中职数学解题中构造法的应用

构造的数学思想提炼与数学各分支的研究方法之中, 它融直观性、简单性、统一性、抽象性、相似性于一体, 显示出简化与精密、直观与抽象的高度统一。它是运用数学的基本思想经过认真的观察, 深入的思考、分析, 合理地构造出某些元素、某种模式, 使问题转化为新元素的问题, 或转化为新元素之间的一种新的组织形式, 从而使问题得以解决, 这种方法称之为“构造法”。

构造法是数学解题方法中很重要的一种方法, 在解题中被广泛应用, 它之所以重要, 不仅因为它完善了我们的数学思维, 加深了我们对数学的理解, 构造法在我国古代的数学成果中就不乏其例, 勾股定理的证明即是其中一例。

构造法包含的内容也很多, 在解题中用的也千变万化, 无一定规律可言, 下面把我们遇到的一些例子加以分类, 希望能给大家一点小小的启示。

1 构造法在解题中的应用

构造法是数学解题中的一种重要思维方法, 不仅可以拓宽思路, 创造一些新的情境, 提高分析问题解决问题的能力, 而且富有巧妙、新颖、独特的功效。本文将举数例用这种方法来解之, 有些问题用别的方法束手无策, 可一旦用了构造法就豁然开朗了。

1.1 函数构造法

对于某些不等式的证明问题, 可以把其中一个元素看成是另一个元素的函数, 或者把一个代数式看成一个函数, 或者根据题目结构特点, 巧妙地构造一个函数, 从而站在函数的角度, 研究这个函数的性质, 达到解决问题的目的。

例1:求证:

分析:这是我们常见的函数形式, 可用均值不等式或单调性来证明。

证明:设

2.2 构造方程法

若不等式的证明问题正面思维遇阻, 可以改为逆向思维, 从结论考虑, 沟通条件和结论的关系, 构造出与结论有关的方程, 以便利用方程理论迅速解决问题, 有些数学题, 经过观察可以构造一个方程, 从而得到巧妙简捷的解答。

例2:若 (Z-X) 2-4 (X-Y) (Y-Z) =0, 求证:X, Y, Z成等差数列。

分析:拿到题目感到无从下手, 思路受阻。但我们细看, 问题条件酷似判别式的形式∆=b2-4ac, 因此联想到构造一个一元二次方程进行求解。

证明:当X=Y时, 可得X=Z, 所以X, Y, Z成等差数列;当X≠Y时, 设方程 (X-Y) t2- (Z-X) t+ (Y-Z) =0, 由∆=0得t1=t2, 并易知t=1是方程的根。所以, 即2Y=X+Z, 所以X, Y, Z成等差数列。

2.3 构造几何图形

构造几何图形, 就是将题中的元素用一些点或线来取代, 使题中的各种关系得以在图中表现出来, 然后借助几何的直观寻求问题的解答, 或借助几何知识对问题进行推证。

例3:已知0

分析:拿到此题是不是会觉得茫然呢?但仔细观察题目, 我们就会联想到单位正方形, 于是便构造单位正方形来求解。

证明:构造单位正方形如图1, O是正方形内一点, O到AD, AB的距离为a, b。

2.4 构造新数列求原数列通项

数列的通项公式是研究数列的关键, 因而求数列的通项公式显得极为重要, 构造新数列求通项, 既可以考察学生等价转换与化归的数学思想, 又能反映我们对等差、等比数列的理解深度。

例4:在数列, 求数列{a n}的通项公式

解:由, 两边取倒数得,

整理得, 故数列是首项为, 公差为的等差数列。

于是,

故

2.5 构造关系式

在解题时, 构造一个适当的关系式来帮助我们探求解题思路, 往往可以带来很大的方便。构造关系式解题的模式是:根据问题的特征, 构造一个与已知有关的关系式, 用来代替原问题或使原问题简化、熟悉, 促使原问题得到彻底的解决。

例5:化简sin17o sin 43o cos13o

分析:各角之间有如下关系43o=60o-17o, 90o-13o=77o=60o+17o, 因而可利用上面关系式。

解:原式=sin17o sin 43o sin77o=sin17o sin (60o-17o) sin (60o+17o)

2.6 构造组合数性质

应用组合数理论, 对有关自然数命题的证明可达到意想不到的效果。特别是有些问题, 不能从已知条件中作局部调整导出结论, 必须从要求的结论出发, 作整体设计, 构造某一恒等式, 经过推理、运算、多次转化, 才能配出解题所需条件。

例6:求证:

解:构造恒等式 (1+x) n (1+x) n= (1+x) 2n左边展开式中x n的系数是CnoC nn+C n1Cnn-1+L+CnnCn0= (Cn0) 2+ (Cn1) 2+L+ (C nn) 2右边展开式中xn的系数是, 即原命题成立。

2.7 其他构造法

2.7.1 构造斜率

例7:求的值域

解:着眼于直线的斜率, 设A (sinθ, cosθ) , B (2, 0) , 则A点的轨迹是x2+y2=1, 问题转化为在圆x2+y2=1上求点, 使它和B连线的斜率最大和最小, 即求圆与直线y=k (x-2) 相切时的k值由圆心到直线的距离等于半径得, 解得, 所以f (θ) 的值域。

2.7.2 构造距离

例8:求的最小值。

解:着眼于距离公式此式表示点 (x, 0) 到点 (1, 1) 的距离与点 (2, 2) 的距离之和。即在轴上求点P (x, 0) , 使其到点 (1, 1) 和点 (2, 2) 的距离之和最小。因点 (1, 1) 关于x轴的对称点为 (1, -1) , 即是求点 (1, -1) 与点 (2, 2) 的距离。所以y的最小值为

3 结语

从上面的例子我们不难看出, 构造法解题有着意想不到的功效, 恰当应用问题容易解决。构造法解题重在“构造”, 它可以构造图形、方程、函数甚至其它构造, 就会促使我们要熟悉几何、代数、三角等基本知识技能并多方设法加以综合利用, 这对我们的多元思维培养, 学习兴趣的提高以及钻研独创精神的发挥十分有利。

应用构造的思想解题需要扎实的基础知识, 由此及彼的丰富联想能力和较强的思维能力, 在具体的解题过程中, 需要仔细审题, 弄清题意, 借助联想, 构造出新的数学形式, 使所求的问题转化。

摘要：本论文探讨一种数学解题方法——构造法。主要通过大量的例题说明构造法是广泛存在于解题过程中的, 而且对于解某些问题是非常有用的。

关键词：构造法,创造性,解题

参考文献

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