一题多变天地宽——培养学生创新思维能力的实践与思考

2022-09-11

一题多变是培养学生创新思维能力的有效途径之一。教学中适当的一题多变, 可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望, 加深学生对所学知识的深刻理解, 训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用, 锻炼学生思维的广阔性、深刻性、灵活性和独创性, 从而培养学生的思维品质, 发展学生的创造性思维。下面结合本人的教学实践, 谈谈我在教学中诱发一题多变的几种做法。

一、一题多解, 拓宽解题思路。

一题多解是从不同的视角、不同的方位审视分析同一问题中的数量、位置关系, 用不同解法求得相同结果的思维过程。通过探求同一问题的不同解法, 可以引出相关的多个知识点和解题方案, 有助于培养学生的洞察力和思维的变通性、独创性, 从而培养学生的创新思维的意识。

比如, 我在人教版八年级数学 (下) 《四边形》一章中曾举到这样一道例题:如图1, 在梯形ABCD中, AB∥CD, ∠A=90°, AB=2, BC=3, CD=1, E是AD中点。求证:CE⊥BE。

对于这道题目, 我不是简单地就题论题, 而是对其证法与学生进行了充分的探究。 (下面是学生探究得到的几种证法)

证法一:如图2, 作CE⊥AB, 在Rt△CBF中, 由勾股定理易得:, 又E是AD的中点, 故, 分别在Rt△CDE和Rt△BEA中, 由勾股定理易得:CE2=3, BE2=6, 在Rt△CBE中, 由勾股定理的逆定理可得:△CEB是Rt△, 即CE⊥BE得证。

证法二:如图3, 分别延长CE、BA交于点F, 易得△CDE≌△FEF, 则CE=FE, AF=1, 又AB=2, 所以BF=3, 又因为BC=3, 所以BC=BF, 在△BFC中, 由三线合一定理得:CE⊥BE。

证法三:如图4, 取CB的中点F, 连结EF, 则EF是梯形CDAB的中位线, 易得EF=2, 则EF=CF=BF, 则∠CEF=∠FCE, ∠FEB=∠FBE, 在△CEB中, 由三角形内角和定理易得∠CFB=90°, 即CE⊥BE。

通过对本题多种证法的探究, 不仅复习了几何当中几个重要定理的用法, 而且培养了学生善于从不同角度思考问题的习惯, 学生的自主意识和积极性得到了充分的发挥, 收到了良好的教学效果。

二、一题多变, 挖掘习题涵量

1、变换题设或结论

即通过对习题的题设或结论进行变换, 而对同一个问题从多个角度来研究。这种训练可以增强学生解题的应变能力, 培养思维的广阔性和深刻性, 从而培养创新思维的品质。

比如, 同样对上述问题, 我还对该题进行了多种角度的变式讨论, 开阔了学生的眼界, 活跃了学生的思维。

变换1:在梯形ABCD中, AB∥CD, BC=AB+CD, E是AD中点。求证:CE⊥BE。

变换2:在梯形ABCD中, AB∥CD, CE⊥BE, E是AD中点。求证:BC=AB+CD。

变换3:在梯形ABCD中, AB∥CD, BC=AB+CD, CE⊥BE。判断E是AD中点吗?为什么?

变换4:在梯形ABCD中, AB∥CD, BC=AB+CD, E是AD中点。求证:

2、变换题型

即将原题重新包装成新的题型, 改变单调的习题模式, 从而训练学生解各种题型的综合能力, 培养学生思维的适应性和灵活性, 有助于学生创新思维品质的养成。

例如:如图5, 已知△ADE中, ∠DAE=120°, B、C分别是DE上两点, 且△ABC是等边三角形, 求证:BC2=BD·CE

分析:本题为证明题, 具有探索性, 可引导学生从结论出发找到需证明△ABD∽△ECA, 从而使问题变得容易解决。

变换一:改为填空题, 如图5, 已知△A D E中, ∠DAE=120°, B、C分别是DE上两点, 且△ABC是等边三角形, 则线段BC、BD、CE满足的数量关系是————。

