超静定结构常用解法的比较与合理选用

2022-09-12

结构按照静力学特性可分为静定结构和超静定结构, 静定结构的内力只需要考虑静力平衡条件即可求出, 超静定结构的内力除了考虑静力平衡条件还需要考虑变形协调条件才能求出。超静定结构解法根据所选取基本未知量的不同可分为力法和位移法, 根据求解线性方程组的方法可分为直接解法和渐近解法。现从以上两个分类角度加以比较并对不同解法在结构中的适用性进行归纳。

一、力法、位移法的比较

(1) 力法、位移法的发展。力法、位移法是超静定结构内力计算的两种最基本解法。力法是提出较早、发展最完备的计算方法, 是在虚位移原理、莫尔积分的基础上发展起来的。位移法是在20世纪为了计算复杂刚架而建立起来的, 可以说力法是位移法的基础。 (2) 力法、位移法的基本思路。力法是把超静定结构通过去约束暴露多余未知力转变为静定结构, 再由静定结构根据实际变形协调条件转变为超静定结构, 即“超静定-静定-超静定”。位移法是通过加约束暴露位移把结构拆成杆件, 再由杆件根据静力平衡条件过渡到结构, 即“结构-构件-结构”, 也即先拆后搭, 先离散后整合, 先锁后放。 (3) 力法、位移法的基本未知量。力法的基本未知量是多余约束力, 基本未知量的个数就是多余约束反力的个数。位移法的基本未知量是独立结点位移, 基本未知量的个数等于结点转角和独立结点线位移数目之和。结点转角的数目等于刚结点的数目, 独立结点线位移的数目等于铰结体系自由度的数目, 一般可由观察判定。 (4) 力法、位移法的基本体系。力法的基本体系是原超静定结构中去掉多余约束代以多余未知力而得到的含有多余未知力的静定结构;位移法的基本体系是在原超静定结构中增设可控约束即在结点转角处增加刚臂, 在独立结点线位移处附加链杆所形成的超静定结构。 (5) 力法、位移法的基本结构。力法的基本结构是原超静定结构中去掉多余约束和荷载得到的静定结构, 即基本体系中不考虑荷载和多余未知力的结构。位移法的基本结构是在原超静定结构中去掉荷载后增加与位移法基本未知量相应的可控约束而得到的结构, 即基本体系中不考虑独立结点位移和荷载的结构。 (6) 力法、位移法的基本方程。力法实际上是先满足了静力平衡方程, 再根据变形协调条件来建立方程, 使基本体系沿多余约束力方向产生的位移与原结构相同。位移法是先满足了变形协调条件, 再根据力系平衡条件来建立方程, 使基本体系在附加约束处产生的总约束力与原结构相同。 (7) 力法、位移法的优缺点。力法只用于分析超静定结构, 位移法则通用于分析静定和超静定结构。位移法的计算结果与超静定次数没有直接关系, 对内力分析的过程更加简单, 结果也更加准确。对于结构较为特殊的体系, 应用位移法可以很方便地得出弯矩图的形状。

二、直接解法和渐近解法的比较

(一) 直接解法和渐近解法的定义

力法和位移法是超静定结构内力计算的两种最基本解法, 也是建立基本方程, 求解线性方程组的直接解法;力矩分配法、无剪力分配法是不建立线性方程组, 而是根据力学概念, 使结构的受力变形状态以渐近方式逼近真实的受力变形状态的渐近解法。

(二) 直接解法和渐近解法的基本思路

由于以力法为基础的渐近解法收敛速度较慢而广泛采用以位移法为基础的渐近解法。现以位移法和力矩分配法为例, 阐述直接解法和渐近解法在思路上的区别与联系。

位移法和力矩分配法的基本思路都是先锁后放, 即先加可控约束把结构拆分成杆件, 求出杆端弯矩, 不同之处在于位移法是去掉所有约束, 直接列结点的平衡方程, 求出结点位移之后进行回代。

力矩分配法是先去掉一部分约束, 将结点弯矩按照刚度分配、按照远端支座情况进行传递, 然后再接着去掉另一部分约束, 以此类推。当一次分配完成后再进行下一次分配, 直至结点弯矩足够小, 即认为达到了平衡条件才停止。位移法体现的是一步到位, 直接使结构平衡, 力矩分配法体现的是一种过程, 以渐近的方式在最后一步才在允许误差范围内使结构平衡。

(三) 直接解法和渐近解法的优缺点

直接解法计算精确, 但对于相对复杂的结构, 需要联立多个方程组, 手算计算量大, 较为烦琐, 容易出错。

渐近解法虽然有一定误差, 但是既能避免联立方程组, 又能满足工程需要, 而且计算过程中的每个步骤都有明确的物理意义, 便于理解和记忆, 是一种较为简单的解法。

三、超静定结构解法的合理选用

(1) 连续梁。刚性支座上的梁宜使用力矩分配法;弹性支座上的梁宜使用力法或者位移法。超静定次数多而结点位移少的多跨连续梁, 宜使用位移法。 (2) 刚架。无结点线位移的刚架, 宜使用力矩分配法。无结点角位移的刚架宜使用位移法或者剪力分配法。超静定次数少而结点位移较多的刚架宜使用力法。 (3) 超静定桁架。超静定桁架由于结点位移太多, 宜使用力法。但计算桁架次应力时, 宜使用力矩分配法。 (4) 超静定拱。两铰拱和无铰拱需用力法计算。计算连续拱时, 可取曲杆为单元, 使用位移法或力矩分配法。

四、结束语

对超静定结构常用解法进行简要比较, 有助于我们熟悉每种常用解法的基本原理及适用条件, 对常见结构中不同解法的选用归纳, 有助于我们快速、便捷、准确地对不同超静定结构进行内力计算, 从而更加灵活地解决超静定结构的内力计算问题。

摘要：超静定结构较静定结构而言具有多余约束, 即使某一约束失效, 结构仍可以保持稳定状态, 故在实际的工程项目中应用广泛。超静定结构内力计算的常用解法有力法、位移法、力矩分配法、无剪力分配法等, 对常用解法进行简要分析比较并对不同解法在结构计算中的适用性进行总结与概括, 从而深入了解超静定结构的内力计算问题。

关键词：力法,位移法,直接解法,渐近解法,比较,选用