一道正项级数题目的多种解法

数学分析课程的特点, 是前后内容联系非常紧密, 平时练习的题目, 往往是针对某一个知识点, 这对培养学生的发散性思维是很不利的。下面我们以一道正项级数的题目为例, 给出多种解法, 把数列极限、定积分、幂级数等知识点贯穿起来, 这对开拓学生的思路有很大帮助。

1问题来源

在吉米多维奇的数学分析习题集中, 有这样一个题目:判断正项级数和的敛散性。基于上面题目略做改动, 判断下面正项级数的敛散性:。对这一题目, 可以采用多种解法。

解法一:由题目的构造, 我们首先想到的是利用正项级数的比式判别法[1]。

, 级数收敛。

根式判别法是判断级数敛散性的重要方法, 利用根式判别法, 求解下面的极限:

其中, 对极限的求解, 是根式判别法求解的关键。可采用下面的三种方法来处理:

解法二:根据Stirling公式, 我们知道, 。则

, 级数收敛。

解法三:根据数列极限的一个结论[2]:若数列收敛, 且, 有下面的结论:。下面令, 则:

上面采用的方法, 也反应了正项级数的根式判别法和比式判别法两者的关系, 即:能用比式判别法的正项级数必可用根式判别法, 反之不成立。

解法四:利用定积分的定义。

因为

故有, , 级数收敛。

解法五:利用幂级数的性质。

讨论正项级数敛散性的问题, 可以转化为幂级数在点是否收敛的问题, 即考查是否为其收敛域内的点。幂级数的收敛半径:

显然, 有, 即是收敛域内的点, 故原级数是收敛的。

通过这样一个题目, 可以帮助学生把前面所学的数列极限、定积分、正项级数以及幂级数等知识点联系起来。在教学中, 教师要努力挖掘教学中的一些内在联系, 指导学生对一些知识进行类比、归纳、分析、综合, 引导学生主动地、自觉地培养和锻炼自己的能力。

摘要：本文就一个正项级数题目, 给出多种解法, 旨在开拓学生的思路, 培养学生的发散思维, 提高学生的创新能力。

关键词：正项级数,判别法,定积分,Stirling公式

参考文献

[1] 华东师范大学数学系.数学分析 (第二版, 下册) [M].北京:高等教育出版社, 1 9 9 4.

[2] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社, 1993, 12.