大学物理解题过程中的建模法

随着物理学的不断发展, 结合很多前沿尖端高科技成果被引入到大学物理基础理论的学习之中, 这使得学生在了解科技前沿的基础上, 提高了解决问题的兴趣, 但是解决这类问题的时候, 因为大量的新信息使物理现象更加纷繁复杂, 如何从这些信息中抓住关键, 找到问题的核心, 从而顺利的解决问题, 成了学生学习过程中最关键最需要处理的问题。

物理建模作为问题解决的一种方式, 是解题过程的重要组成部分。它突出地表现了对原始问题的分析、假设、抽象的物理加工过程和物理工具、方法、模型的选择推理过程以及模型的求解、论证、再分析、修改假定、再求解的迭进过程;较完整地体现出学物理与用物理的关系, 为最终解决问题奠定了坚实的基础。

在大学物理的学习过程中, 学生会学到很多物理模型, 作为物理学中的理想化方法之一, 物理学的发展过程, 其实就是一个连续不断的物理建模过程。

当然, 如何建立正确的物理模型, 需要学生在学习过程中, 熟练掌握已学的物理模型和物理定律, 提高分析辨别能力, 也就是在一个纷繁复杂的物理事件中, 在建立物理模型的过程中学习者能觉察出事物 (任务) 的重要成分, 集中注意于某细节而避免其他因素的干扰, 即突出事物的主要因素, 忽略其他次要的、不必要的因素。

辨别能力的培养, 是大量实践, 勤做练习习题的结果, 但凭上课听讲, 下课看书, 死记硬背, 做题生搬硬套是不行的, 只有在不断的主动性学习, 解决问题的过程中, 才能逐步掌握培养辨别技能的步骤和方法, 一般步骤为:

(1) 分析问题; (2) 运用合适的建模方法; (3) 建立模型; (4) 用合适的数学模型求解并检验物理模型; (5) 对所运用的物理辨别方法进行回顾。

具体到怎样提高辨别能力和建模能力, 有以下几种方法:

(1) 根据最后的要求求解的未知量, 判断主要因素和次要因素。找出主要已知条件和次要已知条件。建立主要已知量和主要待求未知量的关系。这种关系, 有时候就是一种相对固定的数学模型。物理模型一旦确立, 就需要建立数学模型去求解它。所以, 模型的建立, 就包含了物理建模和数学建模这两个方面。

数学模型是解决物理问题的有效工具, 对应的物理模型, 总有相应的数学模型, 所以在学习大学物理的时候, 有时候依据数学模型的来对物理问题进行分类总结。比如:对应于质点运动这样一个物理模型, 就把问题总结为两个方面:微分问题和积分问题。

在大学物理学习中, 微积分是应用最多的数学模型。所以, 寻找数学模型, 也是建立正确的物理模型的重要方法!

例如, 对应于质点运动学这类问题, 因为在数学上, 各个物理量之间有了一定的函数关系, 所以, 基本上只要从物理问题中分析提炼出物理模型, 找出已知量和未知量, 然后找出对应的函数关系, 建立起数学模型, 列出方程, 求解。问题就解决了[1]。

例1如图1示, 某人用绳拉一高台上的小车在地面上以匀速度奔跑, 设绳端与小车的高度差为, 求小车的速度及加速度。

对于本例题, 看似简单, 实则信息量较多, 要教会学生抓住关键, 建立正确的物理模型。未知量为小车的速度和加速度, 已知量为绳端与小车的高度差, 人的速度, 根据图1可以分析, , 与绳长, 可以建立函数关系式:, 绳长随时间的变化率, 事实上就是小车的速度。已知位移表达式, 或者说, 已知运动学方程, 求速度和加速度, 对于这一类的物理模型, 其对应的数学模型就是微分法。

设小车的速度为, 那么:方向是轴正向。

扩展到整个大学物理的学习中, 很多物理模型需要用微积分来解决。原因是:与中学物理比较起来, 大学物理里更多考虑的是变化的物理量, 只要确立好物理模型和数学模型, 很多问题就会迎刃而解了。

(2) 一种模型的多方类比应用法, 类比是一种逻辑推理形式。该法是指应用两种物理现象和两种物理规律之间的相似或相同来解决物理问题的方法。在物理建模学习中, 要善于从自然界或者已有成果中, 寻找与创造对象相类似的东西, 加以模拟, 从而迅速、正确地达到目的。从个体成长过程看, 模仿是学习的先导之一, 但我们追求的是在模仿中进行辨别。学生在学习中, 要培养自己动脑的能力, 从类比模拟中求辨别。

下面我们重点介绍一种在大学物理中很多地方可以类比应用的一种模型:微元法, 采用的数学模型是积分法。它可以应用于多类题目的类比求解, 所以, 只要熟练的掌握好它, 就相当于拿到了一把打开多扇知识大门的同一把钥匙。

所谓微元法, 是在求解过程中, 将连续分布的质量体划分成许多小的单元, 我们把这些单元称之为微元, 先求出这些微元的相关量值, 再把其结果当作积分元, 进行叠加, 也就是积分运算, 求出整个个体的相关量值。

例2求在一均匀带电圆盘轴上一点处的场强, 设圆盘的半径为R, 电荷面密度为, 该点在圆盘中心的距离为。

解一:将圆盘划分为无限多个窄圆环, 任取离盘心为, 宽为的窄圆环 (图2) 其电量为:

