将思维能力的培养融入本科概率统计教学中

2022-09-10

概率论与数理统计是从数量上研究随机现象统计规律性的学科, 它们作为认识和理解随机世界的一把钥匙, 从哲学, 文化的角度看, 它蕴含着丰富的思维品质。由于学生自开始学数学以来第一次系统地学习随机性问题, 初学时往往会感到很困难, 需要教师充分利用“概率思想”的独特性, 多途径、多层次、多方位地培养和发展学生的思维品质。“数学是思维的体操”, 数学教师是思维体操的训练者, 指导者, 所以在教学中教师应注重结合各方面知识培养学生的随机意识、思维能力和应用能力等, 这对于素质教育来说是十分必要的。

1 培养学生的随机意识, 完善概率直觉

一直以来, 学生的认识主要局限于对具有因果关系的确定性事物的把握上, 随机意识比较缺乏, 一般学生中常会有许多错误的认识, 有些在心理上是根深蒂固的, 即使学了一些概率知识, 也不会一下就能解决问题。例如, 当一个同学买彩票时, 尽管他知道每个数出现的机会相同, 但在心理上他还是愿意选“6”, “8”等数字。又比如他学过概率课后, 知道抽签与顺序无关, 但在实际生活中, 碰到抽签的事, 他还是希望争取先抽到。

因此, 培养学生的随机意识是一个长期过程, 在教学中要特别强调这一点, 而不要把概率统计这门课讲成单纯的计算。首先, 教师应经常向学生介绍包含随机现象的实例, 通过列举学生能切身体会到的大量实例, 并启发学生自己观察、思考身边的各种随机现象, 就会将学生非常自然地引导到“随机世界”中来。比如“十一”长假去公园路上会不会遇到交通事故?到公园后会不会遇到多年未见的好友?学校门口的超市某天有多少人购物?校图书馆某天有多少人借书?等等。这些例子的提出, 很容易引发学生联想其它实例, 而且在课上能很快地举出一些随机现象的例子。其次, 在介绍一些重要结论时, 要不断提醒大家注意体会其中的随机性。比如掷骰子实验中各个点数出现的概率都是1/6, 但可能一个班的所有同学掷120次骰子点数3出现的概率都不是1/6, 这就是结果出现的随机性。实际上, 对于教师来讲, 保持概率统计课程的逻辑严谨性并注意概率直觉能力的培养是必须处理好的重要问题。学生尽早具有概率直觉, 认识概率论与实际事物的紧密联系, 对实际事物中的随机性产生敏感, 是使其产生浓厚学习兴趣的有利条件。

2 培养学生的思维品质, 提高综合素质和能力

2.1 探索式教学, 培养学生思维的广阔性, 深刻性

“探索式教学”是指教师就某一问题, 指导学生自行探索, 自己得出结论的教学方法。如一题多解, 它可促使学生多方位、多角度思考问题, 将思维触角伸向多种领域, 以求多解, 并比较得最优解。探索式教学, 可培养学生思维的广阔性、深刻性。

例如, 在讲古典概型时, 可以设计这样一个问题, 要求学生通过合作探索完成:某超市举行元旦促销活动, 方法是购物满88元摸一次彩, 摸彩的器具是红、白球, 这些球的大小与质地完全相同, 置于一个密封良好的木箱 (可容一只手伸入) 。该超市按中奖率1%设大奖, 99%设小奖, 大奖奖品价值500元, 小奖奖品价值2元。请按要求为公司设计一个摸彩方案。同学们热烈讨论、争辩, 最后提出5种摸彩方案 (以3个为例) :

方案1:在箱内放100个球, 其中1个红球, 99个白球, 顾客一次摸1个球, 摸到红球中大奖, 否则中小奖;方案2:在箱内放25个球, 其中3个红球, 22个白球, 顾客一次摸2个球, 2个均为红球中大奖, 否则中小奖;方案3:在箱内放15个球, 其中2个红球, 13个白球, 顾客一次摸2个球, 2个均为红球中大奖, 否则中小奖;

到底哪种方案最切实可行, 可以根据顾客的心理进行探究。

又比如, 在讲全概率公式和贝叶斯公式时, 我让学生用贝叶斯公式分析伊索寓言“孩子与狼”中村民的心理活动。学生们分组讨论, 在老师的引导下, 作出如下分析:首先假设村民们对这个小孩的印象一般, 他说谎话 (记为A1) 和说真话 (记为A2) 的概率相同, 即设P (A1) =0.5, P (A2) =0.5, 再假设说谎话的孩子喊狼来了 (记为B) 时, 狼来的概率为0.3, 说真话的孩子喊狼来了时, 狼来的概率为0.8。当村民第一次上山打狼时, 发现狼没来, 村民们对说谎话小孩的认识集中体现在条件概率上, 由贝叶斯公式:

这表明:村民们经过两次上当后, 对这个小孩说谎话的概率由0.5上升到0.9245, 即十句话中有九句在说谎, 给村民留下这种印象, 他们听到第三次呼叫时怎么再会上山打狼呢?

