高中数学建模教学探讨

2022-10-25

数学模型是数学知识与数学应用的桥梁, 研究和学习数学模型, 能帮助学生探索数学的应用, 产生对数学学习的兴趣, 培养学生的创新意识和实践能力, 加强数学建模教学与学习对学生的智力开发具有深远的意义, 作者就如何加强高中数学建模教学谈几点体会。

1 要重视各章前问题的教学, 使学生明白建立数学模型的实际意义

教材的每一章都由一个有关的实际问题引入, 可直接告诉学生, 学了本章的教学内容及方法后, 这个实际问题就能用数学模型得到解决, 这样, 学生就会产生创新意识, 对新数学模型的渴求, 实践意识, 学完要在实践中试一试。

如新教材“三角函数”章前提出:有一块以O点为圆心的半圆形空地, 要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿册, 使其册边AD落在半圆的直径上, 另两点BC落在半圆的圆周上, 已知半圆的半径长为a, 如何选择关于点O对称的点A、D的位置, 可以使矩形面积最大?

这是培养创新意识及实践能力的好时机要注意引导, 对所考察的实际问题进行抽象分析, 建立相应的数学模型, 并通过新旧两种思路方法, 提出新知识, 激发学生的知欲, 如不可挫伤学生的积极性, 失去“亮点”。

这样通过章前问题教学, 学生明白了数学就是学习, 研究和应用数学模型, 同时培养学生追求新方法的意识及参与实践的意识。因此, 要重视章前问题的教学, 还可据市场经济的建设与发展的需要及学生实践活动中发现的问题, 补充一些实例, 强化这方面的教学, 使学生在日常生活及学习中重视数学, 培养学生数学建模意识。

2 通过几何、三角形测量问题和列方程解应用题的教学渗透数学建模的思想与思维过程

学习几何、三角的测量问题, 使学生多方面全方位地感受数学建模思想, 让学生认识更多现在数学模型, 巩固数学建模思维过程、教学中对学生展示建模的如下过程:

现实原型问题→数学模型→数学抽象→简化原则→演算推理→现实原型问题的解→数学模型的解→反映性原则→返回解释

列方程解应用题体现了在数学建模思维过程, 要据所掌握的信息和背景材料, 对问题加以变形, 使其简单化, 以利于解答的思想。且解题过程中重要的步骤是据题意更出方程, 从而使学生明白, 数学建模过程的重点及难点就是据实际问题特点, 通过观察、类比、归纳、分析、概括等基本思想, 联想现成的数学模型或变换问题构造新的数学模型来解决问题。如利息 (复利) 的数列模型、利润计算的方程模型决策问题的函数模型以及不等式模型等。

3结合各章研究性课题的学习, 培养学生建立数学模型的能力, 拓展数学建模形式的多样性式与活泼性

高中新大纲要求每学期至少安排一个研究性课题, 就是为了培养学生的数学建模能力, 如“数列”章中的“分期付款问题”、“平面向是‘章中’向量在物理中的应用”等, 同时, 还可设计类似利润调查、洽谈、采购、销售等问题。设计了如下研究性问题。

例1根据下表给出的数据资料, 确定该国人口增长规律, 预测该国2000年的人口数。

时间 (年份) 1910 1920 1930 1940 19501960 1970 1980 1990

人中数 (百万) 39 50 63 76 92 106 123132 145

分析:这是一个确定人口增长模型的问题, 为使问题简化, 应作如下假设: (1) 该国的政治、经济、社会环境稳定; (2) 该国的人口增长数由人口的生育, 死亡引起; (3) 人口数量化是连续的。基于上述假设, 我们认为人口数量是时间函数。建模思路是根据给出的数据资料绘出散点图, 然后寻找一条直线或曲线, 使它们尽可能与这些散点吻合, 该直线或曲线就被认为近似地描述了该国人口增长规律, 从而进一步作出预测。

通过上题的研究, 既复习巩固了函数知识更培养了学生的数学建模能力和实践能力及创新意识。在日常教学中注意训练学生用数学模型来解决现实生活问题;培养学生做生活的有心人及生活中“数”意识和观察实践能力, 如记住一些常用及常见的数据, 如:人行车、自行车的速度, 自己的身高、体重等。利用学校条件, 组织学生到操场进行实习活动, 活动一结束, 就回课堂把实际问题化成相应的数学模型来解决。如:推铅球的角度与距离关系;全班同学手拉手围成矩形圈, 怎样围使围成的面积最大等, 用砖块搭成多米诺牌骨等。

4 培养学生的其他能力, 完善数学建模思想

由于数学模型这一思想方法几乎贯穿于整个学数学学习过程之中, 小学解算术运用题中学建立函数表达式及解析几何里的轨迹方程等都孕育着数学模型的思想方法, 熟练掌握和运用这种方法, 是培养学生运用数学分析问题、解决问题能力的关键, 作者认为这就要求培养学生以下几点能力, 才能更好的完善数学建模思想:

(1) 理解实际问题的能力;

(2) 洞察能力, 即关于抓住系统要点的能力;

(3) 抽象分析问题的能力;

(4) “翻译”能力, 即把经过一生抽象、简化的实际问题用数学的语文符号表达出来, 形成数学模型的能力和对应用数学方法进行推演或计算得到注结果能自然语言表达出来的能力;

(5) 运用数学知识的能力;

(6) 通过实际加以检验的能力。

只有各方面能力加强了, 才能对一些知识触类旁通, 举一反三, 化繁为简, 如下例就要用到各种能力, 才能顺利解出。

例2:解方程组

分析:本题若用常规解法求相当繁难, 仔细观察题设条件, 挖掘隐含信息, 联想各种知识, 即可构造各种等价数学模型解之。

方程模型:方程 (1) 表示三根之和由 (1) (2) 不难得到两两之积的和 (XY+YZ+ZX) =1/3, 再由 (3) 又可将三根之积 (XYZ=1/27) , 由韦达定理, 可构造一个一元三次方程模型, 则x, y, z恰好是其三个根。

函数模型:

由 (1) (2) 知若以xz (x+y+z) 为一次项系数, (x2+y2+z2) 为常数项, 则以3= (12+12+12) 为二次项系数的二次函f (x) = (12+12+12) t2-2 (x+y+z) t+ (x2+y2+z2) = (t-x) 2+ (t-y) 2+ (t-z) 2为完全平方函数3 (t-1/3) 2, 从而有t-x=ty=t-z, 而x=y=z再由 (1) 得x=y=z=1/3, 也适合 (3)

平面解析模型:

方程 (1) (2) 有实数解的充要条件是直线x+y=1-z与圆x2+y2=1/3-z2有公共点后者有公共点的充要条件是圆心 (O、O) 到直线x+y的距离不大于半径。