根据圆环中心轴线上一点的场强公式, 在点处的场强为:dE沿轴正向。

根据叠加原理, 所有窄圆环在点处的场强为:E沿轴正向

在解一里, 在已知带电圆环轴线上某一点的场强的时候, 可以把圆环当作电荷元, 它的场强当作积分元, 因为方向一致, 可以直接积分, 求出结果。当然, 关于微元的选取并不是唯一的, 如果带电圆环在轴线上的场强不知道, 但是知道点电荷在空间任意一点的场强, 可以用解法二见图3。

解二:先将圆盘分割为许多窄圆环, 再用过盘心的直线把圆盘最后划分为无限多个曲边梯形元。任取一面元, 其所带电量为

按照点电荷的场强公式, 在点处的场强为:

因为每个点电荷在该点的场强方向不同, 所以, 不能直接积分, 因为积分是一种标量的叠加, 所以, 要先向X, Y, Z三个方向上投影后再积分。

根据对称性分析, 必有, 故只要对dE沿轴线上的分量求积分即可, 由图可知:

方向为X正向。

建立微元模型, 运用积分法可以解决大学物理的很多问题, 在这里, 要注意微元的选取, 选取合适的微元, 是做好题目的关键, 如上例, 可以把微元选成是带电圆环, 也可以选成点电荷, 显然前者因为各部分带电圆环在场点处场强的方向一致, 因此可以直接积分, 运算比较简单, 后者因为带电体的每一个点电荷在场点处场强方向不一致, 因此不能马上积分, 要先往三个坐标轴上投影, 投影后再积分, 求各分量。

微元法不光可以用来求电场强度还可以求连续带电体的电势, 到了磁场的学习中, 求一段载流体在空间中某点的磁感应强度, 仍然可以用它来解题, 不光是电磁学, 刚体力学中求连续体的转动惯量的求解也用到了微元法, 掌握了该种物理模型和数学模型, 还可以解决很多诸如此类的问题。

(3) 是条件转变法[2], 即在进行物理辨别时, 如果面临的条件比较复杂, 可以将条件进行转化, 即将其变换成同类的别的条件, 看其对题中的结果有无影响, 以减少辨别的负担, 增加辨别学习的成功率。

比如有这样一道选择题:

例3如果光速是10米每秒, 则对人类的生活有那些影响?

A运动员在10秒内跑完100米是不可能的

B依靠中央台的报时来校准你的手表是不可能的

C经常运动的人不容易衰老

D做自由落体实验就不能不考虑广义相对性原理

这道题目的物理模型就是一个简单的知识点:光的本质, 它是一种电磁波。我们可以转换一种问法:电磁波的传播快慢对人的生活会有什么影响呢?显然只有答案B与电磁波有关连, 所以, 建立物理模型, 需要对全新物理情境进行分析与提炼;学会从纷繁复杂的信息里面去掉扰乱因素, 抓住研究对象本质;

(4) 对同一道题目可以鼓励学生用不同的方法不同的模型去解决, 从而开阔学生思维, 增强创新意识, 深刻的理解各类物理模型之间的相互关系。

比如在质点动力学中已知质点的动力学状态求速度的问题, 可以先受力分析, 运用牛顿第二定律, 求出加速度然后用积分法求解速度, 也可以分析质点的运动过程, 运用机械能守恒或动能定律来求解。

(5) 直观法, 将学生面临的物理问题诸因素以直观的形式表示出来, 如利用列举、图表、图像, 演示实验等手段层次清晰地呈现在学生面前, 为正确的物理建模辨别技能的学习做好准备。

比如判断霍尔效应中半导体材料是n型还是p型的时候, 可以用画图分析, 动画摸拟演示, 还可以现场实验演示, 这样, 一是提高了学生的兴趣, 二是加深了学生对判断方法的理解和应用。

(6) 变异法, 变换诸多物理因素中的干扰因素, 而不变换进行辨别的原因因素和辨别的结果, 依次让学生进行物理建模辨别技能的学习。

物理过程的发展建立在物理情景的分析基础上, 结合现代科学发展前沿的高科技成果, 对同一物理模型, 老师在命题过程中, 可以灵活变通, 加大信息含量, 让学生在了解科技前沿的基础上, 提高解决问题的兴趣, 同时学会排除次要因素, 抓住主要因素, 敏锐的捕捉出熟悉的物理模型。

如我国发射的神州六号载人飞船是我国航天技术的重大突破, 可以结合机械能守恒和万有引力知识等物理模型来进行命题。又如超导磁悬浮列车这一高科技成果, 可结合电磁场与电磁感应等物理模型进行命题。

综上所述, 要正确快速的解决物理问题, 就要在教学过程中, 归纳已知模型, 加大题目的信息量, 有意识的加大这方面的训练, 让学生学会物理建模, 学会提高分析问题辨别问题的能力。

摘要：在大学物理的解题过程中, 如何建立物理和数学模型, 是解题的前提和关键, 本文针对如何提高建模能力和辨别能力展开了详细的讨论, 还例举了大学物理解题过程中常用到的几种物理模型和数学模型, 为提高解决问题的能力提供了方法和思路。

关键词：辨别能力,物理模型,数学模型

参考文献

[1] 廖耀发.大学物理教程[M].北京:高等教育出版社, 2006, 1.

[2] 和清霖, 王晓燕.在物理建模教学中培养学生的辨别技能[J].教育探索, 2006, 10.