通过类似的讨论, 学生的思维开阔了, 能掌握用所学知识来解决实际问题的能力, 同时在思考问题时也会更深刻。这对于学生思维能力的训练, 数学素质的培养都是十分重要的。

2.2 引入逆向思维, 培养学生思维的独特性

对于直接从正面不能解决的问题, 可迂回到问题的反面逆向思维, 寻求解决的方案。利用逆向思维往往可独辟蹊径, 迅速得出结果, 思维仿佛进入一个广阔的新天地, 有“柳暗花明”之功效。

例如, 一个班级n个人 (n≤365) , 求至少有两人的生日在同一天的概率。这是著名的“生日怪论”, 引导学生用其对立事件的概率来解就简单多了。在讲事件的独立性这部分内容时, 也有很多事件的概率须借助于对立事件来求解, 通过一系列习题的训练, 使学生熟练运用逆向思维解决实际问题, 它能使一类复杂概率问题得到简化, 这是概率论中的一类重要思想。

2.3 多媒体教学, 培养学生思维的能动性, 创新性

由于概率统计的概念和理论都有现实背景, 在教学中我们常常把概率统计的结论放在一些实际模型中加以思考, 这样使得在概率统计教学中采用多媒体教学显得尤为重要。它使一些在传统教学手段下难以表达的教学内容或无法观察到的现象能生动形象, 新颖直观地展现出来, 调动了学生思维的能动性。

例如对古典概型中投硬币试验进行模拟, 计算机能很快地做好统计等方面的工作, 直观地显示投币过程, 给学生一个直观的形象。又如, 在讲解二项分布时, 引入英国生物统计学家高尔顿设计的顶板模型, 通过归纳类比, 3000次投球小球堆积的频率图与二项分布的理论图形极其相似, 既让学生了解二项分布的来源, 又让学生感悟到怎样用实际模型去检验理论模型, 了解计算机模拟。在讲解中心极限定理时, 利用多媒体的现代教学手段, 由计算机模拟任何一个分布在一定的条件下近似于正态分布, 可使学生更深刻理解中心极限定理。

充分利用现代多媒体教学手段, 将一些重要内容的教学, 通过课件制作, 利用计算机将其直观、形象、生动、准确地表示出来, 不仅启发学生积极思维, 融会贯通地掌握知识, 还能调动学生学习的主动性, 提高教学效果。

3 培养学生的建模思想, 提高学生的应用能力

概率论与数理统计源于实践, 又服务于实践。其知识与方法已广泛应用于生产、生活、社会等各个领域。因此, 在教学中不仅要让学生掌握概率统计的理论知识, 更重要的是培养学生的应用能力, 启发建模思想。这可以从以下几个方面来实施。

3.1 鼓励学生就所学知识, 自拟题目, 撰写小论文

作者在开学第一次课上就布置了这个任务, 在第三周就收到第一位同学交来的小论文, 她结合所学的“抓阄原则”来分析实际中的若干问题, 很有独特性。通过撰写小论文, 学生们有一个共同的体会, 加深了对所学知识的理解, 有助于提高应用能力。

3.2 案例教学

在教学内容上注意吸收有趣的应用题目, 将较新的应用问题和数学建模思想纳入到教学中, 能很好地解决“学”与“用”之间的关系。例如社会学中的购买彩票问题、估计一项新产品在未来市场上的畅销率、医学中的新旧药品治疗疗效的比较或疾病诊断等都是一些较好的应用题目。

3.3 实验教学

实验教学强调以学生为中心, 学生是学习过程的主体, 引导学生自己动手, 独立思考, 亲身感受用所学知识解决实际问题的全过程。学生通过解决简单实际问题能加深对概念的理解和对理论与方法的认识, 将书本上的知识真正变成自己的知识。这对培养学生的应用能力来说是一个重要的过程。第四, 经常向学生推荐一些好的文章或与概率统计知识有关的文章, 以使他们能及时了解概率统计的应用的广泛性。

总之, 在教学实践中培养良好的思维品质, 是培养能力的一条主渠道。教师在教学中应努力挖掘学科中的潜在内容, 启发学生怎样学习, 怎样思维, 怎样理解, 怎样应用, 注重学生能力培养, 使学生能在将来社会中具有更强的适应性和竞争力, 则终生受益。

摘要：概率论与数理统计是认识和理解随机世界的一把钥匙.在教学过程中要注重培养学生的随机意识, 思维能力和实际应用能力。

关键词：概率统计,思维能力,教学