向量法解题技巧范文

第一篇：向量法解题技巧范文

法向量在立体几何解题中的应用

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法向量在立体几何解题中的应用

作者：魏庆鼎

来源：《理科考试研究·高中》2013年第08期

高中数学教材引进了向量知识以后，为我们解决数学问题提供了一套全新的方法——向量法.向量法在解决求立几中的角和距离两大问题中，是行之有效的方法，它解决了以前旧版教材立几中的这两个难点.在旧版教材中，运用几何法解决这两类问题，要通过“作”、“证”、“求”，既要有较强的空间想象能力，又要求学生对空间中，线、面之间的判定、性质等定理非常熟悉并能熟练应用，对学生，特别是中下水平的学生是一大难点.而现在向量法则很好解决了这个难点，所以它对人们研究立几问题有着普及的意义.同时向量法对立几中的线面平行和线面垂直、面面垂直和面面平行等位置关系的证明，也非常简便.

空间向量的引入使立体几何的解题变得直观、易懂.而“法向量”的灵活应用，给解决空间问题提供了一个很方便、实用的工具，会使我们在高考中快捷地解决立体几何问题.以下是本人在教学过程中总结出来的关于“法向量”在立体几何中的一些应用.现把教学中得到的这些方法进行归类，供同行参考.

4.用法向量求二面角平面角的大小

求二面角的平面角的大小可先求出两个平面的法向量;则两法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补.此时，观察二面角的平面角为锐角还是钝角，视情况而定.

(注：在证明面面平行或面面垂直时，也可采用此法.如两面的法向量共线，即两平面平行;如两平面的法向量垂直，即两平面垂直)从以上的一些例题中，我们不难看出“法向量”这一特殊工具在立体几何的解题中的优越性.但在具体做题中，我们还应对不同的题型选择更便捷的方法去做，视自己对知识掌握的情况而定.

第二篇：高效法分析：高中生物解题技巧

高效法分析：高中生物解题技巧 高中生物，是高中阶段的一门重要课程。对于理科生来说，尤其如此。要学好高中生物课，不仅要有明确的学习目标，还要有高效的学习方法。《学习科学》高效法是一套针对中学生学习的方法，针对生物学科的特点，以下有几点分析：

一、教科书要熟烂于心

生物，掌握了教材就是取得了一半的成功。书中的图例、实验、涉及的化学式(光合与呼吸)，要时常归纳、总结重点。

二、把做题当成积累

在做题中你会逐渐摸清哪些地方经常成为考点。尤其是大题，出题套路会比较固定，答案也很固定。比如一些有“本质是”这样字眼的题一般要答与基因、DNA有关的知识点;又如，问神经递质在神经元之间为什么是单向传递的、要答“神经递质只能由突触前膜释放并作用于突触后膜”。生物是很有规律的一个学科掌握这些常考一些卡点的知识点，会保证得一个中等、稳定的分数。

三、贴心小经验

生物是一个偏文的学科，因此有些知识点一定要记扎实，“当背则背”，没有商量的余地。它不像数学、物理，掌握一个公式、定理，就能在做题是有很大的发挥空间。生物往往会要求你一字不差的答出某概念，所以生物学习有高效的方法很重要。

识图题。注意横纵坐标、交点、拐点、走势、正负半轴所表示的含义。平时要善于总结：种间关系--竞争、捕食、互利共生、寄生的图、光合+呼吸的图(区分好“净光合”即真实光合与表观光合，主要从坐标轴正负判断)等都很重点。

第三篇：2013年广东省公务员考试申论技巧：“五位一体”解题法

广东公务员考试网()