本题表面上虽是对原题的简单形式变换, 但实质上有探究的思想, 即需要将BC分别代换为AB、AC, 从而归结为找△ABD与△ECA的关系问题。

变换二:改为选择题, 如图5, 已知△ADE中, ∠DAE=120°, B、C分别是DE上两点, 且△ABC是等边三角形, 则下列关系式错误的是 ()

A.BC2=BD·CE B.AD2=DB·DE

C.AE2=EC·ED D.AE2=EB·ED

名为选择题, 实为要探究得出图中共有三对相似三角形, 从而得知A、B、C选项均正确, 选D。

变换三:改为计算题, 如图5, 已知△ADE中, ∠DAE=120°, B、C分别是DE上两点, 且△ABC是边长为4的等边三角形, 且BD=2, 求CE的长。

仍然要探究出线段BC、BD、CE满足的数量关系, 从而转化为知二求一的问题。

变换四:改为判断题, 如图6, 若图中∠DAE=135°, △ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形, 则BC2=BD·CE的结论还成立吗?

把问题条件改变, 用同样的思想方法探究得出同样的结论, 进一步引申了原例的思想方法, 拓展了学生的思维空间。

变换五:改为开放题, 如图5, 已知△ADE中, ∠DAE=120°, B、C分别是DE上两点, 且△ABC是等边三角形, 则图中有哪些线段是另外两条线段的比例中项?

结论的开放, 给学生更多的思考空间, 锻炼了学生开放型思维的能力。

变换六:改为综合题, 如图7, 在△ABC中, AB=AC=1, 点D、E在直线BC上运动, 设BD=x, CE=y。

(1) 如果∠BAC=30°, ∠DAE=105°, 试确定y与x之间的函数关系式;

(2) 如果∠BAC的度数为α, ∠DAE的度数为β, 当α、β满足怎样的关系式时, (1) 中y与x之间的函数关系式还成立, 并说明理由。

此种变换将相似与函数知识结合, 培养了学生综合探究的能力。由上述六种题型的变换, 把同样的数学思想方法渗透到不同的题型中, 既锻炼了学生适应不同题型的能力, 又加深了对数学思想方法的理解运用, 既激活了学生的思维, 又活跃了课堂气氛, 看似浪费了时间, 实质触及到思维的灵魂, 收到了事半功倍的效果。

三、一题多用, 培养应用意识

所谓一题多用, 指的是那种尽管表面看起来形式并不一致甚至差别很大的问题, 但它们的求解思路、解题步骤乃至最后结果却非常相似, 甚至完全相同。一题多用与一题多解是习题教学中相辅相成的两个方面。如果说, 一题多解是拓广思路, 培养分析变通能力的有效手段, 那么一题多用则是使知识系统化, 提高归纳综合能力、培养应用意识的有效途径。比如, 已知一条直线上有n个点, 则这条直线上共有多少条线段?

这是七年级数学中我们已解决的问题, 易得共有条线段, 运用这个数学模型, 可以解决很多数学问题。

例如: (1) 全班50个同学, 每两人互握一次手, 共需握手多少次?

(2) 甲、乙两个站点之间有5个停靠站, 每两个站点之间需准备一种车票, 则共需准备多少种车票?

(3) 如图8, 共有多少个三角形?

(4) 如图9, 共有多少个角?

(5) n边形共有多少条对角线?

以上一系列问题, 都可以通过建立同一数学模型来解决, 不仅培养了学生归纳整理的能力, 而且深化了学生建模思想和应用数学模型的意识。

多年的教学实践使我深深地体会到:作为一名数学教师, 应加强对例题和习题教学的研究, 通过科学合理地使用教学素材进行一题多变教学, 能较好地培养学生思维的广阔性、独立性和创造性, 促使学生形成良好的思维习惯和品质, 为培养学生的个性特征和创新思维能力创造更广阔的天地, 正所谓“一题多变天地宽”。

摘要：培养学生的创新思维能力是中学课程标准的基本要求, 也是数学教学的重要任务。在数学教学中, 培养学生创新思维能力的途径是多渠道的, 笔者在教学实践中发现, 有效地进行一题多变教学是培养学生创新思维能力的有效途径之一。

关键词：一题多变,创新思维,实践,思考