题可运用有关规律直接求解, 也有很多数学问题由于知识水平的限制, 不可能直接求解。学生由于思维空间狭窄, 对于那些不可能直接求解的问题, 往往仍固守于直接求解的思路、导致求解碰壁。应该指导学生跳出直接求解的框框, 运用其它数学规律, 变直接突破为迂回突破。

【例2】如图, △ABC的面积为1, D、E为AC的三等分点, F、G为BC的三等分点.求: (1) 四边形PECF的面积;

(2) 四边形P F G N的面积。

思路点拨:直接求解, 显然行不通。求一些关系复杂的图形面积, 代数化是一个重要技巧, 利用代数化, 能清晰明朗地表示图形面积之间的关系, 从而可以化解或降低问题的难度。 (1) 连C P, 设S△F C F=x, S△FCE=y, 可建立关于x, y的方程组, 解题的关键是把相关图形的面积用于x, y的代数式表示, 并利用等分点导出隐含图形的面积; (2) 连NC, 仿 (1) , 先求出△BNC的面积, 再得出△B N G面积, 进而可求四边形P F G N的面积。

解:连CP, 设

2 用结论的几种可能性, 反向求解

在教学的过程中, 要使学生养成养成从不同角度、不同层次去思考问题的习惯。例如, 正面思考、反面思考、顺推、逆推、顺逆结合。经常有这样的情况, 从正向过程分析十分繁琐, 甚至无法求解;然而, 如果将正向过程进行反演, 则可实现快速的逆向突破。

【例3】四十只脚的蜈蚣和三个头的龙在同一个笼中, 共有26个头和298只脚, 如果40只脚的蜈蚣只有一个头, 那么三个头的龙有几只脚?

思路点拨:设蜈蚣和龙的个数分别为x、y, 三个头的龙的脚数为n, x、y、n均为正整数.此时, 有三个未知数才两条方程, 有几种可能性。可对n进行讨论, 反向推理求解。

又∵3y

(120—n) y=742中, 知n<0, 矛盾.故只能取y=7, 可得n=14.经验证:n=14

是问题的正确答案。

答:三个头的龙有14只脚

注意题中隐合了条件:只数、脚数均为正整数。

4 纵横联想, 类比求解

对于新问题必须善于进行未知事物与已知事物之间的类比, 以实现旧知识向新知识的迁移。在教学中, 我们也必须注意培养学生的纵横联想能力。在分析陌生的新问题时, 应引导学生调动头脑中“贮存”的信息, 并找出与新问题相近的信息跟新问题进行类比, 在类比中寻找它们的相关特征, 从而将解决旧问题的方法移植到解决新问题之中。

【例4】已知x=2, y=-4时, 代数式求当时, 代数式的值。

思路点拨:一般的想法是先求出a, b的值, 这是不可能的 (为什么?) 解本例的关键是:将给定的x、y值分别代入对应的代数式, 寻找已知式与待求式之间的联系, 整体代人求值。

略解:由已知得4 a-b=9 9 6, 待求式=―-3 (4a-b) =4986=1998

5 巧用方法, 特性求解

在解决实际问题时, 思维灵活的人往往解决问题的方法较多, 且多具有创造性;而思维僵化的人往守成规, 缺乏灵活性。对于那些看似简单而解答起来又非常复杂的数学问题, 我们应该通过对求解方法的分析与比较, 筛选出最优化的解法, 以激发学生思维的灵活性与发散性。

【例5】计算: (1)

(“祖冲之杯”邀请赛试题)

思路点拨:此题的解题关键是应用通项公式:这是本题的特性。

解:原式

6 消除知识障, 寻求方法解决;

何谓知识障?顾名思义, 人所学的知识会造成人思想上的障碍, 学的知识越多, 障碍越大。有不少学生总习惯于照搬已有的经验, 机械记忆, 机械模仿, 表现出思维僵化、呆板, 思路狭窄, 问题解决能力底下等特征。已有的通法、通则对常规问题而言是很有效的, 但对那些复杂的非常规问题, 通法、通则往往难以凑效。因此, 必须克服思维定势的负迁移作用。比如套用公式、套用定理性质、套用解题方法、单向思维引起的错误。

【例6】已知

求代数式的值。思路点拨:在此, 初中学生在没有学过等比数列的情况下, 去求解那是比较困难的, 甚至是不可能的。学生的思路往往从开始几项去计算, 这就是思维定势的负迁移作用, 此处应该引导学生从后两项去研讨

综上所述, 在数学竞赛的解题教学中, 除了应该让学生了解解题程序、解题原则与策略外, 我们还可以从以上六个方面培养学生的思维能力。实践表明在解题时运用解题策略, 学生的学习自觉性有所增强, 优化了思维品质, 发展了数学能力。

摘要：思维的灵活性主要表现为善于摆脱已有模式的束缚, 及时由一条思路转向另一条思路, 它是创造性思维的一个特征。竞赛教学是数学教学的重要组成部分。在竞赛教学中培养学生思维的灵活性可从以下六个方面研究。

关键词：思维灵活性,思维定势,知识障