十八大报告提出了“五位一体”的新格局，即“把生态文明建设放在突出地位，融入经济建设、政治建设、文化建设、社会建设的各方面和全过程，努力建设美丽中国，实现中华民族永续发展”。这是建设中国特色社会主义的理论指南和行动纲领，是总结新世纪以来马克思主义中国化最新成果的纲领性文件，标志着我国社会主义现代化建设进入了新阶段。“五位一体”总布局不是凭空的理论创造，而是中共在领导人民建设中国特色社会主义的实践中认识不断深化的结果。邓小平首先提出物质文明、精神文明的“两个文明”建设;中国共产党在此基础上提出经济、政治、文化建设的“三位一体”;十七大上将经济、政治、文化、社会建设“四位一体”的中国特色社会主义事业总体布局写入党的章程;十八大上提出“五位一体”的新布局是在科学发展观指导下产生的，更加强调均衡、可持续和以人为本的发展。”最近几年的公务员申论考试，不管是国家的还是省级的，其申论给定材料都涉及生态文明建设，比如黄河保护、海洋保护等相关材料。广东公务员考试通用教材编写组的老师解释道：生态文明是尊重自然规律，保护生态环境，做到人与自然和谐相处、协调发展，人民群众的生活质量才有保障，经济社会发展才能持续。

如何落实“五位一体”总体布局的理念?这是今后公务员考试申论的热点问题，广大应试者应对此问题作深入理解和真人分析，以便在接下来的广东公考中得心应手。《2013年广东公务员考试通用教材》编写组指出生态文明建设是巨大的系统工程，需要各方协力推进，比如文化建设提供的是不竭源泉，社会和谐则是我们发展的基石，而生态文明的建设则保证了可持续发展。全面协调可持续，这五个方面缺一不可。

以此类推，如果不出意外的话，2013年的广东省公务员考试，广大应试者将需要继续重点关注社会建设和文化建设领域的问题，这和申论考试考查考生解决实际问题的能力的考试要求是密不可分的。但并不意味着经济建设方面的问题完全可以抛弃，毕竟我国还依然处于社会主义初级阶段，发展是第一要义。应试者应进一步提升自身理论积累，要站在“五位一体”的宏观角度看待和分析问题，才能答出满意度试卷。

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第四篇：向量在高中阶段解题的应用

(一) 向量对圆锥曲线的应用.圆锥曲线是高考重点考查的内容。考查的内容包括圆锥曲线的概

念和性质。但直线与圆锥曲线的位置关系等，很多时也要结合向量的

知识来简便解题。

例1：证明：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点距

离的等比中项。

证明：设P(x₀，y₀)是等轴双曲线x²-y²=a²右支上任一点

∴x₀²-y₀²=a²

则||²=x₀²+y₀²=x₀²+x₀²-a²=2x₀²-a² | PF1|²=x₀+a,| PF2|=2x₀-a

∴|PF1|·|PF2|=(2x₀+a)(2x₀-a)=2x₀²-a² ∴|PO|²=|PF1|·|PF2|

同理,当P(x₀,y₀)是左支点上也成立.

(二)向量对立体几何题的应用.

由于立体几何涉及空间几何图形，许多考生望而生畏，认为这很

抽象，但只要掌握好向量的相关知识，把立体几何图形的各线段转换

成向量,那解题便简便得多了.

例1：如图,在正方体ABCD--A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、分别是AB，

B B₁，BC的中点。

证明：B D₁⊥平面EFG。

分析：应通过建立空间坐标系，通过

空间向量的坐标运算来证明。

证明：设正方体的棱长为2a并以D为原点，

DA为X轴，DC为Y轴，DD₁为Z轴，

建立空间直角坐标系，则

D₁(0，0，2a)，B(2a，2a，0)，F(2a，2a，a)，E(2a，a，

0)，G(a，2a，0)

∴BD1=(-2a，-2a，2a)，=(0，a，a)，=(-a，-a，0)，

=-2a·∴BD1·0-2a· a+2a·a=0 BD1⊥

BD1·(-a)+(-2a)·(- a)+2a·0=0 BD1⊥ =-2a·

∴B D₁⊥平面EFG

点评：此题运用了空间向量的坐标运算来证明。

(三) 向量在平面解析几何图形的应用

由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质都可以用向量方法解决平面几何中的一些问题，现在由我们共同探讨向量方法在平面几何中的应用。

例1：在边长为1的正方形ABCD中，设=, =, =,求|-+|

解：如图，作DC的延长线，截MC=CD=1，连结BM.又∵=, =, =

∴|a-b+c|=|AB-AD+AC|=|DB+AC|

又∵=BM

∴|-+|=||=

2点评：本题利用了向量加减法的几何意义计算线段的长度，把复习的平面几何图形简单化，可见其简便之处。

(四) 向量在证明不等式中的应用

例1：设а≠b，а>0，b>0，求证：

(a+b)(a+ b)>(a+ b)

