例谈在数学教学中培养学生的创造性思维能力

创造性思维能力是指提出新的思想、寻求新的方法、构建新的理论、发明新的技术的能力。要提高数学教学质量, 培养学生的创造性思维能力是必不可少的, 包括培养学生的形象思维能力、发散思维能力、直觉思维能力、逆向思维能力。

一、培养学生的形象思维能力

形象思维是对事物形象 (表象) 进行加工并形成新形象的思维形式, 包括由一种事物联想到另一种事物、对某一事物的认识, 引起对另一在形态或性质上相似的事物的联想、对某一事物的认识引起对形态或性质上与其相反的事物的联想。

例1、如图, 已知一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点, 点C在AB上以每秒1个单位的速度从点B向点A运动, 同时点D在线段AO上以同样的速度从点A向点O运动, 运动时间t (单位:秒) 表示。问当t为何值时, △ACD与△AOB相似?

解析:由图可知A (4, 0) , B (0, 3) , 故AB=5。由于C、D的位置随运动时间的不同而不同, 画出图象便于数形结合进行讨论。

二、培养学生的发散思维能力

发散思维是一种求异式、展开式思维, 思维从一点出发, 可以沿着不同的方向展开。

例2、如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, AC=3、BC=4, CD⊥AB于D, 求CD的长?

解析1: (用面积相等) R t△ABC, AC=3、BC=4, 故AB=5.

解析3: (用相似三角形) △ABC∽△CBD, 有, 即

注:例2用面积相等、三角函数、三角形相似从不同的方向、不同的角度思考问题, 有利于沟通知识间的联系, 有助于活跃学生的思维, 促成学生思维的发展。例4已知角之间的关系判断线段是否平行, 变式为不同的要使线段平行思考角之间的关系, 学生的思维活动在不同层次上逐步展开, 激活了学生的思维, 促成学生思维的发散。数学教学中用一题多解、一题多变来培养学生的发散思维能力;它有利于学生多角度、多方向思考问题, 发展学生思维的广阔性。

三、培养学生的直觉思维能力

直觉思维就是凭借直觉对某一事物进行判断的思维方式。

例3、已知 (z-x) 2-4 (x-y) (y-z) =0, 试说明x+z=2y.

解析1:由 (z-x) 2-4 (x-y) (y-z) =0, 整体考察发现已知等式的左边有判别式△=b2-4ac=0的形式, 于是由直觉判断决定引入一元二次方程解决问题。

设有方程 (x-y) t2+ (z-x) t+ (y-z) =0, 由于方程的各系数之和为0, 于是t=1是方程的根。又方程根的判别式为0, 故t=1是方程的二重根。两根之积, 所以x+z=2y.

解析2:整体考察可知, 已知等式为x的一元二次方程。直觉猜想:解关于x的方程可以得出要的结论。由已知等式得x2+2 (z-2y) x+ (z-2y) 2=0, 于是有 (x+z-2y) 2=0, 所以x+z=2y.

注:例5对题目作整体考察有内在联系, 作出直觉想象和判断, 再与细部考察相结合解决问题, 激发了学生的直觉思维, 导致思维的创新。数学教学中引导学生从复杂的问题中寻找内在联系, 特别是发现隐含条件, 从而把各种信息作综合考察并作出直觉想象和判断来培养学生的直觉思维能力。它有利于学生综合各条件从整体上分析问题, 培养学生思维的整体性。

四、培养学生的逆向思维能力

逆向思维是反方向或间接思考问题的思维方式。

例4、已知ax=3, ay=5, 计算a2x-y的值?

解析:由公式ax÷ay=ax-y、 (ax) y=axy, 所以把公式逆向运用有

例5、已知实数b, 使三个一元二次方程y2-y+b=0、y2-2y+b=0、y2-4y+2b=0中至少一个有解, 求b的范围?

解析:直接思考要分几种情况讨论很麻烦, 可间接从反面考虑问题。设b使三个方程都无解, 有解得b>2。所以当b≤2时, 三个方程中至少一个有解。

注:例6用数学公式的逆向运用解决问题, 培养学生双向运用知识的意识。例7用从结论到题设分析问题的方法, 培养学生综合分析问题的方法。例8是一道较复杂的讨论题, 直接解很麻烦时, 可考虑间接方法, 培养学生灵活运用方法的能力。数学教学中用公式的逆向运用、由结论到题设分析问题、间接证明等方法来培养学生的逆向思维能力。它有利于防止学生形成思维定势, 培养学生思维的灵活性。