证明：构造向量 =( a, b), =(a,b),则：

332222cos2θ EF)=| AB|·(a+ b)=(AB·|EF|·224422332

≤||·||=( a+ b)·(a+ b)

∵a>0,b>0,a≠b

∴θ≠0

∴cosθ≠

1∴(a+ b)·(a+ b)>(a+ b)

点评:在解不等式或证明时,除了掌握其基本不等式外还要把握题目的特点寻找简便的方法,而本题就是运用向量解题的简便方法.

(五) 向量在证明平行题的应用

例1:已知AC、BD是梯形ABCD的对角线。E、F分别为BD、AC4422332222442

2的中点。

求证：EF∥BC

证明：设=, = ∵AD∥BC ∴=k=k 则=-=b-a

∵E为BD的中点 ∴=½=½(-)

∵F为AC的中点 ∴=+=+½=+½(-) =½(+)=½(-)=½(k-) ∴EF=BF-BE=½( kb-a)-½( b-a) =(½k-½)b=[(½k-½)·1/k] BC ∴∥,即EF∥BC

点评：这类题应掌握好向量的三角形定则，认识向量平行的充要条件。

(六) 向量在三角函数的应用。

例1:在直角坐标系X0Y中,已知P(2 cosа+1,2 cosа+2)和点Q(cosа,-1),

其中а[0,

解:由于OP⊥OQ = cosа(2cosа+1)-(2cosа+2)=0——① ∴·].且OP⊥OQ,求X的值。

又∵cos 2а=2cosа-1————————②

由①和②，得

2 2cosа- cosа=0 cosа=0或0.5 2

∵а[0,]

∴а=/2或/

3点评：本题利用向量的知识解答，使过程简便许多。

(七) 向量在解物理题的应用。

例1：平面上有两个向量e1=(1，0)，e2=(0，1)，今有动点P从P₀(-1,2)开始沿着向量e1+e2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|e1+e2|;另一动点Q从Q₀(-2,-1)出发，沿与向量3e1+2e2相同的方向作匀速直线运动，速度的大小为|3e1+2e2|，设P、Q在时刻t=0秒时，分别在P₀、Q₀处，则当PQ⊥P₀Q₀时，时

间t为多少秒?

解：依题意P₀(-1,2),Q₀(-2,-1) 则POQO=(-2,-1)-(-1,2)=(-1,-3)

e1+e2=(-1,0)+(0,1)=(1,1) |e1+e2|=2 3e1+2e2=3×(1,0)+2×(0,1)=(3,2) |3e1+2e2|=

∴当t时刻P点位置为(-1，2)+t(1，1)=(-1+t，2+t)，点Q位置为 (-2，1)+t(3，2)=(-2+3t，-1+2t) ∴=(-2+3t,-1+2t)-(-1+t,2+t)=(-1+2t,-3+t) 又⊥POQO

∴(-1+2t)·(-1)+(-3+t)·(-3)=0解得t=2 ∴当⊥POQO时，时间t为2秒。

第五篇：法向量

法向量在空间问题中的应用

桐乡市求是实验中学聂美芬

在解决空间问题时若能结合法向量的有关知识，灵活运用法向量解题，则可避免添加辅助线，通过建立空间直角坐标系将几何问题代数化，降低解题难度，且思路明确，过程较为程序化，容易把握。下面举例说说法向量在空间问题中的应用。

1、利用法向量证明线面平行、面面平行。

证明直线与平面平行，可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;证明平面与平面平行，可转化为证明这两个平面的法向量平行。 例1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB

1、DD1的中点，求证：

(1)FC1//平面ADE

(2)平面ADE//平面B1C1F

证明：如图1所示建立空间直角坐标

系D-xyz，则有D(0，0，0)、A(2，0，

0)、C(0，2，0)、C1(0，2，2)、E(2，

2，1)、F(0，0，1)，所以FC1(0,2,1)、

DA(2,0,0)、AE(0,2,1) 设n1(x1,y1,z1)，n2(x2,y2,z2)

分别是平面ADE、平面B1C1F的法向量，则nDA，nAE

x0n12x0取y=1，则n1(0,1,2) z2yn12yz0

同理可求n2(0,1,2)

(1)n1FC1(0,1,2)(0,2,1)0

n1FC1，又FC1平面ADE，FC1//平面ADE

(2)n1//n2∴平面ADE//平面B1C1F

2、利用法向量证明线面垂直、面面垂直。

证明直线与平面垂直，可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线;证明平面与平面垂直，可转化为证明这两个平面的法向量互相垂直。

例2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点，F是CD的中点。 求证：(1)D1F⊥平面ADE

(2)平面A1D1F平面ADE

证明：(1)如图2所求建立空间直角坐标系D-xyz，令AA1=2，则D(0，0，0)、D1(0，0，2)、A(2，0，0)、E(2，2，1)、

F(0，1，0)，所以DA=(2，0，0)，AE=(0，

2，1)，D1F=(0，1，-2)， 设n1(x1,y1,z1)，n2(x2,y2,z2)分别

是平面ADE、平面A1D1F的法向量。则F n1DA，n1AE。

x10n12x10 z2y1n12y1z0

1取y11，则n1(0,1,2)，同理可得：n2(0,2,1)

(1)n1//D1F∴D1F⊥平面ADE

(2)n1n2(0，1，-2)(0，2，1)=0n1n

2∴平面A1D1F⊥平面ADE

3、利用法向量求线面夹用、面面夹角

要求斜线与平面所成的角，可先求斜线与该平面的法向量所成的角，再利用关系“斜线与平面所成的角和斜线与该

平面的法向量所成角(锐角)互余或和

斜线与该平面的法向量所成的角(钝角)

的补角互余”求出斜线与平面所成的角;

求平面与平面所成的二面角，即求两平

面的法向量所夹的角(它与面面夹角相

等或互补)。

例3：已知正方体ABCD-A1B1C1D

1中的棱长为2，

(1)求直线AD与平面A1BC1所成C

的角。

(2)求平面A1B1C1D1与平面A1BC1所成的二面角(锐角)的大小。 角：如图3所示建立空间直角坐标系D-xyz，

D(0，0，0)、A(2，0，0)、A1(2，0，2)、D1(0，0，2)、B(2，2，0)、C1(0，2，2)，所以A1B=(0，2，-2)，BC1=(-2，0，2)，AD=(-2，0，0)， 设n1(x1,y1,z1)，n2(x2,y2,z2)分别是平面ABC1和平面A1B1C1D1的法向量，则n1A1，n1BC

1yzn1A12y2z0取z=1，则n1(1,1,1) xzn1BC12x2z0

同理可得：n2(0,0,1)

(1)设直线AD与平面A1BC1所成的角为，则：

sincosAD,n1=2233

3arcsin 3

(

2)cosn1,n23 3=1313 3n1,n2即平面A1B1C1D1与平面A1BC1所成的二面角为。 3

4、利用法向量求距离

利用法向量可求点面距离、线面距离、面面距离、两异面直线间的距离。求点到平面的距离，即求过该点的某一斜线的长和斜线与该平面的法向量的夹角的余弦的绝对值的乘积;求直线到与它平行平面的距离和求两个平行平面的距离均可转化为点到平面的距离来求;求两异面直线间的距离，可先求得两直线的公共法向量，然后在两直线上各取一点，求出过这两点的向量在法向量上的射影长就是两异面直线间的距离。

例4 在例3的正方体ABCD- A1B1C1D1中，

(1)求点B1到平面A1BC1的距离。

(2)求A1B与B1C之间的距离。

解，(1)由例3知n(1，1，1)是平面A1BC1的一个法向量，设点B1到平面A1BC1的距离为d，则：

d

B1B,n =2(0,0,2)(1,1,1)

2323

323 3即点B1到平面A1BC1的距离为

(2)A1(0,2,2)、B1(2,0,2)、A1B1(0,2,0) 设(x,y,z)，且A1,B1 yzA12y2z0令x=1，则(1,1,1) zxnB1C2x2z0

设A1B与D1C1间的距离为d，则：

dcosA1B1

22 3